专题01 数列通项及求和（十大考点）（高效培优期末专项训练）数学人教A版高二选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦数列核心问题，以考点为纲系统覆盖周期性、通项求法、等差等比性质及综合求和，通过多样题型培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列周期性|5题|递推关系周期判断及求和|从特殊数列性质切入，建立“观察-归纳-验证”思维| |五大方法求通项|5题|Sn与an关系、递推公式转化|衔接函数与方程思想，体现转化与化归| |等差等比基本量|10题|量间关系计算及性质应用|夯实定义与公式，构建“知三求二”模型| |综合求和|10题|含绝对值、片段和及奇偶性问题|融合分类讨论与整体思想，提升推理意识|

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题01数列通项及求和 考点归纳 考点01数列周期性的考察 考点02五大方法求通项 考点03等差数列基本量的求算 考点04等差中项的应用 考点05含绝对值的等差数列求和 考点06和比项比及片段和问题 考点07等差数列奇偶性及最值 考点08等比数列基本量的求算 考点09等比数列片段和及奇偶性求算 考点10数列综合求和 考点专练 考点01数列周期性的考察 1.数列a满足a-治且4=1，则数列a的前35项的和5-() A.、23 B.- 251 C.-1765 6 8 6 D.-1771 8 2.已知数列a,满足a有a-名(aeN).则44a…as 3.(多选)已知X,与为方程-4红+1=0的两个实根，设a,+),下列结论正确的是() A.a3=26 B.存在k∈N,使得aak+2-a1=2 C.ao26的个位数字为7 D.a0%+为完全平方数 2 在数列4中，a=0,a三3+ah,则a= 1-√3an A.2V5 B.5 C.0 D.-V3 _2an-1 5.数列a,}满足a,4.+2,且a=l,则数列a,的前2027项的和S,=（） 1/6 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.-3531 B.- 3531 C.- 3533 D.- 3533 12 6 6 12 考点02五大方法求通项 6.记Sn为数列{a,}的前n项和，已知2Sn=(n+1)ana2=6,则a= 7.已知数列{an}的前n项和S。=n2+n+2,则数列an}的通项公式a,=一： 8.记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn+nan=4. (I)求{an}的通项公式： 2)记买为数列{}的前n项和，证明：7，<5. 9.已期数列a满足4=1.am-行a,aeN,是箭数 (1)当4=2时，求1及4的值； (2)当=2时，求数列{an}的通项公式. 10.已知首项为1的数列{an}满足a1=nan,则a2o27= 考点03等差数列基本量的求算 11.已知数列{an}是等差数列，3a。=a4+4,则a=() 入青 B.2 C.3 D.4 12.已知等差数列{an}满足a2=3,a4=6,则第10项ao的值为 13.设公差不为零的等差数列{an},前n项和为Sn,若S4=S,且2a+am=0,则m=() A.15 B.16 C.17 D.18 14.已知等差数列{an}和{bn}的前16项均为正整数，且公差均不为0.若a6+b=16,则ag+b6的最小值 为() A.32 B.16 C.12 D.8 15.已知an}是等差数列，且a;=11,41=-1,此数列的首项与公差依次为() A.19,-2 B.21,-2 C.15,-1 D.16,-1 考点04等差中项的应用 16.已知数列an}为等差数列，若an+a+1+am+2=6n+3,则ao=() A.15 B.17 C.19 D.21 17.己知函数f()对任意实数x,y满足fx+y+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1=2,则f(2026)=() A.0 B.1 C.2 D.4 18.已知等差数列{an}的公差0，若aa6=28,a2+a,=11,则公差d等于() A.4 B.3 C.2 D.1 2/6 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.在等差数列{an}中，a=1,a,=7,则a的值为() A.13 B.14 C.16 D.17 20.已知数列{a,}为等差数列，且a+a,+4,=2,则am(a+a)=（） A.5 B.-3 C.-V5 D.V3 3 3 考点05含绝对值的等差数列求和 21.(多选)已知数列{an}的前n项和S,=n2-3n,则() A.a1=-2 B.数列an}是等差数列 C.S,的最小值为4 9 D.a az a;+...+ajo 74 22.（多选)已知数列an}满足a+2a2+.+2-an=n2",则（) A.a1=2 B.{a}的前n项和为nn+2 2 C.{《-1)°a}的前100项和为50 D.an-5列的前30项和为357 23.(多选)已知递增等差数列an}的前n项和为S,a·a4=35,S。=36,则下列说法正确的是() A.a=2n-1 B.S,=n2 C.若bn=an-10,则b,+b,+b,+…+lbo的值为36 D.数列{(-1)”an}的前2026项和为2026 24.记Sn为数列{an}的前n项和，己知Sn=14n-n2. (I)求{an}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和Tn. 25.数列{an}的前n项和为Sn,Sn=-n2+9n+5; (1)求数列{an}的通项公式： (2)设Hn=a1+a2+…+an，求Hn 考点06和比项比及片段和问题 26.已知S,是等差数列{a,}的前项和，若a,=-2026, S9-Sn=6,则S6等于（） 20192013 A.-4052 B.2026 C.-2026 D.4052 27.设数列a}满足2a,=a+a(n≥2且neN),S是前项和，且S=6,a,=3,则=（) 2025 3/6 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1013 B.2025 C.1012 D.1011 28.已知等差数列a,6,的前项和分别为，，且=”+1， T,2n-i,则 a:+a0的值为（） ba+bs bs+b7 A. B. 2 3 C3 4 D.5 4 29.设等差数列an},bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 72n+5,则8+8。 S=3n+2 b S4_1 30.己知等差数列{an}的前n项和为Sn,且 9S12 A号 C4 1 D. 9 9 考点07等差数列奇偶性及最值 31.（多选)已知{an}为等差数列，记{an}的前n项和为Sn,前2n项中所有偶数项的和为T,且S,=T=15, 则下列说法正确的是() A.a2=1 B.T=2n2-2n+3 C.S2n=-1 1 D.若6，刀-S,则6+6+…+6，<1 32.在等差数列an}中，公差d=1,且a2+a4+a6+…+a1o=55,则a1+a3+a5+…+ag=（) A.5 B.50 C.60 D.105 33.已知项数为奇数的等差数列{an}共有n项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数n为() A.8 B.9 C.10 D.11 34.已知公差为9的等差数列{an}的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数 列{an}的项数为() A.20 B.40 C.60 D.80 35.(多选)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a4=4,S3=24,则() A.数列an}的公差为2 B.an=-2n+12 C.S,=-n2+11m D.当Sn取得最大值时，n=6或7 考点08等比数列基本量的求算 36.已知数列{an}是各项为正数的等比数列.若a-a3=6,a,-a2=1,则公比9=() A.2 B.3 C.4 D.5 37.(多选)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比9>1，前项积为T,下列说法中正确的有() 4/6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 A.若a=g则7=1 B.若a=2,T=1,则a={ C.若am=1m≥2)，则T2m=1 D.若T32a1,则a,≥1 38.已知数列{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a=b=2,则() A.b,b4≤a2a4 B.bb4≥a2a4 C.a2+a4≤b2+b: D.a2+a4≥b2+b 39.(多选)在等差数列口，中，公差为d,且，4，a,是公比为的等比数列，a=m,则() A.月= B.m=8 1 C.a =50 D.数列 adnl 的前1000项和大于 48 40.已知n(n≥4)个正数排成n行n列，a,表示第i行第j列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，每 1 3 一列的数依次构成等比数列，并且公比都为q.己知a4=1,a42 8a16 (1)求公比q: (2)记第n行的数所构成的等差数列的公差为dn,把4，d2,…,dn所构成的数列记为数列{dn},求数列 {dn}的前n项和Sn 考点09等比数列片段和及奇偶性求算 41.设等比数列{an}的前n项和为Sn,，若S=3,S6=12,则a,+a+a,=(） A.27 B.3 C.24 D.48 42.(多选)已知数列{a}是等差数列，Sn为其前n项和，{b}是等比数列，Tn为其前n项和，则必有() A.a2 +as+a=3as B.bbbbo=ba C.S6,S2-S6,Sg-S12成等差数列D.T,T2-T6,，T8-T2成等比数列 43.设等比数列(an}的前n项和为Sn,若S4=15,S,-S=480,则S等于() A.127 B.-255 C.-127 D.255 44.己知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则 41= 45.若等比数列{an}的前n项和Sn=2”+t,则该数列{an}的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的 比为() 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.月 C.341 170 B.2 D. 170 341 考点10数列综合求和 46.已知正项数列{an}满足4= 2g+3a4n2d=0 (I)求{an}的通项公式： 1 (2记b.=1og,a,-log2a -,求数列bn}的前n项和Sn 47.已知函数fx)=ei-e2+2x-3x'+x+1,{a,}是等差数列.0、A、B三点不共线.P、A、B三 点共线，向量OP=a,OA+a23OB,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2023)= 48.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a,=1,数列 是公差为一的等差数列. a 3 (1)求{an}的通项公式； ②设6=”：2，记数列6，的前项和为工，求使得7，>120成立的最小正整数的值。 an+ ( 49.已知数列{an}中4=1，an+1= an+n,n为奇数 3 an-3n,n为偶数 3 ()已知数列b,}满足b,=4-2,求证：{b,}是等比数列： (2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足S2m>0的所有正整数n. 50.(多选)已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值，且a+ao<0,a6a,<0,则() A.a1>0 B.a16+a1,>0 C.当n=16时，Sn取得最大值 D.Sn取得最小正值时n为33 6/6 专题01 数列通项及求和 考点01数列周期性的考察 考点02五大方法求通项 考点03等差数列基本量的求算 考点04等差中项的应用 考点05含绝对值的等差数列求和 考点06和比项比及片段和问题 考点07等差数列奇偶性及最值 考点08 等比数列基本量的求算 考点09 等比数列片段和及奇偶性求算 考点10 数列综合求和 考点01数列周期性的考察 1．数列满足，且，则数列的前2025项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式可知数列是周期为4的数列，进而分析求和. 【详解】因为，且， 则，，，， 可知数列是周期为4的数列，所以． 2．已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】根据递推公式求得周期，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 3．（多选）已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（    ） A． B．存在，使得 C．的个位数字为7 D．为完全平方数 【答案】ACD 【分析】选项A，根据韦达定理推导数列的递推关系，并求出即可；选项B，将的表达式代入，利用韦达定理化简得到通式后判断；选项C，计算前若干项的个位数字，找到周期，再根据周期取余得到对应个位数字；选项D，利用的表达式，结合的幂次的变形推导其结构，再代入判断是否为完全平方数. 【详解】由于是方程的根，则有： 两边同乘，可得递推关系：， 则，即 等式两侧同除以2，可得 故数列的递推公式：， ，. 选项A：，A正确. 选项B：化简，结合展开得： ，B错误. 选项C：依次计算可得：，，， ，， ， 经过计算，从往后，可得个位数循环节为：，即周期为6， 所以，余数为，对应个位数字为，C正确. 选项D：由 代入得： ，可得，是完全平方数，D正确. 4．在数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】求出数列前几项得出周期，再利用周期可得答案. 【详解】因为，， 所以，， ， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以. 5．数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列是周期为4的数列，由此求解即可. 【详解】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 考点02五大方法求通项 6．记为数列的前项和，已知，则___________. 【答案】12 【详解】当时，，所以，又，所以， 当时，由，得， 所以，所以， 所以. 7．已知数列的前项和，则数列的通项公式_____． 【答案】 【分析】通过与作差求出的通项，并在最后讨论该数列是否分段. 【详解】当时，. 当时，. 此时时， 所以. 8．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据的关系式进行求解，结合累乘法求出通项公式； （2）放缩得到时，，从而裂项相消法求和可得结论 【详解】（1）①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； （2），故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 9．已知数列满足，，是常数. (1)当时，求及的值； (2)当时，求数列的通项公式. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据递推公式建立方程，求出，代入求出； （2）利用累乘法求通项公式. 【详解】（1），所以， （2）当时，，即, 当时，， 所以，因为，所以， 经检验符合，所以. 10．已知首项为1的数列满足，则________． 【答案】 【分析】由题意得，利用累乘法可求得数列的通项公式，代入通项公式求解即可． 【详解】由题意得， 当时，， 由满足上式，故，所以． 考点03等差数列基本量的求算 11．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，， 12．已知等差数列满足，，则第10项的值为_____． 【答案】 【分析】先根据等差数列的两项求出公差和首项，再代入通项公式计算第10项即可. 【详解】设等差数列的公差为，，通项公式为. 由已知条件列方程： ， 两式作差得，解得， 代入得. 因此. 13．设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 14．已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（    ） A．32 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符，故数列是递减数列，即，而， 所以， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为16的情况下，， 解得，若或，满足题干所有条件， 若最小值为时，则，不可能，因公差必须是整数！ 若最小值为8时，则，由题设条件可推得，而已知，故，所以不可能为，故最小值不能为8. 综上的最小值为. 15．已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（    ） A．19， B．21， C．15， D．16， 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以数列的首项与公差依次为. 考点04等差中项的应用 16．已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，则， 所以. 17．已知函数对任意实数，满足，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】通过赋值法求出，，结合等差数列的性质可判断是以2为首项，公差为0的等差数列. 【详解】由题可知:，又，得， 又，得. 因为，所以， 又，， 所以数列是以2为首项，公差为0的等差数列，即. 18．已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】已知等差数列的公差，若，则， 又因为，解得或， 由于公差，因此，则，故B正确. 19．在等差数列中，，，则的值为（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【答案】A 【详解】在等差数列中，， 则. 20．已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质，可得的值，代入所求，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以，解得， 所以. 考点05含绝对值的等差数列求和 21．（多选）已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】由，可判定A正确；根据与的关系式，求得，结合等差数列的定义，可判定B正确；由得到，当时，，求得的最小值为，可判定C错误；由选项C的分析，结合等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】对于A，因为数列的前项和， 当时，可得，所以A正确； 对于B，当时，， 其中，适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以B正确； 对于C，由，令，即，解得， 所以数列满足：，，当且时，， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，由选项C的分析知：，，当且时，， 可得，所以D正确. 22．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【分析】对于A，即可求；对于B，再作差可得，结合利用等差数列求和公式即可判断；对于C，利用并项求和即可；对于D，求出其通项，再分别求出前项和以及后项和. 【详解】当时，，故A正确； 当时，， 两式相减可得：，所以， 当时，，符合上式，故， 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为： ，故D正确． 23．（多选）已知递增等差数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则的值为36 D．数列的前2026项和为2026 【答案】ABD 【分析】首先根据条件求和，再求等差数列的通项公式，以及前项和，再去绝对值求和，判断C，利用并项求和法判断D. 【详解】，即，又因为， 所以，或，， 又因为数列单调递增，所以，， 则，，故A正确； ，故B正确； ，设数列的前项和为， 当时，，当时，， 所以， ，故C错误； 数列的前2026项和为，故D正确. 24．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 25．数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 考点06和比项比及片段和问题 26．已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 27．设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 28．已知等差数列，的前项和分别为，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前项和的性质求解. 【详解】， 因为，则，， ，， 所以，即的值为. 29．设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 30．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用等差数列的“片段和性质”，即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和，则，，成等差数列， 又，得到，所以，，所以， 则. 考点07等差数列奇偶性及最值 31．（多选）已知为等差数列，记的前项和为，前项中所有偶数项的和为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的性质求出数列的通项公式，然后依次判断即可. 【详解】已知为等差数列，设等差数列的首项为，公差为，前项和为， 由于，根据等差数列前项和公式，有，化简得， 又因为前项中所有偶数项的和为，且，即，得，化简得， 联立，解得，所以数列的通项公式为， 对于A，，故A正确； 对于B，前项中所有偶数项的和为，即，其中构成首项为，公差为的等差数列， 因此，故B错误； 对于C，由于，， 所以，，即，故C正确； 对于D，已知，， 则，所以， 则，故D正确. 32．在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 33．已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 34．已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 35．（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出和公差，确定数列的通项和前n项和，再求得取得最大值时的值． 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 考点08 等比数列基本量的求算 36．已知数列是各项为正数的等比数列.若则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】设公比为，则，，则， 故化简后得，有， 所以或（舍）或（舍）. 37．（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比，前项积为，下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的性质及通项公式判断ABD，举反例判断C. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，解得， 所以，所以，故B正确； 取，则，，故C错误； 由等比数列性质知，所以， 若，则，即，由，所以，故D正确. 38．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列及等比数列下标和性质结合基本不等式计算求解判断. 【详解】数列为等差数列， 数列为等比数列， ．又 ．当且仅当时取等号，A错误，B正确． 当时，； 当时，，当且仅当时取等号， 与的大小不确定，所以C，D，错误； 39．（多选）在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（   ） A． B． C． D．数列的前1000项和大于 【答案】BC 【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D. 【详解】由题意知，，，. 因为，，是公比为的等比数列，所以，，， 即，， 解得，，故B正确. ，故A错误. ，，，故C正确. 因为为等差数列，所以. 所以， 则数列的前项和 . ，故D错误. 40．已知个正数排成n行n列，表示第i行第j列的数，其中每一行的数依次构成等差数列，每一列的数依次构成等比数列，并且公比都为q．已知，，． (1)求公比q； (2)记第n行的数所构成的等差数列的公差为，把，，…，所构成的数列记为数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 通过每一行的数依次构成等差数列，求出，结合每一列的数依次构成公比都为q的等比数列，以及，求出公比q； （2）通过，求出，得到数列是一个等比数列，再应用等比数列求和公式算出数列的前n项和. 【详解】（1）因为，， 所以第4行的数所构成的等差数列的公差， 所以，则，又，所以． （2）由(1)知，因为， 所以，所以，得；， 所以，，得 ，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则数列的前n项和． 考点09 等比数列片段和及奇偶性求算 41．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．27 B．3 C．24 D．48 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则，与的题设矛盾，故； 根据等比数列前项和公式可得 ① ， ② ； 将②除以①，化简得，解得； 又. 42．（多选）已知数列是等差数列，为其前项和，是等比数列，为其前项和，则必有（ ） A． B． C．，，成等差数列 D．，，成等比数列 【答案】ABC 【分析】借助等差中项与等比中项性质可得A、B；借助等差数列求和公式及等差数列定义计算可得C；举出反例可得D. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：设等差数列的公差为，则， ， ， 则，， 即有， 故，，成等差数列，故C正确； 对D：当时，有， 故此时，，不成等比数列，故D错误. 43．设等比数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．127 B． C． D．255 【答案】D 【分析】结合已知条件及等比数列的性质求出公比，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 因为，， 所以，解得， 所以． 44．已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 45．若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 考点10 数列综合求和 46．已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出， 即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一结果得出， 即可得出，根据裂项相消法得出答案. 【详解】（1）因为，所以， 又为正项数列，所以，即， 又因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知，所以，则 所以， . 47．已知函数，是等差数列．、、三点不共线．、、三点共线，向量，则__________． 【答案】2023 【分析】先利用三点共线的向量性质得到，再结合等差数列性质和的对称关系，配对求和并加上中间项，即可得到结果. 【详解】因为、、三点共线，向量，所以， 又因为是等差数列， 所以，且， 因为， 所以， 所以， 且， 所以. 48．已知数列的前项和为，且，数列是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求使得成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到，再由与间的关系，即可求解； （2）利用裂项相消法得到，再由数列的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为，数列是公差为的等差数列，所以， 则，当时，， 整理得到，则，所以数列是常数列， 又，则，所以． （2）由题意知， 所以， 又， 所以是递增数列， 又，， 所以使得成立的最小正整数的值为． 49．已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． 【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列； （2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数. 【详解】（1）证明：， ， 又 是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故， 即， 由，得， ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，， ∴当时，； 综上，满足的所有正整数为1． 50．（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 【答案】AC 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为，则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得，， 由，可得，所以取得最小正值时为31，故D错误. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $