数学（二）-【鱼跃龙门卷】2026年高考押题登科卷（全国通用语数英）

2026年高考模拟试题— 押题登科卷（二） 数学 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 版权所有，严禁网络传播，违者必究 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是 符合题目要求的。 1.设集合A=xx<I,B={z>,则AnB A.(0,1) B.（-∞，1) C.(-1,1) D.(-∞，-1) 2.复数之满足2之一之=2一3，则在复平面内，复数之对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知点M是△ABC的重心，若BM=λAB十AC,则入十2μ= A.-1 C.0 D.1 4.若a=log32,b=3°.3，c=8.1,则 A.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 5.古巴比伦泥板（大英博物馆藏K90泥板）上记录的月相变化数列，是人类早期对天文现象进行数 学描述的重要例证.该数列将满月等分为240份，记数列{am}为第n天月球被太阳照亮部分占满 月的份数（其中1≤n≤15且n∈N),第1天月球被太阳照亮部分占满月的8，即a1=5;第15 天为满月，即a1s=240.若在数列{an}中，前5项构成公比为g的等比数列，第5项到第15项构 成公差为d的等差数列，且g,d均为正整数，则第10天可见部分占满月的 A.4 B专 c.s n 6.3名男生和2名女生站成一排，其中男生甲不站在两端，且2名女生不相邻的不同站法有 A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 押题登科卷（二）·数学第1页（共4页） 乙若a,b>0,则6十。十6的最小值为 A.2 B.2√2 C.4 D.3√2 8.已知数列{an}的首项a1≠3，am+1十2an=5X3"(n∈N*),若数列{an}是递增数列，则a1的取值 范围为 A.(0,3) B.(0,3)U(3,5) C.(1,3) D.(-∞，3)U(3,5) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.一组数据x1,x2,x3,x4,x5的极差为4，平均数为3，方差为2，若y:=2x:十1(i=1,2,3,4,5),则 A.y1,y2,y3,y4y5的第80百分位数为y4B.y1,y2,y3,y4ys的极差为8 C.y1,y2,y3,y4y5的平均数为7 D.y1y2y3,y4y5的方差为4 10.对任意x,y∈R,函数f(x),g(x)都满足f(x)+f(y)十g(x)-g(y)=x3-3y,则 A.f(2)=1 B.g(x)=2+3x 2 C.g(x)在R上单调递增 D.直线3x十2y=0与曲线y=f(x)相切 椭圆C:+3=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点P(1,1)的直线与椭圆C交 点，且满足AP=λPB,则下列结论正确的是 A.△ABF1周长的最大值为8 B.若λ=1，则直线AB方程为3x+4y一7=0 C.若λ=2，则直线AB方程为4x十3y一7=0 D.若动点Q满足AQ=一λQB,则点Q的轨迹方程为3x+4y一12=0 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 若双曲线C:一1a>0,6>0)的实轴长是虚轴长的2倍，则双曲线C的离心率为 13.已知函数f(x)=sin(x十p)十sinx(0<p<x),若f(x)的图象关于直线x=对称，f(9)= ,则sin20的值为 √2 14.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2√3，D,E分别为棱AB,AA1的中点，经过DE作 该三棱柱外接球的截面，则截面面积的最小值为 押题登科卷（二）·数学第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a十c=26sin(C+S). (1)求B; (2)求02262 c2的最大值. 16.(15分)中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域.为了了解不同学历人群对航天工程的关注情况，某社区随机调 查了200位社区居民，得到如下数据（单位：人）： 学历 关注 不关注 合计 本科及以上 80 20 100 本科以下 60 40 100 合计 140 60 200 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为对航天工程的关注情况与学历有关？ (2)现为了激发社区居民对航天工程的关注，该社区举办了一次航天知识闯关比赛，规则如下： 第一关：设置3道必答题，参与者需至少答对2道才能参与下一关答题，否则淘汰； 第二关：设置3道题，前2道题每答对1道奖励200元，答错即结束答题，奖励清零，2道题都 答对可选择放弃答题，领取奖励，也可以选择继续答题（等可能的选择），第3道题答对奖励 400元，答错前2道奖励减半，答题结束， 已知甲参与闯关比赛，第一关答题的3道题每道题答对的概率均为：，第二关答题的前2道 题每道题答对的概率均为p,第3道题答对的概率为1一饣，p∈(0,1)，各题答对与否相互 独立. (ⅰ)求甲能进入第二关答题的概率； (ⅱ)已知甲进入第二关答题，从期望的角度，帮助甲分析是否挑战第3道题，使获取的奖金 更多 参考公式及参考数据：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d):n=a+b+c+d. a 0.05 0.01 3.841 6.635 押题登科卷（二）·数学第3页（共4页） 17.(15分)已知动圆过定点E(2,0),且被y轴截得的弦长为4. (1)求动圆圆心C的轨迹方程； (2)已知过点E的直线L与圆心C的轨迹交于A,B两点，点B关于x轴的对称点为B' (ⅰ)求△AOB(O坐标原点)面积的最小值； (ⅱ)证明：直线AB'必过定点D. 18.(17分)如图，线段AB为圆锥PO底面⊙O的直径，点C为线段AO的中点，点D是以BC为 直径的圆上除B,C外的一个动点，AO=OP=4,且CD=CO. (1)证明：平面PAD⊥平面POD; (2)求PB与平面PAD所成角的正弦值. AK- B 19.(17分)已知函数f(x)=2sinx一ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在[0，π]上的值域； (2)若对任意x∈[0，]，都有f(x)≥xosx,求实数a的取值范围， 1 1 1<8(m∈N). （3)证明：2n4<an2+am京+am京+…叶tama十少器 押题登科卷（二）·数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2026年高考模拟试题—押题登科卷（二) 一、选择题 1.A【解析】由x2<1→-1<x<1,可得A=x-1<x<1},由1>1→0<x<1,可得B=x10<x<1, 故A∩B=(0,1). 2.D【解析】设z=a+bi(a,beR),由2z-z=2-3i,得2(a+bi-（a-bi)=2-3i, 即a+3bi=2-3i,得a=2,b=-1,所以z在复平面内对应的点为(2，-1)，位于第四象限. 3.c【解标】设D是4C的中点，则丽=2而，则哑-号而-}C-西号c-子亚， 因为=丽+4C,所以天=子A有得+2=0， 4.B【解析】因为y=log3x在(0，+o)上单调递增，所以1og,2<log3=1,可得a<1, 根据c=81=(23)1=23,且y=x3在(0，+o)上单调递增，可得3.3>23，即b>c, 由y=8在R上单调递增，可得c=81>8°=1，结合a<1,可得b>c>a. 5.D【解析】由题知，a1=5,a5=5g4,as=240=a,+(15-5)d=a,+10d,即240=5g+10d, 所以g+2d=48,因为q,d均为正整数，当g=1时，d=23.5N，当q=2时，d=16eN,满足：当 g23时，d=48,4eN,所以g=2,d=16,4。=5g+5d=160,此时月球被太阳照亮部分占满月的 2 160_2 2403 6.B【解析】第一类：先排3名男生，甲在两端的排序有A,A?种，再2名女生插空有A,A;种；第二类： 先排3名男生，甲在中间的排序有A?种，再2名女生插空有A?种，故男生甲不站在两端，且2名女生不 相邻的不同站法有A,A3A,A;+AA=48(种)， 7c【锅】号634，当当 /4a2 =4a? b a a a 2’b=1时 a1’即as1 a 取等号 1 押题登科卷（二） ·数学· 8.B【解析】由a1-31=-2(a.-3”),由于4-3≠0，可得数列{a-3”}是首项为4-3，公比为-2的 等比数列，则an=3“+(a1-3)(-2)”1，因为数列{an}是递增数列，可得an+1>an，即 3+a-习小(-2八>3+a-列(-2对任意的正整致和都成立。当a为偶数时，4>3-号[) 恒成立， 由r3-单送流可程3≤3--0，则>0：当为商时43号〔目 恒成立， 由=3+ 单调造，可得3+〔)≥3+号5，则4<5，则a的取值范围是 (0,3)U(3,5) 二、选择题 9.BC【解析】数据x,x,x,x4,x的大小不确定，所以第80百分位数不能确定，故A错误； 数据x,2，x3,x4,x的极差为4，即xmax-xin=4,由y=2x+1,可知ymx=2xmx+1, ymin=2xmia+1.∴ymax-ymin=2(xmax-xmin)=8,故B正确；由数据x,x2,x3,x4,x,的平均数为3， 方差为2，y,=2x+1,得数据y,2,3,y4,的平均数为2×3+1=7，故C正确；得数据，y2, 3,y4,y的方差为2×22=8，故D错误. 10.ACD【解析】令x=y=2,则有f2)+f2)+g(2②)-g(2)=2f2)=2,所以f2)=1,故A正确：因 为f(x)+fy)+g(x)-gy)=x3-3y,所以f(x)+g(x)-x3=g(y)-fy)-3y对任意x,y∈R均成立，当 x取任意值，y取固定值时，f(x)+g(x)-x3为常数，当y取任意值，x取固定值时，g(y)-fy)-3y为 常数，所以f(x)+g(x)-x3与g(y)-fy)-3y等于同一个常数，设f(x)+g(x)-x3=g(y)-f(y)-3y=a, /(x)=x-3x 令y=x,则{ 阳网日解 2 g0)=x+3x+2a 故B错误；由8)=+3x+20,得 2 g0w=3x+3≥3， 2 2,所以g()在R上单调递增，故C正确；因为f(x)=)”，所 ∫=3x-3,令-3，得x=0,又f0)=0,所以直线3x+2y=0是曲线y=f)在(0，f(0处 的切线，故D正确. 11.ABD【解析】：△ABE周长为AF+BF+AB≤AF+BE+AF+BF=8,当且仅当直线AB过F, 2 ·数学· 参考答案及解析 时取等号，故A正确；当=1或2时，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x-1)+1,联 [y=k(x-1)+1 ，得(6+42)x2-(82-8)x+4k2-8歇-8=0，设x,y),B(x,), 8k2-8k ∴.X+x2= 2,xX=4-8k-8,元=1，AP三PB，…石+名=2，+=3+42=2，解 3+4k2 得k=一，此时直线4B的方程为3x+4y-7=0,故B正确：~元=2，·AP=2PB,名+2x 、玉3-2x玉+五3=3+4产，解得5=大9 3+4k2 =3-25=3-8k2+16k+18_4k2-16k-9, 3+4k2 ，32—，5五秋一16k-9.4+8张+94张-8化简得 3+423+4k2 36+64+19=0,显然长=号不是方程的根，放C错误：设4，，8，)，Qm),:亚=P历， A0=-0B, x+x2=1+2 传-，=m1-》两式相乘可得-号=m1-),同理可得片-巧=-码， 则式-兰，-0：，0位，手+学浮+=0-学学，又，8在稀 4 3 4 3 圆千+号=1上，1-炉-0-X经+？，又根据题意可知4*山，“？+兮1，动点0的镜迹方程 41 3 43 为3m+4n-12=0,即3x+4y-12=0,故D正确. 三、填空题 12.5【解析】由题意可得2a=4h,即a=2b,又c2=公+公，可解得c=V56,所以e=9=0=5 2 a 2b 2 1B.号【解析】函数f倒=m(x+p+mx=2sm(+受cos号图象关于直线Xx-孕对称，所以 4 子+号-+keZ,即@=受+2，k∈Z,因为0<p<,所以=受所以=5snx+孕，又 422 2 41 T(0)-v2 2 争-所以n20-m20孕-2m0+争-1-号 所以sin(e+马=， 4 14.竖【解折】正三棱挂ABC-4AC的外接球的球心0为上下底面的外接图圆心的连线Q,的中点， 连接AO,AO,OD,OE,设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r=AO,=2,则R2=r2+3=7, 在△ODE中，OD=OE=2,DE=√6，作OF⊥DE于F,则过DF的平面垂直OF时截面圆的面积最小， D53W2 QDDF2=2-6=,藏面圆的半径为VR-OF2三722，所以截面 2 小值为n(35)-9π 2 2 四、解答题 15.解：(1)因为a+c=2bsin(C+), 61 3 押题登科卷（二） ·数学· 由正弦定理可得sinA+sinC=√3 sin BsinC+sin BcosC, 2分 在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sin BcosC+cos Bsin C, 代入整理可得cos Bsin C+sinC=V3 sin Bsin C, 又C∈(0，牙，则sinC>0,可得5sinB-cosB=1,即sin(B-=} 5分 6 又8e0孕，则B-君e(名孕，则B-吾-君可得8- 3 7分 6 66 （2》由余弦定理可得4-20_。-2+c2-a0.-+2.:-2=-巴--1. c2 11分 c2 所以当=l即a=c时，即a4BC为等边三角形时，口-2 2 -取得最大值-1. 13分 16.解：(1)零假设为H。:对航天工程的关注情况与学历无关， X-200x80x40-60x20=20≈9.524>6.635， 100×100×140×60 21 依据小概率值=0.01的独立性检验，推断H。不成立，即认为对航天工程的关注情况与学历有关.5分 (2)()记甲能进入第二关答题为事件A,即3道题至少答对2道题， 所以风0=c×员 7分 ()若确定不挑战第3道题，获得奖金为X,则X的分布列为 X 0 400 1-p2 p2 所以E(X)=400p2； 9分 若确定挑战第3道题，获得奖金为Y，则Y的分布列为 0 200 800 心 1-p2 p p21-p) 所以E(Y)=-600p3+800p2 12分 令E(X)-E()=600p3-400p2=200p2(3p-2), 放当0<p<号时，E0)<B0),建议挑战第3道题， 当P=号时，EC)=B),挑战和不挑战第3道题都可以： 当<P<1时，E()>E(),建议不挑战第3道厦 15分 17.(1)解：设动圆圆心为C(x,y,CE=V(x-2)2+y2, 4 ·数学· 参考答案及解析 C到y轴距离为x,动圆被y轴截得的半弦长为2，则(x-2)2+y2x2+22, 化简得y2=4x,所以动圆圆心C的轨迹方程为y2=4x. 4分 (2)(i)解：设直线AB的方程为x=my+2,A(:,),B(x2,y2), 联立 x=my+2 y2=4x ，消去x整理得y2-4my-8=0,4=16m2+32>0,则片+y2=4m,yy2=-8,6分 则△A08的面积为S=OE以-为-内-为-V6m+2=4m+2≥4W点，当且仅当m=0时取等号. 所以△AOB面积的最小值为4v2. 9分 ()证明：由题得Bk,-),则直线AB的方程为y+,=当-当化-x)，10分 X2一X 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上， 令y=0,得x=×-文+x,=业+4=侧+2到+》m2+2到 12分 -y2-H y2+乃 y+y2 _2m2y+20+2=-16m+8m=-2,·直线4B必过定点D(-2,0. 15分 y+y2 4m 18.(1)证明：因为PO垂直于圆锥的底面ABD,所以PO⊥AD, 当CD=CO时，CD=OC=AC,所以AD⊥OD, 又OD∩PO=O,OD,OPc平面POD,所以AD⊥平面POD, 4分 又ADc平面PAD,所以平面PAD⊥平面POD. 6分 (2)解：以O为坐标原点，以OB为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为BC=3CA,所以C(0,-2,0),P(0,0,4),B(0,4,0),A(0,-4,0), B 设D(x,y,0),则点D的轨迹方程为x2+(y-1)2=9, 8分 由(1)可知，AD⊥OD,所以点D也在以OA为直径的圆上， 则点D的轨迹方程为x2+(y+2)2=4, 10分 ,4V2 X= 联立 x2+y+2)2=4 2+0-12=9,可 3 y=3 4 的西交点关于y抽对称，不妨取D2, 12分 P044,0=2,0,丽=0,4④ i.AP=4y+4z=0 设平面PAD的法向量为i=(x,y,z),则 nD=42x+8=0取方=2，-， 14分 3+ y=0 3 5 押题登科卷（二） ·数学· 设PB与平面PAD所成的角为0，则si血0cos(B那，非6+16xN2+1+2 4+41 2 17分 19.(1)解：当a=1时，f(x)=2sinx-x,x∈[0，]，则f(x)=2cosx-1, 令/e>0则eosx>分助<x子令<0则eax< <1,即”<x<元. 3 所以f()在0，孕上单调递增，在(，)上单调递减， 又f0=0,③=5-牙f=-, 所以f)的值域为[-，V5-孕， 4分 (2)解：由f(x)≥xCOSx,得2sinx-xcoSx-ax≥0， 设)=2sinx-xCOSx--ar,x∈[0，牙，则h0)=0,h)=2cosx-c0sx+xsin-a=cosx+xsinx-a, 设g()=cosx+xsinx-a,则g0x)=xcosx,所以当xe[0,时，g0x)0. 所以h'(x)在[0， 孕上单调递增。 所以1-a=h'(O)≤hx)H5=-a. 6分 2 ①当a≥5时，(x)0,()在[0，受上单调递减，则0，不满足题意： 7分 ②当1a<受时，3飞∈0孕，使得()=0，且0<x<%时，h<0,h在@，)上单调通减， 则h(x)≤h(0)=0,不满足题意； 8分 ③当a<1时，2≥0，h()在0，孕上单调递增，则h>O)=-0,满足题意。 综上可得a≤1，即实数a的取值范围是(-o,]. 9分 (3)证明：由(2)得，当a=1时，任意x∈(0，，2sinx-*cOSx--x>0恒成立，即an=snx 2 1+cosx2' 1 1 所以tan 11 n+1)(n1)()(n+2)nin2EN) 1 1 所以tan2+tanz+ta4 "2++am1111112++工1=-1-n (n+1)2233445 n+1n+22n+22n+4: 12分 令p(-=是x-mx0<x<吾，则p-44ea， 元c0s2xπcos2x 存在∈(0，牙，使得p'(6)=0. 则当x∈(0，)时，p')>0:当x∈(G,牙时，p'<0, 6 ·数学· 参考答案及解析 于是风在(Q,x)止单调递增，在（买）上单润递减，而pO)=P()0, 所以p()>0,即当0<x<亚时， 4xztanx. 15分 4 所以m1<4.1<81.1 (a+y元(a+1元2n+12n+3aeN 1 11 所以tan2京+tan京+tan4 京++m;*2-1 8 (n+1)2π3557 )< 2n+12n+3元32n+3<3元 1 1 1 n_<tan。+tan空+am42+…+tann+3元neN) 综上所述，2m+4 17分 押题登科卷（二） ·数学· 2026年高考模拟试题一一押题登科卷（二）·数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 单选题 5 集合的交集 易 2 单选题 5 复数的运算、复数的几何意义 易 3 单选题 6 平面向量 易 4 单选题 6 比较大小 易 5 单选题 数学文化、等比数列基本量的计算 中 6 单选题 5 排列组合 中 7 单选题 5 基本不等式 中 8 单选题 5 数列的单调性 中 9 多选题 6 样本数据的数字特征 易 10 多选题 6 抽象函数的性质 中 11 多选题 6 直线与椭圆的位置关系 中难 12 填空题 5 双曲线的离心率 易 13 填空题 6 三角函数的图象与性质 中 14 填空题 6 棱柱外接球的相关计算 中 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 独立性检验、分布列与期望 易 17 解答题 15 直线与抛物线的位置关系 中 18 解答题 17 面面垂直的证明、线面角的求解 中 19 解答题 17 导数的综合应用 难