上海市2025-2026学年高二下学期期末数学模拟试卷（四）

**基本信息** 以新冠感染率概率计算（第7题）、散点图相关性分析（第13题）等现实情境为载体，通过圆的根轴综合应用（17题）、抽奖概率模型构建（19题）等大题，考查数学眼光下的抽象能力与数学思维中的推理能力，适配高二期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题|集合、函数极值、椭圆离心率等|第7题结合疫情数据考查概率计算，体现数据意识| |单选题|4题|相关系数、充分必要条件等|第13题通过散点图分析考查统计观念，培养数学眼光| |解答题|5题|圆的根轴、函数零点、双曲线证明等|19题以抽奖规则构建概率模型，20题综合双曲线性质与对称点考查推理能力|

2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟试卷（四） 一、填空题 1．已知全集，且，，则_________. 【答案】/{4，3} 【分析】计算，再计算交集得到答案. 【详解】全集，且，，则， 则. 故答案为：. 2．若关于x的不等式的解集为或，则_________. 【答案】 【分析】由题意可得的根为，解得．再加以检验即可得到结论． 【详解】关于x的不等式的解为或，可得的根为，即有，解得． 由，得： 或，即有或， 解得或，满足题意． 故答案为：． 3．已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为_____. 【答案】2 【详解】试题分析：根据题意，由于抛物线的准线x=2,过双曲线的右焦点(2,0),故可知m+3=4,m=1，故可知a=1,c=2，因此可知离心率为2，答案为2. 考点：抛物线与双曲线 4．若函数在和两处取到极值，则实数的取值范围是___________；若，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】对求导后令，再根据是导函数的两根，数形结合分析两根的关系求解. 【详解】解：①已知函数，则， 若函数在和两处取到极值，则和是函数的两个零点， 即是方程，即的两个根， 所以函数的图像与直线有两个不同的交点且交点的横坐标分别为， 由于，所以当或时，；当时，； 故的减区间有和，增区间有， 且当时，，作出的草图： 由图可知要满足函数有两个零点，需使， 所以实数的取值范围是， ②，且 若，即，取，并令，则， 所以，解得，此时， 故，即实数的取值范围是， 故答案为：. 5．若幂函数在上是增函数，则实数________． 【答案】 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 6．下列式子正确的有_________ （1）      （2）      （3）      （4） 【答案】（1）（2） 【分析】根据题意，由导数的运算法则，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，故（1）正确； 因为，故（2）正确； 因为，故（3）（4）错误； 故答案为：（1）（2） 7．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是______．（用数值表示） 【答案】 【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解． 【详解】记感染新冠病毒为事件，标本为阳性为事件， 则，， 故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为 ． 故答案为：． 8．设，则______ 【答案】3 【详解】试题分析：∵， 同理，， ∴. 9．设实数且满足，则使不等式恒成立的的最大值为______________________ 【答案】 【分析】利用均值代换可求在上恒成立，从而可求的最大值. 【详解】不妨设，令， 则原不等式化为恒成立， 整理得， 故即， 即，故， ， 故答案为： 10．已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】3 【分析】根据两图象的对称性得到，由“1”的代换求最值. 【详解】由题意，随机变量X的分布图象关于直线对称，随机变量Y的分布图象关于直线对称， 且随机变量X的分布图象与随机变量Y的分布图象形状相同，所以两图象关于直线，即对称， 因为正实数a，b满足，所以，解得， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为3． 故答案为：3. 11．已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】用表示出，结合三角形的存在性判断即可. 【详解】 因为，且， 所以， 又因为， 所以在三角形中， ， 即， 所以， 又因为的最大值为， 所以， 所以， 故离心率的范围为. 故答案为： 12．已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】令可判断①，取特殊函数利用特例可判断②，根据所给函数性质推出可得即可判断③，利用均值不等式及③可判断④. 【详解】令，则，故①正确； 由可得， 用换可得， 令，则满足，而， ，则不恒相等，故②错误； 由，用代替可得， 又由对任意实数成立知，所以，故③正确； 由③知，，所以， 用替换可得，， 所以，当且仅当时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 二、单选题 13．某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ）    A．相关系数的绝对值变小 B．决定系数变大 C．残差平方和变大 D．解释变量与响应变量的相关性变弱 【答案】B 【分析】由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉后，回归效果更好，结合相关系数、决定系数、残差平方和以及相关性逐项分析判断即可. 【详解】由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉后，回归效果更好. 对于选项A：相关系数越接近于1，线性相关性越强，所以去掉后，相关系数的绝对值变大，故A错误； 对于选项B：决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以去掉后，决定系数变大，故B正确； 对于选项C：残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉后，残差平方和变小，故C错误 对于选项D：由选项A可知：去掉后，相关系数的绝对值变大，所以解释变量与响应变量的相关性变强，故D错误； 故选：B. 14．已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式结合恒成立，分析的范围，得到的单调性可判断充分性成立，当是的一个最值，假设是递减数列，取,可判断必要性不成立. 【详解】因为，恒成立， 所以，所以恒成立， 若，则可能为正，也可能为负，不等式不恒成立， 若，则，，显然， 当时，，此时为递增数列，所以是的一个最小值， 当时，，此时为递增数列，所以是的一个最小值， 故充分性成立， 当是的一个最值，假设是递减数列，是的最大值， 且，则，，， 则，，则，故必要性不成立， 故“，恒成立”是“是的一个最值”的充分不必要条件. 故选：A. 15．已知函数，若关于的方程有两个解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于的方程有两个解，等价于和有两个交点，如图所示：作出函数的图象，，，，，由图可得时，直线与曲线有两个交点，由图可得过原点的直线与有两个交点的临界位置为两者相切时，联立两者方程得：，由解得，切点坐标为和且，要使直线与抛物线有两个交点，直线的斜率应满足，综上可得，故选A. 16．已知，，若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干中的条件，得到，再利用函数的单调性，分别求出与在各自区间上的最小值，得到不等式，求出结果 【详解】因为，，使得，所以 因为在时，单调递减，在时，单调递增，故，而在上单调递减，，故 ，解得：， 故选：. 三、解答题 17．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 (1)求圆C与圆M的根轴l； (2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； (3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)的最小值为，此时. 【分析】（1）先求出圆C和圆M的圆心C和M以及半径和，接着由列式化简即可得解. （2）先由题意求得，进而结合求得取得最小值时亦即取得最小值时，接着求出此时的点P坐标，再求出以线段为直径的圆的方程，从而求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即可得解. （3）先求出关于根轴对称的点，接着得，从而得与圆M和根轴l相交的点和使得最小，进而求得的最小值，再由联立根轴的方程即可求出. 【详解】（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为， 设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点， 则由题可得，即， 整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线. （2）由题意可知且，， 设与相交于点H， 则， 又， 所以，所以取得最小值时即为取得最小值时， 又，所以取得最小值时亦即取得最小值时， 而取得最小值时，且该最小值为圆心C到根轴l的距离为， 此时即， 联立，故此时， 所以此时中点坐标为， 所以以线段为直径的圆的方程为，即， 则是该圆与圆C的公共弦，所以两圆方程相减即为直线的方程为：即. （3）设关于根轴对称的点为， 则，故， 则由三角形两边之和大于第三边可得， 连接，则此时与圆M和根轴l相交的点和使得最小为， 且此时即， 联立，即此时， 所以的最小值为，此时. 18．已知函数（其中），函数（其中）. (1)若且函数存在零点，求的取值范围； (2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围； （2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知函数存在零点，即有解. 又， 易知在上是减函数，又，，即， 所以，所以的取值范围是. （2）的定义域为，若是偶函数，则， 即解得. 此时，， 所以即为偶函数. 又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解， 即方程有且只有一个实根. 令，则方程有且只有一个正根 ①当时，，不合题意， ②当时，方程有两相等正根，则， 且，解得，满足题意； ③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意， 综上所述：实数的取值范围为或. 19．某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 【答案】(1)①均值为，方差为；② (2)2 【分析】（1）①由题可得抽得的面值可能为15元，10元，5元，分别计算其概率，据此可得期望与相应方差；②分别计算抽取的数的情况下，抽得15元的概率，相加可得答案； （2）设5张代金券面值为1元，2元，3元，4元，5元，由题可得，，分别计算，1，2，3，4情况下，抽得5元的概率，比较后可得答案. 【详解】（1）①设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为5,10,15. 先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为； 先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为； 先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为. 综上可得，，，. 则抽得代金券的面值的均值为. 方差. ②抽取的数的概率为，此种情况下抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为的概率为，此种情况下抽得15的概率为； 先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0. 综上可得：抽得15元代金券的概率为. （2）不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有5在4前面时，才能抽中元， 总情况有种，5在4前面和5在4后面的情况相同，均为12种，对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大. 20．已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点. (1)若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为双曲线的左右焦点，试求的值； (2)设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据双曲线的对称性及双曲线的定义即可求解； （2）设直线，由条件可得点是线段的中点，写出直线的方程，证明直线过点，转化为求证，再由韦达定理代入化简即可得证. 【详解】（1）设双曲线方程：， 显然，将代入得：， 解得，即双曲线； 设双曲线的右焦点为，由双曲线的对称性可知，， 则 . （2）设直线， 易得. 所以由，即点是线段的中点. 所以，于是的方程：， 下证直线过定点. 即证，即证. 即证.而 . 故即证：（1） 由. ，，代入（1）式： 成立，即证. 故直线过定点. 21．已知指数函数的图象过点，函数 (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【详解】（1）设（且）， 因为指数函数的图象过点， 所以，解得， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下： 由（1）易知， 因为，且， 所以 ， 因为，所以，，此时， 可得，所以， 即， 则在上单调递增； （3）易知， 所以是偶函数，若，即， 易得， 因为在上单调递增， 所以即可，可得， 解得 故的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市高二（下）期末数学模拟试卷（四） 一、填空题 1．已知全集，且，，则_________. 2．若关于x的不等式的解集为或，则_________. 3．已知抛物线的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为_____. 4．若函数在和两处取到极值，则实数的取值范围是___________；若，则实数的取值范围是___________. 5．若幂函数在上是增函数，则实数________． 6．下列式子正确的有_________ （1）      （2）      （3）      （4） 7．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是______．（用数值表示） 8．设，则______ 9．设实数且满足，则使不等式恒成立的的最大值为______________________ 10．已知随机变量，随机变量，正实数a，b满足，则的最小值为______． 11．已知，是椭圆的左、右焦点，为椭圆上在轴右侧的一动点，且（为坐标原点），则该椭圆离心率的取值范围为__________. 12．已知函数对任意的，都有成立.给出下列结论： ①；②；③；④. 其中所有正确结论的序号是______. 二、单选题 13．某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量颗之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图.若去掉后，下列说法正确的是（    ）    A．相关系数的绝对值变小 B．决定系数变大 C．残差平方和变大 D．解释变量与响应变量的相关性变弱 14．已知是公比为的等比数列.则“，恒成立”是“是的一个最值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 15．已知函数，若关于的方程有两个解，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 16．已知，，若对，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆 (1)求圆C与圆M的根轴l； (2)已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程； (3)给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标. 18．已知函数（其中），函数（其中）. (1)若且函数存在零点，求的取值范围； (2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围. 19．某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 20．已知双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点两点. (1)若双曲线的右支上的三个不同的点关于轴的对称点分别为双曲线的左右焦点，试求的值； (2)设过点的直线交曲线于两点，过作轴的垂线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点. 21．已知指数函数的图象过点，函数 (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $