江西重点中学2025-2026学年高一下学期5月学科素养阶段训练数学试卷

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.D因为x=2-i-(-1十4i)=3-5i,所以之的共轭复数为3十+5i.故选D. 2.A由a⊥b,得a·b=3(m+1)-2m=0,解得m=-3.故选A. cos 50'sin 10-sin 50'cos 10-cos 50'sin 10sin(50 4.B设f(x)的最小正周期为T,由函数f(x)=tan(o+无)(o>0)的图象的相邻两个对称中心之间的距离为苓，所 以了=苔解得T=卒，所以名=吾，解得w4故选B 5.C由题意知sim(2a+无)=sim[2(a+)-受]=-cos2(a+0）)=-[1-2sim(e+0)门]=-冬故选C 6.C设之=x+yi(x,y∈R),则x-3+yi=|x+(y-3)i,所以(x-3)2+y2=x2+(y-3)2,解得x=y,所以|之-2+i =x一2+(+1Di=G2+a+D=22干-√2(22）+号≥39故选C CD BC 7.B在△BCD中，CD=70m,∠BCD=75,∠BDC=60,所以∠CBD=45,由正弦定理，sm∠CBDsinZBDC,可得 70× BC= -56m,作在直角△Ac中.因为∠AcB=15,所以mACB=m45-30)=骨温部=2 2 √3，所以AB=BC·tan∠ACB=35√6×(2-√5)=70√6-105√2，即塔高AB为(70√6-105√2)m.故选B. &D由c(答受)知0<cas0号.因为a>b1,所以0<<1.0<os号 因为③a片s0.所以0<④a<号，0<2(e0)<尽.因为2(a)是整数，所以2(Ea)=1,所以ba=之， 丹=2d而0<舟<1，即0<d1,所以<as0号，因为e6=丹ms0=2os,<s0<子，所 以2<2os0<号，即号<ab<号，故a④b的取值范围为（分，多）.故选D 9.BC取刘=一2十i,=i,满足1一2=一2<0，而虚数不能比较大小，A错误；由刘=2，知1是2的共轭复数，则 [ac-bd=0, =2,B正确；设名=a十bi,2=c十di(a,b,c,d∈R),则1·2=(ac-bd)十(ad十bc)i=0,则 即 ad+bc=0; (ac=bd, 于是a2cd=-bcd,若c=d=0,则a2cd=-bcd成立，此时2=0；若c=0,d≠0，由ac=bd知b=0;由ad= ad=-bc, -bc知：a=0,此时名=0；同理当c≠0，d=0时，名=0；若c≠0，d≠0，由a2d=一cd得a2=一b,则a=b=0,此时 =0;因此若之1·2=0，则=0或忽=0，C正确；取为=1,2=i,满足|名|=|2|，而号=1≠一1=，D错误.故 选BC. 10.AC由2b=a2+22,得2(a2十c2-)=a2,由余弦定理得2×2 accos B=a2,即a=4 ccos B,A正确；由a=4 ccos B及 正弦定理，得sinA=4 cos Bsin C,即sin(B+C)=4 cos Bsin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C-=4 cos Bsin C,即sin Bcos C =3 Bn C..所以mB=3nC,B错误：h上知amB=3anC,所以B.C均不为直角，进而A-受则mB-C 【高一5月考·数学参考答案第1页（共4页）】 代入tanB=3tanC,得taB=3.因为B为锐角，所以B=苓，C=否，所以b-3c,C正确：过B作BD⊥AC,则AD= osA.又P在AD之间运动时，PA与PB的夹角为钝角，因此要求PA·P的最小值，P应在AD之 间运动，即|AP|∈(0，ccsA),又PA·P市=(-A2)(A店-AP)=-|A|·|A·cosA十 |A:=-|cosA,当A=A时，P,P跟最小值为一子Ccos2A,D错误，放 2 选AC. 1l.ABD因为a,B∈(0，)，2sin(a+B)+cos(a+B)=cos(a-B),所以2(sin acosB+-cos asin)十cos acos- sin asin B-cos acos B十sin asin B,整理得sin acos B+cos asin3-sin asin B,同除cos acos B,得tan atan-tana十tanB, 由a,9∈(0，受)，放na>0,m>0,所以。十品B=1,放A正确：因为mctm月=tama十m9≥ 2√an atan,解得tan atan≥4，当且仅当tana=tang=2时等号成立，故B正确：osa+2十sin(a+2 sin asin B cos acos B cos acos Bsin asin B sin acos B+cos asin B 1 sin asin B cos acos B tan atan B -1+tan a+tan B=tan atan tan atan -1,%tan atan B ≥4，所以 人tan atm+mean9-1≥}十4-1=坚，故C错误：m(a+g》=aag 1 tan atanβ 1-tan atan B 1-tan atan B 1 1 1 1 由mo2,知0mdam子，所以-1 m sn91长一是所以-音≤ana+a》<-1,故 tan atanβ D正确.故ABD. 12-2因为费名邦得器=5号10=-1一么，所以+费的虚部是-2 5 1a1因为向量。一0在向量a上的投影向量为子a所以a治0·日=号a,所以020=子，所以 (a-2b)·a=子1a2,所以a…b=日|al2=1. 14(号，号)U(g,号]当x∈(-受，0）时am-受∈(-吾。-子，-受)，因为f(x)在(-是0上单调递增，所 以-w晋≥-吾，解得0<<2当x∈（受，受）时m-晋∈（受w子，受。晋），因为0<o<2,所以受。 -<登<0 吾∈(-子，]，要。吾∈(-子，]又f()在（受，受）上有且仅有1个零点，所以 或 0≤受。< 解得号<<号或<w<号 2m2-3m-2>0, 15.解：(1)因为复数之在复平面内对应的点位于第四象限，则 …2分 m2-m-2<0, 解得-1<m<一之，即m的取值范围是(-1，一号). …6分 (2)当m=1时，之=-3-2i,… …7分 因为之是关于x的方程x2十pa十q=0的一个根，所以之2十p2十q=0, 【高一5月考·数学参考答案第2页（共4页）】 即(-3-2i)2+(-3-2i)十q=0,整理得(5-3p+q)+(-2p+12)i=0, 10分 5-3p+q=0, =6， 所以 解得 13分 -2p+12=0, g=13. 16.解：(1)in(x+a）=cos(r-a2=-sina十cosg==tama+1 tan a-2 7分 sin a+2cos a sin a+2cos a (2)cos 2a-cos'a-sin'a-cosasina1-tan'a. sin a+cos a tan'a+1 5 10分 又a∈(0,5），所以2a∈(0，x),则sin2a=√-cos22a= 4 12分 放sm4a=2sn2aas2a=2X号×(-号）=装 15分 17.解：(1)因为Ai=2i,所以B=3BM=3e,MA=2Bi=2e1, 1分 因为点D,E分别为边AC上的三等分点，所以AD-EC-e2,AC-3元=3C, …2分 所以Bd-BA+AD=3e+e2,MC-MA+AC=2e+3e.… …4分 (2)由AB=3,AC=6,∠BAC=60°可知，|e1|=1,|e2=2,e,e2的夹角为120°， 所以g·e2=|g|e2|c0s120=-1. 6分 |MC|=√/(2e+3e)=√4e+9e6+12e·e=2√7.… …9分 (3)由图形可知，∠DNC的大小等于BD与MC的夹角， |BDl=√9e+e+6e,·e-√7，… 10分 又BD.MC=(3e+e)·(2e+3e2)=6e+3e+1le·e=7, 11分 所以cos∠DNC BD·M底 7 1 |BD1·|McJ7×272' 13分 又∠DNC∈(0，x,则∠DNC=亭， 14分 放∠BNC-子 15分 1&解：由题意知f)=2Esno(-子）-1=2sn(号os+号nx)- =2 sin cos+2sim2x-1=sin2z-cos2x=√/2sin(2x-卒） …2分 所以f(x)的最小正周期T==元… 2 …3分 令-受+2kr<2x-至<受+2kx,k∈Z, 4分 解得一晋十k<<智+，k∈乙，即f(x)的单调递增区间为[-吾十m,餐+kx](k∈.…5分 (2)解：因为re[-÷子]，所以2x-∈[-平子]所以E(2x吾)[-厄，1]. …7分 a-3≤-√2， 因为-3≤f(x)-a≤2，所以a-3≤f(x)≤2+a,所以 …9分 2+a≥1， 解得一1≤a≤3一√2，即a的取值范围是[一1,3-√2].… 10分 (3)i证明：gx)=f(受)+2nx=Esim(x-年）+号1nx,xe(0,十o∞， 【高一5月考·数学参考答案第3页（共4页）】 当xe(o,至]时g()单调递增，g()=多h子<0，g(受）=1+号n受>0， 所以g（)在(0，经]上有唯-零点；12分 当xe(,]时厄sm(x-平)≥0，是n>0,所以gx)>0,无零点： …………… 14分 当x(平，+∞)时，平>e,号1n>号一E,所以g()>0,无零点. 16分 综上，函数g(x)有且只有一个零点.… 17分 19.(1)证明：因为cos2B+cos2C=1+cos2A,所以1-2sin2B+1-2simC=1+1-2sin2A,即sin2A=sinB+sinC,由正弦 定理可得2=十2，所以A=交，即△ABC是直角三角形.… …4分 (②解，△ABC的面积S=之csnA=名6X1=写，解得6一厅，所以a=厅元=2…5分 因为点P为△ABC的费马点，所以∠APB=∠BPC=∠CPA=牙， 设∠PBA=0,所以∠BAP=∠PBC=号-0，∠BCP=0, 在△PAB中，由正弦定理得AB三，BP s☑APBsin.2PAB即】 =BP,所以BP= sin(s-0） 在PC由弦理得m光mP防即盆光你咖A BP √5 3 2sin(3-0） 所 4sin 0 √3 …8分 所以号as0-专sm0广2sn6即号ms0-=吾s血0，所以m0=号，即am∠PBA= 3 ……10分 3)解：因为点P为△ABC的费马点，所以∠APB=∠BPC-∠CPA-, 设PB=mPA,PC=mPA,PA=,m>0,m>0,>0,所以PBPC=m十 PA 在△PAB中，由余弦定理得AB=2+mx-2m2cos暂=(m+m十1)2， 在△PAC中，由余弦定理得AC=2+x2-22os2=(n+n十1)x2, 3 在△PBC中，由余弦定理得BC=m2x2+t2-2m2cos2经=(m2++m)x2, 3 又AC+AB2=BC2,所以(2+n+1)x2+(m2+m+1)x2=(m2+n2+mn)x2, 所以m十n十2=m,… …13分 又m>0,心>0，所以m十+2=m≤(），即(m十)2-4(m十）-8≥0， 15分 解得m十n≥2十23或m十n≤2-2√3（舍去），当且仅当m=n,即m=n=1十√3时，等号成立， 所P的最小值为2+2。 …17分 【高一5月考·数学参考答案第4页（共4页）】%.1一§，”正.I5‘§%。7· 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：北师大版必修第二册第一章一第五章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.复数之=2一i一（一1+4i)的共轭复数为 A.3-5i B.-3+5i C.-3-5i D.3+5i 2.已知向量a=(m十1,2)，b=(3,-m),若a⊥b,则m= A.-3 B.0 C.3 D.4 3.sin130cos170°-cos50°sin10°= A号 B号 c司 D.司 4.已知函数f(.x)=tan(ox+希)(w>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则w A.2 B.4 C.8 D.12 5.已知sim(a+)-子，则sim(2a+恶) A名 B零 C.-8 D、5 8 6.若复数之满足|一3|=|一3(i为虚数单位)，则1之一2+i的最小值为 A号 B.√2 D.22 【高一5月考·数学第1页（共4页）】 7.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平 面内的两个测量基点C与D,现测得∠ACB=15°，CD=70m, ∠BCD=75°，∠BDC=60°，则塔高AB为 A.（70√6-150)m B.(70√6-105√2)m C.(105√6-105√2)m D.(70W6-145)m 8.对任意两个非零向量m,n,定义新运算：m①n=mc0sm,m,(m,n>表示向量m,n的夹角.若非零 n 向量a,b满足a>b1,向量a,b的夹角0∈ 晋，受)，且2(b①a)是整数，则a①b的取值范围为 A(2) B(1,) c(侵3) D(合，) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知之1,2为复数，则下列说法正确的是 A.若1一2<0，则<2 B.若1=2，则1=2 C.若1·2=0，则1=0或2=0 D.若|=之2，则= 10.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,2b=a2+2c2,则下列说法正确的是 A.a=4ccos B B.tan B=4tan C C.若△ABC是直角三角形，则b=√3c D.若△ABC是锐角三角形，P是线段AC上一点，则Pi·P的最小值为-A 11.已知a,8∈(0，)，2sin(a+B)+cos(a+)=cos(a一)，则下列说法正确的是 A.1+1 =1 tan a'tan B B.tan atan B的最小值为4 C.os(a+2+ma+的最小值为1 sin asin B'cos acos B' D.-3≤tan(a+B)<-l 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12复数十的虚部是 13.已知向量a-2b在向量a上的投影向量为2a,若a=2V2,则a·b 14.已知函数f(x)=sin(x-)(w>0)在(-节0）上单调递增，且在（受，）上有且仅有1个零点， 则。的取值范围为 【高一5月考·数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数之=(2m2-3m一2)+(m2-m-2)i,m∈R. (1)若在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围； (2)当m=1时，之是关于x的方程x2+px十q=0的一个根，求实数p,g的值. 16.(本小题满分15分) 已知a为锐角，且tana=2. (1)求sin(x+a）-cos(r-的值： sin a+2cos a (2)求sin4a的值. 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，AB=3,AC=6,∠BAC=60°.点D,E分别为边AC上的三等分点，点M满足AM =2M店，设BM=e1,EC=e. (1)用e1,e2分别表示向量BD,M心； (2)求|MC; (3)求∠BNC的大小 【高一5月考·数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分)》 已知函数f(x)=22 sin rcos(x-于)-1. (1)求∫(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若任意的x∈[一平，至]，均清足一3≤fx)-a≤2，求a的取值范围： (3)设函数g(x)=f(受)+号nx,求证：函数g(x)有且只有一个零点 19.(本小题满分17分) “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一 点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的 三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120的点O即为费马点；当△ABC有一个 内角大于或等于120时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C=1十cos2A,点P为△ABC的费马点. (1)求证：△ABC是直角三角形； (2)若△ABC的面积为号，且c=1.求tam∠PBA的值： 3求法的最小值 【高一5月考·数学第4页（共4页）】