专题06 统计· 抽样·直方图·估计总体（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦统计核心模块，以抽样方法、图表分析、数据特征、总体估计为逻辑主线，覆盖16类题型，强化数据处理与统计推断能力，培养数据意识与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抽样方法|3题型12题|含抽签法、随机数表法、分层抽样，注重方法辨析与实际应用|从简单随机抽样到分层抽样，构建抽样方法体系| |图表分析|4题型16题|涉及直方图补全、扇形图、折线图、茎叶图，强调图表信息提取|从数据可视化到信息解读，培养几何直观| |数据特征|4题型16题|包含众数、中位数、平均数、方差等计算，突出数据变形影响|从基本特征量到数据波动分析，强化运算能力| |总体估计|5题型20题|覆盖平均数、中位数、百分数估计，突破直方图估计难点|从样本分析到总体推断，发展统计推理意识|

专题06统计· 抽样·直方图·估计总体 题型1 抽签法 题型9 根据频率分布直方图估计中位数（难点） 题型2 随机数表法 题型10 茎叶图的考察（重点） 题型3 分层抽样综合考察（重点） 题型11 计算几个数据的极差、方差标准差（常考点） 题型4补全频率分布直方图（重点） 题型12 数据变形对方差的影响（常考点） 题型5 有关扇形统计图考察（常考点） 题型13 计算频率分布直方图的方差与标准差 题型6 有关折线统计图考察 题型14 统计案例（实际应用） 题型7 计算几个数的众数、中位数、平均数 题型15 计算几个数据的百分数（重点） 题型8 根据频率分布直方图估计平均数（重点） 题型16 总体百分数的估计（难点） 题型1 抽签法（共4小题） 1．先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个______________的盒子里，充分搅拌．最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本．直到抽足样本所需要的个体数 2．从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 3．采用简单随机抽样法从全校1500名学生中选取20名学生，下列方法中不太适合的方法是（    ）． A．抽签法 B．随机数表法 C．计算机随机函数法 D．计算器随机函数法 4．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 题型2 随机数表法（共4小题） 5．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 6．使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．以上都不对 7．某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（   ） A． B． C． D． 8．某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，从中抽取个样本，下面提供随机数表的第行到第行： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， 若从表中第行第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是（    ） A． B． C． D．4 题型3 分层抽样综合考察（共4小题）（重点） 9．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 10．甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（     ） A．20人，24人，26人 B．26人，24人，20人 C．20人，26人，24人 D．24人，26人，20人 11．高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（   ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 12．某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（   ） A．10 B．12 C．18 D．20 题型4补全频率分布直方图（共4小题）（重点） 13．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 14．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生，则第3，4，5组抽取的学生人数依次为（    ） A．4，5，6 B．3，2，1 C．2，4，5 D．2，1，3 15．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本量为n）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，但不慎丢失了部分数据.已知得分在的有8人，在的有2人，由此推测频率分布直方图中的（    ） A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01 16．如图是某班50位学生其中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，，则图中的值为（    ） A．0.014 B．0.048 C．0.018 D．0.012 题型5 有关扇形统计图考察（共4小题）（常考点） 17．（多选）为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（    ） A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的学生人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 18．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 回收的问卷数为______份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为______． 19．某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题： (1)该厂第一季度________月的产量最高． (2)该厂一月份产量占第一季度总产量的________%. (3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？(写出解答过程) 20．新冠疫情防控期间，某市中小学实行线上教学，停课不停学.某校对240名职工线上教学期间的办公情况进行了调查统计，结果如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．x=5.0 B．从该校任取一名职工，该职工不在家办公的概率为0.525 C．该校休假的职工不超过10名 D．该校在家办公或在校办公的职工不超过200名 题型6 有关折线统计图考察（共4小题） 21．（多选）某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图，    已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（   ） A．该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润 B．该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C．该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D．该企业2025年11月份的月利润最大 22．某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 23．班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 24．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 题型7 计算几个数的众数、中位数、平均数（共4小题） 25．已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 26．为了解我国14岁男生的平均体重，从北方抽取了200名男生，平均体重54kg；从中部抽取100名男生，平均体重55kg；从南方抽取了200名男生，平均体重56kg，根据此样本，估计我国14岁男孩的平均体重为（    ） A．54kg B．56kg C．55kg D．53kg 27．小王自进入高三以来，四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为108，第四次的分数为130，且中位数为117，则小王这四次数学考试的平均分为（    ） A．116 B．118 C．119 D．120 28．一组样本数据为5，18，22，26，若去掉其中一个数据后，所得新样本的平均数增大，则去掉的数据为（   ） A．5 B．18 C．22 D．26 题型8 根据频率分布直方图估计平均数（共4小题）（重点） 29．某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 30．学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 31．（多选）某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 32．为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 题型9 根据频率分布直方图估计中位数（共4小题）（难点） 33．（多选）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 34．为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 35．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 36．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 题型10 茎叶图的考察（共4小题）（重点） 37．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________.    38．在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（    ） A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 39．某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的中位数之和为______. 40．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为________． 题型11 计算几个数据的极差、方差标准差（共4小题）（常考点） 41．已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 42．（多选）（多选）小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程（单位：km）的数据，绘制了下面的折线图： 根据折线图，下列结论正确的是（   ） A．剔除第8周数据，周跑步里程逐周增加 B．周跑步里程的极差小于20km C．周跑步里程的平均数低于第7周对应的里程数 D．周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数 43．已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 44．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据，，，，的平均数为________． 题型12 数据变形对方差的影响（共4小题）（常考点） 45．已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 46．已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 47．（多选）一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（多选）已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型13 计算频率分布直方图的方差与标准差（共4小题） 49．某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 50．某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 51．汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 52．随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 题型14 统计案例（共4小题）（实际应用） 53．在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 54．某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 55．某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 56．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 题型15 计算几个数据的百分数（共4小题）（重点） 57．在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 58．小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 59．一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 60．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（   ） A． B． C． D． 题型16 总体百分数的估计（共4小题）（难点） 61．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 62．（多选）某学校学生课间活动的一大特色是跳绳，已知该校共有3600名学生，某数学兴趣小组从全校学生中随机抽取了200名，逐个测量其每分钟跳绳次数，进行统计得频率分布直方图（如图），则（   ） A．图中的值为0.010 B．估计全校学生每分钟平均跳绳次数约为167.6 C．估计全校学生每分钟跳绳次数分位数约为170 D．该样本中在区间内的学生有60人 63．（多选）某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 64．某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06统计· 抽样·直方图·估计总体 题型1 抽签法 题型9 根据频率分布直方图估计中位数（难点） 题型2 随机数表法 题型10 茎叶图的考察（重点） 题型3 分层抽样综合考察（重点） 题型11 计算几个数据的极差、方差标准差（常考点） 题型4补全频率分布直方图（重点） 题型12 数据变形对方差的影响（常考点） 题型5 有关扇形统计图考察（常考点） 题型13 计算频率分布直方图的方差与标准差 题型6 有关折线统计图考察 题型14 统计案例（实际应用） 题型7 计算几个数的众数、中位数、平均数 题型15 计算几个数据的百分数（重点） 题型8 根据频率分布直方图估计平均数（重点） 题型16 总体百分数的估计（难点） 题型1 抽签法（共4小题） 1．先把总体中的个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片、小球等）上作为号签，并将这些小纸片放在一个______________的盒子里，充分搅拌．最后从盒中不放回地抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本．直到抽足样本所需要的个体数 【答案】不透明 2．从101个人进行一次抽样时，先采用抽签法从中剔除1个人，再在剩余的100个人中采用随机数表法抽取10个人，那么下列说法正确的是（    ） A．这是一种科学的抽样方法 B．这种抽样方法对于被剔除的个体是不公平的，因为他们失去了被抽到的机会 C．由于采用了两步进行抽样，所以无法判断每个人被抽到的可能性是多少 D．每个人被抽到的可能性不相等 【答案】A 【分析】先说明采用抽签法每个人被剔除概率都相等，都是，不被剔除的概率也相等，都是，即可判断B；然后采用随机数表法，在没被剔除的100人中被抽到概率都是，即可判断C，综合B，C，即可判断D；综和B，C，D即可判断A. 【详解】由于先采用抽签法，从101个人中剔除1个人， 对101个人中的每个人来说被抽到（即被剔除）概率都相等，都是， 不被剔除的概率也相等，都是，故B错误； 然后采用随机数表法，在剩余的100个人中抽取10个人， 如果被抽到，概率为，也是相等的，故C错误； 所以由B,C可知，每个人被剔除的概率都是相等的，都是； 没被剔除，然后被抽到的概率也是相等的，都是，故D错误； 所以综上可知这是一种科学的抽样方法，故A正确. 故选：A 3．采用简单随机抽样法从全校1500名学生中选取20名学生，下列方法中不太适合的方法是（    ）． A．抽签法 B．随机数表法 C．计算机随机函数法 D．计算器随机函数法 【答案】A 【分析】利用简单随机抽样的特征判断. 【详解】解：因为是1500名学生中选取20名学生， 总体容量较大，样本容量较小， 所以抽签法不太适合， 故选：A 4．下列抽样试验中，适合用抽签法的是（    ） A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 【答案】B 【解析】根据抽签法适用样本容量少，并且样本需搅拌均匀，进行逐一判断即可. 【详解】因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法； C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大， 因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法； B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了. 故选：B 题型2 随机数表法（共4小题） 5．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 6．使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是（    ） A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据总体容量的大小，选择合适的简单随机抽样方法即可. 【详解】由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适． 故选：B． 7．某学校举行了“我向航天员提问”的趣味活动，现从同学们提出的问题中初选个不同类型问题进行连续编号（每个编号都由两个数字组成）：利用随机数表法从中抽取个问题回答.若从下列随机数表第行第个数字开始，每次从左向右选取两个数字，则选出的第个问题编号为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机数表法的读数规则结合题意求出需选取符合条件的5个数字即可得解. 【详解】由题可知依次选取符合条件的5个数字为：. 所以选出的第个问题编号为11. 故答案为：B 8．某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为，从中抽取个样本，下面提供随机数表的第行到第行： ，，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，， 若从表中第行第列开始向右依次读取数据，则得到的第个样本编号是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用随机数表法依次写出前5个样本的编号，即可得. 【详解】由随机数表法，第2行第7列是第2行从左到右数到第7个数字，对应数字为6， 前5个样本的编号依次为， 所以第个样本编号是. 故选：C 题型3 分层抽样综合考察（共4小题）（重点） 9．某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【答案】B 【分析】先计算抽取的300名样本中至多阅读一本名著的人数，算出样本中该情况的频率，进而即得. 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 10．甲校有2000名学生，乙校有2400名学生，丙校有2600名学生，为统计三校学生某方面的情况，采用分层随机抽样法抽取一个容量为70的样本，应在这三校分别抽取学生（     ） A．20人，24人，26人 B．26人，24人，20人 C．20人，26人，24人 D．24人，26人，20人 【答案】A 【详解】因为抽样比为， 所以甲校抽取人，乙校抽取人，丙校抽取人. 11．高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（   ） A．3人 B．4人 C．5人 D．6人 【答案】D 【详解】∵设男生应抽取人，女生应抽取人， 则且 解得， 故男生应抽取6人． 12．某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人．为了解居民的健康意识，计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人中抽取的人数为（   ） A．10 B．12 C．18 D．20 【答案】C 【详解】设应从中年人中抽取的人数为. 题型4补全频率分布直方图（共4小题）（重点） 13．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天课外阅读所用时间的数据，结果用频数直方图（如图）表示，则课外阅读时间在内的学生的频率为（    ） A．10 B．15 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【分析】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数，进而即得. 【详解】根据频数直方图可知课外阅读时间在内的学生的人数为， 所以课外阅读时间在内的学生的频率为. 故选：C. 14．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计，这批学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生，则第3，4，5组抽取的学生人数依次为（    ） A．4，5，6 B．3，2，1 C．2，4，5 D．2，1，3 【答案】B 【分析】利用频率之和为1，直接求解a的值，按照分层抽样的方程求出3，4，5组抽取的学生人数即可. 【详解】频率分布直方图矩形面积为1， ，解得． 由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3：2：1． 所以，每组抽取的人数分别为： 第3组：；第4组：；第5组：． 从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． 故选：B． 15．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本量为n）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，但不慎丢失了部分数据.已知得分在的有8人，在的有2人，由此推测频率分布直方图中的（    ） A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01 【答案】B 【解析】根据频率分布直方图,先求得抽取学生的人数. 【详解】得分在的有8人, 得分在的频率为 所以抽取中的人数为人 在的有2人,所以在的频率为,所以 ∴由频率分布直方图各小矩形面积和为1,得. 解得. 故选:B. 16．如图是某班50位学生其中考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，，，，，，则图中的值为（    ） A．0.014 B．0.048 C．0.018 D．0.012 【答案】C 【解析】由直方图中各矩形的面积之和为1，求出成绩在内的频率，再解出即可. 【详解】根据题意，成绩在内的频率为， 所以，解得. 故选：C 题型5 有关扇形统计图考察（共4小题）（常考点） 17．（多选）为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（    ） A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的学生人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 【答案】ABC 【分析】由题中统计图可判断各选项正误. 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误. 故选：ABC 18．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如图两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答下列问题： 回收的问卷数为______份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为______． 【答案】 120 30° 【分析】根据“从来不管”的问卷数及其所占的比例可求出回收的问卷数的总数，从而可求出“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数. 【详解】由统计图表可知“从来不管”的问卷数为30，所占的比例为， 所以回收的问卷数为份， 所以“严加干涉”所占的比例为， 所以“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为. 故答案为：120， 19．某厂生产一种产品，图①是该厂第一季度三个月产量的统计图，图②是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图①，图②时漏填了部分数据．根据上述信息，回答下列问题： (1)该厂第一季度________月的产量最高． (2)该厂一月份产量占第一季度总产量的________%. (3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98%.请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品？(写出解答过程) 【答案】(1)三(2)30%(3)4900 【分析】（1）根据条形图即可得出结论 （2）根据扇形图即可得到答案 （3）先计算总的生产产品数，再乘合格率即为所求 【详解】（1）由条形图可知，三月的产量最高 （2）该厂一月份产量占第一季度总产量的1－38%－32%＝30%. （3）该厂共生产(1900÷38%)＝5 000件产品．因为合格率为98%，所以合格产品有5 000×98%＝4900 20．新冠疫情防控期间，某市中小学实行线上教学，停课不停学.某校对240名职工线上教学期间的办公情况进行了调查统计，结果如图所示，则下列结论中错误的是（    ） A．x=5.0 B．从该校任取一名职工，该职工不在家办公的概率为0.525 C．该校休假的职工不超过10名 D．该校在家办公或在校办公的职工不超过200名 【答案】C 【分析】根据扇形图百分比之和等于1可判断A；求出不在家办公的职工百分比可判断B；根据休假的职工、在家办公或在校办公的职工百分比直接计算对应人数可判断CD. 【详解】，A正确； 由图知，在家办公的职工占，所以不在家办公的职工占，故B正确； 该校休假的职工人数为人，故C错误； 在家或在校办公的职工人数为人，故D正确. 故选：C 题型6 有关折线统计图考察（共4小题） 21．（多选）某企业2025年12个月的收入与支出数据的折线图如图，    已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（   ） A．该企业2025年1月至6月的总利润低于2025年7月至12月的总利润 B．该企业2025年1月至6月的平均收入低于2025年7月至12月的平均收入 C．该企业2025年8月至12月的支出持续增长 D．该企业2025年11月份的月利润最大 【答案】ABC 【详解】因为图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润． 由折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少， 故A正确； 由折线统计图可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正确； 由折线统计图可知2025年8月至12月的虚线是上升的，所以支出持续增长，故C正确； 由折线统计图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故D错误． 22．某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 23．班长统计了去年月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法不正确的是（    ） A．阅读数量最大的是8月份 B．阅读数量最小的是1月份 C．阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D．每月阅读数量超过40的有6个月 【答案】B 【详解】由图知阅读数量最大的是8月份，为83本；阅读数量最小的是6月份，为28本，故A正确，B错误. 阅读数量最大的月份比最小的月份多本，故C正确； 每月阅读数量超过40的有2，3，4，5，7，8共6个月，故D正确. 24．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中正确的是（   ） A．丁险种参保人数超过六成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．54周岁以上人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 【答案】D 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例为，故A错误； 对于B，由扇形图可知，41岁以上参保人数占比为，故B错误； 对于C，由扇形图与折线图可知18－29周岁人群参保人数占比，人均参保费用在元， 而54岁及以上人群参保比例虽只占，但人均参保费用为6000元，所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C错误； 对于D，由扇形图与折线图可知，人均参保费用约，故D正确. 题型7 计算几个数的众数、中位数、平均数（共4小题） 25．已知数据，，…，的平均数为4，将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为，则（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】由题，可得， 所以将该组数据中的每个数据均变为原来的两倍，其平均数为， 所以，得. 26．为了解我国14岁男生的平均体重，从北方抽取了200名男生，平均体重54kg；从中部抽取100名男生，平均体重55kg；从南方抽取了200名男生，平均体重56kg，根据此样本，估计我国14岁男孩的平均体重为（    ） A．54kg B．56kg C．55kg D．53kg 【答案】C 【详解】由题意，根据此样本，估计我国14岁男孩的平均体重为 27．小王自进入高三以来，四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为108，第四次的分数为130，且中位数为117，则小王这四次数学考试的平均分为（    ） A．116 B．118 C．119 D．120 【答案】B 【分析】根据几个数的中位数和平均数的定义计算即可. 【详解】设第二次和第三次的分数分别为， 则由题意可得，即， 所以小王这四次数学考试的平均分为. 28．一组样本数据为5，18，22，26，若去掉其中一个数据后，所得新样本的平均数增大，则去掉的数据为（   ） A．5 B．18 C．22 D．26 【答案】A 【详解】原始数据的平均数为， 设去掉的数据为，则所得新样本的平均数为， 得， 故去掉的数据为. 题型8 根据频率分布直方图估计平均数（共4小题）（重点） 29．某校在“普及环保知识节”后，为了进一步增强环保意识，从本校学生中随机抽取了一批学生参加环保基础知识测试．经统计，这批学生测试的分数全部介于75至100之间．将数据分成以下5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法，从第2，3，4组中随机抽取17名学生座谈，求每组抽取的学生人数； (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计随机抽取学生所得测试分数的平均值． 【答案】(1)； (2)从第，，组应依次抽取人，人，人； (3). 【分析】（1）利用频率分布直方图各小长方形面积和为1列式求解. （2）由分层抽样的抽样比求解. （3）由频率分布直方图计算出随机抽取学生所得测试分数的平均值. 【详解】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得， 所以. （2）由频率分布直方图知，第2，3，4组的学生人数之比为， 所以每组抽取的人数分别为：第2组抽人；第3组抽人；第4组抽人. （3）抽取学生测试分数的平均值为. 30．学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 【答案】(1)， (2)这个系统能投入使用，理由见解析 【分析】（1）借助频率和为1计算即可得的值，利用中位数定义计算即可得结果； （2）计算出准确率的平均数即可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为. （2）估计准确率的平均数为， ，所以认为这个系统是准确的，并投入使用. 31．（多选）某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 32．为了给顾客提供更好的服务，某饭店对2025年的营业情况进行了盘点，发现顾客平均每次的消费金额(单位：元)都在内，整理统计数据得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（    ） A． B．顾客平均每次的消费金额的中位数小于元 C．顾客平均每次的消费金额的极差介于元至 元之间 D．顾客平均每次的消费金额的平均数为 元 【答案】C 【详解】对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 故中位数在中，故中位数大于，故B错误； 对于C，设顾客平均每次的消费金额的极差，则， 故，故C正确； 对于D，顾客平均每次的消费金额的平均数为： （元）， 故D错误. 题型9 根据频率分布直方图估计中位数（共4小题）（难点） 33．（多选）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 【答案】CD 【分析】根据频率分布直方图，结合中位数、众数的求法求得正确答案. 【详解】因为， ， 所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在之间． 设中位数为，因为， 所以所求中位数为． 众数在之间，为85． 34．为了保证驾乘人员的安全，某市要对该市出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出名司机，已知抽到的司机年龄都在岁，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（   ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】C 【分析】先补全组的频率，再通过累计频率判断中位数落在区间，最后利用中位数定义列方程求解即可． 【详解】根据所给的信息可知，在区间上的数据的频率为 ， 因为的频率为，的频率为， 所以中位数在， 设为中位数为，则， 解得． 35．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1)(2)平均数为，中位数为(3)， 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有直方图的面积之和为可求出的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本的平均数；设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，即可解出的值； （3）利用总体的平均数和方差公式可求得和的值. 【详解】（1）由题意得，解得． （2）平均数为 设中位数为， 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以，则，解得，故中位数为75． （3）由题意得，成绩在有人，成绩在有人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． 36．在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的物理成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法正确的是（   ） A． B．众数小于平均数 C．中位数超过75分 D．估计全校有640名考生及格 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图的性质，列出方程，求得的值，可判断A不正确；求得数据的众数和平均数的值，可判定B不正确；根据中位数的计算方法，求得数据的中位数，可判定C错误；求得落在中的人数为，结合分层抽样，列出方程，求得及格的人数，可判定D正确. 【详解】对于A，根据频率分布直方图的性质，可得， 解得，所以A不正确； 对于B，由频率分布直方图，可得数据的众数为， 平均数， 众数大于平均数，所以B错误； 对于C，由频率分布直方图，可得中位数为，所以C错误； 对于D，由频率分布直方图，可得落在中的人数为， 设全校有人及格，则，解得，即估计全校有640名考生及格，所以D正确. 故选：D. 题型10 茎叶图的考察（共4小题）（重点） 37．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则__________.    【答案】24 【分析】先得到甲乙的中位数，可得到，再利用平均数相同即可求解. 【详解】根据茎叶图知，乙的中位数是，所以， 所以甲的平均数是， 所以，解得. . 故答案为：24. 38．在一次数学考试后，数学老师随机抽取了10名同学的考试成绩，其茎叶图如下所示，则该样本数据的中位数为（    ） A．76.5 B．77 C．77.5 D．78 【答案】C 【分析】根据中位数的定义即可得解. 【详解】由茎叶图可知， 10名同学的成绩按从小到大的顺序为：， 所以其中位数为. 故选：C. 39．某校高一年级甲，乙两名同学8次历史测试（100分制）成绩如茎叶图所示，则甲，乙两名同学成绩的中位数之和为______. 【答案】 【分析】根据中位数的概念求解两组数据的中位数，即可得解. 【详解】由茎叶图知：甲数据为， 乙数据为， 所以甲，乙两组数据的中位数分别为， 故中位数之和为. 故答案为： 40．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的平均数相同，则甲组数据的中位数为________． 【答案】41 【分析】根据平均数相同求出的值，从而将甲组数据从小到大排序即求出甲组数据的中位数. 【详解】因为乙组数据为：， 所以平均数为：， 又因为甲组数据与乙组数据平均数相同， 所以，即， 所以甲组数据为：， 所以甲组数据的中位数为：. 故答案为：. 题型11 计算几个数据的极差、方差标准差（共4小题）（常考点） 41．已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据，，…，的方差是__________． 【答案】 【详解】由题意得，，， ，， 则，，， ， 则， 则， 故后十个数据，，…，的方差是 42．（多选）（多选）小凯利用上下班时间跑步健身，随身佩戴的手环记录了近11周的跑步里程（单位：km）的数据，绘制了下面的折线图： 根据折线图，下列结论正确的是（   ） A．剔除第8周数据，周跑步里程逐周增加 B．周跑步里程的极差小于20km C．周跑步里程的平均数低于第7周对应的里程数 D．周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数 【答案】BCD 【分析】剔除第8周数据，周跑步里程逐周有增有减判断A；周跑步里程的极差比20km小判断B；第7周对应的里程数为15km，观察数据可知，周跑步里程的平均数比15km小判断C；周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数，判断D. 【详解】对于A，剔除第8周数据，周跑步里程逐周有增有减，A错误； 对于B，周跑步里程的极差比20km小，B正确； 对于C，第7周对应的里程数为15km，观察数据可知，周跑步里程的平均数比15km小，C正确； 对于D，周跑步里程的中位数为第5周对应的里程数，D正确. 43．已知数据，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平均数及方差的计算公式即可求解． 【详解】因为，所以， , 因为，即； 所以 ，即． 44．已知样本数据都为正数，其方差，则样本数据，，，，的平均数为________． 【答案】11 【分析】根据题意，设样本数据的平均数为，结合方差公式可得，解可得，结合平均数的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，设样本数据的平均数为， 其方差 ， 又，则有，解得， 则样本数据、、、、的平均数为． 题型12 数据变形对方差的影响（共4小题）（常考点） 45．已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相比，调整后的数据中不会发生改变的是（   ） A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数 【答案】A 【分析】设原始数据为，新数据为，且，则，根据样本的数字特征的定义和计算公式分析即可判断. 【详解】原始数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后， 新数据：， 对于A，由知，故A正确； 对于B，原始数据的众数为3，新数据的众数为6，故B错误； 对于C，原始数据的中位数为，新数据的中位数为，故C错误； 对于D，由知，故D错误. 46．已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，根据方差的性质可得，A对； 对于B选项，根据平均数的性质可得， 所以，B对； 对于C选项，由平均数的性质可知， 数据、、、的平均数为， 所以数据、、、、、、、的平均数为， ，所以， ，C错； 对于D选项， ，D对. 47．（多选）一组数据的平均数为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，，，的平均数为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平均值、方差、极差、中位数的定义及性质可得. 【详解】由题意可得：平均数；方差；极差；中位数 48．（多选）已知一组数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，设，数据：，，，…，的平均数为，方差为，中位数为，极差为，则下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据平均值、中位数、极差、方差的概念与性质逐项分析求解. 【详解】根据平均数性质，，故A正确； 中位数是按大小排序后位于中间位置的数值，是线性变换，新数据排序位置与原数据一致，但中位数会随变换调整：若是原中位数，则新中位数​，仅当时成立，不一定总是相等，因此B错误； 极差为最大值与最小值的差，设原数据最大值为、最小值为，则，变换后，的最大值为​，最小值为​，所以​，因此C正确； 是线性变换，根据方差性质，，因此D错误. 题型13 计算频率分布直方图的方差与标准差（共4小题） 49．某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 【答案】(1)(2)(3)21 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1求出； （2）根据平均数公式结合频率分布直方图计算即可； （3）根据方差公式进行计算即可． 【详解】（1）由题意可得， 解得． （2）估计这300名顾客的单次消费金额的平均数为． （3）因为第一组的频率为，第二组的频率为， 所以第一组与第二组所有顾客单次消费金额的平均数为， 为第一组数据所占比例，即，同理， 所以估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 50．某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【答案】(1)(2)平均数小于中位数(3) 【分析】（1）利用频率分布表的性质求解平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质求解平均数和中位数，再比较大小即可. （3）先求出样本平均数，再结合样本方差公式求解方差即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. （3）因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 51．汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 【答案】(1)60人，中位数为75，平均数为(2)平均值为，方差为 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点及中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为， 所以样本中打分在内的客户人数为人. 由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30， 设样本的中位数为，则，则，解得， 故样本的中位数为75. . （2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60， 所以打分在内的样本数据的平均值为. 打分在内的样本数据的方差为. 52．随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40场学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间， 并将其分成了6个区间: (0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如图频率分布直方图： (1)求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数； (2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m、n的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为、与、，记总的样本平均数为，样本方差为，证明： ①； ②. 【答案】(1)，众数是；(2)，；(3)①证明见解析 ；②证明见解析. 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数. （2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得，再利用方差公式可求得. （3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出，再利用方差公式可证得结论成立. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得， 甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是. （2）， . （3）①依题意，，所以原等式成立. ②， 又，则， 同理， ， 所以. 题型14 统计案例（共4小题）（实际应用） 53．在检测一批相同规格共800kg的航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了360片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（    ） A．11.1kg B．36kg C．111kg D．50kg 【答案】A 【分析】先求出样本中非优质品所占比例；再利用样本估计总体的思想即可求解. 【详解】由题意可得：样本中非优质品所占比例为， 所以这批垫片中非优质品约为. 故选：A. 54．某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人． 【答案】 【分析】利用样本频率估计总体概率，可研究总体分布. 【详解】根据随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余36人持反对态度， 所以持反对态度的人占比有，用此作概率估计， 可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有人， 故答案为： 55．某生活超市2025年第一季度各区域营业收入占比和净利润占比统计如下表所示： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其他区 营业收入占比 48.6% 15.8% 20.1% 10.8% 4.7% 净利润占比 65.8% -4.3% 16.5% 20.2% 1.8% 已知该生活超市本季度的总营业利润率为32.5%（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），下列结论不正确的是（   ） A．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 B．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 C．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40% D．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 【答案】D 【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】生鲜区的净利润占比，故A正确． 生鲜区的营业利润率为，故C正确． 熟食区的营业利润率为； 乳制品区的营业利润率为； 其他区的营业利润率为； 日用品区的营业利润率为，最高，故B正确． 由题中数据知，其他区的营业收入占比4.7%为最低的，故D错误． 故选：D 56．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 【答案】C 【分析】先求出中位数落在内，设中位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】，， 故中位数落在内， 设中国动漫市场受众群体年龄的中位数为，则， 解得. 故选：C. 题型15 计算几个数据的百分数（共4小题）（重点） 57．在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 【答案】C 【详解】将数据按照从小到大的顺序排列为80，82，84，85，87，88，88，89，91，93， 因为，则第80百分位数是第8个数字和第9个数字的平均数， 所以这组数据的第80百分位数为. 58．小明连续记录了7天自己每天花在课外阅读上的时间（单位：min），分别为70，42，54，90，55，47，58，则这组数据的第60百分位数是__________． 【答案】 【详解】对7个样本数据从小到大排序，可得：42,47,54,55,58,70,90；；因此排序后第5个数据就是第60百分位数，即58. 59．一组数据的第60百分位数为（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【详解】由题意得，则第60百分位数为. 60．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，， 第百分位数位置，为第2和第3项的平均值， 故； 中位数的位置，为第4和第5项的平均值， 故； 平均数， ． 题型16 总体百分数的估计（共4小题）（难点） 61．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 62．（多选）某学校学生课间活动的一大特色是跳绳，已知该校共有3600名学生，某数学兴趣小组从全校学生中随机抽取了200名，逐个测量其每分钟跳绳次数，进行统计得频率分布直方图（如图），则（   ） A．图中的值为0.010 B．估计全校学生每分钟平均跳绳次数约为167.6 C．估计全校学生每分钟跳绳次数分位数约为170 D．该样本中在区间内的学生有60人 【答案】ABD 【分析】根据直方图所有小矩形面积之和为1，列方程求出；利用每组的中点值乘以对应的频率，求和得到平均数的估计值；根据频率累加确定分位数所在的区间，利用比例关系计算具体数值；利用频数=样本容量×频率计算指定区间内的人数． 【详解】选项A：由频率分布直方图可知，组距为20， 根据所有矩形面积之和为1，可得：， 解得，故选项A正确； 选项B：各组的频率分别为：， ， ， ， ， 估计全校学生每分钟平均跳绳次数为： ，故选项B正确； 选项C：前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为， 所以分位数位于第四组内， 设分位数为，则：， 解得，故选项C错误； 选项D：样本中在区间内的频率为， 该样本中在区间内的学生人数为（人），故选项D正确． 63．（多选）某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 【答案】ACD 【分析】A选项，由频率之和为1列方程计算a；B选项，根据众数为频率最高组的组中值进行计算；C选项，求出抽取的体育爱好者中每周锻炼时长不少于15小时的频率，再乘以总人数即可；D选项，先确定累计频率，再在对应区间内按比例计算. 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． 64．某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数学成绩低于60分的频率为， 数学成绩低于80分的频率为， 这200名学生成绩的80%分位数在内． 设200名学生成绩的80%分位数为，则，解得， 估计这200名学生成绩的80%分位数是71.43． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $