压轴03 期末真题·立体几何·百练通关（40题4大压轴题型）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦立体几何期末压轴，4大题型40道真题系统覆盖平行垂直证明、空间角计算、球综合及动态翻折问题，以题载知，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面平行与垂直综合证明|10题|含翻折背景下的面面垂直证明、中点线面平行判定|从线线平行/垂直推导线面、面面关系，构建空间位置关系证明体系| |空间角计算|10题|涉及异面直线角、线面角、二面角的动态范围问题|以空间向量或几何法为工具，实现空间角与平面几何量的转化| |外接球内切球综合问题|10题|包含折叠体、锥体的外接球体积计算及多面体与球的切接|结合几何体结构特征，运用补形法、勾股定理建立球半径等量关系| |动态/翻折/截面/最值问题|10题|涵盖翻折过程中二面角变化、动点轨迹及体积最值|通过动态变化分析空间几何量的不变性与变量关系，培养空间想象与转化思想|

压轴03 期末真题·立体几何·百练通关（40题4大压轴题型） 题型1 线面平行与垂直综合证明 题型3 外接球内切球综合问题 题型2 空间角计算（异面直线/线面角及二面角） 题型4 动态/翻折/截面/最值问题 题型1 线面平行与垂直综合证明（共10小题） 1．（2026·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． (1)求证：平面平面； (2)若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①② 【分析】（1）先证明平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面； （2）①在平面内过点作，交于点，连接．先证明是二面角的平面角，再计算，由即得所求； ②延长至点，使，则，在平面中，过点作于，证得平面，点在四边形内，根据可求的最小值． 【详解】（1）在翻折过程中，，平面，平面， 所以平面． 又因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面． （2）①如图，在平面内过点作，交于点，连接． 因为点是点在平面上的射影，所以平面， 因为平面，所以， 又，，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 则翻折前、、三点共线，且， 所以，， 所以． 延长至点，使，则， 在平面中，过点作于， 由①知平面，即平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面， 所以平面， 所以（当且仅当点与点重合，且点为线段与平面交点时取“”）， 因为， 所以，所以，所以点在线段上， 所以点在四边形内， 此时 ， 综上，最小值即为，长为， 所以的最小值为． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 3．（24-25高一下·江苏·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行； （2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值. 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 【答案】(1)图形解析，过程见解析； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）取棱的中点，在正方体上底面内过点作直线，使得，由平行线的传递性，得解； （2）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解； （3）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证. 【详解】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得， 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 所以.    （2）取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . （3）因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，， 所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行判定定理，构造平行四边形，推出平行于平面内的直线，结合不在平面内即可得证； （2）由底面及可得面，则为与面的夹角，由（1）知为直线与平面的夹角. 【详解】（1） 设中点为，又因为是的中点，所以且， 因为底面是菱形且是的中点，所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形，所以， 因为，面，面，所以面. （2） 设中点为，又因为是中点，所以， 因为面，面，面，所以，. 又因为，所以，， 因为，，，面， 所以面，所以是直线与面的夹角. 又由（1）知，所以是直线与面的夹角， 由已知得三角形中，，，所以三角形是等腰直角三角形. 又因为是中点，故，因此直线与面的夹角为. 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)点为棱的中点，理由见解析 (2) 【分析】（1）点为的中点，连接中点与点，则为中位线，则，根据线面平行判定即可求解； （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解. 【详解】（1） 点为的中点，设与相交于点，连接，则为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 7．（24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅰⅰ） 【分析】（1）先由面面垂直性质得平面，进而得到，再结合等腰三角形性质得，最后由线面垂直判定得平面，从而根据面面垂直判定完成证明. （2）（ⅰ）由线面平行性质推出，确定为中点，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而得到向量、，求与两向量都垂直的向量，利用公式算出异面直线、距离 （ⅱ）根据外接球球心性质求出球心坐标与半径，再利用法向量求球心到平面距离，最后由勾股定理求截面圆半径并计算面积. 【详解】（1）平面平面，平面平面，， 且平面，则平面， 因为平面，则，又，，则， 因，平面，则平面， 又平面，故平面平面． （2）（ⅰ）由平面，平面平面，平面，则， 故为的中点，取的中点O，连接，， 则平面，因平面，则， ，平面，所以平面， 故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x，z轴，过O作的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意，，，，，，， ，， 设与，向量都垂直，则 令得， ， 则异面直线AF，PC的距离． （ⅱ）由底面为正方形，设外接球球心为， 由得，得， 则球半径， 由（2）知平面的法向量为， 则球O到平面距离为， 则球O截平面所得圆的半径， 则截面圆面积为． 8．（24-25高一下·江苏·期末）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取中点为，连接,证明平面平面即可证明结论； （2）取中点为，连接，证明为二面角的平面角，再根据余弦定理求得即可求得答案. 【详解】（1）证明：取中点为，连接, 因为点为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为在平行四边形中，点为的中点，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面 又，平面 所以平面平面， 又平面， 所以直线平面 （2）解：取中点为，连接 因为，中点为 所以，是等边三角形， 所以，即为二面角的平面角. 在中，，由余弦定理有： ， 即，解得， 又在中，，在内，. 所以在中，，即为等边三角形， 所以，即二面角的大小为. 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）连接交于，因为E为劣弧CB的中点，所以是中点， 又是中点，所以，即 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，所以是直线与底面所成的角，， 又平面，所以 因为，所以，所以. 10．（24-25高一下·江苏·调研）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）作出辅助线，利用平行四边形证明线线平行，再由线面平行的判定定理得证； （2）作于，证明即为点面距离，再由直角三角形求解即可. 【详解】（1）取的中点，连结，    因为是中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 所以，因此四边形为平行四边形， 所以. 又因为平面，平面，所以平面. （2）作于，由（1）知平面即为平面，    因为平面，平面，所以. 又因为，，所以平面. 因为平面，所以. 又因为，，平面，所以平面， 所以即为点到平面的距离。 因为平面，平面，所以 在中，， 所以， 所以. 题型2 空间角计算（异面直线/线面角及二面角）（共10小题） 11．（24-25高一下·江苏南京·联考）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）只需证明，再结合平面平面以及面面垂直的性质即可得证； （2）由线面平行的性质得，所以，进一步即可求解； （3）由二面角的定义说明是二面角的平面角，设，结合的取值范围得，由线面角的定义说明为直线与平面所成的角，进一步得，结合的范围即可求解. 【详解】（1）如图，连接，因为为等边三角形，是的中点，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2）连接交于点，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，则， 因为，，所以，故． （3）如图，取的中点， 因为平面，，平面，所以，． 又，分别是，的中点，所以， 由，得， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，则， 所以是二面角的平面角，即． 因为是边长为6的等边三角形，所以． 设，则，，得， 过作交于，连接，由平面，得平面， 所以为直线与平面所成的角，即． 由得，， 在中，． 在中，由余弦定理可得， 所以，所以 因为，所以， 所以的取值范围为． 12．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在棱长为6的正方体中. (1)求证：； (2)若平面，求证：点为的中心； (3)若点是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方体的结构特征证得，，再由线面垂直的判定定理证得平面，即可证明. （2）由（1）进一步证得平面，结合正方体几何特征证明，进而得到为的外心，根据为正三角形的外心，即可得到为正的中心. （3）首先、的长，再根据，求出，再由（2）得出线面角为，求解即可. 【详解】（1）如图，连接，因为四边形为正方形，则， ∵平面，平面，则， 因为，平面，， ∴平面，∵平面，∴， （2）如图，由（1）知，，同理可证， ∵，平面，平面. 则平面，∵， ∴，∴， ∴E为的外心，∵， ∴是正三角形，∴E为正的中心. （3）如图，由（2）知E为正的中心，， 在中，由正弦定理得，， ， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， 即，，∵， 即， ∵，解得：， 所以，点P的轨迹是以点E为圆心，半径为1的圆， ∵平面，所以，与平面所成的角为， 而，∵， 故直线与平面所成角正切值为. 13．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点. (1)求证：平面平面； (2)若是线段的中点，求与平面所成的角； (3)若平面，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)与平面所成的角为； (3) 【分析】（1）得到PA⊥平面ABCD，根据四边形为矩形，得到AE⊥ED，又因为PA⊥ED进而得到ED⊥平面PAE，可推得面面垂直； （2）证明，连接点与的中点，交与点，证明平面，结合线面角的定义求与平面的夹角，由此可得结论； （3）延长，交于点，结合线面平行性质定理证明，由此可求． 【详解】（1）证明：直角梯形中，，，，A是的中点， 故，四边形为矩形，所以， 因为，，平面， 所以平面． 又为边的中点，所以， 故为等腰直角三角形，， 故，． 又由平面，平面，得， 且，平面 所以平面， 而平面，故平面平面． （2）因为为的中点，为的中点， 所以， 所以与平面所成的角与与平面所成的角相等， 连接，点为线段的中点，交与点， 因为四边形为矩形，，点分别为线段的中点， 所以四边形为正方形，所以，即， 由（1）平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 设，则，，， 在中，，，， 所以，又， 所以， 所以与平面所成的角为； （3）延长，交的延长线于点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，所以， 因为，故，又为线段的中点， 所以，又，为线段的中点， 所以， 所以， 14．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图所示，为圆的直径，，圆所在的平面，为圆周上与点，均不重合的点，于，为线段上任一点. (1)求证：平面平面； (2)已知，（为常数），设直线与平面所成角为，当变化时，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）作出直线与平面所成角，表示出该角的正弦值的表达式，结合三角代换以及对勾函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）∵圆所在的平面，平面，∴， 又∵为圆的直径且为圆周上与点，均不重合的点，∴， ∵，，平面，平面，且， ∴平面， ∵平面，∴， 又∵，且，平面, ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）过点作的垂线交于点，连接， 由于平面，平面，故平面平面， 平面平面，平面，得平面， 故直线与平面所成角为，即 ，设且， 则，， 因圆所在的平面且，故， 故， 因此， 令且，则，， 故， 因，所以，当且仅当“”时，等号成立， 故， 因此的最大值为. 15．（24-25高一下·江苏·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连结交于，连接，推导出，利用线面平行判定定理证明平面； （2）根据，可得直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，可得为直线与平面所成的角，利用直角三角形中易求． 【详解】（1） 连接，交于O，连结， ∵四棱锥的底面是边长为1的正方形， ∴O是的中点，∵为的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面； （2）∵，∴直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 底面，∴为直线与平面所成的角， ∵，∴， ∴直线与平面所成的角等于. 16．（24-25高一下·江苏·期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，此时点是线段的中点且 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【详解】（1）如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. （2）因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 17．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得. （2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2)证明见详解. (3) 【分析】（1）利用线线平行证得平面，再结合线面平行的性质加以证明； （2） 由线线垂直，,,再结合线面垂直的性质加以证明； （3）利用中位线将两条线与平移到一个三角形，根据余弦定理求解 【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以； 又因为平面，平面，所以平面； 而平面，平面平面，故,所以. （2）因为，所以为边长为4的等边三角形， O为线段AC的中点，所以； 又因为，，故； 在中，，所以； 而，平面ABC，所以平面. （3） 取中点，连接，于是是中位线，则， 于是与所成角即为，由题知，， 又，由三线合一，，做完， 同理，在中，由余弦定理 故直线与所成角的余弦值为. 19．（24-25高一下·江苏无锡·调研）已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求直线和平面的夹角的正弦值； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)证明见解析；(3)存在点，且，使得平面. 【分析】（1）根据线面角定义得出线面角为，再结合边长关系计算求解； （2）在直角梯形中，过点作于，根据得到，利用线面垂直的性质得到，从而得到面，再利用面面垂直的判定即可证明平面平面. （2）存在点，且，则在上取点，使，连接，，，易证，，从而得到平面，平面，利用面面垂直的判定得到平面平面，从而得到平面． 【详解】（1）四棱柱是直四棱柱，所以平面， 所以直线和平面的夹角为， 在直角梯形中，过点作于，如图所示： 由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形，所以， 所以， 在中， 所以； （2）由，，，， 得为等腰直角三角形，所以四边形为正方形， 所以，，所以， 所以， 从而得到， 在直四棱柱中，平面，平面， 所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （3）存在点，且，使得平面， 则在上取点，使，连接，，，如图所示： 此时，， 所以，即， 在平面中，，所以， 此时由，平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 20．（24-25高一下·江苏·期末）类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 【答案】(1)(2)存在，，理由见解析(3)证明见解析 【分析】（1）证明平面⊥平面，故二面角的大小为，为等边三角形，，代入公式，求出的值； （2）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和正弦定理得到，再利用余弦定理得到方程，求出，得到答案； （3）分两种情况，当过点和不过点，由（1）及三面角公式可得，又，所以，证明出结论. 【详解】（1）设，连接， 因为底面为菱形，所以，，为的中点， 又，为公共边，所以≌， 所以，⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面， 故二面角的大小为， 又，则，， 又，所以为等边三角形，， 由三面角余弦定理得 ； （2）存在，，理由如下： 由三面角余弦定理得， 即，， 显然为锐角，故， 在中，由正弦定理得， 即，故， 由余弦定理得， 即，解得（负值舍去）， 此时，使得； （3）由题意得，设平面内任一条直线为， 当过点时，记与的夹角为，， 由（1）及三面角公式可得， 因为，所以， 又，所以， 当不过点时，过点作，记与的夹角为，， 则， 又，所以， 综上， 题型3 外接球内切球综合问题（共10小题） 21．（24-25高一下·江苏无锡·期末）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 22．（24-25高一下·江苏·期末）将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该杯状容器的深度为，则当冰球完全融化为水时的深度约为（   ） 参考数据：，，，， A．0.48h B．0.54h C．0.66h D．0.72h 【答案】C 【分析】先求出正四面体的内切球（冰球）体积，再利用体积守恒，结合相似小正四面体的体积比与高比的立方关系，代入参考数据计算出融化后水的深度. 【详解】容器是顶点朝下的正四面体，深度为正四面体的高， 冰球与容器的4个面都相切（盖子恰好盖上），因此冰球是正四面体的内切球. 设正四面体边长为，内切球半径为，则由得， ，冰融化体积近似不变，即水的体积. 水在容器中形成与原容器相似的小正四面体，相似体体积比等于相似比的三次方： ， 其中原正四面体（容器）体积，代入化简： ， 整理得： ，所以， 代入参考数据， ， 计算得，最接近选项. 23．（24-25高一下·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出外接圆半径，再利用几何体的结构特征求出球心到平面的距离，并求出球半径，进而求出球的体积. 【详解】在三棱锥中，，由正弦定理得外接圆半径， 由平面，三棱锥外接球球心在线段的中垂面上， 得该中垂面平行于平面，因此球心到平面的距离为， 则该外接球半径，所以三棱锥外接球的体积为. 故选：D 24．（24-25高一下·江苏常州·期末）若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（    ） A．2cm B． C．3cm D． 【答案】B 【分析】求出铁球的半径，再结合等体积法即可求解. 【详解】设所求为，铁球的半径为，则，解得， 所以，解得. 故选：B. 25．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得． 由圆锥的高为3，得，即，解得， 因此球的半径，体积为. 故选：B 26．（24-25高一下·江苏南京·调研）（多选）在菱形中，.将菱形沿对角线折成大小为（）的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积的最大值是 B．的取值范围是 C．四面体的表面积的最大值是 D．当时，球的体积为 【答案】AD 【分析】求出当时，四面体的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用余弦定理可判断B选项的正误；利用时，四面体的表面积的最大，可判断C选项的正误；求出球的半径，利用球体的体积公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A，，，则为等边三角形， 取的中点，则，同理得，为等边三角形，则， 且，， 于是二面角的平面角为， 设点到平面的距离为，则， ，当且仅当时取等号， 即四面体的体积的最大值是，A正确； 对于B，由余弦定理得， 因此，B错误； 对于C，，由，，得≌， 则， 因此四面体的表面积的最大值是，C错误； 对于D，设、分别为、的外心，则， 在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点， 由，，平面，得平面， 而平面，则，又，平面， 于是平面，同理得平面，则为四面体的外接球球心， 连接，由，，，得≌， 因此，，而平面，平面，， 则，即球的半径为，球的体积为，D正确. 故选：AD. 27．（24-25高一下·江苏南京·联考）已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由已知易得四点均为长宽高分别为三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的体积公式可得答案. 【详解】因为平面，， 所以四面体的外接球半径等于以为长宽高的长方体的顶点的外接球， 又球的体积为，即，所以， 所以， 所以. 故选：B. 28．（24-25高一下·江苏·期末）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（    ） A．7 B．8 C． D．10 【答案】C 【分析】依题意可知为直角三角形且其外接圆的半径为，根据题意可求得点到平面的距离为，由求得半径求出过的截面圆半径，即可得出结论. 【详解】因为球的体积为，所以球的半径满足，可得； 又，因此，即，此时； 设点到平面的距离为，则，可得， 因为在球的截面圆上，设截面圆所在的平面为，当与平面平行时，有最大值； 设球心到平面的距离为，而的外心即为的中点，外接圆的半径为， 则，故球心到平面的距离为， 可知截面圆半径为； 设在平面上的射影为，则的轨迹为圆，如下图所示：    设该圆圆心为，则当三点共线时且点在中间时，最长， 此时，故线段长度的最大值为. 故选：C 29．（24-25高一下·江苏南京·期末）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正八面体的几何特点求得该几何体的球心，再由球的体积计算公式求得球半径，结合球半径和棱的关系，以及三角形面积计算公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，作正八面体如下所示，连接，设， 根据其对称性可知，过点， 又该八面体为正八面体，则面，又面，故； 显然正八面体的外接球球心为，设其半径为，， 则，在直角三角形中，； 由可得，则； 故该八面体的表面积. 故选：D. 30．（24-25高一下·江苏南京·月考）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是______．    【答案】 【分析】依题意，利用勾股定理与正四棱柱的对称性得到关于的方程组，再利用球的体积公式即可得解. 【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为，外接球的半径为，    因为底面边长为，所以底面的对角线长为. 则，解得， 所以外接球的体积为. 故答案为：. 题型4 动态/翻折/截面/最值问题（共10小题） 31．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． (1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解； （2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可； （3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可. 【详解】（1）在线段上截取，由， 可得四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 因为平面，又，则平面平面， 因为平面，所以平面， 又N为棱的中点，所以为的中点， 则，即. （2）由，，则， 过作平面于点，过作于点，连接， 由平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则为二面角的平面角，， 在中，， 由等面积法可知，，， 而，. （3）设，则， 在中，由等面积法可知， ， 在矩形中，， 过点作于， 易得，， 设二面角的大小为，则， 由于，则， 即二面角的正切值的取值范围为． 32．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知先证明平面，然后由面面垂直的判定即可证明； （2）过点作，垂足为，由线面垂直的性质及判定得出为四棱锥的高，再根据四棱锥体积公式即可求解； （3）连接，过点作，垂足为，连接，得出二面角的平面角为，即可求解. 【详解】（1）因为，分别是，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为平面，所以平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）过点作，垂足为， 因为平面，直线与平面所成的角为， 所以，所以， 所以，则，所以， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以四棱锥的体积； （3）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 由（2）知，为等边三角形，则点为中点，， 在中，， 在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 33．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质得出平面，可得出直线与平面所成角，求出、的长，即可求解； （2）取的中点，连接、，则，证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立； （3）过点在平面内，作垂直于直线，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知二面角的平面角为，计算出三边边长，即可求得的余弦值. 【详解】（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 34．（2025·江苏·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿对角线折起，当且，则三棱锥的表面积最大时，取的中点，连接，利用余弦定理求得，过球心作平面，则为等边三角形的中心，由与都是边长相同的等边三角形，由二倍角公式可得，利用勾股定理得、球的半径，最后由球的体积公式计算可得答案. 【详解】 由题意，因为是菱形，，， 则，是等边三角形，面积固定， 当且时，和的面积最大， 即三棱锥表面积最大， 因为，则， 取的中点E，连接， 则， ， 如图，过球心作平面，则为等边三角形的中心， 则，所以， 又，所以，， 在中，，则， 由勾股定理得， 所以球的半径， 所以三棱锥的外接球的体积为. 故选：C． 35．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（    ） A．当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B．存在某个位置，使 C．当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D．当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】取的中点，证得平面，又由， 证得平面，证得平面，故平面，可判定A正确；假设存在某个位置，使，连接，取的中点，连接，证得，进而可判定B错误；根据题意，得到平面平面时，此时四棱锥体积最大，可判定C正确；求得二面角—DE—B的平面角 ，得到，在中，利用余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，取的中点，连接，可得四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 又因为分别为和的中点，所以， 同理可得平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 所以与平面垂直的直线必与直线垂直，所以A正确； 对于B中，假设存在某个位置，使，连接，取的中点， 连接，可得，又因为，， 所以平面，因为平面，所以，必有， 但，两者不等，所以不可能有DE，所以B错误； 对于C中，由是等腰直角三角形，则到的距离是， 当平面平面时，此时四棱锥体积最大， 点到平面的距离为，所以C正确； 对于D中，由，且，可得二面角—DE—B的平面角， 当二面角—DE—B的大小为时，即 ， 因为，所以为等边三角形，可得， 又由，所以异面直线与所成得的角， 即为直线与所成得的角，即， 则，所以D正确． 故选：ACD. 36．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】①由题设结合线面垂直的判定证平面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②若是的中点，应用平行四边形的性质有，可知与的夹角为或其补角，进而求其大小；③根据①②的分析，当平面时最大，求其最大值；④确定F的轨迹与到的轨迹相同，且到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆，即可求轨迹长度. 【详解】对于①：由，，为边的中点知且， 易知，，而，平面， 故平面，又平面，所以平面平面，故①正确； 对于②：若是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且，即为平行四边形， 故，所以与的夹角为或其补角， 若为中点，即，由①分析易知， 故与的夹角为，故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当平面时，最大， 此时，故③错误； 对于④：由②分析知：且，故的轨迹与到的轨迹相同， 由①知：到的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，而为中点， 故到的轨迹为以中点为圆心，为半径的半圆， 所以的轨迹长度为，故④正确. 故选：C. 37．（24-25高一下·江苏·期末）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，求出，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 因为，所以， 因为，，， 所以四边形为矩形，所以， 又因为，所以，即， 因为，，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 38．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）（多选）已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角尺（Rt△ACD和Rt△BCD）组成的三角形，如图所示，其中∠ACD＝45°，∠BCD＝60°.现将Rt△ACD沿斜边AC进行翻折成△D1AC（点D1不在平面ABC内）.若M，N分别为BC，BD1的中点，则在△ACD翻折过程中，下列说法正确的是（　　）    A．在线段BD上存在一定点E，使得AD1∥平面MNE B．存在某个位置，使得直线AD1⊥平面BCD1 C．不存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60° D．对于任意位置，二面角D1BCA始终不小于直线AD1与平面ABC所成角 【答案】ABD 【详解】 解析：当E为AB的中点时，AD1∥NE，AD1⊄平面MNE，NE⊂平面MNE，即有AD1∥平面MNE，故A正确；由于AD1⊥D1C，当AD1⊥D1B，且D1B＜AB时，D1C∩D1B＝D1，可得直线AD1⊥平面BCD1，故B正确；假设存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60°，由AD1∥NE，过E作EH∥DM交BC于H，可得∠NEH＝60°，设CD＝AD＝1，则AC＝，BD＝，BC＝2，可得NE＝，DM＝1，EH＝，连接NH，则NH＝＝＞NM＝，故C不正确；过D1作D1O⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，过O作OF⊥BC，垂足为F，连接D1F，可得∠D1AO为直线AD1与平面ABC所成角，∠D1FO为二面角D1BCA的平面角，tan ∠D1AO＝，tan ∠D1FO＝，而OA≥OF，可得≤，则任意位置，二面角D1BCA始终不小于直线AD1与平面ABC所成角，故D正确．    39．（24-25高一下·江苏南通·期末）中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿EF，向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. (1)证明: 平面平面； (2)证明: ，，，共面； (3)若 求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知易证平面，进而可证结论． （2）取中点，中点，连接连接，证明出四边形，，为平行四边形，可得出，由此得出结论成立； （3）过点作，垂足为，证明出平面，可知是三棱锥的高．求出、，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积； 【详解】（1）因为，， 又，平面，， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （2）取中点，中点，连接， 则， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以，，，共面． （3）过点作，垂足为， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 因为，平面，， 所以平面， 即是三棱锥的高． 由（1）的图，在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积 ． 40．（24-25高一下·江苏·期末）如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】利用反证法可判断A；由二面角的变化可判断B；利用反证法结合面面平行的性质可判断C；利用面面垂直的判定定理可判断D． 【详解】对于D选项，翻折前，，， 翻折后，，， 因为，、平面，则平面， 因为平面，所以平面平面，故D正确； 对于B选项，因为，， 则二面角的平面角为， 在翻折的过程中，的大小会发生变化，故与不一定垂直， 所以与平面不一定垂直，故B错误； 对于A选项，设， 在图一中，， 又因为，所以，， 因为，所以， 所以，则， 在图二中，过点在平面内作，交于点，连接， 则，故，则， 因为，所以不是的中点， 因为，，则， 若，因为，、平面， 则平面， 因为平面，所以， 因为、平面，且，所以， 因为为的中点，则为的中点，与已知矛盾，故A错误； 由选项A知，因为，平面，平面， 所以平面， 若平面，则，、平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，则， 因为为的中点，则为的中点，与已知条件矛盾，故C错误． 故选：D． 1．如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）当平面平面时，棱锥体积最大，求出棱锥高即可得解； （2）过作于，连接，证明平面，得出即为直线与平面所成角，解直角三角形得解； （3）当三棱锥表面积最大时，作出二面角的平面角，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）要使三棱锥的体积最大，即点到平面的距离最大． 所以平面平面， 取中点，连接， 则，又为交线，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ，，， （2），，,平面， 平面，由平面， ，， 过作于，连接， 平面，，又，平面， 平面，即为直线与平面所成角， 在等腰三角形中，， 所以， 则， 所以， 设直线与平面所成角为，故. （3）设， 则， 即① 令② ①②得 ， 取最大值时,即三棱锥的表面积最大时，，代入①式得， 过作，连接，且，过作，交于，如图， 则二面角的平面角为， 因为， ，， 所以． 2．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明线线平行，从而证明线面平行； （2）通过相似三角形从而确定动点的位置，进而根据体积之间的比例进行求解； 【详解】（1），平面， 平面，面， 面，面面，， 面，面，面. （2）如下图所示，连接交于点，连接，作交于， 设，平面，平面， 平面平面，， 在梯形中，，， ，，，即， 可得 ，故. 3．正四棱台的高为2，，，点，，均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为．（坐标法不给分） 引理：最小角定理——斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角． (1)点的轨迹长度； (2)若，求到直线的距离； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】(1)通过斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的来确定线面的角度，并在求出后对半径求解. (2)通过长度计算判断其与圆轨迹相切，并通过线面垂直等来计算点到线的距离. (3)通过线面平行将和同时平移到平面上，计算出的最小值后求出的最小值. 【详解】（1）由题意得，直线与平面所成角的正切值为． ∵正四棱台，，． 又因为，平面, 面，而平面，. 作于，，，面 面. ∵棱台高为2，，求得. ， 直线与夹角的正切值的最小值为， 的轨迹为以为圆心，的圆， 轨迹长为． （2）， ， 与圆相切． 延长，分别交于， 因为,,, 所以与全等， 设，， ，解得即， 所以 平面， 平面， ， 因为， ，， 平面 ， 所以平面 ，又平面，所以 . 因为，所以为中点. ． ． 综上所述，到直线的距离为或1． （3）在面内的射影为的中点，记为，且面， ∴记在面内的射影为，满足且． 当，，三点共线时，， ，，， ． 【点睛】本题主要通过最小角定理，线面平行，线面垂直等几何关系将题目中的线段长度进行平移以及求解. 4．四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定四棱锥外接球的半径，再分析外接球被平面所截的截面圆半径的取值范围，进而得到截面面积的范围. 【详解】由题意可知， 在中，， 故， 在中，， 故， 因此都在以为直径的球面上， 四棱锥的外接球直径就是，得外接球半径，球心为中点， 又因为，，故是等边三角形，为中点， 由等边三角形三线合一的性质，球心到直线的距离为定值， 对于任意过直线的平面，球心到平面的距离满足：， 所以对应平面，存在且不与其他顶点重合，保留， 若，则球心在平面内，由共线得也在平面内， 此时与重合，不构成四棱锥，故， 由球的截面性质，截面圆半径满足：， 代入的范围得：，故截面面积. 5．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解； （2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）． 其中漏斗锥体部分的高米， 所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径， 过点作，交的延长线于点，连接， 则米，米． 在直角中， 可得（米）， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）． 6．如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 【答案】6 【分析】作辅助线，得出截面图形，再由侧面与沿着展开，利用两点间距离最短求周长最小值. 【详解】在长方体的棱上取一点，满足，连接，． 因为，，，所以，同理可证． 则四边形为平行四边形，且是过，，三点的平面截长方体所得截面,则周长．将侧面与沿着展开，得侧面展开图如图, 当，，三点共线时，有最小值，． 7．如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【分析】由题意找出过三点的平面与侧面的交线线段，证明G为靠近C的三等分点，再由已知求解三角形可得正四棱锥的底面边长与侧棱长，然后求解外接球的半径，代入球的体积表面积公式得答案． 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H，连接交于G， 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面中，过C作，交于K，则， 所以， 由已知可得，四棱锥为正四棱锥， 在等腰三角形中，由，得， 设，则，，， ， 在中，由余弦定理可得，，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6， 连接，相交于M，连接，则为正四棱锥的高，则， 设四棱锥外接球的球心为O，连接，则，解得， 所以该四棱锥的外接球的体积为． 8．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 【答案】ABD 【详解】根据三棱锥体积公式计算判断A，应用向量关系证明线线平行判断B，应用线面平行及边长计算判断C，结合墙角模型补成长方体计算判断D. 【分析】对于A，当是线段的中点，此时点到平面的距离为2， 所以，A正确. 对于B，若，又，且平面， 则， 点的轨迹是正方形内以点为圆心，1为半径的四分之一圆弧， 的轨迹长度为，B选项正确； 对于C，取线段的中点，线段的中点， 当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， ，，平面，所以平面平面， 平面，平面， 此时有，，，， 所以为直角三角形，当位于点时，长度的最小值是，C错误. 对于D，因为平面，把三棱锥补成长方体， 则直径长为， 则球的表面积为，D正确. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴03 期末真题·立体几何·百练通关（40题4大压轴题型） 题型1 线面平行与垂直综合证明 题型3 外接球内切球综合问题 题型2 空间角计算（异面直线/线面角及二面角） 题型4 动态/翻折/截面/最值问题 题型1 线面平行与垂直综合证明（共10小题） 1．（2026·江苏扬州·三模）如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． (1)求证：平面平面； (2)若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 2．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 3．（24-25高一下·江苏·期末）如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 4．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 5．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． (1)求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面的夹角． 6．（24-25高一下·江苏盐城·期末）如图，在长方体中，，，点为棱上一点. (1)试确定点的位置，使得平面，并说明理由； (2)在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 7．（24-25高一下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点． (1)证明：平面平面PBC； (2)若F为BC中点． （ⅰ）求异面直线AF与PC的距离； （ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积． 8．（24-25高一下·江苏·期末）如图，在平行四边形中，，点为的中点，将沿直线翻折成（点不在面内），点为的中点.在翻折过程中， (1)证明：直线平面； (2)若，求二面角的大小. 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且，. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正切值. 10．（24-25高一下·江苏·调研）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，点在线段上，．    (1)证明：平面； (2)若平面，且，求点到平面的距离． 题型2 空间角计算（异面直线/线面角及二面角）（共10小题） 11．（24-25高一下·江苏南京·联考）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点为的中点，点在棱上，直线平面． (1)证明：平面； (2)求的值； (3)设二面角的平面角为，直线与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 12．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在棱长为6的正方体中. (1)求证：； (2)若平面，求证：点为的中心； (3)若点是平面内一个动点，且，求直线与平面所成角正切值. 13．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图1，在直角梯形中，，，，A是的中点.现沿把折起，使得（如图2所示），，分别为，的中点，是线段上一点. (1)求证：平面平面； (2)若是线段的中点，求与平面所成的角； (3)若平面，求的值. 14．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图所示，为圆的直径，，圆所在的平面，为圆周上与点，均不重合的点，于，为线段上任一点. (1)求证：平面平面； (2)已知，（为常数），设直线与平面所成角为，当变化时，求的最大值. 15．（24-25高一下·江苏·期末）如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点，，为中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 16．（24-25高一下·江苏·期末）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. (1)求证：平面； (2)求与平面所成的角； (3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 19．（24-25高一下·江苏无锡·调研）已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，，分别是线段，的中点． (1)求直线和平面的夹角的正弦值； (2)求证：平面平面； (3)棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 20．（24-25高一下·江苏·期末）类比二维平面内的余弦定理，三维空间中有三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱锥中，底面为菱形，，，，且. (1)在图2中，用三面角余弦定理求的值； (2)在图2中，线段上是否存在一点，使得，若存在，求值；若不存在，说明理由； (3)在图2中，直线与平面内任意一条直线的夹角为，证明：. 题型3 外接球内切球综合问题（共10小题） 21．（24-25高一下·江苏无锡·期末）若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一下·江苏·期末）将一个冰球放在一个带有盖子的正四面体的杯状容器中，此时盖子恰好能够盖上，如图所示．已知该杯状容器的深度为，则当冰球完全融化为水时的深度约为（   ） 参考数据：，，，， A．0.48h B．0.54h C．0.66h D．0.72h 23．（24-25高一下·江苏·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的体积为（    ）    A． B． C． D． 24．（24-25高一下·江苏常州·期末）若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（    ） A．2cm B． C．3cm D． 25．（24-25高一下·江苏南通·期末）已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·江苏南京·调研）（多选）在菱形中，.将菱形沿对角线折成大小为（）的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积的最大值是 B．的取值范围是 C．四面体的表面积的最大值是 D．当时，球的体积为 27．（24-25高一下·江苏南京·联考）已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（    ） A． B．1 C． D． 28．（24-25高一下·江苏·期末）已知三棱锥中，，三棱锥的体积为，其外接球的体积为，则线段长度的最大值为（    ） A．7 B．8 C． D．10 29．（24-25高一下·江苏南京·期末）柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图1所示方式连接可得正八面体（图2）．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 30．（24-25高一下·江苏南京·月考）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为4，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是______．    题型4 动态/翻折/截面/最值问题（共10小题） 31．（24-25高一下·江苏常州·期末）如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°． (1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求二面角的正切值的取值范围． 32．（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图1，在中，，，，分别是，的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为． (1)求证：平面平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求二面角的正切值． 33．（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 34．（2025·江苏·模拟预测）在菱形中，，，将沿对角线翻折至，则当三棱锥表面积最大时，三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）如图，矩形中，为边AB的中点，将沿直线DE翻折成（平面BCDE）,若在线段上（点与不重合），则在翻折过程中，给出下列判断，其中判断正确的有（    ） A．当为的中点时，与平面垂直的直线必与直线MB垂直 B．存在某个位置，使 C．当四棱锥体积最大时，点到平面BCDE的距离为 D．当二面角的大小为时，异面直线与BE所成角的余弦值为 36．（24-25高一下·江苏南京·期末）如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，F为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（    ） ①平面平面；②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为；④点的轨迹的长度为. A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 37．（24-25高一下·江苏·期末）已知平面五边形如图1所示，其中，是正三角形．现将四边形沿翻折，使得，得到的图形如图2所示．求证：平面平面． 38．（24-25高一下·江苏·期末）（多选）（多选）已知△ABC是由具有公共直角边的两块直角三角尺（Rt△ACD和Rt△BCD）组成的三角形，如图所示，其中∠ACD＝45°，∠BCD＝60°.现将Rt△ACD沿斜边AC进行翻折成△D1AC（点D1不在平面ABC内）.若M，N分别为BC，BD1的中点，则在△ACD翻折过程中，下列说法正确的是（　　）    A．在线段BD上存在一定点E，使得AD1∥平面MNE B．存在某个位置，使得直线AD1⊥平面BCD1 C．不存在某个位置，使得直线AD1与DM所成角为60° D．对于任意位置，二面角D1BCA始终不小于直线AD1与平面ABC所成角 39．（24-25高一下·江苏南通·期末）中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿EF，向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. (1)证明: 平面平面； (2)证明: ，，，共面； (3)若 求三棱锥的体积. 40．（24-25高一下·江苏·期末）如图一，矩形中，交对角线于点，交于点，现将沿翻折至的位置，如图二，点为棱的中点，则下列判断一定成立的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面平面 1．如图：等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点． (1)求三棱锥的体积最大值； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥表面积最大时，二面角的余弦值． 2．如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，，为上一点，设平面与平面的交线为． (1)证明面； (2)当平面时，面与交于，求的值； 3．正四棱台的高为2，，，点，，均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为．（坐标法不给分） 引理：最小角定理——斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角． (1)点的轨迹长度； (2)若，求到直线的距离； (3)求的最小值． 4．四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 5．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 6．如图，在长方体中，是棱上的一个动点，过三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为______． 7．如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 8．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（   ） A．若是线段的中点，则四面体的体积为 B．若，则点的轨迹长度是 C．若存在点，使平面，则长度的最小值是 D．若为棱的中点，三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $