精品解析：黑龙江牡丹江市第一高级中学2026届高三下学期热身训练(一)数学试题

牡丹江市第一高级中学2026届高三热身训练一 数学 2026.5.25 胸藏数学底气，落笔皆是佳绩！放平心态作答，所愿皆能成真！ 注意事项： 1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，整理可得，根据复数的几何意义，即可得答案. 【详解】由题意，则， 在复平面内对应的点为，在第一象限. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助交集定义即可得. 【详解】，又，则. 3. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是单位向量，且 所以 4. 已知双曲线的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，则. 5. 已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】求出，根据第40百分位数定义可得答案. 【详解】由题意可得，解得， 将数据按升序排列可得， 因为为整数， 所以该组数据的第40百分位数为. 6. 已知函数若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，，即解得或（舍）， 当时，，即 ， ， 方程无实数解，综上. 7. 已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为， 则圆锥、圆柱的侧面积分别为、， 则，得，则圆锥的体积为. 8. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线性质，结合勾股定理、锐角三角函数定义、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】因为是圆的切线， 所以，且， 由勾股定理可得，因此点的坐标为， 因为， 所以圆的切线的斜率为， 所以圆的切线的方程为，化简，得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据面面垂直判定定理，结合立体几何线面、面面的位置关系判定. 【详解】根据面面垂直的判定定理，，，推出，正确. 已知，由线面平行的性质，可得内存在直线满足； 又，因此，结合面面垂直判定可得，正确. 已知，，由面面平行的性质，推出，正确. 若，，则与可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出，错误. 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象变换求得，根据周期公式判断A，求出函数的零点判断B，利用整体法结合正弦函数的性质判断C，利用代入检验法判断D. 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变， 可以得到，再将所得图象向右平移个单位长度， 可得到函数的图象． 对于A选项，函数的最小正周期为，A选项错误； 对于B选项，，，解得， 只有一个零点，B选项正确； 对于C选项，，，而在上不单调， 故在上并不单调，C选项错误； 对于D选项，，D选项正确． 故选：BD. 11. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为时， C. 周长的最小值是 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意得，，故的周长为，故A正确， 当的面积为时，有，即，故B错误， 周长为, 当三点共线，在之间时的周长最小，此时, 故周长的最小值为，故C正确， 直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立，得， 则，解得， 当时，直线与椭圆切点到直线的距离最大，即， 故面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【解析】 【分析】由等差数列通项公式基本量计算求得首项、公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得：  ① 由，得： ② 联立解得，，   . 13. 如图，已知斜四棱柱，底面是正方形，，，，，则图所示的几何体的体积为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为底面是正方形，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 所以 . 14. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不同状态下投骰子的结果建立状态转移方程，然后利用已知的终止状态逐步递推求解初始状态的成功概率. 【详解】定义状态i（ ）表示在停止事件（掷出1或6）发生之前， 已经观察到不同的数字来自集合的个数， 设为从状态i出发最终成功的概率（即最终在掷出1或6之前已经收集全4个数字）， 显然，当时，已经收集全4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出1或6时即成功，因此， 对于状态i（），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能： ①掷出数字1或6（概率为），此时停止，但由于尚未收集全4个数字（），因此失败，成功的概率为0， ②掷出一个已经出现过的属于的数字（概率为），状态保持不变， ③掷出一个未出现过的属于的新数字（概率为），状态转移到， 因此，从状态i出发，最终成功的概率满足方程： ， 化简得，移项得， 即 ． 利用，依次计算得 ， ， 因此，所求概率为． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后，利用两角和的正弦公式、诱导公式变形可得； （2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 整理得，又，， 所以 ，所以， 故的面积为． 16. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： （1）用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； （2）若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）该款大模型更有可能是语言模型. 【解析】 【分析】(1)依据图示可以得到多模态模型的个数与总数作比值；(2) (i)根据线性回归模型的计算公式代入数据；(ii)分别计算两款模型的值，比较即可； 【小问1详解】 由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为. 【小问2详解】 (i) 因为，，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以 所以， 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： (ii) 已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：， 所以.再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型. 17. 如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面ABCD. （2）设，三棱锥的体积为. （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直即可； （2）（ⅰ）利用三棱锥体积公式，结合导数来确定单调区间； （ⅱ）利用空间向量的运算来求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 因为AB，AD，AE两两垂直，且，平面ABCD， 所以平面ABCD， 又因为平面ACE，所以平面平面ABCD. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，所以. 因为，所以，. 由平面ABCD，得， 则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，此时，，，. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，. 设平面CDE的法向量为. 则，， 令，得. 设直线BD与平面CDE所成的角为， 则. 18. 已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）因为点A在抛物线Γ上，所以将点A的坐标代入抛物线方程，即可求解出p的值，进而得到Γ的方程. （2）（i）先求出直线OA的方程和过M的直线方程，联立这两个直线方程可求出点Q的坐标；利用中点坐标公式，可由M和Q的坐标求出点P的坐标. （ii）先联立直线OP与抛物线Γ的方程，求出点N的坐标；再根据M、N的坐标写出直线MN的方程，发现恒过一定点，F到这一定点的距离即为F到直线的距离最大值. 【小问1详解】 将点代入得，所以：. 【小问2详解】 （i）过M点斜率为2的直线， 直线方程，由得， 可得， 设，由得， 即，解得，所以. （ii）因为，所以直线方程为， 解方程组，得， 所以， 直线：， 整理得， 因此直线过定点. 又，所以， 所以点F到直线的最大距离为. 19. 已知函数，． （1）若有3个零点，求的取值范围； （2）设，为的极值点，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）数列满足，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由，得 ， 若为的极值点，则在有两个不等的实数根， 即 在有两个不等的实数根， 令，求导得 ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又 ，当时，， 当时， 在有两个不等的实数根，且. 所以当时，，时，， 所以函数在时，单调递增. 由 ， 得，令， 要证明，只需证明 ， 又， 所以由不等式，可得 ，所以， 进一步分析函数， 由， 所以若证明，等价于证明， 又，则， ， 所以函数在上单调递增，即只需证明，即， 由，得， 令，得，所以， 要证明：，等价于证明：，等价于证明 ， 即，所以，所以 ， 上式显然成立，所以； （ⅱ）由，得， 又，则 ，因此 ， 又，得，且， 函数在上单调递增，则。 所以数列单调递减，且， 对任意，， 利用递推关系，得， 所以，因此， 故 【解析】 【分析】（1）由，可得，通过换元得令，，进而可得当时，函数有一个零点，进而可得，求导分类讨论可求得的取值范围； （2）（ⅰ）求导结合已知得，令，利用换元得，，进而可证结论成立；（ⅱ）由题意可得，进而可得，结合可证结论. 【小问1详解】 由，得，即， 所以，所以， 令，令，又，， 若在上有3个零点， 则只需分析当时，函数有一个零点， ， 由于不符合题意，所以，由，解得， 而当时，，所以函数在上单调递增， 即与题意不符， 又当时，函数在上单调递增，，无零点，与题意不符合， 所以， 由，令，得，解得或，且，故， 又，当时，，函数单调递增， 当时，， 函数单调递减， 因为，所以，当时，， 由零点存在性定理，得存在，使得. 因此，存在，使得，且， 故当时，函数有3个零点，即有3个零点； 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市第一高级中学2026届高三热身训练一 数学 2026.5.25 胸藏数学底气，落笔皆是佳绩！放平心态作答，所愿皆能成真！ 注意事项： 1．答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的渐近线方程为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 已知函数若，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切.以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2）.若，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上只有一个零点 C. 在上单调递增 D. 点是图象的一个对称中心 11. 已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆C上任意一点，点，则下列结论正确的有（ ） A. 的周长为6 B. 的面积为时， C. 周长的最小值是 D. 面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则______． 13. 如图，已知斜四棱柱，底面是正方形，，，，，则图所示的几何体的体积为________． 14. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字1或6为止，则在掷出1或6之前，数字2，3，4，5每个都至少出现一次的概率为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 16. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： （1）用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； （2）若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 17. 如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面ABCD. （2）设，三棱锥的体积为. （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值. 18. 已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上. （1）求的方程； （2）已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令. （i）求点P的坐标（用t表示）； （ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值?若存在求其最大值.若不存在，请说明理由. 19. 已知函数，． （1）若有3个零点，求的取值范围； （2）设，为的极值点，． （ⅰ）证明：； （ⅱ）数列满足，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $