上海市2025-2026学年高二下学期期末数学模拟试卷（三）

**基本信息** 2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟卷，以集合、函数、几何、概率等核心知识为载体，通过基础巩固题（如集合运算、直线方程）、能力提升题（如向量最值、椭圆定点证明）、创新应用题（如函数构造过程）的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/48分|集合运算（1）、函数性质（3）、统计百分位数（5）、复数模（12）|结合空间想象（球内接圆柱侧面积6），考查数学眼光| |单选题|4题/16分|立体几何位置关系（13）、双曲线方程（14）、数列单调性（16）|通过概率事件分析（15），体现数学思维严谨性| |解答题|5题/56分|立体几何证明与计算（17）、三角函数性质（18）、椭圆综合应用（20）|以函数对称中心证明（21）、概率分布列（19）考查数学语言表达，契合高考命题趋势|

2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟试卷（三） 一、填空题 1．设集合.若，则______. 2．已知直线，若，则的值为__________． 3．下列各式：①； ②已知，则； ③函数的图象与函数的图象关于y轴对称； ④函数的定义域是，则m的取值范围是． 其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上）． 4．已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为______________． 5．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为____，第86百分位数为____. 6．如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为________． 7．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______. 8．已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为_______． 9．将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有__________种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有__________种.（用数字作答） 10．已知且：，则的最大值为_________． 11．函数是奇函数，且当时，函数单调递增，若，则不等式的解集为__________． 12．已知复数满足，则的最小值是___________. 二、单选题 13．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若、，则 B．若、，则 C．若、、，则 D．若、，则 14．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 15．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 16．数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 三、解答题 17．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 18．已知函数. (1)若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 19．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 20．椭圆的右焦点为，过点斜率存在且与轴不重合的直线交于，两点，点关于轴的对称点为；当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线过定点； (3)求面积的最大值． 21．已知定理：“若、为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”.设函数，定义域为. （1）试求的图象对称中心，并用上述定理证明； （2）对于给定的，设计构造过程：、、、.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟试卷（三）（解析版） 一、填空题 1．设集合.若，则______. 【答案】 【分析】由得，求出并验证. 【详解】因为，所以，解得或， 若，则，此时，符合题意； 若，则，此时，不符合题意. 故的值为. 故答案为：. 2．已知直线，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据两直线垂直列方程求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为：. 3．下列各式：①； ②已知，则； ③函数的图象与函数的图象关于y轴对称； ④函数的定义域是，则m的取值范围是． 其中正确的是______（把你认为正确的序号全部写上）． 【答案】①③④ 【分析】根据指数运算法则，利用对数函数的单调性，指数函数的图象，以及不等式恒成立求参数范围的方法，对每一项进行逐一分析，即可选择. 【详解】①：根据指数运算法则，，故正确； ②：，也即， 当时，由为单调增函数，解得：； 当时，由为单调减函数，解得； 综上所述，；故错误； ③：函数的图象与函数的图象关于y轴对称，故正确； ④：函数的定义域是， 也即：对任意的恒成立， 当时，显然成立，故满足题意； 当时，要满足题意，只需且， 解得：； 综上：.故正确. 故正确的是：①③④. 故答案为：①③④. 4．已知平面非零向量满足:，且与的夹角为，则在所有的情况中，的最小值为______________． 【答案】2 【分析】建立如图平面直角坐标系，设．根据向量数量积的坐标表示求得，进而或，分类讨论结合向量的线性运算，即可求解. 【详解】令．建立如图平面直角坐标系，    不妨设． ， ，则， ． ．由，得或， 根据对称性，只研究的情况，因为，要求的最小值， 只需求，当时，， 当时，， 综上，的最小值为2. 故答案为：2 5．一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，则该组数据的第75百分位数为____，第86百分位数为____. 【答案】 【分析】根据百分位数的定义计算得出答案. 【详解】， 第75百分位数为； ， 第86百分位数为第18个数据17. 故答案为：；17. 6．如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为________． 【答案】 【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论． 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即 时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 7．抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______. 【答案】 【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值． 【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点. 由抛物线的定义，知，. 由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为. 故答案为：． 8．已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为_______． 【答案】3 【分析】根据给定的递推公式，确定数列的特性，再结合等差数列公差的几何意义得解. 【详解】由，得数列是以为首项，3为公差的等差数列， 由等差数列公差的几何意义知，通过该数列图象上所有点的直线的斜率. 故答案为：3 9．将这9个数填入如图所示的格子中，要求每个数都要填入，且每个格子中只能填一个数，则不同的填法共有__________种，若填入的每行各数之和为偶数，则不同的填法共有__________种.（用数字作答） 【答案】 1512 324 【分析】求出将这9个数填入，不同的填法种数，分两个1在同一行时和两个1不在同一行两种情况即可求解. 【详解】将这9个数填入，不同的填法种数为， 这9个数中有4个奇数，5个偶数， 因为填入的每行数之和为偶数， 故每行有偶数个奇数，则只需将4个奇数按分成三组， 当两个1在同一行时， 不同的填法种数为， 当两个1不在同一行时， 不同的填数方法种数为. 故不同的填法种数为. 故答案为：1512；324. 10．已知且：，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】由，得，化简后可得，结合 可得，再利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 因为，故， 若，则， 此时，，矛盾，故， 由两边同时除以可得， 所以 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 11．函数是奇函数，且当时，函数单调递增，若，则不等式的解集为__________． 【答案】或 【分析】根据函数奇偶性，得到，且在上单调递增，进而可将所求不等式化为或，根据函数单调性求解，即可得出结果. 【详解】解：因为是奇函数，且，在上单调递增，所以，且在上单调递增． 所以不等式可化为或 即或， 解得或． 所以原不等式的解集是或. 故答案为：或. 12．已知复数满足，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】设，由可得圆的方程，再由的几何意义即原点到圆上的最短距离，即可得解. 【详解】设，， 由可得， 故对应点的轨迹为圆心,半径为的圆C， 表示原点到圆C上的最短距离， 而原点在圆内，由原点到圆心的距离， 所以原点到圆C上的最短距离为， 故答案为：. 二、单选题 13．在空间中，、、是三条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若、，则 B．若、，则 C．若、、，则 D．若、，则 【答案】D 【解析】本题可根据和可能是异面直线判断出A错误，然后根据、无法判断出和之间关系得出B错误，再然后根据和可能异面判断出C错误，最后根据面面平行的性质即可判断出D正确. 【详解】选项A：若、，则和可能是异面直线，故A错误； 选项B：若、，则和不能判定有垂直和平行的关系，故B错误； 选项C：若、、，则和可能异面，故C错误； 选项D：若、，则，D正确， 故选：D. 14．已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解. 【详解】椭圆焦点为， 双曲线焦点为，且， 将代入双曲线， 得， 又， 解得，， 故双曲线的方程为， 故选：D. 15．某人在次射击中击中目标的次数为，其中，击中偶数次为事件A，则（   ） A．若，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，随着的增大而减小 D．当的，随着的增大而减小 【答案】D 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于CD，由题意把表示出来，然后利用单调性分析即可. 【详解】A：在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A错误； B：，当时，取得最大值，故B错误； C、D：， ， ， ， 当时，，为正负交替的摆动数列，所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列，所以随着的增大而减小，故D正确； 故选：D. 16．数列满足，下列说法正确的是（    ） A．若，则是递减数列，，使得时， B．若，则是递增数列，，使得时， C．若，则是递减数列，，使得时， D．若，则是递增数列，，使得时， 【答案】B 【分析】由，得到，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 当时，则，，设，则，所以是递减数列，当，，故A错误； 当时，，，又，所以，设，则，即，又因为，所以，所以，，故B正确； 当时，，，所以是递减数列，当时，，故不存在，使得时，恒成立，故C错误； 当时，则，，设，则，所以是递增数列，当，，故D错误； 故选：B 三、解答题 17．如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【详解】（1） 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. （2）因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角的大小为. （3）连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因为平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 18．已知函数. (1)若点是函数图像的一个对称中心，且，求函数在上的值域； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整体代入法求，从而得到，进而利用正弦函数的性质，结合的取值范围即可得解； （2）利用整体代入法求得的单调性，从而利用数轴法得到关于的不等式，结合正弦函数的周期性先确定的值，再得到的取值范围，由此得解. 【详解】（1）由题意得: ， ， 故函数在上的值域为. （2）令，解得， 函数在上单调递增， ， 即 又， ， 所以的取值范围为. 19．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意，摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，可写出分布列． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值，进而可算得，进行比较可判断. 【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示． k k 0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.06376 1 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.02667 2 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.00867 3 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.00217 4 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.00041 5 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.00006 6 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.00000 8 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.00000 9 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.00000 10 0.11714 0.11924 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得 有放回摸球：． 不放回摸球：． 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．    20．椭圆的右焦点为，过点斜率存在且与轴不重合的直线交于，两点，点关于轴的对称点为；当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点． (1)求的标准方程； (2)证明：直线过定点； (3)求面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先表示直线的方程，即可求出椭圆的下顶点，从而求出、的值，再求出即可； （2）设，，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，表示出的方程，根据对称性可知定点在轴上，令求出即可； （3）根据及基本不等式计算可得. 【详解】（1）当直线斜率为时，直线方程为，令得， 所以椭圆的下顶点坐标为， ，， 所以椭圆的标准方程为． （2）设，，则， 设直线方程为， 联立方程，消去得， 则，所以，， 直线的方程为， 由椭圆对称性可知，定点在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点；    （3）的面积 ， 当且仅当，即时取等号， 故的面积的最大值为. 21．已知定理：“若、为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”.设函数，定义域为. （1）试求的图象对称中心，并用上述定理证明； （2）对于给定的，设计构造过程：、、、.如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止.若对任意，构造过程可以无限进行下去，求的取值范围. 【答案】（1），证明见解析；（2）. 【解析】（1）计算出的值，由此可得出结论； （2）分、、三种情况讨论，求出函数的值域，根据题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1）， 由已知定理得，的图象关于点成中心对称； （2）， 当时，若，由基本不等式可得， 若，由基本不等式可得. 此时，函数的值域为， 当时，的值域为， 当时，的值域为， 因为构造过程可以无限进行下去，对任意恒成立 或，由此得到. 因此，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $