专题强化05：一次函数【十大题型 培优】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

该初中数学一次函数专题复习讲义通过题型归纳框架系统梳理了知识体系，涵盖正比例函数与一次函数的定义、图像性质、与方程不等式及几何的综合应用等十大题型，以递进式结构呈现知识脉络，突出重点难点的内在联系。 讲义亮点在于“典例+变式”的分层练习设计，如实际应用题通过建立函数模型解决费用问题培养模型意识，几何综合题结合图像变换提升几何直观。不同层次学生可通过基础题型巩固与拓展题型深化，助力教师实施精准复习教学。

专题强化05：一次函数 【题型归纳】 · 题型一：正比例函数和一次函数的定义 · 题型二：正比例函数的图像与性质 · 题型三：一次函数的图像 · 题型四：一次函数的性质 · 题型五：一次函数与一元一次方程 · 题型六：一次函数与一元一次不等式 · 题型七：一次函数和二元一次方程组 · 题型八：一次函数的实际应用 · 题型九：一次函数的规律问题 · 题型十：一次函数与几何综合问题 【题型过关】 题型一：正比例函数和一次函数的定义 【典例1】．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【变式1】．（25-26八年级下·广东江门·期中）下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 题型二：正比例函数的图像与性质 【典例2】．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知点在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【变式2】．（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型三：一次函数的图像 【典例3】．（25-26八年级下·河南新乡·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式1】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：一次函数的性质 【典例4】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 【变式1】．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【变式2】．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型五：一次函数与一元一次方程 【典例5】．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型六：一次函数与一元一次不等式 【典例6】．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型七：一次函数和二元一次方程组 【典例7】．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 题型八：一次函数的实际应用 【典例8】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 【变式1】．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． (1)求A、B两种花木的单价各是多少元？ (2)如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进3000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？ 【变式2】．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 题型九：一次函数的规律问题 【典例9】．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 题型十：一次函数与几何综合问题 【典例10】．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【变式1】．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知函数的图象不过第一象限，若点在该图象上，则点不可能是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 4．（25-26八年级下·福建宁德·期中）将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 9．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 13．（25-26八年级下·内蒙古·期中）最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 16．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 三、解答题 17．（25-26八年级下·吉林长春·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量（L）随行驶路程（）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ (3)若两地的路程约有，当油箱中剩余油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车由地到地，再由地返回地的往返途中，汽车___________报警．（填“会”或“不会”） 18．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 19．（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 20．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 21．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，C是上一点，连接，过点C作交直线于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)求的长； (3)P是y轴上一点，Q是坐标系内任意一点，当P、Q、C、D构成菱形时，求点Q的坐标． 22．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化05：一次函数 【题型归纳】 · 题型一：正比例函数和一次函数的定义 · 题型二：正比例函数的图像与性质 · 题型三：一次函数的图像 · 题型四：一次函数的性质 · 题型五：一次函数与一元一次方程 · 题型六：一次函数与一元一次不等式 · 题型七：一次函数和二元一次方程组 · 题型八：一次函数的实际应用 · 题型九：一次函数的规律问题 · 题型十：一次函数与几何综合问题 【题型过关】 题型一：正比例函数和一次函数的定义 【典例1】．（25-26八年级下·广西南宁·期中）已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 【变式1】．（25-26八年级下·广东江门·期中）下列函数中，不是一次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义逐一判断选项即可得到答案，一次函数要求自变量为整式，且最高次数为1． 【详解】解：A、是正比例函数，属于一次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不符合题意； C、，是一次函数，不符合题意； D、中，是分式，不符合一次函数的定义，不是一次函数，符合题意． 【变式2】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列函数：①：②；③：④，其中是一次函数的是（    ） A．只有④ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，逐一判断各函数是否符合要求，即可得到答案，一次函数定义为形如（，为常数，）的整式函数． 【详解】解：① 中，自变量的次数为，不符合一次函数定义，不是一次函数； ② 可整理为 ，其中 ，，符合一次函数定义，是一次函数； ③ ，分母含自变量，不是整式，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④ 中，，，符合一次函数定义，是一次函数． 综上，一次函数为②④． 题型二：正比例函数的图像与性质 【典例2】．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知点在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点A，B的横坐标代入正比例函数解析式，得到，关于的表达式，再结合判断选项正误即可． 【详解】解：∵点、在正比例函数的图象上， ∴ 将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∴，因此选项A正确，选项B错误； 又∵， ∴，选项C错误； ，选项D错误． 【变式1】．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列关于正比例函数的说法中，正确的是（   ） A．自变量的取值范围是 B．它的图象是一条经过原点的射线 C．它的图象不经过第三象限 D．随的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 【变式2】．（2026八年级下·全国·专题练习）如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 题型三：一次函数的图像 【典例3】．（25-26八年级下·河南新乡·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质，分和两种情况讨论，判断图象所在的象限及交点位置． 【详解】解：由题意，函数为正比例函数，图象必过原点；函数为一次函数，分两种情况讨论： （1）当时：的图象过第一、三象限；的，图象过第二、三、四象限，此时两直线交点在第三象限．没有选项符合题意； （2）当时：的图象过第二、四象限；的，图象过第一、二、三象限，选项D正确． 【变式1】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数和一次函数的图象性质，分别判断每个选项中两个函数所反映的的符号是否一致，若一致则该选项正确，反之则错误． 【详解】解：选项A：∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于负半轴， ∴，两者矛盾，故A错误． 选项B：∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， ∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴，，两者一致，故B正确． 选项C：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于正半轴， ∴，两者矛盾，故C错误． 选项D：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于正半轴， ∴，两者矛盾，故D错误． 故一次函数与（，为常数，且），它们在同一坐标系内的图象可能为项． 【变式2】．（25-26八年级下·山东聊城·期中）正比例函数经过第二、四象限，则下列函数图象正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据经过的象限，可以判断的符号，从而判断出中和的正负性，最后便能判断该函数所经过的象限． 【详解】解：经过第二、四象限， ， ，， 经过二、三、四象限， A正确． 题型四：一次函数的性质 【典例4】．（25-26八年级下·河北唐山·期中）下列关于直线的说法正确的是（    ） A．与y轴交于点 B．一定经过点 C．y随x的增大而减小 D．图象过一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键，根据性质逐项判断即可． 【详解】解：对于直线， A选项，∵求与轴交点时，令，得， ∴与轴交于点，A错误； B选项，∵当时， ， ∴直线一定经过点，B正确； C选项，∵， ∴随的增大而增大，C错误； D选项，∵，， ∴直线图象经过一、三、四象限，D错误． 【变式1】．（25-26八年级下·福建泉州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时， C．函数的图象与y轴交于点 D．直线与第二、四象限角平分线所在直线平行 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：已知一次函数为，可得，． A、，∴随的增大而减小，结论正确，不符合题意； B、令，即，解得，∵随的增大而减小，∴当时，，结论正确，不符合题意； C、求函数与轴交点，令，得，∴函数图象与轴交于点，原结论错误，符合题意； D、第二、四象限角平分线所在直线为，与的k相同b不同，∴两直线平行，结论正确，不符合题意． 【变式2】．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知点，，均在直线（k，b为常数，，）上，且，则下列判断一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用一次函数的增减性，结合和的符号，确定直线与轴交点的位置，再根据的乘积关系判断的符号，得到结论． 【详解】解：∵，∴随增大而增大， ∵，∴， 令，得直线与轴交点横坐标， ∵，，∴，即交点在轴正半轴， 若，可得，因此， ∵，，∴，，可得，故C正确． A中可为负，可为正，， A错误； B中为负，为正，，B错误； D中可正可负，不一定小于，D错误． 题型五：一次函数与一元一次方程 【典例5】．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴、轴分别交于点，，有下列结论： ①图象经过点； ②关于的方程的解为； ③关于的方程的解为； ④当时； 其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】观察图象知，当时，函数值为正，由此可判断①；当时，由此可判断④；根据函数图象与坐标轴的交点可判断②和③． 【详解】解：由图象知，当时，函数值为正，即当时，函数值为正，不可能为，故①错误； 由图象知，当时，故④正确； 直线与x轴交于点，即关于的方程的解为，故②正确； 直线与y轴交于点，关于的方程的解为，故③正确； 所以正确的结论有②③④3个． 【点睛】数形结合是解题的关键． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 【变式2】．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 题型六：一次函数与一元一次不等式 【典例6】．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 【变式1】．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 【变式2】．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 题型七：一次函数和二元一次方程组 【典例7】．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 【变式2】．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（   ） A．， B．关于x的方程的解为 C．直线上有两点，，若时，则 D．关于x的不等式的解集为 【答案】D 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 题型八：一次函数的实际应用 【典例8】．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某学校运动会需要购买A、B两种奖品，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需要60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少元； (2)学校计划购买A、B两种奖品，且A种奖品的数量比B种奖品数量的3倍少10件，设B种奖品购买m件，总费用为p元，求p与m之间的函数关系式； (3)若购买的总费用p不多于800元，求最多购买B种奖品多少件？ 【答案】(1)A种奖品10元/件，B种奖品15元/件 (2)（且为整数） (3)最多购买B种奖品20件 【分析】（1）设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据条件建立方程组求出其解即可； （2）根据总费用=两种奖品的费用之和表示出p与m的关系式； （3）列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，根据题意可列 ， 解得：． 答：A种奖品10元/件，B种奖品15元/件． （2）解：设B种奖品购买m件，则购买A种奖品件， ， 解得， 又m为整数， 且为整数， ， （且为整数）． （3）解：， ， ，又且为整数， 则最多购买B种奖品20件． 【变式1】．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A、B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元． (1)求A、B两种花木的单价各是多少元？ (2)如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进3000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵？ 【答案】(1)A，B两种花木的单价分别是30元和50元 (2)购进A种花木3000棵，B种花木3000棵，能使得购进这批花木的费用最低， 【分析】（1）设A种花木每棵元，B种花木每棵元，依据题意可得，求解即可； （2）设购进A种花木棵，这批花木的费用为元，则．根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种花木每棵元，B种花木每棵元， 依据题意可得， 解得． 答：A，B两种花木的单价分别是30元和50元． （2）解：设购进A种花木棵，这批花木的费用为元， 则． ∵， 随着的增大而减小，， ∴当时，w最小． 此时，B种花木有（棵）， 答：购进A种花木3000棵，B种花木3000棵，能使得购进这批花木的费用最低． 【变式2】．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】(1)一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元 (2)面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 题型九：一次函数的规律问题 【典例9】．（2026·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线与轴交于点，以为一边作正方形，使得点在轴正半轴上，延长交直线于点，按同样方法依次作正方形、正方形、、正方形，使得点，，，，均在直线上，点，，在轴正半轴上，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点、、的坐标，同理可得出、、、…的坐标，进而得到、、、、……的横坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得， ∴点的坐标为． ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为． 当时，有， 解得， ． 同理，可得出：，，，……， 的横坐标为2，的横坐标为4，的横坐标为8，的横坐标为16，…， 的横坐标为（为正整数）， ∴点的横坐标是． 【变式1】．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…直线轴于点．函数的图象与直线，，…分别交于点，，，…；函数的图象与直线，，…分别交于点，，…，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作…四边形的面积记作，那么的值为（   ） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ， ∵直线轴于点，直线轴于点， ∴，且与间的距离为1， ∴四边形是梯形， ， 当时，． 故选：B． 题型十：一次函数与几何综合问题 【典例10】．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)或， (3)或 【详解】（1）解：将代入一次函数得：，解得， 点坐标为； 故答案为：； （2）解：将代入直线得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得， 直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ， ， 要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ， 解得或， 当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形； （3）解：设点的坐标为． ∵点在直线上， 解得， 即或． 当时，，解得，此时点坐标为； 当时，，解得，此时点坐标为． 所以点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 【变式1】．（25-26八年级下·四川达州·期中）如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据图象可知时，的图象在的图象的下方，且的图象在x轴的上方得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）解：∵， ∴． 设， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 解得或． ∴或 【变式2】．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知函数的图象不过第一象限，若点在该图象上，则点不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵函数是一次函数，图象不过第一象限，且常数项， ∴可得. 将各选项点坐标代入解析式计算： A 代入，得 ，解得 ，符合条件，不符合题意； B 代入，得 ，解得 ，符合条件，不符合题意； C 代入，得，解得 ，不符合的要求，符合题意； D 代入，得 ，解得，符合条件，不符合题意. 因此不可能在函数图象上. 2．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）当时，一次函数最小值为6，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】B 【详解】解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，符合条件； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值， 代入得， 解得，舍去； 当，即时，，不符合最小值为，舍去； 综上，． 4．（25-26八年级下·福建宁德·期中）将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，， 当时，， ∴直线经过，， ∵，绕原点旋转后的对应点分别为，， ∴直线经过，， 设直线， 则， 解得：， 即， 将直线向下平移5个单位长度得到直线， 则不等式的解集即为不等式的解集， 解得． 5．（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得：， 将代入，得， 解得， ∴ ． 6．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入得， 解得， 结合图象可得：当时，． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当加入稀盐酸的质量超过时，产生的气体不变，故A错误； B．当加入的稀盐酸时，产生气体，故B错误； C．设当加入稀盐酸质量小于时，产生气体质量关于加入的稀盐酸质量之间的函数解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即m的值为，故C正确； D．把代入得：， 解得：， 即产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为，故D错误． 8．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 9．（2026·山西·一模）某自动养生壶的工作程序：加水后接通电源养生壶自动加热，加热过程中，水温随时间的增加而升高，待加热到，养生壶自动停止加热．小林加水后8：00接通电源，收集了如下数据： 通电时间 0 1 2 3 4 … 水温 20 30 40 50 60 … 则下列说法正确的是（） A．加热到用时 B．与之间的函数表达式为 C．加热过程中，水温高于的时间为 D．小林在8：06可以接到不低于的水 【答案】D 【分析】根据表格数据判断与为一次函数关系，求出函数表达式和停止加热时的通电时间，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由表格数据可知，通电时间x每增加，水温增加，因此是的一次函数． 设， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴ 当时，，解得， ∵加热到，养生壶自动停止加热， ∴， ∴与的函数表达式为． 对各选项逐一判断： A选项：当时，，解得，即用时，故本选项错误； B选项：函数表达式为，不是，故本选项错误； C选项：当时，，解得， ∵， ∴水温高于的时间为，故本选项错误； D选项：∵8∶00接通电源，8∶06接水， ∴通电时间为， 当时，， ∵ ∴小林在8：06可以接到不低于的水，故本选项正确． 10．（25-26八年级下·广东深圳·期中）小明设想用电脑模拟台球游戏，约定：①台球桌面设计为腰长为的等腰；②小球撞击桌边后反弹角等于入射角．如图建立平面直角坐标系，球从点出发，撞击边上的点后反弹，再撞击边上的点反弹，最后回到点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交直线于点，延长交轴于点，连接，可证明，则可证明，得到，，即可得到；同理可证明，可得垂直平分，则，推出，得到；求出直线和直线的解析式，进而可求出点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点作交直线于点，延长交轴于点，连接， 由题意得，，， ， ， 又，， ， ，， ， ， ； 同理可证明， ， 垂直平分， ； 是等腰直角三角形， ； ， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 联立， 解得， 点的坐标为， 故选：B． 11．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律． 首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线的解析式为；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点，的横坐标为，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 点的坐标为， 同理，在等腰直角三角形中，，，则， 和均在一次函数的图象上， ， 解得， 该直线的解析式为， 和的横坐标相同，都是3， 当时，，即，则， ， …… 以此类推，，的横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 点的坐标为． 故选：D． 二、填空题 12．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 13．（25-26八年级下·内蒙古·期中）最近正是草莓成熟的时候，草莓园给每位入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓需付总金额y（元）与采摘草莓质量的关系如表（未记录完整）： 采摘草莓质量 1 2 3 4 5 … 需付总金额y（元） 18 33 48 ？ 78 … 根据上表中的数据，写出表中采摘草莓质量时，需付总金额______（元） 【答案】63 【分析】由表格数据可知与满足一次函数关系，先求出函数解析式，再代入计算可得的值． 【详解】解：根据表格中的数据可得当质量增加时，总金额增加15元，因此y是x的一次函数， 设，将，代入得： ， 解得：， ∴与的函数关系式为， 将代入得． 14．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知直线，，．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是____． 【答案】 【分析】画出三个函数的公共部分，最小值即求三个函数的公共部分的最小值． 【详解】解：由题意，画出三个函数的图象如下： ∵无论取何值，总取，，中的最大值， ∴的最小值是和的交点的纵坐标， 联立，解得， ∴的最小值为. 15．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 16．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 三、解答题 17．（25-26八年级下·吉林长春·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量（L）随行驶路程（）的增加而减少，平均耗油量为． (1)写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围； (2)汽车行驶时，油箱中还有多少汽油？ (3)若两地的路程约有，当油箱中剩余油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车由地到地，再由地返回地的往返途中，汽车___________报警．（填“会”或“不会”） 【答案】(1)，自变量的取值范围为 (2) (3) 会 【详解】（1）解：根据题意，可得与的函数关系式为， 由题意得，， 因此， 解得， 因此自变量的取值范围为． （2）解： 将代入得 ， 答：油箱中还有汽油． （3） 解：A，B两地往返总路程为， 令，代入得， 解得， ， 汽车会报警． 18．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，过点的直线与直线交于点，且直线与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求点的坐标和直线的解析式； (2)若点在正半轴上运动时，点运动到何处时与面积相等？并求出此时面积． 【答案】(1)点P的坐标为， (2)点M运动到时，与面积相等， 【分析】（1）先把代入，求出m得到P点坐标，然后利用待定系数法求直线l1的解析式； （2）由与有相同的高，即．当时， 与面积相等，可求，求得，则点M运动到时， 与面积相等，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：把点代入中，得 ， ∴点P的坐标为． 把点分别代入中，得 ， 解得， ∴直线l1的解析式为； （2）解：对于直线，当时，， 解得， ∴， 由（1）得点P的坐标为， ∵与有相同的高，即．要使与面积相等，且点M在x轴正半轴上， 如图， ∴在x轴上取点M，当时，与面积相等． ∵在直线中，当时， ，即点B的坐标是 ， ∴， 即， ∴， 则点M运动到时，与面积相等． ∴． 19．（25-26八年级下·上海青浦·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图中折线所示． (1)求线段的表达式； (2)求乙的步行速度； (3)求乙到达终点时，甲离终点还有多少米？ 【答案】(1) (2)80米/分 (3)510米 【分析】（1）运用待定系数法即可解答； （2）首先求出甲的速度，然后求出相遇时行走的路程，然后求解即可； （3）求出与终点的距离，分别计算出相遇后，到达终点甲和乙所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）解：根据题意得：点，， 设线段的表达式的解析式为， 代入得：， 解得：， ∴线段的表达式为； （2）解：甲的速度为（米/分）， 相遇时行走的路程为（米）， ∵甲先出发4分钟， ∴相遇时乙行走的时间为（分） ∴乙的步行速度为（米/分）， （3）解：由（2）得：相遇时行走的路程960米， ∴与终点的距离为米， 相遇后，到达终点甲所用的时间为：分， 相遇后，到达终点乙所用的时间为：分， ∴乙比甲早分钟到达终点， ∴乙到达终点时，甲离终点还有米． 20．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用、一次函数的性质，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 21．（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于，两点，C是上一点，连接，过点C作交直线于点D，且． (1)求直线的函数表达式； (2)求的长； (3)P是y轴上一点，Q是坐标系内任意一点，当P、Q、C、D构成菱形时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）将点与代入直线的函数表达式求解即可； （2）添加辅助线，证明与全等，由此可得，，设出点C的坐标，表示出点D的坐标，利用点D在直线上，由此可求解点C的坐标，使用勾股定理求解的值，再结合为等腰直角三角形求解即可； （3）设出点P的坐标，以为菱形的边和为菱形的对角线分类讨论，结合菱形的四条边相等，求解点P的坐标，再结合菱形的性质，以及点的平移求解点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：过点D作轴，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， 又∵，且． 在与中， ， ∴， ∴，， 设点， 则，， ∴点， ∵点D在直线上， ∴，解得， ∴，且， 在中，， ∴， ∵，且． ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）解：设点，点， 由（2）可知，，点，点， ①为菱形的边时，则有， ∴，解得， 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； ②为菱形的边时，则有， ∴，解得m无解； ③为菱形的对角线时，则有， ∴，解得， 当时，点， 根据菱形的性质可知，， 根据点的平移的性质可知，点平移到点， ∴点平移到点Q，可得点； 综上，点Q的坐标为，，． 22．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图⑨，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $