20.3数据的离散程度(教学课件)数学新教材沪科版八年级下册

该初中数学课件聚焦“数据的离散程度——方差”，通过机床生产零件实例导入，先回顾集中趋势（平均数、中位数）无法区分稳定性，引出离散程度，构建从集中到离散的数据分析知识支架。 其亮点是以问题驱动探究，结合图表直观对比数据波动，抽象出方差定义，培养数学眼光。通过实例计算（机床、水稻产量）和计算器操作，强化运算能力与推理意识，体现数学思维。知识拓展归纳方差与数据变换关系，帮助学生用数据语言解释现实，提升应用意识，教师可高效备课，学生易理解掌握。

20.3 数据的离散程度 ——方差 第二十章 数据的初步分析 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学 习 目 标 1 2 3 1.了解方差概念的产生和形成过程,理解方差的定义与计算公式,会利用计算方差的方法比较两组数据的离散程度; 掌握用样本的平均数估计总体的平均数的统计方法,理解选取样本的方法和原则. 经历由样本平均数估计总体平均数的过程,体会用样本估计总体这一方法的优越性,体会样本选取方法的重要性以及对总体的影响. 探究新知 （ ） +0 从数据集中趋势这个角度 （ ） 0 -0.2 问题6 两台机床都生产直径为（20±0.2）mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个进行测量，结果如下(单位:mm)： 思考：根据以上结果评判哪台机床的零件的精度更稳定. 机床A 20.0 机床B 20.0 19.8 20.0 20.1 19.9 20.2 20.0 20.0 20.2 20.2 20.0 19.8 20.1 19.9 19.9 20.2 20.1 19.8 19.8 要比较，首先想到比较两组数据的平均值： xA = 1 10 20.0 + 0 -0.2 +0.1 +0.2 -0.1 +0 +0.2 -0.2 +0.2 =20.0(mm) -0.2 xB = 1 10 20.0 + -0.1 +0 -0.1 +0.2 +0 +0.1 +0.1 =20.0(mm) xA = xB =20.0 mm, 这时就需考察数据的离散程度了. 它们的中位数也都是20.0mm， 很难区分两台机床生产的零件的精度的稳定性， 探究新知 如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？ 可见机床A生产出的零件的直径中 把每组零件的直径分别用点来表示，如下图. 图中过20.0与横轴平行的直线上的点表示平均数. 0.2mm的 偏离这个平均数 的 0.1mm 机床B生产出的零件的直径中 偏离这个平均数 有6个、 0.2mm 的 有2个、 0.1mm的 有2个； 有4个， 生产的零件的精确度更稳定. 直观上容易看出 机床B 比机床A 直径波动较大 直径波动较小 探究新知 统计学中常用下面的方法： 在一组数据中, 各数据与它们平均数的差的平方的平均数 (即“先平均, 再求差, 然后平方, 最后再平均”) 叫方差. 即 设一组数据是 x1，x2，···，xn， s2 它们的平均数是 ， 1 n [ ] = x 我们用 ( x1 - )2 +( x2 - )2 +( xn - )2 x x +··· x 来衡量这组数据的离散程度， 并把它叫做这组数据的 方差. 知识拓展： 反映的是数据在平均数附近波动的情况. 方差越小， 方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量， 一般地， 方差越大， 该组数据的波动就越大 （离散程度大）, 该组数据的波动就越小 （离散程度小）. ① 方差的作用： 才利用方差来判断它们的波动情况． ② 方差的适用条件： 当两组数据的平均数相等或相近时， 探究新知 比机床B生产的10个零件直径 下面通过计算方差， 的精确度更稳定. 来评判问题中 机床A和机床B 哪台生产的 零件 前面已经算得A,B两组数的平均数，于是 1 10 [ ] = (20 -20)2 + ··· +(19.8-20)2 +(19.8-20)2 = 1 10 [ ] 02 + ··· +(-0.20)2 +(-0.20)2 = 1 10 ×0.26 =0.026 (mm2) 1 10 [ ] = (20 -20)2 + ··· +(20-20)2 +(19.8-20)2 = 1 10 [ ] 02 + ··· +02 +(-0.20)2 = 1 10 ×0.12 =0.012 (mm2) 由于0.026＞0.012， 波动要大. 可知机床A生产的10个零件直径 知识拓展： 方差的单位是所给数据单位的平方. 探究新知 S2A> S2B 波动大 波动小 较整齐 不整齐 反映的是数据在平均数附近波动的情况. 方差越小， 方差是用来衡量一组数据波动大小的重要量， 一般地， 方差越大， 该组数据的波动就越大 （离散程度大）, 该组数据的波动就越小 （离散程度小）. 方差的作用： 巩固练习 必须认清公式中每个字母代表的意义， x1，x2，···，xn 表示 1、某个样本的方差 s2 1 5 = [( x1 - 10)2 +( x2 - 10 )2 +( x3 - 10 )2 +( x4 - 10 )2 +( x5 - 10 )2] 中，数5，10分别表示这个样本的（ ）. A.容量，平均数 B.平均数，中位数 C.众数，中位数 D.中位数，容量 A s2 1 n [ ] = ( x1 - )2 +( x2 - )2 +( xn - )2 x x +··· x 利用方差的公式求方差时， 如 代表 x 平均数， n代表 样本容量， 每个数据. 方法技巧： 探究新知 思考：计算一组数据的方差的一般步骤. ① 利用平均数公式 x ② 利用方差公式 计算这组数据的平均数 计算这组数据的方差s2 s2 1 n [ ] = ( x1 - )2 +( x2 - )2 +( xn - )2 x x +··· x 2、求下列两组数据的方差，并说明哪组数据的离散程度较小. A：30，50，50，50，60 B：30，44，50，56，60 = 解： = (30+50+50+50+60)＝ (30+44+50+56+60)＝ 48 48 SA2＝ 1 5 ＝96 ] (30-48)2 [ +(50-48)2 +(50-48)2 +(50-48)2 +(60-48)2 SB2＝ 1 5 ＝110.4 ] (30-48)2 [ +(44-48)2 +(50-48)2 +(56-48)2 +(60-48)2 即 SA2＜SB2 ∴ A组数据的离散程度小 ∵ 96＜110.4 1 5 xA xB 探究新知 例 2 用计算器求下列数据的方差 (结果保留2位小数)： 138 , 156 , 131 , 141 , 128 , 139 , 135 , 130. 探究新知 解: 按键方法: (1)设定计算模式. 在打开计算器后, 先按“2ndf ”, 然后按“MODE”1将其设定至“Stat”状态; (2)按键“2ndf”“DEL”, 清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据; (3)数据输入, 依次按以下各键： 输入138, 然后按一下“DATA”; 输入156, 然后按一下“DATA”; 输入131, 然后按一下“DATA”; 输入141, 然后按一下“DATA”; 输入128, 然后按一下“DATA”; 输入139, 然后按一下“DATA”; 输入135, 然后按一下“DATA”; 输入130, 然后按一下“DATA”; (4)求方差, 在计算器的键盘上, 用“σX”表示一组数据的方差的算术平方根. 按键“RCL”“σX”显示方差的算术平方根: σx=8.302860953 按键“X²”“=”显示方差: ANS2=68.9375 由上可得方差: s2=68.94 探究新知 例6 为了比较甲、乙两个新品种水稻产品质量，收割时抽取了五块具有相同条件的试验田地，分别称得它们的质量，得其每公顷产量如下表（单位：1）： (1) 哪个品种平均每公顷的产量较高？ (2) 哪个品种的产量较稳定？ 1 2 3 4 4 甲 12.6 12 12.3 11.7 12.9 乙 12.3 12.3 12.3 11.4 13.2 田地编号 水稻品种 探究新知 解：甲、乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本. 下面我们来考察甲、乙两个新品种的稳定性. x甲 （12.6+12+12.3+11.7+12.9） = 1 5 =12.3 (t) x乙 （12.3+12.3+12.3+11.4+13.2） = 1 5 =12.3 (t) 说明甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高. S甲2＝ 1 5 ＝0.18 ] (12.6-12.3)2 [ +(12-12.3)2 +(12.3-12.3)2 +(11.7-12.3)2 +(12.9-12.3)2 S乙2＝ 1 5 ＝0.324 ] (12.3-12.3)2 [ +(12.3-12.3)2 +(12.3-12.3)2 +(11.4-12.3)2 +(13.2-12.3)2 得出 S甲2＜S乙2 探究新知 乙品种每公顷的产量波动要小， 可知，甲品种每公顷的产量波动 由此估计甲品种的稳定性好. 比 知识拓展： 则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大. ② 在两组数据的平均数相差较大时， ① 一般地，在平均数相同的情况下， 方差越大， 以及在比较单位不同的两组数据时， 不能直接用方差来比较它们的离散程度. 探究新知 1、甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数 (单位：环) 及方差 S2 (单位：环2) 如下表所示： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 x x D 探究新知 2、如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的5次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（　　） A.乙的最好成绩比甲高 B.乙的成绩的平均数比甲小 C.乙的成绩的中位数比甲小 D.乙的成绩比甲稳定 D 探究新知 3、已知一组数据 x1，x2，···，xn， 的方差是 s2： ① 新数据 x1+b，x2+b，···，xn+b 的方差为 . ② 新数据 ax1，ax2，···，axn 的方差为 . ③ 新数据ax1+b，ax2+b，···，axn+b的方差为 . s2 (不变) a2s2 a2s2 探究新知 4、考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下(单位：cm)： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16. 计算甲、乙两组数据的方差，说明哪种小麦长得较整齐. 解： x甲 = 1 10 x乙 = 1 10 (12+13+14+15+10+16+13+11+15+11) (11+16+17+14+13+19+6+8+10+16) ＝13(cm) ＝13(cm) 探究新知 [(12－13)2+(13－13)2 +(14－13)2 +(15－13)2 +(10－13)2+(16－13)2+(13－13)2+(11－13)2 +(15－13)2+(11－13)2] ∵ S甲2＜S乙2， ∴ 甲种小麦长得比较整齐. [(11－13)2+(16－13)2 +(17－13)2 +(14－13)2 +(13－13)2+(19－13)2+(6－13)2+(8－13)2 +(10－13)2+(16－13)2] 1 5 1 5 ＝3.6 ＝15.8 S甲2＝ S乙2＝ (cm2) (cm2) 感谢聆听! $