10.1.3 古典概型 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦古典概型，系统讲解其概念、特点及概率公式。课堂从随机事件概率度量问题切入，通过彩票摇号、掷硬币等试验分析共同特征，衔接随机事件知识，为概率计算搭建学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，结合典例辨析（如区间取数、选国家旅游）和列举法（列表、树状图）呈现样本点，注重“有放回”与“无放回”对比及延伸应用。发展数学抽象、数学运算素养，帮助学生理解概念本质，教师可通过丰富案例提升教学效率。

长沙市明达中学 高一数学 10.1.3.1古典概型 必修第二册 高一数学组 新课标 人教版 高中数学 1 学习目标 知识目标　1.理解古典概型的概念及特点，会判断古典概型. 2.掌握古典概型概率公式，能利用公式解决简单的概率计算问题.(重点、难点) 能力目标　通过本节课的学习有助于提升学生的抽象思维和数学运算能力. 素养目标　通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算素养. 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值.能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？本节课我们就来学习一下！ 情景引入 问题1　我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？ 提示　样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等. 新知探究 4 问题2　在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？ 提示　A＝{2,4,6}. 新知探究 5 1.概率 对随机事件发生可能性大小的__________称为事件的概率，事件A的概率用____表示. 2.古典概型 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有______； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性____. 则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称_____ ____. 度量(数值) P(A) 有限个 相等 古典 概型 知识梳理 6 3.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝___＝ .其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 知识梳理 7 判断下列结论是否正确.(请在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个事件都是一个样本点.(　　) (2)观察100粒黄豆是否发芽的试验是古典概型.(　　) (3)古典概型中样本点只有有限个.(　　) (4)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.(　　) × × 提示　根据古典概型的定义，可知(3)(4)正确，对于(1)中，一个事件可能包含多个样本点，(1)不正确，对于(2)中，发芽与不发芽的概率不一定相等，(2)不正确. √ √ 概念辨析 古典概型的定义 例1　下列概率模型是古典概型吗？为什么？ (1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； 不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾. 典例辨析 (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率； 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾. (3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率. 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等. 典例辨析 古典概型需满足两个条件 (1)样本点总数有限. (2)各个样本点出现的可能性相等. 反思感悟 跟踪训练1　(多选)下列试验中是古典概型的是 A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况 B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1 个球 C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点 D.射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数 选项A，正面和反面出现的概率相同，是古典概型； 选项B，每个球被抽到的概率相等，是古典概型； 选项C，样本点有无限个，不是古典概型； 选项D，命中10环，9环，…，0环的概率不等，不是古典概型. √ √ 跟踪训练 古典概型概率的计算 例2　(课本例7)单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？ 典例辨析 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω＝{A，B，C，D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型. 设M＝“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以n(M)＝1. 利用古典概型的概率计算公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m. 反思感悟 跟踪训练2　为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不 在同一花坛的概率是____. 跟踪训练 较复杂的古典概型的概率计算 例3　(课本例8)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 典例辨析 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5,6}}， 其中共有36个样本点. 由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. (2)求下列事件的概率： A＝“两个点数之和是5”；B＝“两个点数相等”； C＝“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”. 典例辨析 因为C＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}， 延伸探究　本例条件不变，求点数之和能被3整除的概率. 记“点数之和能被3整除”为事件D，则D＝{(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)}，所以n(D)＝12， 典例辨析 在求古典概型的概率时，若事件可以表示成集合的形式，则可以用列举的方式把样本点一一列出来，注意做到不重不漏，有时也可以借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点. 反思感悟 跟踪训练3　某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； 由题意知，从6个国家中任选2个国家，其包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个. 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个， 跟踪训练 (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 跟踪训练 列举法解决古典概型问题 例1　(课本例9)袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1)A＝“第一次摸到红球”； 典例辨析 将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果.将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × 典例辨析 典例辨析 (2)B＝“第二次摸到红球”； 第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1,2列)，即B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)}， 典例辨析 (3)AB＝“两次都摸到红球”. 典例辨析 延伸探究　1.将题目中抽样方式由“不放回”改为“有放回”，其他要求不变. 典例辨析 将两个红色小球编号为1,2，三个黄色小球编号为3,4,5，在有放回的随机抽样中，每次摸球时有5种等可能的结果，将两次摸球的结果配对，有如下25种结果. 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 典例辨析 2.如果同时摸出两个球，那么事件AB的概率是多少？ 典例辨析 (1)解题时要注意是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化. (2)利用列举法判断样本点的个数时，可利用树状图等多种方法. 反思感悟 跟踪训练1　甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状相同的卡片若干，甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A和B；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C，D和E；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H和I，如图所示.现要从3个盒子中各随机取出1张卡片.求： (1)取出的3张卡片中恰有1张，2张，3张写有元音字母的概率分别是多少？ 跟踪训练 根据题意，可画出如图所示的树状图. 由树状图可以得到，所有可能出现的样本点有12个，它们出现的可能性相等. (2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率是多少？ 概率与统计相结合 例2　(课本例10)从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人， (1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间； 典例辨析 设第一次抽取的人记为x1，第二次抽取的人记为x2，则可用数组(x1，x2)表示样本点. 根据相应的抽样方法可知： 有放回简单随机抽样的样本空间Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}. 不放回简单随机抽样的样本空间Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}. 按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}. (2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 典例辨析 设事件A＝“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}. 对于不放回简单随机抽样，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}. 因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝∅，因此P(A)＝0. 概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有 第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)； 第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； 第三步：找出所求事件包含的样本点个数； 第四步：根据古典概型概率计算公式求解； 第五步：明确规范地表述结论. 反思感悟 跟踪训练2　某高中学校统计了高一年级学生期中考试的数学成绩，将学生的成绩按照[50,75)，[75,100)，[100,125)，[125,150]分成4组，制成如图所示的频率分布直方图.现用按比例分配的分层随机抽样的方法从[75,100)，[125,150]这两组学生中选取5人，再从这5人中任选2人，则这2人的数学成绩不在同一组的概率为 √ 跟踪训练 由题意可知，数学成绩在[75,100)的学生的频率为0.012×25＝0.3， 数学成绩在[125,150]的学生的频率为0.008×25＝0.2. 用按比例分配的分层随机抽样的方法从[75,100)，[125,150]这两组学生中选取5人， 则其中有3人的成绩在[75,100)，分别记为a1，a2，a3； 有2人的成绩在[125,150]，分别记为b1，b2. 从这5人中任选2人，所有的样本点有a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2，共10个， 概率的综合应用 例3　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数，设两次记录的数分别为x，y，奖励规则如下： ①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动. 典例辨析 (1)求小亮获得玩具的概率； 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数， 则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤4,1≤y≤4}. 其中共有16个样本点. 记“xy≤3”为事件A， 则事件A包含的样本点个数为5， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1). (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 典例辨析 记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C， 则事件B包含的样本点个数为6， 即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 事件C包含的样本点个数为5， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 延伸探究　1.在本例中求小亮获得玩具或水杯的概率. 用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数，则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤4,1≤y≤4}. 所以样本点总数n＝16. 记“小亮获得玩具或水杯”为事件E，则事件E包含的样本点个数为11， 即E＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}， 典例辨析 2.本例中奖励规则改为：①若3≤x＋y≤5，则奖励玩具1个；②其余情况没有奖，求小亮获得玩具的概率. 用数对(x，y)表示小亮参加活动先后记录的数， 则样本空间Ω＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*,1≤x≤4,1≤y≤4}. 所以样本点总数n＝16. 记“3≤x＋y≤5”为事件D，则事件D包含的样本点个数为9. 即D＝{(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)}， 典例辨析 应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件A包含的样本点个数，最后代入公式求出概率. 反思感悟 跟踪训练3　某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和一个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖. (1)用球的标号列出所有的样本点； 所有样本点是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2). 跟踪训练 (2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 不正确，理由如下： 由(1)知，所有样本点共12个， 其中摸出的2个球都是红球的样本点有(A1，a1)，(A1，a2)，(A2，a1)，(A2，a2)，共4个， 故不中奖的概率比较大. 课堂小结 1.知识清单： (1)古典概型. (2)古典概型的概率公式. 2.方法归纳：常用列举法(列表法、树状图法)求样本点的总数. 3.常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏. 课后作业 （1）同步题卡作业 （2）预习学案下一节 对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)，又P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A6)＝P(必然事件)＝1，所以P(A1)＝P(A2)＝…＝P(A6)＝eq \f(1,6)，P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2). eq \f(k,n) eq \f(nA,nΩ) 所以考生随机选择一个答案，答对的概率P(M)＝eq \f(1,4). (3)P(A)＝eq \f(m,n). 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛中的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的方法有红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率P＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3). eq \f(2,3) 因为A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以n(A)＝4，从而P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9)； 因为B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，所以n(B)＝6，从而P(B)＝eq \f(nB,nΩ)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)； 所以n(C)＝15，从而P(C)＝eq \f(nC,nΩ)＝eq \f(15,36)＝eq \f(5,12). 从而P(D)＝eq \f(nD,nΩ)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3). 则所求事件的概率P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). 从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.其中包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率P＝eq \f(2,9). 第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2行)，即A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)}.所以P(A)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5). 所以P(B)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5). 事件AB包含2个可能结果，即AB＝{(1,2)，(2,1)}，所以P(AB)＝eq \f(2,20)＝eq \f(1,10). 其中P(A)＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5)，P(B)＝eq \f(10,25)＝eq \f(2,5)，P(AB)＝eq \f(4,25). 如果同时摸出两个球，即不分先后，则样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中P(AB)＝eq \f(1,10). 有两张元音字母的结果有4个，所以P(2张元音字母)＝eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)； 三张全部为元音字母的结果有1个，所以P(3张元音字母)＝eq \f(1,12). 只有一张元音字母的结果有5个，所以P(1张元音字母)＝eq \f(5,12)； 三张全是辅音字母的结果有2个，所以P(3张辅音字母)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6). 因此P(A)＝eq \f(2,12)＝eq \f(1,6). 因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.因此P(A)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4). A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,5) 其中这2人的数学成绩不在同一组的样本点有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，共6个，则所求概率P＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5). 所以P(A)＝eq \f(5,16)， 即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16). 所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8). 所以P(C)＝eq \f(5,16). 因为eq \f(3,8)>eq \f(5,16)， 所以P(E)＝eq \f(11,16)，所以小亮获得玩具或水杯的概率为eq \f(11,16). 所以P(D)＝eq \f(9,16)， 所以小亮获得玩具的概率为eq \f(9,16). 所以中奖的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3)， 不中奖的概率为eq \f(8,12)＝eq \f(2,3)， $