数学-2026年1月黑龙江省高三期末试题

高三期末考试 数学 参芳答案及解析 25一26学年度期末考试 高三年级数学 一、选择题 1B【餐精1白4-0L,2a4利.B-0片号204n8-0l2以.所以An8中元素的个爱为3 2C【解折】2=2西2-@0-2_20-四：a+41,又：为纯虚数，所以1-a=0,即a=1. 1+2i 5 3.A【解析】由a+a,=8,得2a=8,所以a,=4,又，=0，所以公羞=4-=2,4=2，则 4-2 8=6x(26x5×218. 2 1A【解折】市超责得--6=3x2y3空13列，所以红3功64，所以 （2 -2≤x+2y≤2，当且仅当x=2y=±1时等号成立，所以x+2y的最大值为2. 5.C【解析】设圆台的上、下底面半径分别为x,2x,高为h,则π(2x+x)×5=45元， 解得3，则h=√5P-(6-3=4,所以该圆合的体积为V=}元×4×6+6+3x0=84元 6B【解析】因为im2a-2 sinacoB+coS2B=①，cos'u-2 cosasin B+im2B=】②，由O+②得， 3 2-2 in+osa.in月-青所以sma+月=号因为na-cmP>0所以na>m写-A因为 7 BE(0孕所以0号P<分义适数mr在0孕上单调造增，所以a心号A即受a+B<云所以 oa-月-小ne1月g,房以ma+- 8 7.B【解析】由题意得点P在第一象限，引=2c,由双曲线的定义得P-P引=2a,所以Pg+2- |PF=2a,因为e=PF，所以|P=2a,连接R,则er引=|er,所以|2r=PE,即 ∠PQR-∠QPg-2∠PR-行，所以△PE0为等边三角形，即lO-O-2a在△O50中(0为坐 标原点)，c0s∠QO= OF c3 |Q2a ,所以C的腐心率=C=V5. a 答案第1页共9页 高三期末考试 数学 &D【解令的-0当20时.k需，令20，则2x-冷⑧≥0 x+1 (x+1)2 则x>V2-上令h)<0,则0<x<V2-1,所以h)在(2-1，+o)上单调递增，在(0N2-1)上单调递减， 所以h(x)m=h(V2-1)=2V2-3,叉(0)=h)=0,所以当k<2√2-3时，方程gw)=0无实数根；当 k=2√2-3时，方程g(x)=0有1个根；当k∈(2V2-3,0]时，方程g(x)=0有2个根；当k>0时，方程 g因=0有1个根.当<0时，令0=c<0Bx-》则自<0知 x+1 p(x)在(-o,-1)和（-1,0)上单调递减，当x∈（-w,-1)时，p(x)<0,当xe(-1,0)时，p(x)∈(1，+o), 所以当0≤k≤1时，方程g(x)=0无实数根，当k<0或>1时，方程x=0有1个根，综上可知，当K2√2-3 和0<k≤1时，方程)0有1个根，当22-3<k<0时，方程g)0有3个根，当k=2√2-3，k0及k>1 时，方程g(x)=0有2个根，所以当k∈(2√2-3,0)时，函数g(x)有3个零点 二、选择题 ab 9.ABDI解析】cos<a,b= 5x(25+1x2-1 可 2×4 所以AE确：因为可司 a.五万_3x(-2W5)+1×26= 4×4 五所以B正确：由c1fa且C-a1(c-b),得 x-3y=0 x-6x+2同+0-0-2》=0解得 x=5,则c=W5,5,-》,所以c不正确：当c=65.时，-W5+1P-2,当c=(5-0 y=-1 时，=-V5+(-1=2,故D正确， y2=4x 10.AC【解析】设M(x,y),N(s,),由 -k+)得+2-2+K=0-4f-2分-4w-160-k)>0 得发<L又5专2，所以如+1长+1意16又0，所以k分改A正确：因 为+5=14，x5=1,所以MN=V1+k2×V任+x)2-4书，=4V5,故B不正确：设C的准线与圆D的切 点坐标为Q(-1,3),直线y=3与C的交点为P,根据抛物线的定义PF=P9,所以△PQF可能是等腰三角 5 形，放C正确：直线ky+D,即x2y+1=0,则点D0,3列到直线1的距离d=店v5,则 点Q到直线1的最小距离为√5-1，故D不正确 答案第2页共9页 高三期末考试 数学 11BCD【解析】因为n+DS-S,)=20n+2S。-S.所以0m+10a1=20n+2)a,整理得马=2a,又 n+2n+1' 异4品满足上式，所以数列{品是等比数列，数列会不是等比数列，所以A不正确：则 (n+1 8=4×2-?,所以a=0m+D×2,0=11x2-1<1 n+1 a11 12×2-24号所以au>2a,故B正确：会=2n+2. 所以数列 是以4为首项，以2为公差的等差数列，所以C正确：因为 n+11 6,2,所以 1a- 数列一是以为首项为公比的学比数到，则&4公 一十一+十 q441- 1 1 2因为函数 2 f0-1neN)为增函数，所以fo0<1故D正确， 三、填空题 12.20【解析】展开式的通项公式为T1=x.Cg(x2),x'-C%(x)x'=C33r-C%x2-3,由13-3=4，得= 3,由1234得7-合去，所以合项的系数为c心-” 13.2029【解析】由fx+1)十x-1)=x)十1①，得x+2)+fx)x+1)十1②，由①+②得 fx+2)tx-1)=2,所以x+5)+f+2)=2,即x+5)=x-1),所以x+6)=fx),所以x)的一个周期为6，因为2)+f-1) =2,f-1)=2,所以2)=0，因为3)t0)=20)=3,所以3)=5，又1)t4)=2,2)+5)F2,3)+6)=2,所以 内3837X60®80-202*2+0522 20【解析】记第1次取出白球为事件4，“第次取出红球为事件B”,“连续取球3次，口袋中还有1 14. 61 个红球为事件C,则PC-RRCy-P(8,C+B,C)因为P(BCAg44)2××39 ,P(B2C) 54440 P4B4)=3×2x39 号子品a0代42专餐号以名是品u 9 AB9=89-20 PG-54961 1000 四、解答题 15.解：(1)因为A=C,a=2,得a=c=2, 由sinB=√3sinC及正弦定理得b=2√3，(2分) 由余弦定理得c0sB=。+C-B-,又B∈0，，故B-,4分 2ac 2 3 设△ABC内切圆的半径为r,则二×2×2×sin 2π_1， r×2+2+2V3) 32 答案第3页共9页 高三期末考试 数学 解得r=2√3-3.(6分) (2)由题意知b=√3c,a=2,在△ABC中， CosC= a2+b2-c24+2c21 2ab 4V3c 3c2v3 ,(8分) 由三角形的三边关系可得 e+c>2得5-1<c<5+0分 N5c-c<2, 令fo)=1 c+5W51<C<3+D,由对勾函数的性质可得当x∈W3-1V②)时@)单调递 当xe(2,√5+1)时，f(c)单调递增， 又r5--15+-1, @9. 所以eosC的取值范围为).(3分》 16解：（1)令=x2,则y=2+b可化为y=a+b, (4-)(y-) i= 230 0.9583,(3分) 医“-网V2-列 √400×144 令v=hy,则y=emx+"可化为lny=x+n,即v=x+n, 因为2年-矿=10，（4分) -(店-) 6.2 所以= 0.9810,(7分) 会可：可 √10x√4 则方<5，因此从相关系数的角度来看，模型y=ex+的拟合程度更好.(9分) (2)由(1)知，用模型y=emx+"比较合适， 令v=ny,则y=ex+可化为ny=x+n,即v=r+n, 答案第4页共9页 高三期末考试 数学 5 (-(g-) 所以m=包 6.2 =0.62,(12分) 可 10 因为x=3,v=1.6,所以n=v-mx=1.6-0.62x3=-0.26, 则y关于x的回归直线方程为=0.62x-0.26,所以y=e62x-026.(15分) 17解0因为 B,所以b2=a2 =山所以4+是-13分) aa 解得a2=16,b2=12, 似c的程为后后16公 (2)由c2=a2-b2=4,知C=2,所以E(2,0),(7分) 设1：x=y+2,A31,),B(x2,2), + 1 由1612，得(3m2+4)y2+12y-36=0, x=y+2 由4=144m2+14432+4)>0, 得片+y= 12 3m2+4’y= 36 3m2+4,(9分) 144214424V2+1 3-3=V0y+)2-4= V(3m+423m2+43m2+4 所以△A的面积S-R到y--8打 (11分) 3m2+4’ 48t48 S 令Vm+1=t,则t≥1， =3+13t+ 因为函数f)=3t+在[1，+∞)上单调递增，所以0=f④=4(14分) 所以Sx=12,即△AB面积的最大值为12.(15分) 18.(1)证明：由题意可知，CC1⊥AC,AA⊥AC,BB⊥AC, 所以四边形AACC,四边形AAB,B均为直角梯形， 答案第5页共9页 高三期末考试 数学 因为CC1=2AA=2AC=2, 所以AC1=AC=V2, 所以AC2+A,C2=CC, 所以AC⊥AC1,(3分) 在△B,BC中，可得BC=√5，在Rt△ABC中，可得AB=√2， 在梯形A4,B,B中，可得AB=√5， 所以AC2+AB,2=B,C, 所以AC⊥AB,(6分) 因为A,C1∩AB,=A, 所以A,C⊥平面AB,C, 因为ACc平面ABC, 所以平面AB,C⊥平面AB,C1.(8分) (2)解：取B,A的中点为D, 在△4B,B中，DA=DA=DB=6 同理可求得DC,=DC=6 则B,A的中点D即为四棱锥A-BCC1B,外接球的球心O,(10分) 以C为原点，直线CA,CB,CC分别为x,y,二轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则c4aao.@2,Aa.o5岁 C c网-a.o-3西-o12.a1分 D0) A B 设平面OAC的法向量n=（x,y,z), 答案第6页共9页 高三期末考试 数学 =1x士y+=0 则 2 CA=x+=0, 令x=1,得n=(1,1,-1),(13分) 设平面AB,C的法向量m=（a,b,c), iCB =b+2c=0, 则 mCA=a+c=0, 令a=1,得m=(1,2,-1),(15分) 设平面AB,C与平面OA,C的夹角为0， m 4 则coS0 2W2 园网 6x3 3 所以平面AB,C与平面OAC夹角的余弦值为 2v 3 .(17分) 19.(1)解：因为f=-2x+a,所以f四=a-1,(1分) 又了0=》则听求切线方程为-a-x-》3分) 令0，则y=- a+1=所a=24分) 3 (2)解：若f(x)有2个极值点x,x,则f"()=0有两个不同的正根x,x,即方程x-2x+a=0有两个不同的 正根x1,x2, 4-4a>0 所以5+x=2>0,解得0<a<1,(6分) {553=a>0 f)+)+2a-=6g2+5)-2e+5)+ah6s5)+2a =号0s+g)-车-2*)+ahe)+2a=ana+a-28分) 令g(a)=aha+a-2(0<a<1),则g'(a)=2+lna 由g'(a=0,得a=。, 1 当a∈(0，)时，g@<0,ga)单调递减： 答案第7页共9页 高三期末考试 数学 当a∈宁时，g@>0g@单调递增， 所以g回m=g=-2日10分 因为801，当0时.86)-2，所以-2≤j6)+/6)+2a<-1 即c)+fc)+2a的取值范围为-2- (11分) 3)证明：由(2)如，<as时aha*a-22-位aha*a名当组收之时特号成立 e aa0则时片日数群料e1ga分》 所以n2-1号n3-1合n4-1号加n-1k总，15分) e2 将以上n-1个等式衡边分别相m,得h24h3n4+hn-a-<名2+34+0， 整理得n2x3x4xx0-n-)<0n-1n+2，(16分) 2e2 所以hO-m-D<a-1+2,m≥L且neN, 2e2 故当n心>1，nEN时，不等式-1<2e+1成立.(17分) 答案第8页共9页 高三期末考试 数学 高三数学细目表 题号 题型 分值 考查的主要内容及知识点 难度 1 单选题 5 集合中的元素个数 易 2 单选题 5 复数的运算、纯虚数 易 3 单选题 5 等差数列的前n项和 易 4 单选题 5 基本不等式的应用 易 5 单选题 5 圆台的体积 易 6 单选题 5 三角恒等变换 中 7 单选题 5 双曲线的离心率 中 8 单选题 5 根据函数的零点求参 难 9 多选题 6 平面向量的运算 易 10 多选题 6 直线与抛物线的位置关系 中 11 多选题 6 数列递推式及数列的性质 中 12 填空题 5 二项展开式中特定项系数计算 易 13 填空题 5 函数的周期性 中 14 填空题 5 条件概率的计算 中难 15 解答题 13 解三角形 易 16 解答题 15 线性回归分析、回归方程的求解 中 17 解答题 15 椭圆方程求解、直线与椭圆位置关系 中 18 解答题 17 面面垂直、面面夹角的求解 中 19 解答题 17 导数的几何意义、函数的极值点应用 难 答案第9页共9页高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡 规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应 的区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A={x∈N-1<x<5,B=(号xc∈A,则AnB中元素的个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知：-号十为纯虚数，则实数@的值为 A.-1 R司 C.1 D.2 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=0,a3十a5=8,则S6 A.18 B.28 C.30 D.42 4.已知实数x,y满足x2+4y2=2xy+1,则x十2y的最大值为 A.2 B司 C.3 D.4 5.已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为5，侧面积为45π，则该圆台的体积为 A.48π B.60π C.84π D.252π 6.已知a8c(o,8）.sn&os日-言cosa-inA=-9,则ana十g》 A.-2 B.-72 8 C.-32 8 D. 高三数学试卷第1页（共4页） 鱼跃龙的卷 C:1a>0,b>0的左有焦点分别为F1,P,过r作倾斜形 l,1与C的右支交于点P,与y轴交于点Q,若QF|=|PF2|,则C的离心率为 A.√2 B.√3 C.2 D.√6 x2-x,x≥0， 8.已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)一(x十1)有3个零点，则实数的取值范 e,x<0, 围为 A.(1-√2,0) B.(2-3,0) C.(1-2√2,0) D.(22-3,0) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(3,1),b=(-23,2),c=(x,y),c∥a,且(c-a)⊥(c-b),则 2 A.a与b的夹角为3不 B0在b上的投影向量为一b C.c=(W3,1) D.c|=2 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=k(x+1)(k>0)与C交于M,N两点，且|MF|+ |NF|=16,P为C上任意一点，Q为圆D:x2+(y一3)2=1上任意一点，则 Ak=司 B.MN=8/3 C.△PQF可能是等腰三角形 D.点Q到直线1的最小距离为1 11.记数列{am}的前n项和为Sm,a1=4,a2=12,当n≥2时，(n+1)Sm+1+2(n+2)Sm-1=(3n十 5)S,则 A.数列a是等比数列 B.a11>2a1o C数列{2}是等差数列 +++ an 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x-1D(x2+)°展开式中含x项的系数为 26 13.已知函数f(x十1)+f(x-1)=f(x)+1,f(一1)=2，f(0)=-3,则∑f(k)= k=11 14.袋中有除颜色外其余完全相同的2个红球和3个白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回； 若取出白球，则放回.现连续取3次球，若袋中还有1个红球，则第2次取出红球的概率 为 高三数学试卷第2页（共4页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,sinB=√3sinC. (1)当A=C时，求△ABC的内切圆的半径； (2)求cosC的取值范围. 16.(15分)某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投人，走科技创新之路，年利润得到较快 增长，2021~2025连续五年的年利润y(单位：亿元)与年份序号x(x=1,2,3,4,5,其中2021年 记为1,2022年记为2，以此类推)满足一元非线性回归直线方程，统计数据如下： (4:-P)2 i=1 2a:-） 含-x)- (y:-y) 2(u,-0)2 i=1 i= 400 230 6.2 144 1.6 4 注：4：=x,v:=lny:(i=1,2,3,4,5). (1)设4和y的相关系数为r1,x和v的相关系数为r2,请从相关系数的角度，确定y=ax2十b 和y=emx+m(其中a,b,m,n均为常数，e为自然对数的底数)哪一个拟合程度更好； (2)根据(1)的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程 2(x-2)(0:- 附：①相关系数r= ,回归直线y=bx十ā中斜率和截距的最小 N2:-2,- 2x,-)0:- 二乘估计公式分别为B= a=y-bx. 2(x-) ②参考数据：√/10≈3.16. 高三数学试卷第3页（共4页） 鱼跃龙户卷 5分已知椭圆C:之十)与a>6>0的左、右焦点分别为F,卫，离心率为)点 一3)在C上，过F2的直线l与C相交于A,B两点. (1)求C的方程； (2)求△F1AB面积的最大值. 18.(17分)在如图所示的五面体中，△ABC是等腰直角三角形，AA1,BB1,CC1均垂直平面ABC, BB=CC=2AA=2AC=2BC=2. (1)求证：平面A1B1C⊥平面A1B1C1; (2)设四棱锥A-BCC1B1的外接球球心为O,求平面A1B,C与平面OA1C夹角的余弦值. B A 10.（17分)已知函数f(x)=e-2x+alnx(a∈R). (1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线在y轴上的截距为一，求。的值； (2)若f(x)有2个极值点x1,x2,求f(x1)+f(x2)十2a的取值范围； (3)当n>1,且n∈N*时，证明： In(n!)n+2 n-12e+1. 高三数学试卷第4页（共4页）高三数学试卷 满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 A.2 B.3 C.4 D.5 A.-1 B. C.1 D.2 A.18 B.28 C.30 D.42 A.2 B. C.3 D.4 A.48π B.60π C.84π D.252π A.-2 B.- C.- D.- A. B. C.2 D. A. B.-3,0) C. D.-3,0) 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分。 14.袋中有除颜色外其余完全相同的2个红球和3个白球，每次取1个球，若取出红球，则不放回；若取出白球，则放回.现连续取3次球，若袋中还有1个红球,则第2次取出红球的概率为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2， sin B=sin C． （1）当A=C时，求△ABC的内切圆的半径； （2）求cos C的取值范围. 16.（15分）某科技创新型企业自创建以来，不断加大研发投入，走科技创新之路，年利润得到较快增长，2021~2025连续五年的年利润y（单位：亿元）与年份序号x(x=1,2,3,4,5,其中2021年记为1,2022年记为2，以此类推)满足一元非线性回归直线方程，统计数据如下： 注：μi=x2i,vi=ln yi(i=1,2,3,4,5). （1）设μ和y的相关系数为r1,x和v的相关系数为r2，请从相关系数的角度，确定y=ax2+b和y=emx+n（其中a,b,m,n均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好； （2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程． 18.（17分）在如图所示的五面体中，△ABC是等腰直角三角形，AA1,BB1,CC1均垂直平面ABC,BB1=CC1=2AA1=2AC=2BC=2. （1）求证：平面A1B1C⊥平面A1B1C1； （2）设四棱锥A-BCC1B1的外接球球心为O,求平面A1B1C与平面OA1C夹角的余弦值. $