上海市2025-2026学年高二下学期期末数学模拟试卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟卷，以立体几何、概率统计、解析几何为核心，通过翻折问题、阿基米德三角形探究等设计，考查空间观念、数据观念与创新意识，梯度覆盖基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|空间点线面关系（第1题）、独立事件概率（第2题）、圆柱表面积（第5题）|翻折问题（第8题）结合空间角比较，考查直观想象| |单选题|4/20|面面平行判定（第13题）、概率命题辨析（第14题）、数据特征应用（第15题）|公共卫生事件数据判断（第15题）体现数据观念| |解答题|5/76|四棱锥证明与距离（第17题）、动圆轨迹与切线（第18题）、双曲线阿基米德三角形探究（第20题）|类比探究（第20题）融合几何直观与逻辑推理，呼应创新意识培养|

2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟试卷（一）（解析版） 一、填空题：本题共12小题，共54分. 1．下列命题中正确的个数为_____________个 ①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、Q、R，则P、Q、R三点共线； ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面； ④若，，则； 【答案】3 【分析】根据公理2及公理1可证①成立，根据公理3及其推论可证②成立，通过反例可得③不成立，从而可得③错误，由平行公理知④正确. 【详解】对于①，因为，平面，因此平面， 同理平面，平面，故三点共线.故①正确. 对于②，如图    因为，故可确定一个平面，因为， ，故，所以. 在平面内过作直线，因为，故重合或者， 但，从而重合，也就是这四条直线共面，故②正确. 对于③，以四棱锥为例，    与异面，与异面，但与相交，并不异面，故③错误； 对于④若，，由平行公理可得正确，故④正确. 故答案为：3 2．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______． 【答案】 【分析】根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案． 【详解】解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，， 则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率， 故该密码被成功破译的概率． 故答案为：． 3．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 【答案】 【详解】总事件数为， 目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有 ，共8种； 当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种； 所以目标事件共20种，所以． 4．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先由直线方程求得坐标，得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离， 从而得到点到直线距离的范围，利用三角形面积公式可求得结果. 【详解】由题意得：，     由圆知：圆心，半径 圆心到直线距离 到直线距离，即 故答案为： 5．已知母线长为2的圆柱的体积为，那么该圆柱的表面积为___________. 【答案】 【分析】设底面半径为，根据圆柱的体积求出底面半径，从而求出其表面积； 【详解】解：依题意可得圆柱的高，设底面半径为，则，解得，所以 故答案为： 6．若向量，，则________，________. 【答案】 ； . 【解析】根据空间向量的坐标运算法则求出，再根据模的计算公式计算可得. 【详解】解：因为， 故答案为：； 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及向量模的求法，属于基础题． 7．已知是曲线上的点，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据已知条件做出图形，利用两点斜率公式及不等式的性质即可求解. 【详解】， 由题意可知,作出图形，如图所示， 因为是曲线上的点，则 表示过点两点直线的斜率， 显然当位于处时，有最大值， 显然当位于处时，有最小值， 所以 所以 故的取值范围是 故答案为：. 8．如图，在平行四边形中，分别为上异于点的两点，把沿着翻折，记翻折后的点为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则与的大小关系为______． 【答案】 【分析】根据定义作出线面角和线线角，然后构造具有公共斜边的直角三角形，由直角边的大小得角的大小关系. 【详解】如图，过点作平面，垂足为，连结，则． 过点作直线，在直线上取点，使得，连结，则． 由平面，平面，得，平面，则平面， 而平面，所以， 在中，，则． 在和中，，，所以． 故答案为：． 9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球､6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率___________；若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率___________. 【答案】 /0.7； . 【分析】根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率求解顾客抽奖1次能获奖的概率，由二项分布求出抽三次获3次一等奖的概率，再由对立事件概率求解. 【详解】因为在甲箱中抽一球与在乙箱中抽一球相互独立， 所以由独立事件同时发生的概率乘法公式可知，顾客抽奖一次未获奖的概率， 所以顾客抽奖1次能获奖的概率为. 在一次抽奖中，顾客获得一等奖的概率为，设顾客3次抽奖中获得一等奖的次数为随机变量，则由题意知， 则顾客3次抽奖都抽中一等奖的概率为, 所以该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率为. 故答案为：； 10．在长方体中，，，点为线段的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】画出图形,利用折叠与展开法则使和在同一个平面,转化折线段为直线段距离最小,即可求得的最小值． 【详解】当的最小值,即到底面的距离的最小值与的最小值之和.为底面上的动点,当是在底面上的射影,即是最小值. 展开三角形与三角形在同一个平面上,如图: 长方体中，， 长方体体对角线长为: 在中: 故 故 过点作,即为最小值. 在, 故答案为:. 【点睛】解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据. 11．已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据直线的方程可知且都过定点，记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理可得，求出后，分类讨论可得出四边形的面积取值范围． 【详解】因为且都过点，可得点在圆内， 又圆的圆心，半径． 记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理， 得， 根据几何性质得，而当或，即有一条过圆心时，四边形面积最小为， 当时，得， 当且仅当时，四边形面积最大为． 故答案为：． 12．已知实数，且函数，则函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】由题意可得的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和，其中点在曲线上，点在抛物线上，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由题意得， 设，， 则点在曲线上，点在抛物线上， 的几何意义为，两点间距离与点到轴的距离之和． 设抛物线的焦点为， 则由抛物线的定义知， 所以， 所以， 问题转化为求曲线上的点到点 的距离的最小值， 设曲线上的点，到点的距离最小， 则与曲线在点处的切线垂直， 即， 所以， 作出函数与函数的图象，如图所示： 由图象知，两函数图象只有一个交点， 所以方程的解为，则． 所以， 所以函数的最小值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：将看作是，两点间距离与点到轴的距离之和，利用抛物线的性质求解. 二、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 13．下列的表述中，正确的是（    ） A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 【答案】B 【分析】对于A，根据过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直以及线面垂直定义即可判断；对于B，由平面概念即可判断；对于C，由线面垂直定义即可判断；对于D，“由过直线外一点只能作出一条直线与该直线平行”和“过所作直线的平面有无数个即可判断”. 【详解】对于A，因为过平面外一点有且只有1条直线与平面垂直， 而过该垂线的面有无数个，根据面面垂直的判定定理可知这无数个面与该平面垂直，故A错误； 对于B，由平面定义可知过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，故B正确； 对于C，由线面垂直定义可知，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直， 而过垂面内一点在垂面内有无数条直线与该直线垂直， 所以过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，故C错误； 对于D，过直线外一点，只能作出一条直线与该直线平行，而过所作直线的平面有无数个， 所以过直线外一点，有无数个平面与该直线平行，故D错误. 故选：B. 14．在下列关于概率的命题中，正确的是（    ） A．若事件、满足，则、为对立事件 B．若三个事件、、两两独立，则 C．若事件、满足，，，则、相互独立 D．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件 【答案】C 【分析】根据对立事件的定义可判断A选项，取特例可判断B选项；利用独立事件的定义可判断C选项；取事件与对立，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若事件、不互斥，但是恰好，满足， 但是、不是对立事件．故A错误； 对于B选项，设样本空间含有等可能的样本点， 且，，， 可求得，，， 所以，，， 即、、两两独立，但， 所以，故B错误； 对于C选项，因为事件、满足，，， 所以，所以、相互独立，故C正确； 对于D选项，若事件与是互斥事件，不妨设与对立，则，此时，与是同一事件，故D错误． 故选：C. 15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（    ） A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4 C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0 【答案】C 【分析】通过举反例排除ACD三个选项，根据方差的计算判断C选项正确. 【详解】A选项，数据可以为“”，不符合该标志； B选项，数据可以为“”，不符合该标志； C选项，总体均值是2时，只要出现超过7人时，方差就大于3，故C正确； D选项，数据可以为“”，不符合该标志； 故选：C. 16．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可． 【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为， ∴， ∴双曲线的离心率为e 故选D． 【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题． 三、解答题：本题共5小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面． (1)证明：平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答. （2）将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法计算作答. 【详解】（1）在四棱锥中，底面，平面，则， 在中，，而，即有， 则有，因，平面， 所以平面. （2）由（1）可得，，因，则， ，，令到平面的距离为h， 由，即得：，解得， 因，平面，平面，于是得平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离. 18．已知动圆过定点，在轴截得的弦长为2． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若为轨迹上一动点，过点作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）2，． 【分析】（1）设，根据，弦长 ，所以，利用相等，转化成关于的方程； （2）设过点且与圆相切的直线的方程为，首先表示纵截距，然后利用直线与圆相切，有，表示为关于的二次方程，并且，，最后再表示面积，再求最值. 【详解】（1）设，根据 弦长， 解得： ， ，整理为：, 的轨迹方程为． （2）设过点且与圆相切的直线的方程为， 令，得， ∴切线与轴的交点为，而， 整理得，，∴． 设两切线斜率为，， 则， ∴， ∵， ∴，则． 令，则， 而，当且仅当，即时，“＝”成立． 此时， ∴的最小值为2，． 【点睛】本题考查轨迹法求抛物线方程，以及直线，圆，抛物线三者的综合性问题，考查了转化与化归和计算，变形，化简能力，属于难题，本题第二问的关键是设直线，利用相切，有，表示为关于的二次方程，这样是求面积，化简面积的基础. 19．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点在抛物线上及，结合抛物线定义求，得到方程； （2）设直线，由求出，由求解. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，得， 因为抛物线的准线方程为，且， 由抛物线的定义可得，解得， 所以抛物线的方程为； （2）设过点的直线的方程为， 由得， 设，则， 所以， 解得， 所以 20．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 【答案】(1)条件选择，答案见解析； (2)，. 【分析】（1）选①②③，设出点A，B，P的坐标，借助切线方程求出直线AB的方程，代入焦点坐标，求出点P的横坐标，再利用斜率计算判断作答. （2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，借助弦长公式及已知等式求解作答. 【详解】（1）选①，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 所以点P在定直线上，即点P在定直线上成立. 选②，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，显然有， 当时，直线AB的斜率，直线PF的斜率， 则有，即， 所以成立. 选③，设点，双曲线的焦点， 依题意，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为， 而两切线交于点，于是，且， 因此是方程的两组实数解，即点在直线上， 则直线AB的方程为，又直线AB过点，则，解得， 当时，点，直线AB垂直于x轴，直线， 由得，不妨令， 直线PA的斜率，直线PB的斜率， 有，显然不垂直于， 所以不成立. （2）当时，双曲线，，由（1）知，，直线AB的方程为：， 由消去x整理得：，显然， ，弦AB的中点Q的纵坐标为， ， ，，而， 即，化简得，解得或， 所以点P的坐标是，. 【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离； 直线l：x=my+t上两点间的距离. 21．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B． （1）求椭圆M的方程； （2）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C、D与点共线，求斜率k的值． 【答案】（1）  （2）2 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式即可求得的值，即可求得的值，求得椭圆方程； （2）求得直线的方程，代入椭圆方程，即可根据韦达定理即可求得点坐标，同理求得点坐标，即可求得与共线，根据向量的共线定理，即可求得直线的斜率． 【详解】解：（1）由题意可知：，则， 椭圆的离心率，则， ， 椭圆的标准方程为； （2）设，，，， 设直线的斜率，直线的方程为， 联立，消去整理得 ， 由代入上式得，整理得， ，，则， 则，同理可得：， 由，则，， 由、与点共线可得与共线， 则， 整理得， 则直线的斜率， 的值为2． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的共线定理，考查转化思想，属于中档题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟试卷（一） 一、填空题：本题共12小题，共54分. 1．下列命题中正确的个数为_____________个 ①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、Q、R，则P、Q、R三点共线； ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③若直线a、b异面，b、c异面，则a、c异面； ④若，，则； 2．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______． 3．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 4．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是______． 5．已知母线长为2的圆柱的体积为，那么该圆柱的表面积为___________. 6．若向量，，则________，________. 7．已知是曲线上的点，则的取值范围是____________. 8．如图，在平行四边形中，分别为上异于点的两点，把沿着翻折，记翻折后的点为，直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则与的大小关系为______． 9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球､6个白球的甲箱和装有5个红球､5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖：若只有1个红球，则获二等奖：若没有红球，则不获奖.求顾客抽奖1次能获奖的概率___________；若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率___________. 10．在长方体中，，，点为线段的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为______． 11．已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为__________． 12．已知实数，且函数，则函数的最小值为__________． 二、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 13．下列的表述中，正确的是（    ） A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直 B．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直 D．过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 14．在下列关于概率的命题中，正确的是（    ） A．若事件、满足，则、为对立事件 B．若三个事件、、两两独立，则 C．若事件、满足，，，则、相互独立 D．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件 15．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是（    ） A．甲：中位数为2，众数为3 B．乙：总体均值为3，中位数为4 C．丙：总体均值为2，总体方差为3 D．丁：总体均值为1，总体方差大于0 16．已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D． 三、解答题：本题共5小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面． (1)证明：平面； (2)求到平面的距离． 18．已知动圆过定点，在轴截得的弦长为2． （1）求动圆圆心的轨迹的方程； （2）若为轨迹上一动点，过点作圆的两条切线分别交轴于，两点，求面积的最小值，并求出此时点的坐标． 19．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积． 20．圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形. 在一次以“圆锥曲线的阿基米德三角形”为主题的数学探究活动中，甲同学以如图示的抛物线C：的阿基米德三角形为例，经探究发现：若AB为过焦点的弦，则：①点P在定直线上；②；③.已知△PAB为等轴双曲线的阿基米德三角形，AB过Γ的右焦点F. (1)试探究甲同学得出的结论，类比到此双曲线情境中，是否仍然成立？（选择一个结论进行探究即可） (2)若，弦AB的中点为Q，，求点P的坐标. （注：双曲线的以为切点的切线方程为 21．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B． （1）求椭圆M的方程； （2）设P（﹣2，0），直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C、D与点共线，求斜率k的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $