专题02 计数原理（14类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高二选修第二册

**基本信息** 以计数原理为基础，系统覆盖排列组合、二项式定理14个考点，构建从原理应用到综合问题的递进式训练体系，培养逻辑推理与数学建模素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |计数原理|6题|基础计数、集合元素、幸运数等实际情境题|从分类分步原理到实际问题建模，奠定排列组合基础| |涂色问题|6题|方格、地图、花圃等图形涂色题|原理应用的直观化延伸，培养空间想象与分步策略| |排列组合|约40题|含限制条件排列、相邻不相邻、分组分配等综合题|从基本计算到复杂情境，形成“原理-技巧-综合”逻辑链| |二项式定理|约30题|特定项系数、系数最大项、赋值法、整除等题型|从展开式基础到高阶应用，体现代数推理与转化思想|

专题02 计数原理 考点 01 分类加法、分步乘法计数原理 考点 08 排列组合综合 考点 02 涂色问题 考点 09 求二项展开式的特定项(系数) 考点 03 排列数、组合数的计算 考点 10 求展开式中系数最大(小)项 考点 04 元素(位置)有限制的排列问题 考点 11 多项式积、三项展开式问题 考点 05 相邻、不相邻排列问题 考点 12 用赋值法求系数和问题 考点 06 组合计数问题 考点 13 整除和余数问题 考点 07 分组分配问题 考点 14 杨辉三角问题 考点 01 分类加法、分步乘法计数原理 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）某校足球队有高一学生4人，高二学生3人，高三学生7人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．40 C．49 D．14 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．16 C．11 D．6 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（    ）个不同的分数 A．10种 B．18种 C．20种 D．40种 6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 考点 02 涂色问题 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．24种 B．72种 C．108种 D．120种 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 3．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 5．（25-26高二下·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 6．（25-26高二下·江苏连云港·期中）用4种不同颜色给四棱锥的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法种数为__________. 考点 03 排列数、组合数的计算 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）计算（    ） A．42 B．36 C．21 D．20 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）不等式的解集为（    ） A．(5，10) B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·河北保定·期中）已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二上·江苏·期末）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高二下·广东惠州·期中）下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 考点 04 元素(位置)有限制的排列问题 1．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法. 5．（25-26高三上·上海·开学考试）将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 考点 05 相邻、不相邻排列问题 1．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法. 5．（25-26高三上·上海·开学考试）将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 考点 06 组合计数问题 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（    ）种． A．9 B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（25-26高二下·江苏徐州·期中）把编号为的4个小球放入编号为的4个盒子中，每个盒子内放一个球，盒子的编号与所放入球的编号不相同，共有多少种不同的放法（    ） A．24 B．12 C．9 D．8 4．（多选）（25-26高二下·江苏苏州·期中）盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（    ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 5．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）盒子内有7个大小相同的球编号为，其中有4个蓝球，3个红球，现从中取出3个球，则（ ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 7．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 考点 07 分组分配问 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（    ）种不同的放法. A．480 B．540 C．1440 D．4320 2．（25-26高二下·湖北武汉·期中）育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（    ） A．66种 B．60种 C．30种 D．24种 4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 5．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（   ） A．5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B．每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 6．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法 C．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 D．6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 8．（25-26高二下·江苏连云港·期中）五一劳动节即将到来，学校计划让3名男同学､2名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下： (1)若要求安排1人担任总策划､2人负责物资筹备､2人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法？ (2)活动圆满结束后，这5名同学和2位指导老师共7人在校园广场合影留念，要求2名女同学必须相邻，2位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法？ 考点 08 排列组合综合 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（   ） A．69种 B．71种 C．73种 D．79种 2．（25-26高二上·辽宁·期末）用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（    ） A．14 B．26 C．38 D．48 3．（24-25高二下·浙江·期末）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 4．（2025·四川达州·模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 5．（多选）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B．4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有24种不同结果 C．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有36种报名方法 D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有64种报名方法 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 考点 09 求二项展开式的特定项(系数) 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若展开式中的常数项为90，则常数的值为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中常数项是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段检测）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段检测）对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 6．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 考点 10 求展开式中系数最大(小)项 1．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 4．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 5．（多选）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（   ） A． B．展开式中的常数项为 C．展开式中二项式系数最大项为 D．展开式中系数最大的项为 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 7．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知 (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值； (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 考点 11 多项式积、三项展开式问题 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 4．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 6．（25-26高二下·广东东莞·期中）的展开式中的系数是________. 7．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 考点 12 用赋值法求系数和问题 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 4．（多选）（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·江苏镇江·期中）若，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知多项式，则的值为__________. 8．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 考点 13 整除和余数问题 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）除以的余数是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知能够被8整除，其中，则______． 6．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是__________． 考点 14 杨辉三角问题 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（   ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 3．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 4．（多选）（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 5．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容． (1)求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数； (2)观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第列（从左往右）的关系式，并求的值；（用整数指数幂表示结果） (3)把杨辉三角中的每一个数都换成，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明：，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 计数原理 考点 01 分类加法、分步乘法计数原理 考点 08 排列组合综合 考点 02 涂色问题 考点 09 求二项展开式的特定项(系数) 考点 03 排列数、组合数的计算 考点 10 求展开式中系数最大(小)项 考点 04 元素(位置)有限制的排列问题 考点 11 多项式积、三项展开式问题 考点 05 相邻、不相邻排列问题 考点 12 用赋值法求系数和问题 考点 06 组合计数问题 考点 13 整除和余数问题 考点 07 分组分配问题 考点 14 杨辉三角问题 考点 01 分类加法、分步乘法计数原理 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）某校足球队有高一学生4人，高二学生3人，高三学生7人，选其中一人为负责人，则不同的选法种数为（    ） A．84 B．40 C．49 D．14 【答案】D 【详解】由题意得，若选出的负责人是高一学生，有4种情况； 若选出的负责人是高二学生，有3种情况； 若选出的负责人是高三学生，有7种情况. 由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解. 【详解】第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数． 若集合M提供横坐标，集合N提供纵坐标，则符合题意的点有，，共2个； 若集合M提供纵坐标，集合N提供横坐标， 则符合题意的点有，，，，共4个． 综上，在第二象限内的点的个数为． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）定义“各位数字之和为6的三位数叫幸运数”，如123，222，则所有幸运数的个数为（    ） A．21 B．16 C．11 D．6 【答案】A 【详解】设三位数的百位、十位、个位数字分别为， 因为， 所以， 当时，，， 幸运数为，共6个， 当时，，， 幸运数为，共5个， 当时，，， 幸运数为，共4个， 当时，，， 幸运数为，共3个， 当时，，， 幸运数为，共2个， 当时，，， 幸运数为，共1个， 综上所述三位数字之和为6的幸运数总计21个. 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）某班一天8节课，上、下午各4节．现安排上午两节语文课连上，下午两节数学课连上，英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，不同的排法种数是（    ） A．72 B．108 C．216 D．288 【答案】C 【分析】先排语文与数学，再通过乘法原理求解即可. 【详解】上午两节语文课连上有三种可能，同理下午两节数学课连上有三种可能， 因为英语、物理、体育、音乐各一节的课程表，直接全排列，所以有种. 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，6，8，12，16中任意一个数作分母，可构成（    ）个不同的分数 A．10种 B．18种 C．20种 D．40种 【答案】C 【分析】由分子、分母的选择个数及分步乘法计数原理可得分数的个数； 【详解】从1，5，9，13中的任选一个数作分子，4，6，8，12，16中任选一个数作分母， 可构成个不同的分数； 6．（25-26高二下·江苏苏州·期中）从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数（用数字作答）． 【答案】96 【详解】从0，1，2，3，4中任取4个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数． 考点 02 涂色问题 1．（25-26高二上·江苏常州·期末）从4种不同的颜色中选择若干种给如图所示的4个方格涂色，每个方格中只涂一种颜色且相邻两格不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（   ） A．24种 B．72种 C．108种 D．120种 【答案】C 【分析】分类讨论，利用排列知识可求得答案. 【详解】用两种颜色时，涂法有种； 用三种颜色时，涂法有种； 用四种颜色时，涂法有种； 所以不同的涂色方法共有种. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏连云港·期末）用种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂法有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照②③①④分步进行即可，计算出每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】区域②有种选择，区域③有种选择，区域①和④各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的涂法种数为种. 故选：D. 3．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 5．（25-26高二下·安徽·期中）春天来了，万物复苏，校园楼下的花坛里种了不同颜色的花.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则不同的栽种方案数有（    ）. A．240种 B．360种 C．420种 D．720种 【答案】C 【详解】把图中的区域分别标上A，B，C，D，E， 用三种颜色：区域和相同，（种）， 用四种颜色：区域或相同，共有2种，再选取四种颜色， 及（种）， 用五种颜色：（种）.一共有（种）. 6．（25-26高二下·江苏连云港·期中）用4种不同颜色给四棱锥的五个顶点涂色，要求相邻顶点颜色不同，则不同的涂色方法种数为__________. 【答案】72 【分析】以与同色和与不同色两类进行计算， 使用乘法原理和加法原理求解. 【详解】按照的顺序涂色， 第一类：与同色，第一步点有4种涂法，第二步点有3种涂法，第三步点有2种涂法，第四步点有1种涂法，第五步点有2种涂法， 共有种方法； 第二类：与不同色，第一步点有4种涂法，第二步点有3种涂法，第三步点有2种涂法，第四步点有1种涂法，第五步点有1种涂法， 共有种方法， 所以不同的涂色方法数为：种. 考点 03 排列数、组合数的计算 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）计算（    ） A．42 B．36 C．21 D．20 【答案】B 【详解】. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）不等式的解集为（    ） A．(5，10) B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的定义计算即可. 【详解】由，得， 整理得，解得， 又因为根据排列数的定义，需满足，解得，则. 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据组合数与排列数的计算公式，将原方程化简整理，即可求出结果. 【详解】由，可得：,且， 解得：. 故选：A 4．（24-25高二下·江苏泰州·期末）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数与组合数的公式计算，可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用排列数和组合数 的定义及递推公式，逐一验证各选项. 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B：，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误. 故选： 6．（多选）（25-26高二下·河北保定·期中）已知，且，则下列等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A根据排列组合数计算判断；B举反例说明即可；C应用组合数的性质得，再应用裂项相消法计算判断；D根据组合数公式分析判断. 【详解】A：由，故A正确； B：例如，则，即，故B错误； C：由，且， 所以，故C正确； D：因为，故D正确； 7．（多选）（25-26高二上·江苏·期末）下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用排列数公式，组合数公式一一判断即可. 【详解】，故A 错误； ，故B正确； ，故C正确； 因为，且， 所以，故D正确. 故选：BCD 8．（多选）（24-25高二下·广东惠州·期中）下列结论正确的是（ ） A．若，则正整数的值是 B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，根据组合数性质即可求解；对于B，根据排列数的计算性质即可求解；对于C，根据组合数的性质即可求解；对于D，根据组合数的性质即可求解. 【详解】对于A，因为， 所以或， 即或，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由组合数公式可知，故C正确； 对于D，，， ， ，故D错误． 故选：BC． 考点 04 元素(位置)有限制的排列问题 1．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】B 【分析】根据排列的定义，结合分步计数原理进行求解即可. 【详解】因为甲不去重庆动物园， 所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有， 故选：B 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】A 【详解】要求老师不能分开（即相邻），先把2位老师捆绑看作1个整体，两位老师内部不同顺序属于不同排法，内部排列数为 种； 将老师的整体与3名学生进行全排列，全排列数为种； 根据分步乘法计数原理，则不同的排法为 种. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 【答案】 【分析】根据已知条件，挂在不同位置有顺序区别，需要用排列来计算． 【详解】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 故答案为：． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法. 【答案】 【分析】先排甲，再排其余5人. 【详解】甲同学不站在两端有种排法， 其余5人的全排列有种排法， 则共有种不同的排法. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·开学考试）将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 【答案】504 【分析】借助排列数的性质，结合分类、分步计数原理计算可得. 【详解】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 考点 05 相邻、不相邻排列问题 1．（25-26高三上·福建三明·阶段检测）甲、乙、丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥、长江索道、重庆动物园、白帝城这4个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲、乙、丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（   ） A．24种 B．18种 C．12种 D．6种 【答案】B 【分析】根据排列的定义，结合分步计数原理进行求解即可. 【详解】因为甲不去重庆动物园， 所以甲有三种不同的去处， 又因为甲、乙、丙三人去的景区互不相同， 所以这三人的不同选择方法共有， 故选：B 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】A 【详解】要求老师不能分开（即相邻），先把2位老师捆绑看作1个整体，两位老师内部不同顺序属于不同排法，内部排列数为 种； 将老师的整体与3名学生进行全排列，全排列数为种； 根据分步乘法计数原理，则不同的排法为 种. 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）为营造良好的气氛迎接新年，小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅，分别挂在书房和客厅，则不同挂法的所有可能情况种数是__________． 【答案】 【分析】根据已知条件，挂在不同位置有顺序区别，需要用排列来计算． 【详解】小明从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅进行排列，不同挂法总数为：种． 故答案为：． 4．（24-25高二下·上海·期中）已知6位同学站成一排，若甲同学不站在两端，则有__________种不同的排法. 【答案】 【分析】先排甲，再排其余5人. 【详解】甲同学不站在两端有种排法， 其余5人的全排列有种排法， 则共有种不同的排法. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海·开学考试）将排成一列，不在首位且不在末位的不同排法共有___________种. 【答案】504 【分析】借助排列数的性质，结合分类、分步计数原理计算可得. 【详解】根据题意将排成一列，有种排法， 而在首位，有种排法，同理在末位，有种排法， 当在首位，同时在末位有种排法， 则不在首位且不在末位的排法共有种. 故答案为：504. 考点 06 组合计数问题 1．（25-26高二下·江苏盐城·期中）从3位男生，2位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位女生入选，则不同安排方法有（    ）种． A．9 B． C． D． 【答案】C 【详解】总共3个场馆，每个场馆各1人，选出3人后进行全排列： 已知共3名男生，2名女生，且至少有1名女生，则共2种情况，1女2男和2女1男， 不同安排方法有：种． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学生要从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】应用乘法原理结合组合数计算求解. 【详解】先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为种. 3．（25-26高二下·江苏徐州·期中）把编号为的4个小球放入编号为的4个盒子中，每个盒子内放一个球，盒子的编号与所放入球的编号不相同，共有多少种不同的放法（    ） A．24 B．12 C．9 D．8 【答案】C 【分析】利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算. 【详解】第一步：放编号为1的盒子，有种放法，记1号盒子放的是号球， 第二步：放编号为的盒子，有种放法， 第三步：放余下的两个盒子，只有1种放法， 由分步乘法计数原理得不同放法种数为. 4．（多选）（25-26高二下·江苏苏州·期中）盒子内有20个大小相同的球，其中有15个蓝球，5个红球，现从中取出3个球，则（    ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至多有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 【答案】AD 【分析】根据组合数的计算方式，分类和分步求出各选项给定条件的不同取法数目. 【详解】对于A，取出的3个球中恰好有1个蓝球，则还有个红球，故有种，故A正确； 对于B，取出的3个球中至少有2个蓝球，包含2个蓝球1个红球和3个蓝球两种情况，故有，故B错误； 对于C，取出的3个球中至多有2个蓝球的对立事件为个蓝球，则有种，故C错误； 对于D，取出的3个球中至少有1个红球的对立事件为个都是蓝球，有种，故D正确. 5．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）盒子内有7个大小相同的球编号为，其中有4个蓝球，3个红球，现从中取出3个球，则（ ） A．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 B．取出的3个球中恰好有1个蓝球的取法有种 C．取出的3个球中至少有2个蓝球的取法有种 D．取出的3个球中至少有1个红球的取法有种 【答案】AD 【详解】恰好有个蓝球：需从个蓝球中取个，个红球中取个，取法数为： . 故A正确，B错误. 至少有个蓝球（含蓝红、蓝红）： 蓝红：， 蓝红：， 总取法数：. 故C错误. 至少有个红球（总取法全蓝球取法）： 总取法：， 全蓝球取法：， 总取法数：. 故D正确. 6．（25-26高二下·江苏淮安·期中）流感期间，班长拿了18个口罩发给5名感冒的学生，每位学生至少发3个口罩，则不同的发放方法有________种． 【答案】35 【分析】问题等价转化为将8个口罩分给5个人，使用隔板法求解即可. 【详解】由题意，5名学生每人至少3个口罩，若每人2个，则需要分出10个， 所以18个口罩余下8个，化为将8个口罩分给5个人，每人至少一个口罩， 使用隔板法可得共有种. 7．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图1所示，某地有南北街道5条，东西街道6条，一邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，已知地（十字路口）在修路，无法通行，要求所走的路程最短，共有________种不同的走法；若如图2所示，地完好，但是段不通，则邮电员从该地东北角的邮局出发，送信到西南角的地，要求所走的路程最短的走法有________种． 【答案】 66 96 【分析】第一空：先分析由经到的走法，再由间接法即可求出不经过的走法；第二空：先分析经过的走法，再由间接法求解. 【详解】第一空：若先经过再到，需向下走3步，向左走2步，有种走法， 由到需向下运动2步，向左运动2步，有种走法， 故先经过再到共有， 所以不经过共有种走法. 第二空：经过，需要3步由到，再需要5步由到， 由到共有种走法，由到共有种走法， 所以经过的走法共有种， 故不经过的走法共有种. 考点 07 分组分配问 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（    ）种不同的放法. A．480 B．540 C．1440 D．4320 【答案】C 【分析】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照1:2:2或1:1:3来放；若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照1:1:2来放，再利用分组分配求解. 【详解】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照1:2:2或1:1:3来放， 若按照1:2:2来放：有种， 若按照1:1:3来放：有种， 若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照1:1:2来放， 共有种， 故一共有540+360+540=1440种不同的放法. 故选：C. 2．（25-26高二下·湖北武汉·期中）育才中学举行志愿者爱心活动，选派高二年级5名同学到，，三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1名同学，其中甲同学不去服务点，则不同的安排方法共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【答案】C 【详解】将5名同学按和分组分别有种和种分法， 再将含有同学甲的一组安排到或服务点，最后安排另两组，安排方法有种， 所以不同的安排方法共有种. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校各选派了2位男、女教师参加某项活动，且4位教师被分到3个不同的小组，其中两位女教师不能分派到同一个小组，则不同的分配方案有（    ） A．66种 B．60种 C．30种 D．24种 【答案】C 【详解】若2位男老师在同一个组，则4位教师被分到3个不同的小组有种不同的分配方案； 若2位男老师不在同一个组，则其中一个组只有1位男老师，另1位男老师与其中1位女老师一组， 此时4位教师被分到3个不同的小组有种不同的分配方案； 综上：不同的分配方案有30种. 4．（25-26高二下·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案. 5．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A、B、C、D四个社区参与志愿活动,以下说法正确的是（   ） A．5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为120 B．每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的方法数为480 C．每人都只安排到一个社区,如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法数为150 D．每人都安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三位老师四个社区均可安排,则不同安排方案的种数是126 【答案】ACD 【分析】利用排列求解选项A,先选出一个社区安排两人，然后再将剩下的社区安排好求解即可求解选项B，选项C分两类一类是3人安排在一个社区，其余两个社区各一人，另一类是两个社区各两人，然后另外一个社区一人利用排列组合求解即可，选项D：分两类：第一类 社区安排两人，第二类A社区只安排一人，然后利用排列与组合求解即可. 【详解】5人中选出四个人安排到四个社区,每个社区都有人,则不同方法数为故选项A正确. 先选出2人组成一组然后再选一个社区安排，则有再将剩下的3人安排下去则有 则一共有，则选项B错误. 选项C：先将5名老师分成3组，人数可为1,1,3或1,2,2， 若人数为1,1,3时,则有 种不同的安排方法； 若人数为1，2，2时，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以C正确； 选项D：每人都安排到一个社区，每个社区至少有一人，其中甲、乙不去A社区， 若 社区安排两人，则有 种不同的安排方法； 若A社区只安排一人，则有 种不同的安排方法， 由分类计数原理得，共有 种不同的安排方法，所以D正确. 6．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．从5男3女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有65种选法 C．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为84 D．6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球的放法种数为10 【答案】BCD 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；由平均分组分配法判断选项C；应用隔板法计算判断D. 【详解】对于A，由于每封信都有3种投法，则5封信有种投法，故A错误； 对于B，从8人中任选4人有种，若4人全是男生有种， 若4人中必须有男有女，所以共有种选法，故B正确； 对于C，将4个不同的小球分成两组有种分组方法， 再将这两组分配给4个盒子中的两个有种不同的分配方法，故C正确； 对于D，将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球， 则不同的放法种数是种，故D正确. 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）将甲、乙、丙、丁、戊五个同学分配到三个城市参加活动，每个同学都要参加且只能去一个城市，每个城市至少去一人，共有__________种不同分配方法.（用数字作答） 【答案】150 【分析】先将5个同学分组，再分配求解. 【详解】第一步，将5个同学分为三组，有两种分法： 第一种分法，第一组1人，第二组1人，第三组3人，有种分法； 第二种分法，第一组2人，第二组2人，第三组1人，有种分法. 第二步，将三组同学分配到三个城市，有种分法， 所以共有种不同分配方法. 8．（25-26高二下·江苏连云港·期中）五一劳动节即将到来，学校计划让3名男同学､2名女同学负责五一庆祝活动，具体分工如下： (1)若要求安排1人担任总策划､2人负责物资筹备､2人负责活动宣传，有多少种不同的分配方法？ (2)活动圆满结束后，这5名同学和2位指导老师共7人在校园广场合影留念，要求2名女同学必须相邻，2位老师不能相邻，有多少种不同的排列方法？ 【答案】(1)30 (2)960 【分析】（1）先分组，再利用分步乘法即可得到答案； （2）利用捆绑法和插空法即可得到答案. 【详解】（1）把5人分三组：1人担任总策划、2人负责物资、2人负责宣传，先选1人担任总策划，有种方法； 再从剩下4人选2人负责物资，有种方法； 最后2人负责宣传，有种方法， 由分步计数原理，共有种方法， 所以共有30种方法. （2）7人排列：2女生相邻、2老师不相邻 先2女生捆绑看成1个整体，内部排列有种方法； 3男生和女生整体共4个元素，排列有种方法； 4个元素排好有5个空，选2个空排老师有种方法， 由分步计数原理，共有种方法 所以共有960种方法． 考点 08 排列组合综合 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（   ） A．69种 B．71种 C．73种 D．79种 【答案】A 【分析】确定5名同学的人数分配类型，即2,2,1和3,1,1两种，根据A、B有选课限制分情况讨论：先考虑B的选课情况，再针对B选甲或乙的情况，分别结合A的限制条件，计算对应人数分配类型下的选法种数，再结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解. 【详解】第一类：人数分配为(1,1,3)型 按甲课程的人数分为两种情况： 1. 甲有3人：能选甲的只有共4人（不能选甲），从4人中选3人： 若B在甲：还需从选2人，共种，剩余2人（含）分乙丙各1人， 全排列共种，合计种； 若B不在甲：甲只能是全选，共种，剩余和分乙丙，不能选丙， 只能去乙、去丙，共1种；合计：种. 2. 甲有1人：从 4人选1人去甲： 若B选甲：共1种选法，剩余4人分乙丙为(1,3)，共种， 无限制，合计种； 若B不选甲：从选1人去甲，共种，剩余4人（和剩下2人）分乙丙为(1,3)： 乙1丙3：B不能去丙，只能B去乙，仅1种； 乙3丙1：丙不能选B，从剩余3人选1个去丙，共种； 每个甲选法对应种，故有种； 合计：种， (1,1,3)型总选法：种. 第二类：人数分配为(1,2,2)型 按甲课程的人数分为两种情况： 1. 甲有1人：从 4人选1人去甲： 若B选甲：共1种，剩余4人分乙丙各2人，共种，无限制，合计种； 若B不选甲：从选1人去甲，共种，剩余4人（A,B和剩下2人）分乙丙各2人， B只能去乙，还需从剩余3人选1个去乙，共种，合计种； 合计：种. 2. 甲有2人：从4人选2人去甲： 若B在甲：B已确定，还需从选1个，共种，剩余3人分乙丙为(1,2)， 共种，无限制，合计种； 若B不在甲：从选2个去甲，共种，剩余3人（A,B和剩下1个）分乙丙为(1,2)： 乙1丙2：B不能去丙，只能B去乙，仅1种； 乙2丙1：丙不能选B，从剩余2人选1个去丙，共种； 每个甲选法对应种，合计种； 合计：种. (1,2,2)型总选法：种. 综上所述，这5名同学不同的选择方法种数共有种. 2．（25-26高二上·辽宁·期末）用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（    ） A．14 B．26 C．38 D．48 【答案】C 【分析】就3的使用次数分类讨论后可求 【详解】因为数字最多用次（其中），故至少出现1次. 若出现次，则不同的四位数的个数为， 若出现次，则1和2各出现1次，或2出现2次，则不同的四位数的个数为， 若出现次，则必然1出现1次，2出现2次，则不同的四位数的个数为， 故满足条件四位数的个数为， 故选：C. 3．（24-25高二下·浙江·期末）某班级要从3名男生和2名女生中选取2位学生分别担任正、副班长，则至少有一名女生被选中的不同选法有（   ）种． A．7 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【分析】由分类加法和分布乘法计数原理即可求解． 【详解】由题可得，至少有一名女生被选中的不同选法有2种情况，一男一女，两女， 所以共种， 故选：C． 4．（2025·四川达州·模拟预测）某市将要承办“全国太极拳公开赛总决赛”，组委会将甲、乙、丙、丁、戊等五位志愿者分配到个人赛､对练赛和集体项目比赛等三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到个人赛场馆，乙不能分配到对练赛场馆，则不同分配方案的种数是（    ） A．69 B．72 C．75 D．90 【答案】A 【分析】分甲单独一人执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另一个人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，甲和另两人一起执勤对练赛场馆或集体项目场馆，共六种情况求解即可. 【详解】由题意，分以下六种情况： 第一种情况，甲单独一人执勤对练赛场馆，则剩下的四个人可以分成一个人和三个人两组,或分成每组两个人,所以共有（种）方案； 第二种情况，甲单独一人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的三个人分配到对练赛场馆，则有1种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 若乙和另外两人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案； 第三种情况，甲和另外一人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第四种情况，甲和另外一人执勤集体项目比赛场馆，若甲和乙执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 若甲和乙以外的一人执勤集体项目比赛场馆，则有种情况； 共有（种）方案； 第五种情况，甲和另外两人执勤对练赛场馆，则剩下的三个人分成一个人和两个人两组，分配到个人赛场馆和集体项目比赛场馆， 所以共有（种）方案； 第六种情况，甲和另外两人执勤集体项目比赛场馆，则乙只能分配到个人赛场馆， 若只有乙一个人分配到个人赛场馆，剩下的两个人分配到对练赛场馆，则有种情况； 若乙和另外一人分配到个人赛场馆，则有种情况； 所以共有（种）方案. 所以一共有（种）不同的分配方案. 故选：A. 5．（多选）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有81种报名方法 B．4名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有24种不同结果 C．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有36种报名方法 D．4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有64种报名方法 【答案】AC 【分析】根据排列、组合知识及分步计数原理求解即可. 【详解】对于A，每个同学都有3种情况，共有种，所以A正确； 对于B，每个项目的冠军有4种情况，则共有种，所以B错误； 对于C，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人， 将4名同学分成人数分别为2，1，1的三组，再分配到三个项目中，共有种，所以C正确； 对于D，4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，跑步项目有4种，跳高有3种，跳远有2种， 根据分步乘法原理，可得一共种，所以D错误. 6．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）用扑克牌算“”点是大家喜欢的游戏，游戏规则是：从一副去掉大小王的扑克牌中任意取出张组成一个牌组，将牌面上的数字到分别视作点数到，将牌面上的字母分别视作点数．再通过加减乘除四则运算，将张牌面上的点数得出点，每张牌只能用一次．如果只考虑牌面点数，不考虑花色，那么在这个规则下，不同的牌组共有______组．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据不同牌组的组合数进行分类讨论即可. 【详解】题目要求只考虑点数、不考虑花色，点数共种， 我们需要计算从种点数中选取张的不同组合数，按点数重复情况分类计算： 张点数全不同：从种点数选种，共 组； 恰好对点数相同，其余个点数不同：先选相同的点数（种选）， 再从剩余种选个不同点数，共组； 恰好两个不同点数各出现次（两对）：从种选个点数，共组； 恰好张点数相同，剩余张不同： 先选张相同的点数，再选个不同点数，共组； 张点数全相同：共 组. 将所有情况相加得. 考点 09 求二项展开式的特定项(系数) 1．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）若展开式中的常数项为90，则常数的值为（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式的通项为， 令，则，故常数项为，则. 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中常数项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】展开式通项为. 令，解得. 将代入通项得常数项：. 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 4．（24-25高二下·江苏南京·阶段检测）在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 5．（24-25高二下·北京顺义·阶段检测）对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 【答案】D 【分析】根据二项展开式的性质及通项公式逐项判断即可. 【详解】由，可知展开式共7项，故A错误； 展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误； 因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误； 展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确. 故选：D 6．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）的展开式中，不含的项是（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项或第项 【答案】C 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由的幂指数为0求得答案. 【详解】二项式的展开式通项， 由，得，所以展开式中不含项是第13项. 故选：C 考点 10 求展开式中系数最大(小)项 1．（25-26高二下·山东泰安·期中）二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】D 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 当为偶数时，，系数为正数，当为奇数时，，系数为负数， 因此只有为偶数时，能取到系数的最大值， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此当时，系数为是所有项中最大的系数， ，因此系数最大的项是第7项. 2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）的展开式中，系数最大的项是第（    ）项. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出通项公式，可得第项的系数，设第项的系数最大，列不等式解出的范围，从而可得答案 【详解】的展开式通项公式为， 设第项为系数最大的项，则有， 解得，即， 所以的展开式中，系数最大的项是第项. 3．（24-25高二下·安徽滁州·期中）的展开式中二项式系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【分析】利用二项式系数的性质求解最大项即可. 【详解】因为展开式中共有7项，所以展开式中间项的二项式系数最大， 则第4项的二项式系数最大，故B正确. 故选：B. 4．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【分析】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【详解】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 5．（多选）（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知的展开式中，第5项与第4项的系数之比为，则（   ） A． B．展开式中的常数项为 C．展开式中二项式系数最大项为 D．展开式中系数最大的项为 【答案】ABD 【分析】对于选项AB，利用通项公式求解；选项C，由可知展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项，利用通项公式求解；选项D，设项为展开式中系数最大的项，则的系数的系数，且的系数的系数，利用通项公式求解. 【详解】选项A，的展开式中的第5项为 ， 此二项式的展开式中的第5项的系数为， 的展开式中的第4项为 ， 此二项式的展开式中的第4项的系数为， 第5项与第4项的系数之比为， ，，， ，故选项A正确； 选项B，展开式的通项， 令，解得， 则，故选项B正确； 选项C，，展开式中二项式系数最大项的项为第5项和第6项， 第5项为， 第6项为， 故展开式中二项式系数最大项为或，故选项C错误； 选项D，设项为展开式中系数最大的项， 则的系数的系数，且的系数的系数， ， 的系数为， ， 的系数为， ， 的系数为，， ，， ， ，，，， ， 展开式中系数最大的项为， 故选项D正确. 6．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比是6:1. (1)求展开式中所有二项式系数的和. (2)若展开式中，第k项为有理项，求k的取值集合. (3)求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据展开式的通项及第6项系数与第4项系数之比是6:1，求出的值，根据即可求得二项式系数和； （2）利用（1）的结论及展开式的通项知，当k为偶数时为有理项，由此可得k的取值集合. （3）利用通项写出各项的系数，列出相应的不等式组，求解可得的值，即可得到展开式中系数绝对值最大的项. 【详解】（1）的展开式的通项为. 因为第6项系数与第4项系数之比是6:1，所以，即， 化简得，即. 因为，所以. 所以的展开式中所有二项式系数的和为. （2）由（1）知的展开式的第项为. 若展开式中，第k项为有理项，则是整数，即是奇数，所以为偶数. 所以k的取值集合为. （3）的展开式的通项为，系数为. 令，即， 解得. 因为，所以. 所以展开式中系数绝对值最大的项为. 7．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知 (1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，求的值； (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)12 (2)或 (3) 【分析】（1）根据二项式定理展开式的性质可得； （2）根据二项式定理通项公式求出的系数与常数项，由条件可求的值； （3）根据二项式定理通项公式，设第项系数最大，建立不等关系可求出的值，得系数最大的项. 【详解】（1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故. （2）当时，二项式为， 展开式的通项为， 令，则，所以， 令，则，所以， 又，所以，整理得， 解得（舍去）或或. 所以或. （3）当，时，二项式为. 展开式的通项为， 设第项系数最大，则，即， 整理得，解得，又，所以. 所以二项式的展开式中系数最大的项为. 考点 11 多项式积、三项展开式问题 1．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 2．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】解法一：将条件整理变形，可得，即可得答案；解法二：由二项式定理计算即可. 【详解】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1. 故选：C 3．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若的展开式中的系数为30，则（   ） A．9 B． C．10 D． 【答案】A 【详解】由二项式定理，的通项为. . 其中产生项的来源有两部分： ①与中项相乘：令，得，该项系数为； ②与中项相乘：令，得，该项系数为. 因此的系数为：. 代入组合数计算：，，即， 解得，. 4．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 【答案】A 【分析】先对多项式因式分解，再利用二项式定理求含项的系数，避免直接展开高次幂，简化计算. 【详解】， 两个二项式相乘，含的项由以下两种情况组合得到： 中的常数项乘以中的一次项，其系数为， 中的一次项乘以中的常数项，其系数为， 综上，展开式中含x项的系数为. 5．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【分析】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【详解】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D 6．（25-26高二下·广东东莞·期中）的展开式中的系数是________. 【答案】 【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案． 【详解】的展开式通项. 展开式中的项由两部分相加而成： 一部分为与展开式中的项（此时）的乘积，即； 另一部分为与展开式中的项（此时）的乘积，即. 总系数为. 7．（25-26高二下·山东枣庄·期中）的展开式中的系数是_________（用数字作答）． 【答案】20 【分析】利用二项式通项公式找到含项，再从这些项中找到含的项. 【详解】由二项式的通项公式得：的通项公式为：， 令，得 的通项公式为： 令，解得：， , 项为 的系数是20. 考点 12 用赋值法求系数和问题 1．（25-26高二下·江苏南通·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得， 令，得， 所以 ． 2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先代入特值求出系数和，再求出，二者作差即为所求. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减得. 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【详解】因为展开式的各项系数和为32， 所以令，有，得， 故， 因为展开式中含的项为，含的项为， 则展开式中的系数是. 4．（多选）（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 5．（多选）（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，则， ， 令，则，故A错误； 当时，则， 当时，则， ，故B正确； 展开式通项为， 则对应，即，故C正确； 令，则， 令，则， ，故D正确． 6．（多选）（25-26高二下·江苏镇江·期中）若，其中，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A：根据多项式次数分析求解即可；对于BC：利用赋值法，分别令运算求解即可；对于D：求导，令运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为的次数为1，的次数为，则的次数为， 又因为，则的次数为7， 可得，即，故A正确； 对于选项BC：因为， 令，可得； 令，可得， 所以，故B错误； 令，可得， 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 求导可得， 令，可得，故D正确. 7．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知多项式，则的值为__________. 【答案】 【分析】令求出,令，化简即可求解. 【详解】令，可得：， 令，可得：， 即. 8．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，求出，再利用赋值法，即可求解； （2）两边同时对求导，再利用赋值法，即可求解； （3）根据条件得，，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）令，得到， 又由二项展开式知， 所以. （2）因为， 令得，. （3）依题意，，， 又 ， 所以 ， 所以的值为． 考点 13 整除和余数问题 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）今天是星期三，再过天是星期几（   ） A．星期三 B．星期五 C．星期六 D．星期日 【答案】D 【分析】通过二项式定理将逐步变形为与7相关的展开式，消去能被7整除的项，最终求得除以7的余数，进而推算出对应的选项 【详解】， 因为98能被7整除，所以上式前50项都能被7整除，只需确定最后一项除以7的余数，， 所以除以7的余数为， 因为今天是星期三，所以再过天，是星期日. 2．（25-26高二下·江苏盐城·期中）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若a和b被m除所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则b的值可以是（   ） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【答案】D 【分析】利用二项式定理可证明被10除的余数为9，再对选项进行检验即可. 【详解】因， 而 ， 因此被10除的余数为9， 又因为，所以被10除的余数为9， 经检验在各选项中，只有2029被10除的余数为9，故的值可以是2029. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）设n为正奇数，则被6整除的余数为（    ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先将给出的代数式求和得，再将用二项式定理展开，求出余数. 【详解】 这项中，前项均为6的倍数， 因为为正奇数，所以第项，除以6余5， 所以被6整除的余数为5. 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）除以的余数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，再写出的展开式，即可判断. 【详解】因为，其中 所以， 即， 因此除以的余数是，故D正确. 5．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知能够被8整除，其中，则______． 【答案】7 【分析】利用二项式定理将转化为，分析其除以8的余数，再结合能够被8整除的条件，即可求出的值. 【详解】因为， 根据二项式定理：， 展开式中，前1013项都含有因数8，都能被8整除， 只有最后一项不能被8整除， 因为能够被8整除，所以就需要能被8整除， 又因为，即，所以，则. 6．（24-25高二下·广东惠州·期中）已知，则：被除的余数是__________． 【答案】 【分析】令得，令得，即得，由，利用二项式定理展开即可求解. 【详解】因为， 所以令时，， 令时，， 所以， 又， 所以除以的余数是 故答案为： 考点 14 杨辉三角问题 1．（25-26高二下·重庆·阶段检测）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把系数列成一张表，借助它发现了一些规律．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了这个表，我们称这个表为杨辉三角，如图，第3行到第10行的各行的第4个数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到第3行到第10行的各行的第4个数的和为，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】由二项式， 可得第3行到第10行的各行的第4个数的和为， 又由组合数的性质知：且 所以，即第3行到第10行的各行的第4个数的和为. 2．（25-26高二下·湖北·期中）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（   ） A．第12行中第6个数最大 B．第2026行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C． D．第19行中第8个数与第9个数之比为2:3 【答案】D 【分析】根据条件及组合数的运算性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：由题意得，第12行共有13个数，根据对称性可得，只有第7个数最大，故A错误； 选项B：第2026行共有2027个数，根据对称性可得，只有第1014个数最大， 即第1013个数与第1014个数不相等，故B错误； 选项C： ，故C错误； 选项D：第19行中第8个数为，第9个数为， 则，故D正确. 3．（多选）（25-26高二下·江苏无锡·期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（）    A．第6行从左到右第3个数是15 B．第n行的所有数字之和为 C．第10行所有数字的平方和等于 D．若第n行的第个数记为，则 【答案】ACD 【分析】A. 杨辉三角第行对应二项式系数，第6行第3个数为,计算可得，与选项相符，故A正确. B. 根据二项式定理，令中，可得第行所有数和为, 并非，因此B错误. C. 先证明杨辉三角相关结论：第行各数平方和等于.代入，即得平方和为，故C正确. D. 由，将原式化为.由，可得等式成立，故D正确. 【详解】A.杨辉三角规定第行为，第行的数对应二项式系数，第行从左到右第个数对应，计算得，A正确. B.杨辉三角第行（不含第0行）的所有数为. 由二项式定理，令， 取，得，即第行数字之和为，不是，B错误. C.在“杨辉三角”中,第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字, 用数学语言表述为， 证明如下: 对应相乘可得的系数为. 而利用二项式定理可得通项公式为，当时,可得，即的系数为:，所以所以第10行所有数字的平方和等于，C正确. D.第行第个数，则求和式可替换为，令，得，由二项式定理，故，D正确. 4．（多选）（24-25高二下·浙江台州·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（   ） A．由“第行所有数之和为”猜想： B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想： C． D．第29行中从左到右第14与第15个数相等 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数和的公式即可求解A，根据组合数的性质即可求解BCD. 【详解】对于A, ，故A正确， 对于B,由组合数的性质可得，B正确， 对于C, ,C正确， 对于D, 第29行中从左到右第14个数为,第15个数为，两者不相等，D错误， 故选：ABC 5．（25-26高二下·吉林四平·阶段检测）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容． (1)求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数； (2)观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第列（从左往右）的关系式，并求的值；（用整数指数幂表示结果） (3)把杨辉三角中的每一个数都换成，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明：，，． 【答案】(1)2 (2)， (3)证明见详解 【详解】（1）图1中第31行中的所有数字之和为，且， 又， 展开式中除最后一项1外，其余各项均有因数9，能被9整除，且这些项和为正数， 被9除余数为1， 被9除余数为2． （2）图1中第63行的第k列(从左往右)为，第64行的第列(从左往右)为， 且，， . （3），， ． 学科网（北京）股份有限公司 $