专题03 因数与倍数的认识与解决问题【期末复习重难点专题培优十二大题型】-2025-2026学年数学苏教版五年级下册期末真题汇编集训

**基本信息** 聚焦因数与倍数专题，12类高频易错题型讲练结合44道期末真题，覆盖从基础巩固到拓展拔尖的分层训练，适配五年级期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |讲练题|24题|因数特征、倍数应用、质数合数、公因数公倍数等|结合生活情境（如分气球、公交车发车）和文化素材（唐崖土司城、围棋），精讲真题（广东深圳、江苏无锡等地期末题）| |真题演练|20题|分解质因数、最大公因数/最小公倍数应用、数论综合|分层设计基础题（判断2的倍数）、能力题（分组问题）、创新题（哥德巴赫猜想应用），适配期末考命题趋势|

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末复习重点难点专题培优真题练 专题03 因数与倍数的认识与解决问题『期末复习重点难点专题培优』 【12个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 根据因数的特征解决问题 1 题型二 根据倍数的特征解决问题 2 题型三 倍数和因数的综合应用 2 题型四 奇数与偶数的认识 2 题型五 2、3、5的倍数特征综合 3 题型六 质数与合数的认识 3 题型七 质数与合数的综合应用 3 题型八 分解质因数 4 题型九 公因数与最大公因数 4 题型十 用最大公因数解决实际问题 4 题型十一 公倍数与最小公倍数 4 题型十二 用最小公倍数解决实际问题 5 优选真题 实战演练 5 【基础夯实 能力提升】 5 【拓展拔尖 冲刺满分】 7 题型一 根据因数的特征解决问题 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）运动会开幕式上，王老师将60个气球平均分给走方阵的同学，正好分完。拿到气球的学生人数不可能是（    ）。 A．15人 B．20人 C．25人 D．30人 【精练】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 题型二 根据倍数的特征解决问题 【精讲】（23-24五年级下·江苏无锡·期中）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【精练】14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。 题型三 倍数和因数的综合应用 【精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）淘气储存了5元和2元的人民币若干张，估计在50－60元之间，且两种面额的人民币张数正好相同。请问，淘气可能储存了( )元。 【精练】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 题型四 奇数与偶数的认识 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数； ②430既是2的倍数又是5的倍数； ③两个奇数的和一定是奇数； ④是6的倍数的数，一定是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【精练】（24-25五年级上·广东茂名·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．判断一个非零自然数是奇数还是偶数，要看个位上的数 B．判断一个非零自然数是质数还是合数，要看它因数的个数 C．一个非零自然数是12的因数，它一定是6的因数 D．一个非零自然数既是2的倍数，又是5的倍数，它一定是10的倍数 题型五 2、3、5的倍数特征综合 【精讲】（24-25五年级上·山东聊城·期末）在2、29、60、91这些数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【精练】（24-25五年级上·广东茂名·期末）一个数（0除外）同时是2，3和5的倍数，这个数最小是( )，满足条件的最大三位数是( )。 题型六 质数与合数的认识 【精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是( )和( )。 【精练】（25-26五年级上·福建泉州·期末）下列说法中，正确的是（    ）。 A．一个数是4的倍数，就一定是2的倍数 B．两个奇数的和一定是偶数，两个奇数的积一定是合数 C．两个不同质数的积一定是奇数 D．所有的偶数都是合数 题型七 质数与合数的综合应用 【精讲】（24-25五年级上·山东青岛·期末）宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【精练】（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 题型八 分解质因数 【精讲】（24-25五年级上·山东聊城·期末）一个三位数，百位是最小的奇数，十位是3的最大因数，个位是最小的质数，这个数是( )，分解质因数为( )。 【精练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 题型九 公因数与最大公因数 【精讲】（25-26五年级上·陕西西安·期末）两个连续偶数的和是34，这两个连续偶数分别是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【精练】（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 题型十 用最大公因数解决实际问题 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 【精练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）科技社团做了42个太阳能小车模型和28个风力小船模型。老师要把这两种作品分别装进若干个相同且足够大的展示盒里，要求每盒装的个数相同且尽可能多。那么每盒最多能装（    ）个模型。 A．4 B．7 C．14 D．28 题型十一 公倍数与最小公倍数 【精讲】（25-26五年级上·安徽六安·期末）五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生( )人。 【精练】（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 题型十二 用最小公倍数解决实际问题 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 【精练】（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）一个非零自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的自然数称为完美数或完全数。例如：6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：，像6这样的数叫作完美数。下面的四个数中，（    ）是完美数。 A．16 B．18 C．26 D．28 2．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数 C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 3．（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）乐乐和明明两人到图书馆去借书，乐乐每3天去一次，明明每4天去一次。今年5月1日他们两人在图书馆相遇，他们下一次同时到图书馆日期是（    ）。 A．5月7日 B．5月12日 C．5月13日 D．5月21日 4．（25-26五年级上·广东深圳·期末）在26，35，40，55，12，84，78，37，6中，找出2的倍数：( )。 笑笑是这么解释的：根据数的组成，每一个数都可以写成下面的形式。例如，23＝2×10＋3，因为10已经是2的倍数，2个10还是2的倍数，所以只用看个位上的3；157＝1×100＋5×10＋7，因为( )。因此，判断一个数是不是2的倍数，只用看个位上的数。 5．（25-26五年级上·广东深圳·期末）质数是自然数的“基石”，在密码学中至关重要。它的主要原理是“正向易，逆向难”的数学特性，例如：将几个质数相乘很容易，但将乘积分解回原质数却不容易。请写出78可以等于哪三个质数相乘：78＝______×______×______。 6．（25-26五年级上·甘肃定西·期末）因为2×8＝16，所以2和8都是因数，16是倍数。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 8．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 9．（21-22五年级下·山东青岛·期末）用这两种花搭配成同样的花束，正好用完，没有剩余，最多能扎成多少束？每束花里各有红花，白花多少朵？ 10．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）2025年12月—2026年2月期间，我市将以“回家过年”为主题推出系列文旅活动。其中，以“大槐树”村为主会场举办跨年文化节。市民可乘坐20路、30路等公交车往返活动现场。 上午9：00，20路、30路 公交车同时发车 20路公交车每8分钟发一次， 30路公交车每20分钟发一次 (1)至少再经过多长时间，20路和30路公交车又同时发车？ (2)为方便市民参与文化节活动，会场内设置了很多方向指示牌，如图是这些指示牌中的一种，根据图中的数据，请你计算出这种指示牌的面积是多少？ 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26五年级上·广东深圳·期末）已知x÷3＝y（x、y都是非零自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．x是y的因数 B．y是3的倍数 C．x是y的倍数 D．x是3的因数 2．（25-26五年级上·辽宁大连·期末）用1、5、0三张卡片任意摆成一个三位数，下面说法正确的是（    ）。 A．这个三位数是偶数的可能性最大 B．这个三位数是奇数的可能性最小 C．这个三位数一定是3的倍数 D．这个三位数一定是5的倍数 3．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）先把三张卡片能组成的所有的三位数分别写在完全相同的纸条上，然后放在纸箱里，从中任意抽取一张，下面的说法不正确的是（    ）。 A．抽出的数不可能是质数。 B．抽出的数是奇数的可能性比偶数小。 C．抽出的数是2的倍数的可能性与是5的倍数的可能性相等。 D．抽出的数一定是3的倍数。 4．（24-25五年级上·广东深圳·期末）长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，( )是质数，( )同时是2、5的倍数，( )是( )的倍数，( )再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5．（24-25五年级上·福建泉州·期末）著名数学家陈景润先生提出了“1＋2”定理：“一个偶数＝一个质数＋一个质数×一个质数，其中偶数必须充分大。”比如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3，你能根据这个定理，分一分下面的偶数吗？试试看吧！ 24＝( )＋( )×( )     40＝( )＋( )×( ) 6．（23-24五年级下·四川广安·期末）写出下列每组数的最小公倍数。 ①8和24        ②10和35 7．（24-25五年级下·江苏苏州·期末）把两根彩带（如下图）剪成同样长的短彩带且没有剩余。每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成几段？ 8．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之。”围棋起源于中国，相传为尧帝发明，至今已有4000多年的历史。现代围棋棋盘由19条横线和19条竖线组成，共有361个交叉点，每个交叉点可以放置一个棋子。棋子分为黑、白两色，一副围棋中黑子数量大于170，小于200，且无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，一副围棋中有多少枚黑子？ 9．（24-25五年级上·安徽安庆·期末）一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 10．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期末复习重点难点专题培优真题练 专题03 因数与倍数的认识与解决问题『期末复习重点难点专题培优』 【12个高频易错题型讲练+期末真题实战演练 共44题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 根据因数的特征解决问题 1 题型二 根据倍数的特征解决问题 2 题型三 倍数和因数的综合应用 3 题型四 奇数与偶数的认识 4 题型五 2、3、5的倍数特征综合 6 题型六 质数与合数的认识 6 题型七 质数与合数的综合应用 7 题型八 分解质因数 8 题型九 公因数与最大公因数 9 题型十 用最大公因数解决实际问题 10 题型十一 公倍数与最小公倍数 11 题型十二 用最小公倍数解决实际问题 12 优选真题 实战演练 14 【基础夯实 能力提升】 14 【拓展拔尖 冲刺满分】 19 题型一 根据因数的特征解决问题 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）运动会开幕式上，王老师将60个气球平均分给走方阵的同学，正好分完。拿到气球的学生人数不可能是（    ）。 A．15人 B．20人 C．25人 D．30人 【答案】C 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。据此找出不是60的因数的数即可解答。 【规范解答】A．60÷15＝4，所以15是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是15人； B．60÷20＝3，20是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是20人； C．60÷25＝2……10，25不是60的因数，所以拿到气球的学生人数不可能是25人； D．60÷30＝2，30是60的因数，所以拿到气球的学生人数可能是30人。 故答案为：C 【精练】（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【规范解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 题型二 根据倍数的特征解决问题 【精讲】（23-24五年级下·江苏无锡·期中）用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面。下面这些规格的长方形桌面中，正好能铺满且没有浪费的是（    ）。（单位：厘米，其中“108×80”表示长108厘米、宽80厘米。） A．108×80 B．90×60 C．120×72 D．144×10 【答案】C 【思路引导】用边长12厘米的正方形画纸铺长方形桌面，正好能铺满且没有浪费，也就是这个桌面的长和宽是12的倍数，据此解答。 【规范解答】A．80不能被12整除，不符合题意； B．90不能被12整除，不符合题意； C．120和72都能被12整除，120÷12＝10，72÷12＝6，6×10＝60（张），则用60张正方形画纸可以铺满桌面，符合题意； D．10不能被12整除，不符合题意。 故答案为：C 【精练】14、21都是7的倍数，14和21的和35也是7的倍数；是因为，，。推想：（a、b、c都为非0自然数）的和一定是( )的倍数。 【答案】c 【思路引导】结合倍数的定义，以及从题目的例子中可以看出，如果两个数分别是同一个数的倍数，那么它们的和也是这个数的倍数，据此解答即可。 【规范解答】因为ac＋bc＝（a＋b）×c，ac是c的倍数，bc也是c的倍数，ac＋bc的和一定是c的倍数。 【考点剖析】本题的关键理解倍数的定义以及根据例子总结出规律。 题型三 倍数和因数的综合应用 【精讲】（24-25五年级上·浙江金华·期末）淘气储存了5元和2元的人民币若干张，估计在50－60元之间，且两种面额的人民币张数正好相同。请问，淘气可能储存了( )元。 【答案】56 【思路引导】这道题需利用“两种面额人民币张数相同”这一条件，将“1张5元和1张2元”看作一组，通过计算一组的金额，结合总金额的范围（50－60元），确定符合条件的总金额。每组金额为元，所以总金额一定是7的倍数，且总金额范围在50－60元之间。据此解答。 【规范解答】根据分析： 总金额在50－60元之间，需找到7的倍数在此区间内的数： 7×7＝49 （小于50，不符合） 7×8＝56 （在50－60之间，符合） 7×9＝63 （大于60，不符合） 所以淘气可能储存了56元。 【考点剖析】这类“两种物品数量相同”的问题，可通过“合成一组计算”的方法，将问题转化为“找某个数的倍数”，再结合数值范围筛选结果，能快速缩小计算范围，得到准确答案。 【精练】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【答案】 不对，过程见详解 【思路引导】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【规范解答】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 题型四 奇数与偶数的认识 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）下列说法正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数； ②430既是2的倍数又是5的倍数； ③两个奇数的和一定是奇数； ④是6的倍数的数，一定是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数； ②同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； ③由奇数和偶数的运算性质可知，奇数与奇数的和一定是偶数，举例说明即可； ④整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，6是2的倍数，所以6的倍数也一定是2的倍数，据此逐项分析。 【规范解答】①由3的倍数特征可知，个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，如：13、16、19，它们都不是3的倍数，所以这种说法错误； ②430符合同时是2和5倍数的倍数特征，则430既是2的倍数又是5的倍数，所以这种说法正确； ③分析可知，奇数＋奇数＝偶数，如：13（奇数）＋11（奇数）＝24（偶数），则两个奇数的和一定是偶数，所以这种说法错误； ④6÷2＝3，则6是2的倍数，6的倍数也一定是2的倍数，那么是6的倍数的数，一定是偶数，如：12、24、48等，所以这种说法正确。 综上所述，说法正确的有②④，一共2个。 故答案为：B 【精练】（24-25五年级上·广东茂名·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．判断一个非零自然数是奇数还是偶数，要看个位上的数 B．判断一个非零自然数是质数还是合数，要看它因数的个数 C．一个非零自然数是12的因数，它一定是6的因数 D．一个非零自然数既是2的倍数，又是5的倍数，它一定是10的倍数 【答案】C 【思路引导】偶数：是2的倍数的数，奇数：不是2的倍数的数；质数：一个数只有1和它本身两个因数，合数：一个数除了1和它本身外还有别的因数；写出12和6的因数进行比较；同时是2、5倍数的数的个位数字一定是0，所以一定是10的倍数，依此逐项分析。 【规范解答】A．2的倍数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的数，所以判断一个非零自然数是奇数还是偶数，要看个位上的数，说法正确； B．质数：一个数只有1和它本身两个因数，合数：一个数除了1和它本身外还有别的因数；判断一个非零自然数是质数还是合数，要看它因数的个数，说法正确； C．12的因数有：1、2、3、4、6、12；6的因数有：1、2、3、6；12是12的因数，但不是6的因数，说法错误； D．同时是2、5倍数的数的个位数字一定是0，所以一定是10的倍数，说法正确。 故答案为：C 题型五 2、3、5的倍数特征综合 【精讲】（24-25五年级上·山东聊城·期末）在2、29、60、91这些数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【答案】 2 91 60 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 2，3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】在2，29，60，91这些数中， 91既是合数又是奇数，2既是质数又是偶数，60既是2的倍数，又是3的倍数。 【精练】（24-25五年级上·广东茂名·期末）一个数（0除外）同时是2，3和5的倍数，这个数最小是( )，满足条件的最大三位数是( )。 【答案】 30 990 【思路引导】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数； 3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数； 既是2的倍数又是5的倍数的数的特征：个位上必定是0，这个数最小时，如果这个数是一位数不符合题意，那这个数就是两位数，又满足是3的倍数，十位是3，则这个数是30；满足条件的最大三位数，百位上最大是9，满足是3的倍数，十位最大是9，则这个数最大是990。 【规范解答】结合分析知：一个数同时是2，3和5的倍数，这个数最小是30，满足条件的最大三位数是990。 【考点剖析】本题中没有明确这个数是几位数，所以第一空中求满足条件的最小的数，可以结合数的特点分析：即一位数＜两位数＜三位数＜……。 题型六 质数与合数的认识 【精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是( )和( )。 【答案】 8 9 【思路引导】只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身还有别的因数的数是合数，符合题意的两个不同合数的积是72的只有：8和9，据此解答即可。 【规范解答】8＝1×8＝2×4； 9＝1×9＝3×3； 8和9均为合数； 8×9＝72； 即两个合数是相邻的自然数，它们的积是72，这两个合数是8和9。 【精练】（25-26五年级上·福建泉州·期末）下列说法中，正确的是（    ）。 A．一个数是4的倍数，就一定是2的倍数 B．两个奇数的和一定是偶数，两个奇数的积一定是合数 C．两个不同质数的积一定是奇数 D．所有的偶数都是合数 【答案】A 【思路引导】A．根据2的倍数特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 B．用举例的方法，比如1和3的和是偶数，积是质数。 C．用举例的方法，比如2和3的积是偶数。 D．在偶数中，2是质数。 【规范解答】A．4÷2＝2，所以，如果一个数是4的倍数，就一定是2的倍数。该说法正确。 B．1＋3＝4，1×3＝3，所以，两个奇数的和一定是偶数，两个奇数的积不一定是合数。该说法错误。 C．2和3是质数，2×3＝6，6是偶数，所以，两个不同质数的积不一定是奇数。该说法错误。 D．在偶数中，2是质数。该说法错误。 故答案为：A 题型七 质数与合数的综合应用 【精讲】（24-25五年级上·山东青岛·期末）宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【答案】8和7，2，3不同；理由见详解 【思路引导】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【规范解答】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 【精练】（23-24五年级下·重庆綦江·期末）小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，（    ）数对了。 A．小明 B．小华 C．小敏 D．都对 【答案】B 【思路引导】根据题意，银杏树的总棵数应能被行数和每行棵数整除，即总棵数为合数。判断71、78、79是否为质数：71和79是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；78是合数，符合条件。因此小华数对了。 【规范解答】根据分析可知，小明、小华、小敏3个小朋友周末到公园去游玩，在公园里看到有许多行排列整齐的银杏树，每行棵数相等。他们三人分别数出了银杏树的总棵数，小明71棵，小华78棵，小敏79棵。他们只有一个人数对了，小华数对了。 故答案为：B 题型八 分解质因数 【精讲】（24-25五年级上·山东聊城·期末）一个三位数，百位是最小的奇数，十位是3的最大因数，个位是最小的质数，这个数是( )，分解质因数为( )。 【答案】 132 【思路引导】最小的奇数是1，一个数最大的因数是它本身，所以3的最大因数是3，最小的质数是2，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积的形式，一般先从简单的质数试着分解。据此进行解答。 【规范解答】由分析知，最小的奇数是1，3的最大因数是3，最小的质数是2，所以这个数是132； 分解质因数： 所以这个数是132，分解质因数为。 【精练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【答案】12个 【思路引导】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【规范解答】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 题型九 公因数与最大公因数 【精讲】（25-26五年级上·陕西西安·期末）两个连续偶数的和是34，这两个连续偶数分别是( )和( )，它们的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 16 18 2 144 【思路引导】两个连续偶数，较大数－2＝较小数，它们的和是34，那么较小的偶数是（34－2）÷2＝16，较大的偶数是16＋2＝18。再通过分解质因数，找出两个数的最大公因数和最小公倍数即可。 【规范解答】（34－2）÷2 ＝32÷2 ＝16 16＋2＝18 16＝2×2×2×2 18＝2×3×3 所以，16和18的最大公因数是2，最小公倍数是2×2×2×2×3×3＝144。 因此，两个连续偶数的和是34，这两个连续偶数分别是16和18，它们的最大公因数是2，最小公倍数是144。 【精练】（23-24五年级下·湖南株洲·期末）陈兰用36个苹果和24个桃做水果礼盒。要求：每个礼盒中都要有苹果和桃，且每个礼盒中苹果数相同，桃数也相同，所有的苹果和桃正好全部用完。用这些苹果和桃最多能做( )个礼盒，这时每个礼盒中有( )个水果。 【答案】 12 5 【思路引导】第1个空：题目要求的是用所有的苹果和桃正好全部用完，且每个礼盒中苹果和桃的数量都要相同。那么，礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，因为只有这样可以确保苹果和桃都能被完整地分配到每个礼盒中，不会有剩余。所以找出来36和24的最大公因数即可。 第2个空：第1问中礼盒数已经知道了，接下来只需要用每种水果的总数除以礼盒数，即可得到每个礼盒中该水果的数量。问礼盒中有多少个水果，就把礼盒中每种水果的个人加起来即可。 【规范解答】第1个空：首先，找出36和24的最大公因数。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。 它们共同的因数有：1，2，3，4，6，12。其中，最大的是12。 所以，用这些苹果和桃最多能做12个礼盒。 第2个空：首先，计算每个礼盒中每种水果各有多少个。 每个礼盒中的苹果数＝总苹果数÷礼盒数 36÷12＝3（个） 每个礼盒中的桃数＝总桃数÷礼盒数 24÷12＝2（个） 3＋2＝5（个） 所以，每个礼盒中有5个水果。 【考点剖析】首先，本题的关键是理解礼盒的数量应该是苹果数量和桃数量的最大公因数，这样才能确保所有的苹果和桃都能被完整地用完。 其次，通过找出最大公因数，可以计算出最多能做的礼盒数。 最后，再进一步计算出每个礼盒中的水果数量。 题型十 用最大公因数解决实际问题 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）将24块饼干和42个苹果平均分给若干个小朋友。如果饼干和苹果都没有剩余，且保证每个小朋友都能分到饼干和苹果，那么最多能分给多少个小朋友？ 【答案】6个 【思路引导】要将饼干和苹果平均分给小朋友，且没有剩余，小朋友的人数必须是24和42的公因数。每个小朋友都要分到饼干和苹果，这要求小朋友的人数不能超过24和42的最小值，但由于公因数对应的分得数量均为整数且大于等于1，因此所有公因数均满足条件。要求最多的小朋友人数，即求24和42的最大公因数，即可解答。 【规范解答】24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42。 24和42的公因数有：1、2、3、6。 最大公因数是6。 答：最多能分给6个小朋友。 【精练】（25-26五年级上·广东深圳·期末）科技社团做了42个太阳能小车模型和28个风力小船模型。老师要把这两种作品分别装进若干个相同且足够大的展示盒里，要求每盒装的个数相同且尽可能多。那么每盒最多能装（    ）个模型。 A．4 B．7 C．14 D．28 【答案】C 【思路引导】根据题意，要求每盒装的个数相同且尽可能多，那么每盒最多能装模型的数量，就是42和28的最大公因数。42和28分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【规范解答】42＝2×3×7 28＝2×2×7 42和28的最大公因数是：2×7＝14 所以每盒最多能装14个。 故答案为：C 题型十一 公倍数与最小公倍数 【精讲】（25-26五年级上·安徽六安·期末）五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生( )人。 【答案】48 【思路引导】“按3人一组或4人一组都刚好分完”，说明总人数是3和4的公倍数。互质的两个数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，即3×4＝12。因此，班级人数必然是12的倍数。根据“超过40人，接近50人”的条件，我们从12的倍数（12、24、36、48、60…）中筛选，只有48符合这个范围，所以班级人数是48人。 【规范解答】3×4＝12 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 40＜48＜50 所以这个班有学生48人。 【精练】（24-25五年级下·重庆南川·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．3.6是3的倍数 B．如果，那么和的最小公倍数是 C．个位上是3、6、9的数，都是3的倍数 D．任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数 【答案】D 【思路引导】3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；公倍数：在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数；质数：在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。据此求解。 【规范解答】A．在研究因数和倍数时，所说的数一般指非0自然数，3.6是小数，所以不能说3.6是3的倍数，该选项错误； B．如果，那么和是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数是互质的，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即，而不是，该选项错误； C．判断一个数是不是3的倍数，要看这个数各位上数字的和是不是3的倍数，而不是看个位上的数字，例如13、16、19，个位上分别为3、6、9，但它们都不是3的倍数，该选项错误； D．质数中2是偶数，其余质数都是奇数，当2和其他质数相乘时，积是偶数，比如；当两个不是2的质数相乘时，积是奇数，比如。所以任意两个质数相乘，得到的积可能是偶数，也可能是奇数，该选项正确。 故答案为：D 题型十二 用最小公倍数解决实际问题 【精讲】（25-26五年级上·广东深圳·期末）淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【思路引导】两人在起点相遇的条件是所用时间同时是淘气骑一圈和妈妈快走一圈所用时间的倍数，要知道“几分钟后可以在起点第一次相遇”，需要求这两个时间的最小的相同倍数。 【规范解答】淘气骑一圈要4分钟，所以他回到起点的时间是：4分钟、8分钟、12分钟、16分钟、20分钟、24分钟……； 妈妈快走一圈要10分钟，所以她回到起点的时间是：10分钟、20分钟、30分钟、40分钟……； 对比两个时间，第一个共同出现的时间是20分钟，这说明20分钟时，淘气刚好骑完5圈（4×5＝20分钟），妈妈刚好走完2圈（10×2＝20分钟），两人同时回到起点。 即他们在20分钟后可以在起点第一次相遇。 故答案为：C 【精练】（23-24五年级下·贵州安顺·期末）某个宴会上准备了X、Y、Z三种点心，经统计，客人们一共吃掉了39份点心，平均每2人吃掉了一份X点心，每3人吃掉了1份Y点心，每4人吃掉了1份Z点心。宴会上有多少名客人？ 【答案】36名 【思路引导】根据题意可知，宴会上的客人人数是2，3，4的公倍数，根据求最小公倍数的方法，先求出2，3，4的最小公倍数；2，3，4的最小公倍数是12；假设宴会上有12名客人，将其分别除以2，3，4，所得的商相加，即可求出此时假设客人需要点心的份数；再用实际客人吃到点心的份数÷此时假设客人需要点心的份数，求出实际客人吃到点心的份数是此时假设客人需要点心的份数的几倍，再乘12，即可求出宴会上的客人数量。 【规范解答】2，3，4的最小公倍数是12。 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3 ＝10＋3 ＝13（份） 39÷13＝3 12×3＝36（名） 答：宴会上有36名客人。 【考点剖析】解答本题的关键是假设2，3，4的最小公倍数是这些客人的人数，求出需要点心的份数，再求出实际吃点心的份数是假设客人吃点心的份数的几倍，进而解答。 【基础夯实 能力提升】 1．（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）一个非零自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和，这样的自然数称为完美数或完全数。例如：6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：，像6这样的数叫作完美数。下面的四个数中，（    ）是完美数。 A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】D 【思路引导】完美数的定义，一个非零自然数等于它的全部因数（不包括本身）的和。然后找出它们的因数，再求解据此逐项分析解答。 【规范解答】A．16； 16的因数有：1，2，4，8，16； 1＋2＋4＋8＝15；15≠16，不是完美数。 B．18； 18的因数有：1，2，3，6，9，18； 1＋2＋3＋6＋9＝21；21≠18，不是完美数。 C．26； 26的因数有：1，2，13，26； 1＋2＋13＝16；16≠26，不是完美数。 D．28； 28的因数和有：1，2，4，7，14，28。 1＋2＋4＋7＋14＝28；28＝28，是完美数。 28是完美数。 2．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数 C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 【答案】D 【思路引导】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 【规范解答】A．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； B．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； C．根据“6×7＝42”可知，7是42的因数，原说法错误； D．根据“6×7＝42”可知，6是42的因数，原说法正确。 故答案为：D 3．（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）乐乐和明明两人到图书馆去借书，乐乐每3天去一次，明明每4天去一次。今年5月1日他们两人在图书馆相遇，他们下一次同时到图书馆日期是（    ）。 A．5月7日 B．5月12日 C．5月13日 D．5月21日 【答案】C 【思路引导】乐乐每3天去一次，明明每4天去一次，两人再次相遇经过的天数应是3和4的公倍数。要求下一次同时到图书馆，即求3和4的最小公倍数，两个数如果是互质数，则这两个数的乘积是它俩的最小公倍数。求出经过的天数后，再从5月1日往后推算日期即可。 【规范解答】3和4为互质数，最小公倍数为3×4＝12。 5月1日＋12天＝5月13日。 他们下一次同时到图书馆日期是5月13日。 4．（25-26五年级上·广东深圳·期末）在26，35，40，55，12，84，78，37，6中，找出2的倍数：( )。 笑笑是这么解释的：根据数的组成，每一个数都可以写成下面的形式。例如，23＝2×10＋3，因为10已经是2的倍数，2个10还是2的倍数，所以只用看个位上的3；157＝1×100＋5×10＋7，因为( )。因此，判断一个数是不是2的倍数，只用看个位上的数。 【答案】 26，40，12，84，78、6 百位和十位上的数字所代表的数值都是2的倍数 【思路引导】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 根据数的组成进行分析，看这个数分别有几个千、几个百、几个十和几个1组成，因为10，100，1000都是2的倍数，整十整百整千数无论乘几得到的数都是2的倍数，因此只要个位上的数是2的倍数，这个数就是2的倍数。 【规范解答】由分析可得：在26，35，40，55，12，84，78，37，6中，2的倍数有：26，40，12，84，78、6。 157＝1×100＋5×10＋7 100是2的倍数，10是2的倍数，7不是2的倍数，因为百位和十位上的数字所代表的数值都是2的倍数，因此判断一个数是不是2的倍数，只用看个位上的数。 5．（25-26五年级上·广东深圳·期末）质数是自然数的“基石”，在密码学中至关重要。它的主要原理是“正向易，逆向难”的数学特性，例如：将几个质数相乘很容易，但将乘积分解回原质数却不容易。请写出78可以等于哪三个质数相乘：78＝______×______×______。 【答案】 2 3 13 【思路引导】质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数，即不能被其他自然数整除。要求78可以等于哪三个质数相乘，先用最小质数2试除，再分解商，最后判断商是否为质数，即可求解。 【规范解答】，2是最小的质数，符合题意，保留，作为第一个因数； ，3是质数，符合题意，保留，作为第二个因数； 13除了1和它本身没有其他因数，是质数，保留，作为第三个因数； 计算，与原数相等。 因此78＝2×3×13。 6．（25-26五年级上·甘肃定西·期末）因为2×8＝16，所以2和8都是因数，16是倍数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据因数和倍数的意义：如果数能被数整除（≠0），就叫做的倍数，就叫做的因数；进行解答即可。 【规范解答】因为，所以，，那么可以说2和8是16的因数，16是2和8的倍数。因数和倍数不能单独存在，因此原说法错误。 故答案为：× 7．（24-25五年级下·辽宁盘锦·期末）求出下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①7和12        ②45和30        ③28和14 【答案】 ①1；84；②15；90；③14；28 【思路引导】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。 【规范解答】①7和12是互质数，所以7和12的最大公因数是1，最小公倍数是7×12＝84； ②45＝3×3×5，30＝2×3×5 45和30的最大公因数是：3×5＝15； 45和30的最小公倍数是：2×3×3×5＝90； ③28和14是倍数关系，所以28和14的最大公因数是14，最小公倍数是28。 8．（25-26五年级上·陕西榆林·期末）“快递连接你我他，快递进入寻常百姓家。”现在大部分小区有智能快递柜，解决了社区居民取快递最后“100米”的烦恼，这天，张阿姨收到一条取件码信息，取件码为ABCD四位数字，则张阿姨的取件码是多少？ 取件码ABCD中： A是一位数中最大的奇数； B是最小的合数； C是一位数中同时是2和3的倍数； D是比最小的质数大1的数。 【答案】9463 【思路引导】个位上是1、3、5、7、9的数是奇数，一位数中最大的奇数是9； 除了1和本身，还有别的因数的数是合数，最小的合数是4； 同时是2和3的倍数，就是2和3的最小公倍数，即2×3＝6； 只有1和本身的数是质数，最小的质数是2，D比最小的质数大1，那么D是3。据此填空。 【规范解答】一位数中最大的奇数是9，所以A＝9； 最小的合数是4，所以B＝4； 一位数中同时是2和3的倍数的数是2×3＝6，所以C＝6； 最小的质数是2，所以D＝2＋1＝3。 答：张阿姨的取件码是9463。 9．（21-22五年级下·山东青岛·期末）用这两种花搭配成同样的花束，正好用完，没有剩余，最多能扎成多少束？每束花里各有红花，白花多少朵？ 【答案】24束；3朵；2朵 【思路引导】求最多能扎成多少束？即求出72和48的最大公因数，先把72和48进行分解质因数，这两个数的公有质因数的乘积是最大公因数；要求红花，白花各有多少朵，分别用总朵数除以它们的最大公因数即可解答。 【规范解答】72＝2×2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 72和48的最大公因数是：2×2×2×3＝24 红：72÷24＝3（朵） 白：48÷24＝2（朵） 答：最多能扎成24束，红花有3朵，白花有2朵。 10．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）2025年12月—2026年2月期间，我市将以“回家过年”为主题推出系列文旅活动。其中，以“大槐树”村为主会场举办跨年文化节。市民可乘坐20路、30路等公交车往返活动现场。 上午9：00，20路、30路 公交车同时发车 20路公交车每8分钟发一次， 30路公交车每20分钟发一次 (1)至少再经过多长时间，20路和30路公交车又同时发车？ (2)为方便市民参与文化节活动，会场内设置了很多方向指示牌，如图是这些指示牌中的一种，根据图中的数据，请你计算出这种指示牌的面积是多少？ 【答案】(1)40分钟 (2)1.6平方分米 【思路引导】（1）求出两辆公交车间隔发车时间的最小公倍数是两车同时发车的间隔时间。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 （2）如图，指示牌的面积＝大长方形面积＋小长方形面积＋三角形面积，长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，据此列式解答。 【规范解答】（1）8＝2×2×2、20＝2×2×5 2×2×2×5＝40（分钟） 答：至少再经过40分钟，20路和30路公交车又同时发车。 （2）2×0.6＋0.5×（0.9－0.6）＋1×0.5÷2 ＝1.2＋0.5×0.3＋0.25 ＝1.2＋0.15＋0.25 ＝1.6（平方分米） 答：这种指示牌的面积是1.6平方分米。 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26五年级上·广东深圳·期末）已知x÷3＝y（x、y都是非零自然数），那么下列说法中正确的是（    ）。 A．x是y的因数 B．y是3的倍数 C．x是y的倍数 D．x是3的因数 【答案】C 【思路引导】因数和倍数的概念：如果a÷b＝c（a、b、c都是非零自然数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。据此对每个选项进行分析判断。 【规范解答】A．已知x÷3＝y，根据因数和倍数的概念，x是3和y的倍数，3和y是x的因数，所以x是y的倍数，而不是因数，该选项错误。 B．由x÷3＝y可知，y是x除以3的商，x是3和y的倍数，3和y是x的因数，不能得出y是3的倍数，该选项错误。 C．因为x÷3＝y，即x÷y＝3，x、y都是非零自然数，根据因数和倍数的概念，x是y的倍数，该选项正确。 D．由x÷3＝y可知，x是3和y的倍数，3和y是x的因数，所以x是3的倍数，而不是因数，该选项错误。 故答案为：C 2．（25-26五年级上·辽宁大连·期末）用1、5、0三张卡片任意摆成一个三位数，下面说法正确的是（    ）。 A．这个三位数是偶数的可能性最大 B．这个三位数是奇数的可能性最小 C．这个三位数一定是3的倍数 D．这个三位数一定是5的倍数 【答案】C 【思路引导】先列举出用1、5、0组成的所有三位数，再判断四个选项的说法是否正确。 A．整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 据此比较组成的三位数中偶数与奇数的个数，个数多的，可能性就大。 B．由A选项即可判断。 C．3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 D．5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【规范解答】用1、5、0三张卡片任意摆成一个三位数，有150、105、501、510，共4个。 A．其中偶数是150、510，有2个；奇数有105、501，有2个；偶数与奇数的个数相同，则这个三位数是偶数、奇数的可能性相等，原说法错误； B．由A选项可知，偶数与奇数的个数相同，则这个三位数是偶数、奇数的可能性相等，原说法错误； C．1＋5＋0＝6，6是3的倍数，所以这个三位数一定是3的倍数，原说法正确； D．如：501不是5的倍数，所以这个三位数不一定是5的倍数，原说法错误。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）先把三张卡片能组成的所有的三位数分别写在完全相同的纸条上，然后放在纸箱里，从中任意抽取一张，下面的说法不正确的是（    ）。 A．抽出的数不可能是质数。 B．抽出的数是奇数的可能性比偶数小。 C．抽出的数是2的倍数的可能性与是5的倍数的可能性相等。 D．抽出的数一定是3的倍数。 【答案】C 【思路引导】写出用4、5、6组成的所有三位数。 A．一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，据此判断； B．整数中，是2的倍数的数叫作偶数；不是2的倍数的数叫作奇数，据此分别找出所有三位数中奇数与偶数的个数，再进行比较即可判断； C．个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位是0或5的数是5的倍数，据此找出2的倍数和5的倍数的个数，再进行比较即可判断； D．各位上的数字和是3的倍数的数是3的倍数，据此判断是否是3的倍数。 【规范解答】用4、5、6组成的所有三位数：456、465、546、564、645、654、共6个。 A．因为456、546、564、654的个位分别是6、6、4、4，这几个数都是2的倍数，465、645的个位都是5，所以这两个数都是5的倍数，所以用4、5、6组成的所有三位数都不是质数，所以抽出的数不可能是质数。原题说法正确； B．456、546、564、654的个位分别是6、6、4、4，这几个数都是2的倍数，所以偶数有4个，奇数有465、645，奇数有2个，4＞2，所以抽出的数是奇数的可能性比偶数小。原题说法正确； C．2的倍数有4个，5的倍数有2个，所以抽出的数是2的倍数的可能性大于5的倍数的可能性，原题说法错误； D．因为4＋5＋6＝9＋6＝15，15是3的倍数，所以用4、5、6组成的所有三位数都是3的倍数，所以抽出的数一定是3的倍数。原题说法正确。 所以说法不正确的是抽出的数是2的倍数的可能性与是5的倍数的可能性相等。 故答案为：C 4．（24-25五年级上·广东深圳·期末）长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，( )是质数，( )同时是2、5的倍数，( )是( )的倍数，( )再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 29 100 48 6 29 3 30 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。 在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。 一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】15＝3×5、6＝2×3 2×3×5＝30 长白山矿泉水储量丰富，流量稳定。初步统计，已发现的矿泉点日涌水量达100多万吨。在已通过省级或国家级鉴定的48处矿泉水水源地中，适合建设大型矿泉水生产基地的水源有15处、适合建设中型矿泉水生产基地的水源有6处、适合建设小型矿泉水生产基地的水源有29处。在这些数中，29是质数，100同时是2、5的倍数，48是6的倍数，29再加上1就是3的倍数，15和6的最大公因数是3，最小公倍数是30。 5．（24-25五年级上·福建泉州·期末）著名数学家陈景润先生提出了“1＋2”定理：“一个偶数＝一个质数＋一个质数×一个质数，其中偶数必须充分大。”比如：20＝5＋5×3或20＝11＋3×3，你能根据这个定理，分一分下面的偶数吗？试试看吧！ 24＝( )＋( )×( )     40＝( )＋( )×( ) 【答案】 2 2 11 5 5 7 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 24以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，2＋2×11＝24或3＋3×7＝24符合条件； 40以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，2＋2×19＝40 或 5＋5×7＝40符合条件 【规范解答】24＝2＋2×11 40＝5＋5×7 答案不唯一； 【考点剖析】关键根据质数的定义找出24和40以内所有的质数，再按要求组算式。 6．（23-24五年级下·四川广安·期末）写出下列每组数的最小公倍数。 ①8和24        ②10和35 【答案】①24；②70 【思路引导】①两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数； ②先把10和35分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。 【规范解答】①因为24是8的倍数，所以8和24的最小公倍数是24。 ②因为，所以10和35的最小公倍数是。 7．（24-25五年级下·江苏苏州·期末）把两根彩带（如下图）剪成同样长的短彩带且没有剩余。每根短彩带最长是多少厘米？可以剪成几段？ 【答案】5厘米；14段 【思路引导】根据题意可知，每根短彩带最长的长度是45厘米和25厘米的最大公因数，就是每根短彩带的最长厘米数；用总长厘米数除以每根短彩带的厘米数就是段数，再把两条彩带所剪的段数相加即可得解。 【规范解答】45＝5×3×3 25＝5×5 45和25的最大公因数是5，每根短彩带最长是5厘米。 45÷5＝9（段） 25÷5＝5（段） 9＋5＝14（段） 可以剪14段。 8．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之。”围棋起源于中国，相传为尧帝发明，至今已有4000多年的历史。现代围棋棋盘由19条横线和19条竖线组成，共有361个交叉点，每个交叉点可以放置一个棋子。棋子分为黑、白两色，一副围棋中黑子数量大于170，小于200，且无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，一副围棋中有多少枚黑子？ 【答案】181枚 【思路引导】无论6枚6枚数，还是10枚10枚数，都多1枚，说明黑子的数量比6和10的公倍数多1，先求出6和10的最小公倍数，再通过最小公倍数找到170至200之间的公倍数，加1即可。全部公有的质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】6＝2×3、10＝2×5 2×3×5＝30 200÷30＝6……20 30×6＝180 180＋1＝181（枚） 答：一副围棋中有181枚黑棋子。 9．（24-25五年级上·安徽安庆·期末）一筐梨的个数在100以内，无论2个2个地拿，3个3个地拿，还是5个5个地拿，都剩下1个，这筐梨最多有多少个？ 【答案】91个 【思路引导】2个2个地拿剩1个，说明梨的个数是2的倍数多1；3个3个地拿剩1个，说明梨的个数是3的倍数多1；5个5个地拿剩1个，说明梨的个数是5的倍数多1；综合一起，梨的个数也就是2、3、5的公倍数多1，先算出2、3、5的最小公倍数，再找出100以内最大的公倍数，最后加1即可得到最多有多少个梨。 【规范解答】2、3、5的最小公倍数是：2×3×5 ＝6×5 ＝30 100以内，2、3、5的公倍数有：30，60，90，其中最大的是90。 90＋1＝91（个） 答：这筐梨最多有91个。 【考点剖析】这道题的关键是：从“2个、3个、5个拿都剩1个”，得出梨的数量是2、3、5的公倍数加1；先算出2、3、5的最小公倍数是30，再找100以内最大的公倍数90，最后加1得到最多有91个梨。 10．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 【答案】（1）2；7；a＝b＝c          （2）6 【思路引导】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。 若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。 若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。 （2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。 【规范解答】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2； 若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7； 若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。 （2）根据题意可得： 8（x＋y）＋10x＋y＝99 解：8x＋8y＋10x＋y＝99 18x＋9y＝99 因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。 35＝11＋11＋13 27＝7＋7＋13 19＝5＋7＋7 13－11＝2 13－7＝6 7－5＝2 6＞2，则P（t）的最大值是6。 【考点剖析】第二小题中，根据数量关系列出方程，确定y是奇数，从而确定t的值是解题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $