江苏省前黄高级中学2026届高三考前攀登行动二数学试题

**基本信息** 江苏省前黄中学2026届高三数学模拟卷，覆盖集合、函数、几何、概率等核心知识，通过梯度化问题（如导数综合题含极值分析与证明）考查数学抽象、逻辑推理与建模素养，适配高考模拟预测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、椭圆离心率、立体几何位置关系|基础概念辨析，如第3题空间线面关系判断，考查空间观念| |多选|3/18|复数几何意义、正态分布、解三角形性质|多维度辨析，如第11题结合锐角三角形与等比数列，考查推理能力| |填空|3/15|圆台体积、抛物线焦点弦、集合计数|空间想象与运算，如第12题圆台体积计算，考查数学运算| |解答题|5/77|概率分布列、数列证明、立体几何夹角、双曲线最值、导数综合|分层能力考查，如第19题导数含极值分析、证明及整数最小值，体现数学思维与创新意识|

江苏省前黄中学2026届高三考前攀登行动二 数学试卷徐州 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若函数是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切， 则实数（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．设数列的前项和为，若，则数列前项的极差和方差分别为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8. 直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为， 则当矩形的面积为时，的值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）（附：若随机变量，则） A． B． C． D． 11．在中，设角所对边分别为．若为锐角三角形，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．不存在使得其边长为三个连续的正整数 C．存在使得其三边长成等比数列 D．当时，的面积存在最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆台的上、下底面的周长分别为，母线长为，则该圆台的体积为_______. 13．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上．若线段中点的纵坐标为，且，，则______． 14．已知集合，则满足，且的所有有序实数对共有_____种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 16．（本题15分） 设数列满足，，且．记． （1）证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； （2）设数列的前项和为，试比较和的大小． 17．（本题15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18．（本题17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为．设是上的动点，且不在轴上． （1）求的方程； （2）点分别在直线与上，且满足． ①证明：三点共线； ②求的最小值． 19．（本题17分） 已知函数，. （1）当时，若在处取得极值，求的值，并指出它是极大值还是极小值； （2）当且时，证明：； （3）当且时，若，，求整数的最小值． 数学试卷参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2．已知椭圆的焦距长等于短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 4．若函数是偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 5．已知直线，若绕点顺时针旋转后恰与圆相切， 则实数（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 6．设数列的前项和为，若，则数列前项的极差和方差分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 7．已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 8. 直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为， 则当矩形的面积为时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内对应的点分别为（其中为虚数单位，为坐标原点），则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 10．设，且．若随机变量满足，则下列说法正确的是（　　）（附：若随机变量，则） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对D选项，， 而，，∴， ∴，∴，D正确． 11．在中，设角所对边分别为．若为锐角三角形且，则下列说法正确的是（　　） A． B．不存在使得其边长为三个连续的正整数 C．存在使得其三边长成等比数列 D．当时，的面积存在最大值 【答案】ACD 【详解】对于A，在锐角中，由，得，解得， ∴，∴，A正确； 对于B，由，得，由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得，即． 由，得， 当时，令，方程无解； 当时，令， 由，解得，此时，B正确； 对于C，当时，与矛盾； 当时，，即，而，则， 即，令，函数， 求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得， ∴存在使得其三边长成等比数列，C错误； 对于D，当时，， 的面积 ， 令，则， ， 令，则函数在上递增， 而在上递减，∴函数在上递减， 又，∴存在唯一的，使得， 当时，，函数在上递增； 当时，，函数在上递减， ∴函数，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆台的上、下底面的周长分别为，母线长为，则该圆台的体积为_______. 【答案】 13．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上．若线段中点的纵坐标为，且，，则______． 【答案】 14．已知集合，则满足，且的所有有序实数对共有_____种． 【答案】 【详解】不妨设，则，∴． ①每一有序数对的最大数与最小数的差为3时，共有种； ②每一有序数对的最大数与最小数的差为2时，共有种 ∴满足条件的数对一共有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题13分） 袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等．用表示取出的3个小球标号的最小数字． （1）求随机变量的分布列及数学期望； （2）已知取出的3个小球的标号和为奇数，求的概率． 解：（1）随机变量的所有可能取值为． ……1分 ， ， ，． ……5分 的分布列为： 1 2 3 4 ……6分 ∴． ……8分 （2）记事件为“取出的3个球的标号和为奇数”，事件为“”． 由题意得，， ……10分 ． ……12分 由条件概率公式，得． ……13分 16．（本题15分） 设数列满足，，且．记． （1）证明：数列是等差数列，并求出的通项公式； （2）设数列的前项和为，试比较和的大小． 解：（1）∵，∴， ∴，即 ……4分 ∴数列是以为首项，1为公差的等差数列. ∴． ……8分 （2）由，解得， ……10分 ∵， ……12分 ∴， ……14分 ∵，∴． ……15分 17．（本题15分） 如图，在三棱柱中，平面平面，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 证明：（1）在平面内作交于点，连接． 由与，得， ∴． 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面． ……2分 又平面，∴． 又， 在中，，即， ∴，故，即， 又，且，平面， ∴平面． ∵平面，∴， ……4分 又三棱柱中，四边形为平行四边形， 又，∴四边形为菱形，∴， ……6分 又，平面， ∴平面． ……8分 解：（2）由（1）知平面，， 以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则， ，，， 则， 设为平面的一个法向量， 则， 取，得． ……12分 由（1）知平面，且， 故令为平面的一个法向量． ……13分 记平面与平面夹角为， 故， 即平面与平面夹角的余弦值为． ……15分 18．（本题17分） 已知双曲线的左、右焦点分别为，其渐近线方程为．设是上的动点，且不在轴上． （1）求双曲线的方程； （2）点分别在直线与上，且满足． ①证明：三点共线； ②求的最小值． 解：（1）∵双曲线的焦点分别为，其渐近线方程为， ∴， ……2分 解得， ∴双曲线的方程为 ……5分 （2）①证明：设，，则． 又，∴，， ∵，∴，解得， ∴． ……7分 又，且， ∴，解得， ∴． ……8分 ∴直线的斜率， ……10分 直线的斜率 ． ∴三点共线． ……12分 ②由①知，， ∴， ∵，∴， ……13分 令，则 ， 当且仅当，即，即时，取“”． （不取等号扣1分） ∴的最小值为． ……17分 19．（本题17分） 已知函数，. （1）当时，若在处取得极值，求的值，并指出它是极大值还是极小值； （2）当且时，证明：； （3）当且时，若，，求整数的最小值． 解：（1）当时，，∴， ∵在处取得极值，∴， 解得. ……3分 当时， ，， 当在区间变化时，的变化情况如下表所示： 0 极大 ∴在处取得极大值． ……6分 （2）当且时， ， 令，则， 则的最值问题可转化为的最值问题． ……7分， ①当时，（不恒为零），∴在上单调递增， ． 由，得， ∴，所以，即． ……9分 ②当时， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， ∴， 而，由上知，∴， 又，∴， ∴，∴，即． 综上，当时，． ……12分 （3）当时，， 令，由题意知恒成立． 而，， 当时，，，当时，， ∴在上单调递减，，不合题意舍去， ……13分 ∴． 当时，， ， ，， ∴，当时，， 则在上单调递减，∴， ∴在上单调递减，，不合题意舍去． ……15分 当时，， ， 当时，， ∴在上单调递增，，符合题意； 当时，由（2）可知，， ∴． 综上，整数的最小值为3． ……17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $