第12讲：动量守恒定律模型【十大模型 培优】-2025-2026学年高二上学期物理精讲与精练高分突破考点专题系列（人教版选择性必修第一册）

本讲义聚焦动量守恒定律这一核心知识点，系统归纳完全弹性碰撞、完全非弹性碰撞、木板模型等十大典型模型，构建从单一过程到多物体多过程、从动量守恒到与功能关系综合的递进式学习支架。 资料以模型建构为核心，通过典例与变式题分层设计，助力学生深化科学思维中的模型认知与科学推理能力。课中辅助教师高效授课，课后学生可通过专题强化练习查漏补缺，提升解决复杂问题的能力。

第12讲：动量守恒定律模型 【模型归纳】 · 模型一：完全弹性碰撞 · 模型二：完全非弹性碰撞后直接粘住类型 · 模型三：木板模型和子弹打木板问题 · 模型四：含弹簧模型的问题 · 模型五：含有斜面或曲面的问题 · 模型六：火箭喷气问题 · 模型七：爆炸问题 · 模型八：人船模型 · 模型九：动量守恒定律在多物体、多过程问题中的应用 · 模型十：动量守恒与功能关系综合问题 【题型归纳】 题型一：完全弹性碰撞 【典例1】．（25-26高二下·浙江·期中）如图甲所示，在光滑水平面上的两个小球发生正碰。小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的图像。已知m1=0.1 kg。由此可以判断（　　） A．碰后m2和m1都向右运动 B．此碰撞为非弹性正碰 C．m2=0.1 kg D．碰撞过程中m2对m1的冲量大小为0.6 N·s 【变式1】．（2026·贵州黔东南·一模）如图所示，、两小球在光滑的水平面上相向运动进而发生弹性正碰，碰前速度大小都为，已知的质量是质量的三倍，规定球的初速度方向为正方向，则碰后、两球的速度分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（25-26高二上·广西贵港·阶段检测）在光滑的水平面上，质量为的A球，以的速度水平向右正对着同样大小、且静止的质量为的B球运动，且两球发生弹性碰撞。下列说法正确的是（　　） A．两球碰撞后，A球向右运动，速度大小为 B．两球碰撞后，A球的动能为4J C．两球碰撞过程中，A球对B球做的功为 D．两球碰撞过程中，A球的速度变化量为 题型二：完全非弹性碰撞后直接粘住类型 【典例2】．（25-26高二下·广东惠州·期中）如图所示，两根长度相同、不可伸长的轻绳上端均固定在O点，下端分别与物块P、Q相连接，最初两物块均静止在O点的正下方。现将物块P缓慢拉起到OP与竖直方向成53°角时，将物块P由静止释放。P、Q碰撞后粘在一起运动至左侧最高点时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知P的质量kg，绳长m，P、Q均可视为质点，忽略空气阻力。sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。则P、Q碰撞过程中系统损失的机械能为（    ） A．J B．()J C．()J D．2J 【变式1】．（25-26高二下·河南·开学考试）如图所示，水平光滑地面上静置有P、Q两小球，两球的质量分别为，，时刻，给小球P水平向右的初速度，如图乙所示为小球P运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，小球P、Q发生弹性碰撞 B．碰撞过程中，小球P、Q组成的系统损失的机械能为9J C．碰撞后小球Q的速度大小为 D．碰撞过程中，小球P对小球Q冲量大小为 【变式2】．（25-26高二下·河北沧州·期中）A、B两物块沿光滑水平面在同一直线上运动并发生正碰，如图所示为两物块碰撞前后的位移一时间图像，其中a、b分别为A、B两物块碰前的位移一时间图像，c为碰撞后两物块共同运动的位移一时间图像，若物块B的质量，下列说法正确的是（　　） A．物块A的质量为2kg B．物块A对物块B的冲量与物块B对物块A的冲量相同 C．物块A的动量变化量为 D．碰撞过程A、B两物块组成的系统损失的动能为6.5J 题型三：木板模型和子弹打木板问题 【典例3】．（25-26高二下·云南·期中）如图所示，光滑水平轨道上放置长板（上表面粗糙）和滑块，滑块置于的左端，质量分别为，，。开始时静止，A、B一起以的速度向右运动，与发生碰撞（时间极短）后分开，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与碰撞。求： (1)与发生碰撞后瞬间的速度大小； (2)与碰撞过程损失的机械能。 【变式1】．（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）如图所示，质量为m的子弹以速度v0射向静止在光滑水平桌面上的木块，木块的质量为M，子弹进入木块后并未穿出，忽略木块质量的损失。求： (1)子弹击中木块后共同运动的速度v； (2)在此过程中系统损失的机械能∆E为多大？ 【变式2】．（2026·天津红桥·一模）如图所示，挡板固定地面上，半径为，粗糙程度分布不均匀的四分之一圆弧轨道静置在光滑的水平面上，左端紧靠挡板，右端B紧靠等高的木板。质量为可视为质点的物块从圆弧轨道上端点的正上方高度为处由静止开始下落，物块刚好从点沿切线方向进入轨道，到达点时对点的压力大小为。已知木板质量为，物块与木板间的动摩擦因数为，重力加速度取。 (1)求圆弧轨道对物块做的功； (2)若轨道始终紧靠挡板，求挡板在物块下滑过程中对轨道的冲量； (3)若物块恰好不从木板上掉下，求木板的长度 题型四：含弹簧模型的问题 【典例4】．（2026·山东·模拟预测）如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)小球再次回到圆槽P的过程中上升的最大高度。 【变式1】．（25-26高二下·浙江·期中）如图所示，物块A通过压缩一轻质弹簧把物块B压在竖直墙角处，此时弹簧的弹性势能为2J。物块A、B的质量分别为1kg、2kg，水平地面光滑。现静止释放A，求： (1)当B刚好离开墙壁时，A的速度大小v0； (2)B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能Ep； (3)从静止释放A开始，到弹簧第二次恢复原长的过程中，弹簧对A的冲量大小和方向。 【变式2】．（25-26高三上·贵州黔南·期末）如图所示，长为L且不可伸长的轻绳竖直悬挂着一质量为的可视为质点的小球A，光滑的水平面上放置质量为的物块B，物块B恰好与A接触，质量为的物块C与轻质弹簧相连。现把小球A向左上方拉至与竖直方向成角的位置，轻绳处于拉伸状态，然后从静止释放小球A。小球A到达最低点时与物块B发生弹性碰撞；碰后从B与弹簧开始接触到第一次弹簧被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为。弹簧始终在弹性限度内，已知重力加速度为g。求： (1)A运动到最低点时的速度大小； (2)物块B第一次离开弹簧时，物块B、C各自的速度大小； (3)物块B第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量。 题型五：含有斜面或曲面的问题 【典例5】．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 1【变式1】．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）如图所示，圆心角θ=53°的竖直圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆弧AB与水平面相切于圆弧底端B点，圆弧表面光滑。圆弧形槽右侧水平面上有一固定的挡板。将一可视为质点的小球从距A点高为h=0.8m的P点水平向右抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧形槽，滑离圆弧形槽后与挡板发生非弹性碰撞。已知小球的质量m1=0.1kg，圆弧形槽的质量m2=0.2kg，小球进入圆弧形槽时对A点的压力大小FN=10.6N。不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)小球从P点水平抛出时的初速度大小； (2)圆弧形槽的半径R； (3)若小球与挡板碰撞后从A点滑离时其相对圆弧形槽的速度大小为2.5m/s，则此时圆弧形槽的速度大小。 【变式2】．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 题型六：火箭喷气问题 【典例6】．（25-26高二上·浙江杭州·期末）总质量为的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为，为了使卫星到达较高轨道运行，需要加速做离心运动，卫星发动机在极短时间内以相对于喷气前卫星的速度向后喷出速度为，质量为的燃气，则喷气结束时卫星的速度大小是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·湖南·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船通过长征系列运载火箭发射升空，并成功将航天员乘组送入中国空间站。长征系列运载火箭的成就，不仅是我国航天技术进步的体现，更是国家综合实力的象征。已知某时刻总质量为（含燃料）的火箭以相对于地面为的速度向上飞行，在极短的时间内向后喷出燃料气体的质量为，向后喷出的气体相对火箭喷气前的速度大小为，且，则喷气后火箭的速度为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）火箭发射领域“世界航天第一人”是明朝的士大夫万户，他把47个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，飞上天空，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及其所携设备（火箭、燃料、椅子、风筝等）的总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以的速度竖直向下喷出，忽略空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．火箭的推力来源于空气的浮力 B．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为 C．喷出燃气后，万户及其所携设备能上升的最大高度为 D．在火箭喷气过程中，万户及其所携设备的机械能守恒 题型七：爆炸问题 【典例7】．（25-26高二上·山东烟台·期中）一炮兵训练基地在进行军事能力训练，设士兵向空中斜向上投出一颗质量为的手榴弹，当手榴弹飞行到距地面最高点时，手榴弹距地面高度为，速度为，此时手榴弹突然炸裂成甲、乙两块碎片，两块碎片飞出方向与方向在同一直线上，甲、乙质量之比为。已知乙碎片飞出方向与方向相同，甲相对于乙以的速度向相反方向飞去，则乙落地时距炸裂点的水平距离为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，小明同学根据学到的知识，自制了一个微型大炮，炮管两端开口，与水平面的夹角为30°，炮管固定在高度为h的竖杆上，质量分别为m、2m的炮弹P、Q装填在炮管中，炮弹之间填有火药。点燃大炮，火药将释放的化学能全部转化为两发炮弹的动能，不计炮管长度、火药质量、爆炸时间极短。下列说法中正确的是（    ） A．炮弹P比炮弹Q早落地 B．炮弹Q的初动能是炮弹P的2倍 C．爆炸过程，两炮弹动量不守恒 D．两炮弹在空中落地前的距离先增大后减小 【变式2】．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）如图所示，光滑水平面上甲、乙两球间粘少许炸药，一起以速度0.5 m/s向右做匀速直线运动。已知甲、乙两球质量分别为0.1kg和0.2kg。某时刻炸药突然爆炸，分开后两球仍沿原直线运动，从爆炸开始计时经过3.0s，两球之间的距离为x = 2.7m，则说法正确的是（　　） A．刚分离时，甲、乙两球的速度方向相同 B．刚分离时，甲球的速度大小为0.1m/s，方向水平向左 C．刚分离时，乙球的速度大小为0.3m/s D．爆炸过程中释放的能量为0.27J 题型八：人船模型 【典例8】．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，一辆质量为M的小车静止在光滑的水平面上，在小车两侧立柱的横梁上固定一条长为L不可伸长的水平轻细绳，细绳另一端系有质量为m的小球，小球由静止释放，此后小车做往复运动。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。那么，在小车往复运动的过程中（　　） A．小球和小车组成的系统机械能守恒，动量守恒 B．小球第一次在O点右侧能到达的最高点，可能比初始释放点低，原因是M、m的大小关系未知，可能出现到右侧最高点时小球的速度为零而小车的速度不为零 C．小车运动的动能最大时，小球的重力势能最小 D．小球从最左侧运动到最右侧时，小车移动的距离为 【变式1】．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块，一竖直轻杆固定在物块上，轻杆上端系一长的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C拉起直至轻绳处于水平状态后，将小球C由静止释放，小球C摆到最低点的同时物块恰好发生碰撞，此后粘在一起运动，不计一切阻力，已知，均可视为质点，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．整个运动过程中，、、C组成的系统动量守恒 B．木块碰撞后的速度大小为 C．木块间的初始距离为 D．小球C经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为 【变式2】．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图所示，光滑水平面上放有一光滑斜面体，斜面体的质量为M、倾角为α、斜面长为L。将一质量为m的小滑块从斜面的顶端由静止释放。已知，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．滑块下滑过程中斜面体向左运动的位移为 B．滑块滑到斜面底端时速度大小为 C．滑块下滑过程中斜面体的支持力对滑块做负功 D．滑块下滑过程中滑块和斜面体组成的系统机械能和动量均守恒 题型九：动量守恒定律在多物体、多过程问题中的应用 【典例9】．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图所示，竖直平面内质量、半径的圆形光滑轨道A静置在光滑平台上，与光滑平台在最低点相切，质量的木板D静置在平台右侧光滑的水平地面上，上表面与平台齐平，质量的滑块C静止在木板D左端，竖直弹性挡板固定在木板D右侧。将质量的滑块B（视为质点）从圆形光滑轨道的上端由静止释放，B运动至光滑平台后与C发生弹性碰撞。已知初始状态木板D右端到挡板的距离，滑块C与木板D之间的动摩擦因数，木板D足够长且与弹性挡板碰撞后以原速率反弹。B与C只碰撞一次，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)B从释放到滑到光滑平台的过程中，A的位移大小； (2)B与C碰撞后，C的速度大小； (3)D与弹性挡板发生碰撞的总次数。 【变式1】．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，光滑圆弧（O为其圆心）轨道PQ与光滑水平轨道QN平滑连接，圆弧半径R=5m，QN的长度l=2.5m，轨道在N点与足够长粗糙水平地面NE平滑连接。一质量为m=1kg的小物块A从与圆心O等高处P点由静止开始沿轨道下滑，在N点与质量为M=4kg的静止小物块B发生弹性正碰，碰撞时间极短。A、B与地面间的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B均可看作质点，重力加速度g=10m/s2。求： (1)小物块A在第一次经过圆弧轨道最低点Q时对轨道的压力大小； (2)第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小； (3)A、B均停止运动后，二者之间的距离。 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图所示，长的非弹性轻绳一端固定在O点，另一端拴有小球A，O点正下方l处有一小物块B静置于木板C最右端，小物块D距离C右端2m。开始时C被锁定，轻绳伸直与水平方向间夹角，A由静止释放，轻绳再次伸直时A做圆周运动，到最低点与B发生弹性碰撞，之后B向左运动，与D发生弹性碰撞后瞬间解除C的锁定，最终D恰好未从C上滑落。已知A、B、C的质量均为，D的质量为，B、D与C间的动摩擦因数均为，重力加速度大小。地面光滑，A、B、D均可视为质点，求： (1)初始时，小球A与B的竖直高度； (2)A与B碰撞前A的速度大小； (3)C的长度； (4)整个过程中B、C间因摩擦产生的热量。 题型十：动量守恒与功能关系综合问题 【典例10】．（22-23高三下·湖北荆门·阶段检测）如图所示，在电动机的带动下以的速度顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接，水平面上有两个位于同一直线上、处于静止状态的相同小球，小球质量。质量的物体（可视为质点）从轨道上高的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小。物体和传送带之间的动摩擦因数，传送带AB之间的距离。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰。重力加速度，。求： （1）物体从P点下滑到A点的过程中，克服摩擦力做的功； （2）物体第一次向右通过传送带的过程中，求从A运动到B的时间和传送带对物体的冲量大小； （3）物体第一次与小球碰后到最终的过程中因为物体在传送带上滑动而多消耗的电能。    【变式1】．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图所示，MN是一长为L1＝2.0 m的水平传送带，以v0＝4 m/s顺时针匀速转动，传送带左端M与半径r＝0.45 m的四分之一固定光滑圆轨道相切，右端N与放在光滑水平桌面上的长木板C上表面平齐。木板C长为L2＝2.64 m，右端带有挡板，挡板厚度忽略不计。在C上放有小物块B，开始时B和C静止，B到挡板的距离为L3＝0.14m。现将小物块A从圆弧轨道最高点由静止释放，小物块A与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.25，A、C之间及B、C之间的动摩擦因数均为μ2＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。小物块A、B可视为质点，A、B与C的质量均为m＝1 kg，重力加速度为g＝10 m/s2，所有的碰撞均为弹性正碰。求： (1)小物块A在传送带上运动过程中因摩擦产生的热量； (2)小物块A滑上C后，经多长时间小物块B与挡板碰撞； (3)小物块B与C碰撞后，小物块B到挡板的最大距离。 【变式2】．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的圆弧轨道BC组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且小车的左端与固定的光滑圆弧轨道MN末端等高，圆弧轨道MN末端水平。一质量kg的物块P从距圆弧轨道MN末端某高度由静止开始滑下，与静止在小车左端的质量kg的物块Q发生弹性碰撞，碰撞后物块Q的速度大小为m/s。物块Q与水平轨道AB间的动摩擦因数，圆弧BC的半径m，小车的质量kg，物块P、Q均可视为质点，取重力加速度大小。 (1)求碰撞前物块P距离MN末端某高度h； (2)若物块Q恰好能滑到小车右端的C点，求AB的长度L； (3)在第二问AB的长度L的基础上，若物块Q与水平轨道AB间的动摩擦因数，通过计算判断物块Q是否从小车上掉下。 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是（　　） A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能 B．物体B动能的减少量等于木板A获得的动能 C．系统克服摩擦力做的总功等于A增加的动能 D．摩擦力对物体A做的功小于系统内能的增加量 2．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， ，当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）如图所示，在光滑的水平桌面上放置两个质量不同的小滑块P和Q，它们之间夹有一个被压缩的轻弹簧（与P没有拴接）。把P和Q由静止释放，P和Q在弹簧弹力作用下开始运动。在弹簧没有离开P的过程中，下列判断正确的是（　　） A．P和Q的加速度之比等于它们的质量之比 B．P和Q的速度大小可能相同 C．P和Q的运动位移大小相同 D．弹簧即将离开P的瞬间，Q的加速度为0 4．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，质量均为的木块A和B，并排放在光滑的水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量为可视为质点的小球C。现将C拉起使细线刚好水平伸直，并由静止释放C，小球运动过程中不与杆发生碰撞。重力加速度取，下列说法正确的是（    ） A．A、B两木块恰好分离时，C的速度大小为 B．A、B两木块恰好分离时，C的速度大小为 C．A、B两木块恰好分离时，细线的拉力大小为 D．A、B两木块恰好分离时，细线的拉力大小为 5．（23-24高一下·北京·期中）微观粒子对心碰撞实验中，t=0时粒子A静止，粒子B以一定的初速度v0向A运动。由于它们之间存在相互的排斥作用，两粒子的v-t图像如图所示，已知它们的相互排斥作用力做功与路径无关，对应着相互作用势能变化（总动能与相互作用势能的总量守恒）。则（　　） A．A粒子质量小于B粒子 B．两粒子在t1时刻相距最近，且其相互作用势能最大 C．在t=3t1时刻，A、B再次共速 D．B在0~t3时间内动能一直减小 6．（24-25高一下·四川泸州·期末）水火箭是利用反冲原理制作的趣味玩具，瓶内有高压气体和一定量的水。总质量为M的水火箭，由静止沿竖直方向发射，在极短的时间内将内部质量为m的水相对地面以速度v0向下喷出，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．瓶内高压气体对箭体做负功 B．喷水后瞬间，箭体的速度大小为 C．箭体上升的最大高度为 D．整个过程中，箭体与水组成的系统机械能守恒 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，用不可伸长的、长度为L的轻质细绳将质量为3m的木块悬挂于O，木块静止。质量为m的弹丸以速度水平向右射入木块后未射出木块，射入木块后二者共同上摆动的最大高度为h，木块和弹丸可视为质点，二者作用时间极短，空气阻力不计，则（    ） A．弹丸打入木块后瞬间，二者的速度为 B．弹丸打入木块后瞬间，细绳拉力的大小 C．弹丸与木块共同上摆的最大高度h为 D．弹丸打入木块的过程中系统损失的机械能为 8．（24-25高一下·北京·期末）如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻， 规定向右为正方向，0~2t0内P、Q物块运动的a-t图像如图所示，已知t0时刻P、Q的加速度最大，其中t轴下方部分的面积大小为S，下列判断不正确的是（　　） A．物体Q的质量为2m B．2t0时刻Q物体的速度大小为 C．t0时刻弹簧的弹性势能为 D．时间内弹簧对P物体做功为 二、多选题 9．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图甲所示，轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接组成一个系统，静止在光滑的水平地面上。现使以的速度向运动压缩弹簧，、的速度-时间图像如图乙，下列说法正确的是（     ） A．从到过程中，系统的动能减小 B．时刻轻弹簧被拉伸至最长 C．两物块的质量之比 D．时刻，系统的弹性势能与动能之比 10．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，半径分别为和的两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道相连，在水平轨道上有一轻弹簧被、两小球夹住，同时释放两小球，、球都恰好能通过各自圆轨道的最高点，已知球的质量为，重力加速度为，则（　　） A．球的质量 B．两小球与弹簧分离时，动能不相等 C．球到达圆心等高处时，对轨道压力大小为 D．若，要求、球都能通过各自圆轨道的最高点，弹簧释放前至少应具有的弹性势能为 11．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，滑块相对地面的位移大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 12．（2026·云南昭通·模拟预测）如图所示，光滑斜轨道AB和一条足够长的粗糙水平轨道BC平滑连接，质量为5kg的物块乙静置在水平轨道的最右端，质量为1kg的物块甲从斜轨道上距离BC竖直高度为处由静止下滑，滑下后与物块乙碰撞。已知两物块与水平轨道BC之间的动摩擦因数均为0.2，物块甲和乙均可视为质点，它们之间的每次碰撞均为弹性碰撞，重力加速度。下列判断正确的是（   ） A．甲和乙第一次碰撞后甲沿光滑斜轨道上升的高度为1.0m B．甲和乙第二次碰撞时乙已经停止在水平轨道上 C．甲和乙第二次碰撞时乙仍在向左滑行 D．甲和乙总共会发生2次碰撞 13．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）如图1所示，质量为的木板A静置于光滑水平地面上，时刻物块B（可视为质点）以水平向右的初速度3m/s从木板A的左端滑入，此后两者的速度随时间变化的图像如图2所示。当时，物块B恰好到达木板A的右端。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为1kg B．木板A的长度为3m C．物块B与木板A间的动摩擦因数为0.1 D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，则最终物块B与木板A右端的距离为1.5m 14．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图所示，两个半径均为R的圆槽静止放在水平地面上，圆槽底端点A、B所在平面与水平面相切。质量为m的小球（可视为质点）从左圆槽上端C点的正上方P点（P点未画出）静止释放，恰好从C点沿切线进入圆槽，PC间距离也为R，左侧圆槽质量为2m，右侧圆槽质量为3m。重力加速度为g。不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　） A．小球运动到A点时对左圆槽的压力大小为 B．小球到A点时，左侧圆槽的位移 C．右圆槽的最大速度的大小是 D．小球在右侧圆槽上运动时，上滑过程和下滑过程的动量变化大小相等 三、解答题 15．（20-21高一下·重庆北碚·期末）“鸡蛋撞地球”挑战活动要求学生制作鸡蛋“保护器”装置，使鸡蛋在保护装置中从高处静止下落撞到地面而不破裂。某同学制作了如图所示的鸡蛋“保护器”装置，从高处静止下落到地面后瞬间速度减小为零，鸡蛋在保护器装置中继续向下运动、用时静止而完好无损。已知鸡蛋在装置中运动过程受到恒定的作用力，且该装置含鸡蛋的总质量为，其中鸡蛋质量为，不计下落过程装置质量的变化，重力加速度为。求： （1）装置落地前瞬间的速度； （2）在下降过程，装置含鸡蛋所受阻力做的功； （3）鸡蛋在向下运动过程，装置对鸡蛋的冲量。 16．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图所示，小球A，质量为；B为带有四分之一圆弧面的物体（不固定），质量为，半径为，其轨道末端与水平地面相切；水平地面的右边有一固定的弹性挡板。现让小球A从B的轨道正上方距地面高为处静止释放，经B末端滑出，最后与水平面上的挡板发生碰撞，其中小球与挡板之间的碰撞为弹性正碰，所有接触面均光滑，重力加速度。求： (1)小球A第一次经过B末端的时候，B移动的距离； (2)小球A第一次返回是否能冲出B的上端； (3)最终物体B所受的冲量大小。 17．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 18．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，质量的小球被一不可伸长、长度的轻质细线悬挂于点，轻质细线与竖直方向夹角，轻质细线已绷紧；在光滑水平面上，放一薄板，，在板的最右端放一质量的滑块，滑块与板的动摩擦因数，滑块在点正下方，小球和滑块都可看成质点。现将小球由静止释放，经，小球与滑块发生完全弹性碰撞，碰后经，滑块从薄板左端冲出。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球释放瞬间，轻质细线上的拉力大小； (2)小球释放后到与滑块碰撞前瞬间，轻质细线拉力的冲量大小； (3)薄板的长度。 19．（2026·重庆沙坪坝·一模）重庆某机器人公司拟设计一个机器人杂技表演项目参加2026春晚选拔。如图所示，为固定在同一水平面的两条光滑平行轨道，垂直轨道放置质量为的滑杆，滑杆用总长度为的轻绳与质量为的机器人相连。初始时，轻绳跨过点（轨道平面内）正下方处的光滑定滑轮。表演开始时，用外力缓慢向左拉动滑杆，当滑轮上方细绳与竖直方向的夹角为时，撤去外力，滑杆向右运动，绳与滑杆的中心相连，机器人可视为质点，机器人、滑轮、点以及点始终在同一竖直平面内，不计空气阻力，轻绳不可伸长，重力加速度为。求： (1)滑杆滑至点时的速度大小； (2)滑杆滑至点右侧后，求机器人离平行轨道平面的最小距离； (3)滑杆滑至点右侧后，机器人的最大速率。 20．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）如图所示，将一质量m＝1kg的小物块（可视为质点）从A点以水平速度抛出后恰好从B点沿切线方向进入固定光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C端等高、静止在光滑水平面上的长木板且恰好不滑出长木板。已知长木板的质量M＝3kg，圆弧轨道BC对应的圆心角为，圆弧轨道C端的切线水平，物块运动到B点时速度大小，运动到C端时对圆弧轨道的压力大小为28N，B点距C点的高度h＝0.55m，圆弧轨道半径R＝2m，物块与长木板之间的动摩擦因数＝0.3，不计空气阻力。，，。求： (1)小物块在A点时的初速度大小； (2)A点距C点的高度H； (3)小物块滑至C点时的速度大小； (4)长木板长度为多长。 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲：动量守恒定律模型 【模型归纳】 · 模型一：完全弹性碰撞 · 模型二：完全非弹性碰撞后直接粘住类型 · 模型三：木板模型和子弹打木板问题 · 模型四：含弹簧模型的问题 · 模型五：含有斜面或曲面的问题 · 模型六：火箭喷气问题 · 模型七：爆炸问题 · 模型八：人船模型 · 模型九：动量守恒定律在多物体、多过程问题中的应用 · 模型十：动量守恒与功能关系综合问题 【题型归纳】 题型一：完全弹性碰撞 【典例1】．（25-26高二下·浙江·期中）如图甲所示，在光滑水平面上的两个小球发生正碰。小球的质量分别为m1和m2。图乙为它们碰撞前后的图像。已知m1=0.1 kg。由此可以判断（　　） A．碰后m2和m1都向右运动 B．此碰撞为非弹性正碰 C．m2=0.1 kg D．碰撞过程中m2对m1的冲量大小为0.6 N·s 【答案】D 【详解】A．图像可知向右为正方向，图斜率表示速度，图像可知碰后的图像斜率一负一正，可知碰后分别向右运动和向左运动，故A错误； BC．图像可知碰前的速度为，碰前的速度为；碰后速度分别为， 碰撞过程，根据动量守恒有 联立解得 则碰撞过程损失的机械能 联立解得 可知碰撞为弹性碰撞，故BC错误； D．对，根据动量定理有 故碰撞过程中m2对m1的冲量大小为，故D正确。 故选D。 【变式1】．（2026·贵州黔东南·一模）如图所示，、两小球在光滑的水平面上相向运动进而发生弹性正碰，碰前速度大小都为，已知的质量是质量的三倍，规定球的初速度方向为正方向，则碰后、两球的速度分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设B的质量为m，A的质量为3m，向右为正方向，两球碰撞过程中 动量守恒 机械能守恒 解得， 故选C。 【变式2】．（25-26高二上·广西贵港·阶段检测）在光滑的水平面上，质量为的A球，以的速度水平向右正对着同样大小、且静止的质量为的B球运动，且两球发生弹性碰撞。下列说法正确的是（　　） A．两球碰撞后，A球向右运动，速度大小为 B．两球碰撞后，A球的动能为4J C．两球碰撞过程中，A球对B球做的功为 D．两球碰撞过程中，A球的速度变化量为 【答案】C 【详解】两球发生弹性碰撞，碰撞过程中 动量守恒 机械能守恒 解得， A．，负号表示A球碰撞后速度方向与初速度方向相反，向左运动，A错误； B．碰后A的动能，B错误； C．两球碰撞过程中，A球对B球做的功等于B球的动能的变化量，为，C正确； D．两球碰撞过程中，A球的速度变化量为，D错误。 故选C。 题型二：完全非弹性碰撞后直接粘住类型 【典例2】．（25-26高二下·广东惠州·期中）如图所示，两根长度相同、不可伸长的轻绳上端均固定在O点，下端分别与物块P、Q相连接，最初两物块均静止在O点的正下方。现将物块P缓慢拉起到OP与竖直方向成53°角时，将物块P由静止释放。P、Q碰撞后粘在一起运动至左侧最高点时，轻绳与竖直方向的夹角为37°。已知P的质量kg，绳长m，P、Q均可视为质点，忽略空气阻力。sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。则P、Q碰撞过程中系统损失的机械能为（    ） A．J B．()J C．()J D．2J 【答案】B 【详解】设P与Q碰撞前瞬间速度大小为，由动能定理有 设Q的质量为M，碰撞过程中动量守恒，有 由动能定理有 碰撞过程中损失的机械能 故选B。 【变式1】．（25-26高二下·河南·开学考试）如图所示，水平光滑地面上静置有P、Q两小球，两球的质量分别为，，时刻，给小球P水平向右的初速度，如图乙所示为小球P运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．时刻，小球P、Q发生弹性碰撞 B．碰撞过程中，小球P、Q组成的系统损失的机械能为9J C．碰撞后小球Q的速度大小为 D．碰撞过程中，小球P对小球Q冲量大小为 【答案】D 【详解】BCD．因x-t图像的斜率等于速度，由图可知，碰前，碰后，则由动量守恒定律有 解得 根据动量定理碰撞过程中，小球P对小球Q冲量大小为 根据能量守恒碰撞过程中，小球P、Q组成的系统损失的机械能为，故BC错误，D正确。 A．根据图像可知，时刻，小球P速度改变，发生碰撞，结合以上分析可知，不是弹性碰撞，故A错误。 故选D。 【变式2】．（25-26高二下·河北沧州·期中）A、B两物块沿光滑水平面在同一直线上运动并发生正碰，如图所示为两物块碰撞前后的位移一时间图像，其中a、b分别为A、B两物块碰前的位移一时间图像，c为碰撞后两物块共同运动的位移一时间图像，若物块B的质量，下列说法正确的是（　　） A．物块A的质量为2kg B．物块A对物块B的冲量与物块B对物块A的冲量相同 C．物块A的动量变化量为 D．碰撞过程A、B两物块组成的系统损失的动能为6.5J 【答案】C 【详解】A．由题图可知，A碰前速度 B碰前速度 碰后二者共同速度 由动量守恒定律有 解得，故A错误； B．因为二者碰撞过程中作用力等大反向，冲量是矢量，方向不同，故B错误； C．物块A的动量变化量为，故C正确； D．由能量守恒定律得，故D错误。 故选C。 题型三：木板模型和子弹打木板问题 【典例3】．（25-26高二下·云南·期中）如图所示，光滑水平轨道上放置长板（上表面粗糙）和滑块，滑块置于的左端，质量分别为，，。开始时静止，A、B一起以的速度向右运动，与发生碰撞（时间极短）后分开，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与碰撞。求： (1)与发生碰撞后瞬间的速度大小； (2)与碰撞过程损失的机械能。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因碰撞时间极短，与C碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A的速度大小为，的速度大小为，以向右为正方向，由动量守恒定律得 A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为，由动量守恒定律得 A、B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足 解得， （2）A、C碰撞过程中损失的机械能 解得 【变式1】．（25-26高二下·宁夏吴忠·期中）如图所示，质量为m的子弹以速度v0射向静止在光滑水平桌面上的木块，木块的质量为M，子弹进入木块后并未穿出，忽略木块质量的损失。求： (1)子弹击中木块后共同运动的速度v； (2)在此过程中系统损失的机械能∆E为多大？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）子弹进入木块的过程中动量守恒，可得 解得 （2）此过程中，子弹和木块的势能没有变化，机械能的减小量等于动能的减小量，即 【变式2】．（2026·天津红桥·一模）如图所示，挡板固定地面上，半径为，粗糙程度分布不均匀的四分之一圆弧轨道静置在光滑的水平面上，左端紧靠挡板，右端B紧靠等高的木板。质量为可视为质点的物块从圆弧轨道上端点的正上方高度为处由静止开始下落，物块刚好从点沿切线方向进入轨道，到达点时对点的压力大小为。已知木板质量为，物块与木板间的动摩擦因数为，重力加速度取。 (1)求圆弧轨道对物块做的功； (2)若轨道始终紧靠挡板，求挡板在物块下滑过程中对轨道的冲量； (3)若物块恰好不从木板上掉下，求木板的长度 【答案】(1) (2)，方向水平向右 (3) 【详解】（1）设物块在点的速度为，对物块，在点，由牛顿第三定律可知支持力 牛顿第二定律可得， 物块从释放到点，由动能定理得 解得， （2）对轨道和物块，在物块下滑的过程中，在水平方向使用动量定理 解得 方向水平向右。 （3）对物块和木板组成的系统使用动量守恒定律和能量守恒， 解得 题型四：含弹簧模型的问题 【典例4】．（2026·山东·模拟预测）如图所示，半径为R的圆槽P和物块Q静止在光滑水平地面上，圆槽P的最低点与地面相切，物块Q的左端连接一轻弹簧。质量为m的小球从P的正上方高为R的位置由静止释放后，恰好沿切线进入圆弧轨道。已知P、Q的质量均为3m，重力加速度大小为g，忽略空气阻力和一切摩擦。求 (1)小球第一次离开圆槽P时的速度大小； (2)小球第一次与弹簧相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能； (3)小球再次回到圆槽P的过程中上升的最大高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设小球第一次离开圆槽时速度为，圆槽的速度为，从小球开始下落到第一次离开圆槽，由动量守恒和能量守恒有， 解得 （2）小球第一次与弹簧相互作用，弹簧的最大弹性势能时小球和物块Q共速，设共速的速度为，从开始压缩弹簧到弹性势能最大， 解得 （3）设小球与Q分离后，小球的速度为，Q的速度为；小球再次回到圆槽P上升最大高度时，小球与圆槽共速，速度为，上升的最大高度为h，从压缩弹簧到与Q分离，由动量守恒和能量守恒有， 从与Q分离到回到圆槽P上升的最大高度时，由动量守恒和能量守恒有， 解得 【变式1】．（25-26高二下·浙江·期中）如图所示，物块A通过压缩一轻质弹簧把物块B压在竖直墙角处，此时弹簧的弹性势能为2J。物块A、B的质量分别为1kg、2kg，水平地面光滑。现静止释放A，求： (1)当B刚好离开墙壁时，A的速度大小v0； (2)B离开墙壁后，弹簧的最大弹性势能Ep； (3)从静止释放A开始，到弹簧第二次恢复原长的过程中，弹簧对A的冲量大小和方向。 【答案】(1)2m/s (2) (3)，方向水平向右 【详解】（1）根据机械能守恒定律可得 解得 （2）当A、B共速时，有 解得 弹簧的最大弹性势能为 解得 （3）以水平向左为正方向，根据动量守恒定律可得 根据机械能守恒定律可得 联立解得 所以弹簧对A的冲量为 则A的冲量大小为，方向水平向右。 【变式2】．（25-26高三上·贵州黔南·期末）如图所示，长为L且不可伸长的轻绳竖直悬挂着一质量为的可视为质点的小球A，光滑的水平面上放置质量为的物块B，物块B恰好与A接触，质量为的物块C与轻质弹簧相连。现把小球A向左上方拉至与竖直方向成角的位置，轻绳处于拉伸状态，然后从静止释放小球A。小球A到达最低点时与物块B发生弹性碰撞；碰后从B与弹簧开始接触到第一次弹簧被压缩至最短所用时间为t，在这段时间内B运动的位移大小为。弹簧始终在弹性限度内，已知重力加速度为g。求： (1)A运动到最低点时的速度大小； (2)物块B第一次离开弹簧时，物块B、C各自的速度大小； (3)物块B第一次离开弹簧前，弹簧的最大压缩量。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）A从静止到与B刚碰前，由动能定理有 解得 （2）A、B碰撞，动量守恒，且由于是弹性碰撞，机械能守恒， 解得 B与弹簧接触到第一次分离时由动量守恒和能量关系， 解得， （3）B与弹簧作用过程 取，则 累加有 联立有， 解得 题型五：含有斜面或曲面的问题 【典例5】．（25-26高二下·湖北黄冈·期中）如图，半径为的光滑圆弧槽A静止于光滑水平地面上，质量为2m，圆弧底端与地面相切，左侧紧邻粗糙水平面；质量为3m的小滑块B静止于距圆弧槽A底端左侧处。现将质量为的滑块C从圆弧槽A顶端由静止释放，滑块B、C材质相同，均可视为质点，重力加速度为。求： (1)若圆弧槽A固定不动，求滑块C运动到圆弧槽最低点时对圆弧槽的压力； (2)若圆弧槽A不固定，求滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小； (3)在第（2）问条件下，C离开圆弧槽后滑上水平面能与滑块B碰撞，求C离开圆弧槽时与B的距离及C与粗糙水平面间的动摩擦因数。 【答案】(1)，竖直向下 (2)， (3)， 【详解】（1）若圆弧槽A固定不动，则滑块C在下滑过程中，根据机械能守恒定律有 在圆弧槽最低点，对滑块C有 联立可解得圆弧槽对C的弹力为 根据牛顿第三定律，滑块对圆弧槽的压力也为3mg，方向竖直向下。 （2）若圆弧槽A不固定，则滑块C与圆弧槽A组成的系统水平方向动量守恒，设滑块C运动到圆弧槽最低点时A、C的速度大小分别为和，根据动量守恒定律，有 根据能量守恒定律，有 可解得， （3）当C滑下A时，设二者在水平方向运动的位移大小分别为与，根据动量守恒公式可得到 同时有 可解得 故C与A分离时C、B间距离为 如果滑块C刚好能与滑块B发生碰撞，有 解得 故的情况下滑块C就能与滑块B碰撞。 1【变式1】．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）如图所示，圆心角θ=53°的竖直圆弧形槽静止在足够大的光滑水平面上，圆弧AB与水平面相切于圆弧底端B点，圆弧表面光滑。圆弧形槽右侧水平面上有一固定的挡板。将一可视为质点的小球从距A点高为h=0.8m的P点水平向右抛出，小球恰好从A点沿切线方向进入圆弧形槽，滑离圆弧形槽后与挡板发生非弹性碰撞。已知小球的质量m1=0.1kg，圆弧形槽的质量m2=0.2kg，小球进入圆弧形槽时对A点的压力大小FN=10.6N。不计空气阻力，取重力加速度g=10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)小球从P点水平抛出时的初速度大小； (2)圆弧形槽的半径R； (3)若小球与挡板碰撞后从A点滑离时其相对圆弧形槽的速度大小为2.5m/s，则此时圆弧形槽的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，由运动学公式 得 小球在A点沿切线进入圆弧，速度方向与水平方向夹角为，因此 解得 （2）小球在A点的速度大小 沿半径OA方向，合力提供向心力，由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律得 代入数据解得 （3）设向右为正方向，滑到B点时小球速度为 ​，槽速度为,小球从A滑到B过程，系统（小球+圆弧槽）水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立解得（向右），（向左） 小球与挡板碰撞后速度反向，碰撞后小球速度大小设为（向左） 设滑离A时，槽对地速度大小为，小球对地水平分速度大小为，竖直分速度为，小球相对槽向左上方做圆周运动，相对速度满足 且 碰撞后到滑离A，系统水平动量守恒 系统机械能守恒可得 联立解得 【变式2】．（25-26高二下·山西阳泉·期中）如图所示，质量为的物块B静止在水平面上点，半径为的四分之一光滑圆弧体静止在光滑水平面上，圆弧面与水平面刚好在圆弧面的最低点相切，质量为的小球A用长为（未知）的轻绳连接于点，点正下方点固定一颗钉子，将轻绳水平拉直，由静止释放A，A运动到最低点时刚好与B沿水平方向发生弹性正碰，碰撞后A刚好绕钉子做半径为的完整的圆周运动，B恰能运动到圆弧体的最高点，B与点左侧水平面间的动摩擦因数为，点右侧水平面光滑，开始时点与点对齐，、间距离，A、B可视为质点，重力加速度为，求： (1)A、B碰撞后瞬间，A的速度大小； (2)细线长度 (3)圆弧体的质量 【答案】(1) (2) (3)m 【详解】（1）碰撞后，A绕钉子做完整圆周运动，在圆周最高点满足重力提供向心力，则有 解得最高点速度 在碰撞后，A从最低点到圆周最高点，上升高度为，根据机械能守恒有 解得 （2）A下摆到碰撞前过程机械能守恒，下落高度为，则有 解得 A与B发生弹性正碰，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得碰撞后，A的速度 即 联立解得 （3）碰撞后，B的速度为 B从P到Q过程，根据动能定理有 代入， 解得 B滑到圆弧最高点D时，B与圆弧共速，根据水平方向动量守恒和机械能守恒有， 联立解得 题型六：火箭喷气问题 【典例6】．（25-26高二上·浙江杭州·期末）总质量为的人造卫星绕地球做匀速圆周运动，线速度大小为，为了使卫星到达较高轨道运行，需要加速做离心运动，卫星发动机在极短时间内以相对于喷气前卫星的速度向后喷出速度为，质量为的燃气，则喷气结束时卫星的速度大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】喷气过程时间极短，卫星与燃气组成的系统所受万有引力的冲量可忽略，系统动量守恒。取卫星初始运动方向为正方向，设喷气后卫星速度为，初始状态系统总动量为；喷气后，剩余卫星质量为，动量为；燃气相对喷气前卫星向后的速度为，因此燃气相对地面的速度为，动量为。根据动量守恒定律列方程： 整理得： 解得： 故选D。 【变式1】．（25-26高二上·湖南·期中）2025年4月24日，神舟二十号载人飞船通过长征系列运载火箭发射升空，并成功将航天员乘组送入中国空间站。长征系列运载火箭的成就，不仅是我国航天技术进步的体现，更是国家综合实力的象征。已知某时刻总质量为（含燃料）的火箭以相对于地面为的速度向上飞行，在极短的时间内向后喷出燃料气体的质量为，向后喷出的气体相对火箭喷气前的速度大小为，且，则喷气后火箭的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知在极短时间内火箭系统动量守恒，进行反冲运动，根据题目条件，规定火箭运行方向为正方向，可知燃料气体的速度方向与火箭飞行方向相同，且大小为 由动量守恒定律可得 解得 故选B。 【变式2】．（24-25高二上·浙江杭州·期末）火箭发射领域“世界航天第一人”是明朝的士大夫万户，他把47个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，飞上天空，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及其所携设备（火箭、燃料、椅子、风筝等）的总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以的速度竖直向下喷出，忽略空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．火箭的推力来源于空气的浮力 B．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为 C．喷出燃气后，万户及其所携设备能上升的最大高度为 D．在火箭喷气过程中，万户及其所携设备的机械能守恒 【答案】C 【详解】A．火箭的推力来源于喷出的高温高压气体（燃料燃烧时产生）对火箭的反作用力，故A错误； B．在燃气喷出后的瞬间，万户及其所携设备组成的系统内力远大于外力，系统动量守恒，设火箭的速度大小为，规定火箭运动方向为正方向，由动量守恒定律得 解得火箭的速度大小为 ，故B错误； C．喷出燃气后万户及所携设备做竖直上抛运动，上升的最大高度 ，故C正确； D．在火箭喷气过程中，燃料燃烧产生的高温高压气体（向后喷出）对万户及所携设备做正功，所以万户及所携设备机械能不守恒，故D错误。 故选C 。 题型七：爆炸问题 【典例7】．（25-26高二上·山东烟台·期中）一炮兵训练基地在进行军事能力训练，设士兵向空中斜向上投出一颗质量为的手榴弹，当手榴弹飞行到距地面最高点时，手榴弹距地面高度为，速度为，此时手榴弹突然炸裂成甲、乙两块碎片，两块碎片飞出方向与方向在同一直线上，甲、乙质量之比为。已知乙碎片飞出方向与方向相同，甲相对于乙以的速度向相反方向飞去，则乙落地时距炸裂点的水平距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】手榴弹在最高点爆炸时，竖直方向速度为0，水平方向动量守恒，以初速度的方向为正方向，设甲乙的质量和速度分别为、、、，则有 根据题干数据可知， 解得 乙接下来做平抛运动，竖直方向上 水平位移 故选A。 【变式1】．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，小明同学根据学到的知识，自制了一个微型大炮，炮管两端开口，与水平面的夹角为30°，炮管固定在高度为h的竖杆上，质量分别为m、2m的炮弹P、Q装填在炮管中，炮弹之间填有火药。点燃大炮，火药将释放的化学能全部转化为两发炮弹的动能，不计炮管长度、火药质量、爆炸时间极短。下列说法中正确的是（    ） A．炮弹P比炮弹Q早落地 B．炮弹Q的初动能是炮弹P的2倍 C．爆炸过程，两炮弹动量不守恒 D．两炮弹在空中落地前的距离先增大后减小 【答案】A 【详解】A．火药爆炸后，炮弹Q在空中做斜上抛运动，炮弹P在空中做斜下抛运动，P先落地，A正确； B C．火药爆炸时，内力远大于外力，两炮弹动量守恒； ，，， B错误，C错误； D．两炮弹在空中落地前，相对运动为匀速直线运动，距离越来越大，D错误。 故选A。 【变式2】．（24-25高一下·辽宁鞍山·期末）如图所示，光滑水平面上甲、乙两球间粘少许炸药，一起以速度0.5 m/s向右做匀速直线运动。已知甲、乙两球质量分别为0.1kg和0.2kg。某时刻炸药突然爆炸，分开后两球仍沿原直线运动，从爆炸开始计时经过3.0s，两球之间的距离为x = 2.7m，则说法正确的是（　　） A．刚分离时，甲、乙两球的速度方向相同 B．刚分离时，甲球的速度大小为0.1m/s，方向水平向左 C．刚分离时，乙球的速度大小为0.3m/s D．爆炸过程中释放的能量为0.27J 【答案】B 【详解】AB．根据动量守恒定律有 爆炸时间忽略不计，若爆炸后甲速度方向向左，此时为负值，则有 解得， 若爆炸后甲速度方向向右，此时为正值，则有 解得， 可知，爆炸后甲速度方向向右的情景不成立，即爆炸后甲速度方向向左，速度应取， 即分离时，甲、乙两球的速度方向相反，甲球的速度大小为0.1m/s，方向水平向左，故A错误，B正确； C．结合上述可知，刚分离时，乙球的速度大小为0.8m/s，故C错误； D．爆炸过程中释放的能量为 结合上述解得，故D错误。 故选B。 题型八：人船模型 【典例8】．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，一辆质量为M的小车静止在光滑的水平面上，在小车两侧立柱的横梁上固定一条长为L不可伸长的水平轻细绳，细绳另一端系有质量为m的小球，小球由静止释放，此后小车做往复运动。不计一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。那么，在小车往复运动的过程中（　　） A．小球和小车组成的系统机械能守恒，动量守恒 B．小球第一次在O点右侧能到达的最高点，可能比初始释放点低，原因是M、m的大小关系未知，可能出现到右侧最高点时小球的速度为零而小车的速度不为零 C．小车运动的动能最大时，小球的重力势能最小 D．小球从最左侧运动到最右侧时，小车移动的距离为 【答案】C 【详解】A．小球与小车组成的系统，水平方向不受外力，则该系统水平方向动量守恒，运动过程中，系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，故A错误； B．小球和小车开始时刻的速度均为零，且系统水平方向动量守恒，因此当小球到右侧最高点时，小球和小车的速度一定都为零，同时该系统机械能守恒，可知小球第一次在O点右侧能到达的最高点，与初始释放点等高，故B错误； C．小球在最低点时，小球的重力势能最小，此时绳子对小车的拉力在水平方向的分力恰好为零，此时小车的速度达到最大值，动能最大，故C正确； D．根据水平方向动量守恒，结合人船模型分析可得， 解得，故D错误。 故选C。 【变式1】．（25-26高三上·重庆·期中）如图所示，光滑的水平地面上放置了两个完全相同的物块，一竖直轻杆固定在物块上，轻杆上端系一长的不可伸长的轻绳，轻绳另一端连接小球C。现用外力将球C拉起直至轻绳处于水平状态后，将小球C由静止释放，小球C摆到最低点的同时物块恰好发生碰撞，此后粘在一起运动，不计一切阻力，已知，均可视为质点，重力加速度取，下列说法正确的是（　　） A．整个运动过程中，、、C组成的系统动量守恒 B．木块碰撞后的速度大小为 C．木块间的初始距离为 D．小球C经过最低点后向左摆动所能上升的最大高度为 【答案】D 【详解】A．木块A、B和小球C组成的系统由于竖直方向动量不守恒，水平方向动量守恒，所以系统的总动量不守恒，故A错误； B．C球第一次摆到最低点过程中，以向左为正方向，由系统水平方向动量守恒可得 由系统机械能守恒可得 联立解得， 木块碰撞过程 解得木块碰撞后的速度大小为，故B错误； C．C球第一次摆到最低点过程中，根据题意有 又 联立可得木块间的初始距离为，故C错误； D．小球C经过最低点后向左摆动，当三者共速时，到达最大高度，根据动量守恒可知，初态水平总动量为零，末态水平总动量为零，速度为零，根据能量守恒 解得，故D正确。 故选D。 【变式2】．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）如图所示，光滑水平面上放有一光滑斜面体，斜面体的质量为M、倾角为α、斜面长为L。将一质量为m的小滑块从斜面的顶端由静止释放。已知，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．滑块下滑过程中斜面体向左运动的位移为 B．滑块滑到斜面底端时速度大小为 C．滑块下滑过程中斜面体的支持力对滑块做负功 D．滑块下滑过程中滑块和斜面体组成的系统机械能和动量均守恒 【答案】C 【详解】D．滑块下滑过程中，只有重力做功，滑块和斜面体组成的系统机械能守恒，而系统受到的合外力不为零，所以系统动量不守恒；但系统在水平方向上的合力为零，故系统在水平方向上的动量守恒，故D错误； B．若斜面固定有 解得 滑块滑到底端时，斜面体具有动能，滑块的重力势能转化为滑块和斜面体的动能，因此滑块速度必定小于斜面体固定时的速度，故B错误； A．根据系统在水平方向上的动量守恒，且系统初动量为零，则有 又， 联立可得 根据几何关系有 联立解得，故A错误； C．滑块下滑过程中，斜面体向左运动，斜面体的支持力与滑块的位移夹角大于90°，故支持力对滑块做负功，故C正确。 故选C。 题型九：动量守恒定律在多物体、多过程问题中的应用 【典例9】．（25-26高二下·陕西西安·期中）如图所示，竖直平面内质量、半径的圆形光滑轨道A静置在光滑平台上，与光滑平台在最低点相切，质量的木板D静置在平台右侧光滑的水平地面上，上表面与平台齐平，质量的滑块C静止在木板D左端，竖直弹性挡板固定在木板D右侧。将质量的滑块B（视为质点）从圆形光滑轨道的上端由静止释放，B运动至光滑平台后与C发生弹性碰撞。已知初始状态木板D右端到挡板的距离，滑块C与木板D之间的动摩擦因数，木板D足够长且与弹性挡板碰撞后以原速率反弹。B与C只碰撞一次，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)B从释放到滑到光滑平台的过程中，A的位移大小； (2)B与C碰撞后，C的速度大小； (3)D与弹性挡板发生碰撞的总次数。 【答案】(1)0.45m (2)4m/s (3)6次 【详解】（1）A、B组成的系统满足水平方向动量守恒，则有 等式两边同时乘以时间，并求和可得 又 联立解得A的位移大小为 （2）B从释放到滑动光滑平台的过程中，A、B系统机械能守恒，则有 解得， B与C发生弹性碰撞，由动量守恒和机械能守恒可得 ， 解得， （3）由牛顿第二定律可得，C的加速度大小为 D的加速度大小为 D向右运动第一次与弹性挡板碰撞，由运动学公式可得 解得 碰撞前D的速度为 C的速度为 碰撞后D的速度反向，大小不变，则 此后C和D的加速度大小始终不变，每次D与挡板碰撞，D的速度大小不变，方向反向，但C的速度一直在减少，每次D从挡板向左运动再回来做往返运动的时间为 C的速度减少 经过6次碰撞后，C的速度变为 由动量守恒定律可得 解得 则C和D最终静止，不会与挡板发生第7次碰撞，即木板D与挡板发生6次碰撞。 【变式1】．（2026·宁夏银川·一模）如图所示，光滑圆弧（O为其圆心）轨道PQ与光滑水平轨道QN平滑连接，圆弧半径R=5m，QN的长度l=2.5m，轨道在N点与足够长粗糙水平地面NE平滑连接。一质量为m=1kg的小物块A从与圆心O等高处P点由静止开始沿轨道下滑，在N点与质量为M=4kg的静止小物块B发生弹性正碰，碰撞时间极短。A、B与地面间的动摩擦因数均为μ=0.5，A、B均可看作质点，重力加速度g=10m/s2。求： (1)小物块A在第一次经过圆弧轨道最低点Q时对轨道的压力大小； (2)第一次碰撞后瞬间A、B的速度大小； (3)A、B均停止运动后，二者之间的距离。 【答案】(1)30N (2)6m/s，4m/s (3)1.04m 【详解】（1）小物块A从与圆心O等高处P点由静止开始沿轨道下滑运动到Q点，根据机械能守恒定律可得 解得 在Q点，根据牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可得，小物块在第一次经过圆弧轨道最低点Q时对轨道的压力大小为30N； （2）由于AB发生弹性碰撞，根据动量守恒定律可得， 联立解得， 即碰后A的速度大小为6m/s，方向水平向左，B的速度大小为4m/s，方向水平向右； （3）第一次碰撞后B向右做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得 速度减为零所需时间为 位移为 A向左运动滑上圆弧后返回来向右运动的时间 即A再次返回Q点时，B已经停止运动，A经过Q点向右做匀减速直线运动，到达B停止的位置时，有 解得 AB发生第二次碰撞，有， 联立解得， A向左做匀减速直线运动，有 B向右做匀减速直线运动，有 所以A、B均停止运动后，二者之间的距离为 【变式2】．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图所示，长的非弹性轻绳一端固定在O点，另一端拴有小球A，O点正下方l处有一小物块B静置于木板C最右端，小物块D距离C右端2m。开始时C被锁定，轻绳伸直与水平方向间夹角，A由静止释放，轻绳再次伸直时A做圆周运动，到最低点与B发生弹性碰撞，之后B向左运动，与D发生弹性碰撞后瞬间解除C的锁定，最终D恰好未从C上滑落。已知A、B、C的质量均为，D的质量为，B、D与C间的动摩擦因数均为，重力加速度大小。地面光滑，A、B、D均可视为质点，求： (1)初始时，小球A与B的竖直高度； (2)A与B碰撞前A的速度大小； (3)C的长度； (4)整个过程中B、C间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由几何关系可得 （2）由静止开始自由下落，当绳再次绷紧时，下落的高度为，则有 如图所示 绳绷紧后瞬间，的速度变为 从绳绷紧后运动到最低点，由动能定理得 与碰撞前的速度 （3）与碰撞过程，以的方向为正方向，根据动量守恒得 根据机械能守恒得 解得 设与碰撞前速度为，在上减速时加速度 由运动规律得 解得 与碰撞过程,以的方向为正方向,根据动量守恒 机械能守恒 碰后的速度（反向向右运动），的速度 碰后的加速度，由牛顿第二定律得 解得 设加速后经过时间与共速 解得， 此时的速度，则之后、保持相对静止一起减速，反向向左加速。 从开始运动到刚好不滑落，、间的相对距离 解得 木板的长度 解得 （4）、共速时，的速度 从、碰撞到、共速，相对的距离 解得 从、共速到、、三者共速，以的方向为正方向，对系统由动量守恒定律得 对： 相对的路程 解得 由于摩擦产生的热量 解得 题型十：动量守恒与功能关系综合问题 【典例10】．（22-23高三下·湖北荆门·阶段检测）如图所示，在电动机的带动下以的速度顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接，水平面上有两个位于同一直线上、处于静止状态的相同小球，小球质量。质量的物体（可视为质点）从轨道上高的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小。物体和传送带之间的动摩擦因数，传送带AB之间的距离。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰。重力加速度，。求： （1）物体从P点下滑到A点的过程中，克服摩擦力做的功； （2）物体第一次向右通过传送带的过程中，求从A运动到B的时间和传送带对物体的冲量大小； （3）物体第一次与小球碰后到最终的过程中因为物体在传送带上滑动而多消耗的电能。    【答案】（1）38J；（2）；（3） 【详解】（1）物体从P点下滑到A点的过程中，令克服摩擦力做的功，根据动能定理有 解得 （2）由于物体冲上传送带的初速度大于初速度的速度，开始物体相对传送带向右运动，则有 解得 物体向右先做匀减速直线运动，减速至与传送带同速时通过的位移 解得 可知物体在传送带上先向右做匀减速直线运动，后向右做匀速直线运动，匀减速历时 匀速过程历时 则从A运动到B的时间 传送带对物体的摩擦力的冲量为 解得 可知传送带对物体的冲量大小为，方向水平向左，传送带对物体的支持力的冲量 则传送带对物体的冲量大小为 解得 （3）物体第一次与小球发生弹性碰撞，令物体反弹回来的速度大小为，左侧小球碰后速度大小为，则有 ， 解得 ， 物体被反弹回来后，在传送带上向左运动过程中，根据 ， 解得 ， 可知物体第一次返回还没有到达传送带左端速度已经减为零，随后将再次向右做匀加速直线运动，根据对称性可知，速度将再次增加到，此过程电动机多给传送带的作用力为，电动机多消耗的功率为，则电动机多消耗的电能为 光滑水平面上两小球质量相等，发生弹性碰撞，则速度发生交换，即两小球碰撞后，左侧小球静止，右侧小球以向右匀速运动，当物体再次与小球发生碰撞，根据上述有 ， 解得 ， 物体将再次被反弹回来后，在传送带上向左运动过程中，根据 ， 解得 ， 可知物体第二次返回还没有到达传送带左端速度已经减为零，随后将再次向右做匀加速直线运动，根据对称性可知，速度将再次增加到，此过程电动机多给传送带的作用力为，电动机多消耗的功率为，则电动机多消耗的电能为 由于 ， 可知之后不会再发生碰撞，则物体第一次与小球碰后到最终的过程中因为物体在传送带上滑动而多消耗的电能为 【变式1】．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图所示，MN是一长为L1＝2.0 m的水平传送带，以v0＝4 m/s顺时针匀速转动，传送带左端M与半径r＝0.45 m的四分之一固定光滑圆轨道相切，右端N与放在光滑水平桌面上的长木板C上表面平齐。木板C长为L2＝2.64 m，右端带有挡板，挡板厚度忽略不计。在C上放有小物块B，开始时B和C静止，B到挡板的距离为L3＝0.14m。现将小物块A从圆弧轨道最高点由静止释放，小物块A与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.25，A、C之间及B、C之间的动摩擦因数均为μ2＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。小物块A、B可视为质点，A、B与C的质量均为m＝1 kg，重力加速度为g＝10 m/s2，所有的碰撞均为弹性正碰。求： (1)小物块A在传送带上运动过程中因摩擦产生的热量； (2)小物块A滑上C后，经多长时间小物块B与挡板碰撞； (3)小物块B与C碰撞后，小物块B到挡板的最大距离。 【答案】(1)0.5J (2)1.2 s (3) 【详解】（1）小物块A由静止运动到圆轨道最低点，由动能定理有 解得vM＝3m/s       设经时间t1小物块A与传送带共速，由动量定理有μ1mgt1＝mv0－mvM 解得t1＝0.4s 在时间t1内小物块A、传送带发生的位移为，x2＝v0t1＝1.6 m 相对位移为0.2m。小物块A通过传送带过程产生的内能为Q＝μ1mg（x1－x2）＝0.5J （2）对物块B和长木板C整体受力分析，由牛顿第二定律有μ2mg＝2ma 物块B和长木板C整体加速度为 对物块B，由牛顿第二定律得f＝ma＝1N 设A滑上C后经时间t2物块A与B碰撞，有 解得t2＝1s 设A、B碰撞前速度分别为v1、v2，碰后速度分别为v3、v4，则v1＝v0－μ2gt2＝2m/s， A、B碰撞过程，由动量守恒和能量守恒，得mv1＋mv2＝mv3＋mv4， 解得v3＝1m/s，v4＝2m/s 设A、B碰后经时间t3物块B与挡板相碰，有 解得t3＝0.2s A滑上C后，B与挡板碰撞的时间t＝t2＋t3＝1.2s （3）设B与挡板碰撞前C、B的速度分别为v5、v6， 则，v6＝v4－μ2gt3＝1.6m/s B与C碰撞过程动量守恒和机械能守恒，设碰后C、B的速度分别为v7、v8，得mv5＋mv6＝mv7＋mv8 ， 解得v7＝1.6 m/s，v8＝1.2m/s 之后A、B一起相对C滑动ΔL达到共同速度， 对三者由动量守恒mv0＝3mv共 由能量守恒 解得ΔL＝ 【变式2】．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图所示，一小车上表面由粗糙的水平部分AB和光滑的圆弧轨道BC组成，小车紧靠台阶静止在光滑水平地面上，且小车的左端与固定的光滑圆弧轨道MN末端等高，圆弧轨道MN末端水平。一质量kg的物块P从距圆弧轨道MN末端某高度由静止开始滑下，与静止在小车左端的质量kg的物块Q发生弹性碰撞，碰撞后物块Q的速度大小为m/s。物块Q与水平轨道AB间的动摩擦因数，圆弧BC的半径m，小车的质量kg，物块P、Q均可视为质点，取重力加速度大小。 (1)求碰撞前物块P距离MN末端某高度h； (2)若物块Q恰好能滑到小车右端的C点，求AB的长度L； (3)在第二问AB的长度L的基础上，若物块Q与水平轨道AB间的动摩擦因数，通过计算判断物块Q是否从小车上掉下。 【答案】(1)4.05m (2)4.2m (3)物块Q未从小车上掉下 【详解】（1）设物块P滑到N点时的速度大小为，由机械能守恒定律有 取向右为正方向，设碰撞后物块P的速度为，物块P和物块Q碰撞过程满足动量守恒和机械能守恒， 解得m/s，m/s，m （2）物块Q运动至C点时水平速度与小车的速度相等，竖直速度为零，设共同速度为，有 解得m/s 又由能量关系有 解得m （3）假设物块Q没有掉下，即物块Q最终与小车共速，由动量守恒定律有 由能量关系有 设物块Q在水平轨道AB上相对滑动的距离为，有 解得m 因为 所以假设成立，物块Q未从小车上掉下。 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图所示，长木板A放在光滑的水平地面上，物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，最后停止在木板A上，则从B冲到木板A上到相对木板A静止的过程中，下述说法中正确的是（　　） A．物体B动能的减少量等于系统损失的机械能 B．物体B动能的减少量等于木板A获得的动能 C．系统克服摩擦力做的总功等于A增加的动能 D．摩擦力对物体A做的功小于系统内能的增加量 【答案】D 【详解】AB．物体B以水平速度冲上A后，由于摩擦力作用，B减速运动，A加速运动，根据能量守恒定律，物体B动能的减少量等于A增加的动能和系统内能增加量之和，故AB错误； C．系统克服摩擦力做的总功等于系统产生的内能，而A增加的动能是摩擦力对A做的正功，二者不相等，故C错误； D．设物体B的质量为，物体A的质量为，根据动量守恒可得 解得共速时的速度大小为 系统内能的增加量为 摩擦力对A做的功 因为 即 所以摩擦力对物体A做的功小于系统内能的增加量，故D正确。 故选D。 2．（25-26高二下·宁夏银川·阶段检测）两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动， ，当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】碰撞过程需满足三个规律：①系统动量守恒；②碰后总动能不大于碰前总动能；③碰后A的速度不大于B的速度，避免发生二次碰撞。 先计算碰前总动量和总动能： 碰前总动量 碰前总动能 A．碰后，A速度大于B，会发生第二次碰撞，不符合实际，故A错误； B．碰后总动量，动量守恒；总动能，动能不增加；且，符合碰撞规律，故B正确； C．碰后总动能，动能增加，违背能量守恒，故C错误； D．碰后，会发生二次碰撞，且总动能，动能增加，不符合规律，故D错误。 故选B。 3．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）如图所示，在光滑的水平桌面上放置两个质量不同的小滑块P和Q，它们之间夹有一个被压缩的轻弹簧（与P没有拴接）。把P和Q由静止释放，P和Q在弹簧弹力作用下开始运动。在弹簧没有离开P的过程中，下列判断正确的是（　　） A．P和Q的加速度之比等于它们的质量之比 B．P和Q的速度大小可能相同 C．P和Q的运动位移大小相同 D．弹簧即将离开P的瞬间，Q的加速度为0 【答案】D 【详解】A．两物块受弹簧的弹力相等，根据F=ma可知，P和Q的加速度之比等于它们的质量的倒数之比，A错误；     BC．由PQ系统动量守恒可知，因两滑块的质量不等，则P和Q的速度大小不相同，P和Q的运动位移大小也不相同，BC错误； D．弹簧即将离开P的瞬间，弹簧恢复到原长，此时弹簧的弹力为零，则Q的加速度为0，D正确。 故选D。 4．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，质量均为的木块A和B，并排放在光滑的水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的点系一长为的细线，细线另一端系一质量为可视为质点的小球C。现将C拉起使细线刚好水平伸直，并由静止释放C，小球运动过程中不与杆发生碰撞。重力加速度取，下列说法正确的是（    ） A．A、B两木块恰好分离时，C的速度大小为 B．A、B两木块恰好分离时，C的速度大小为 C．A、B两木块恰好分离时，细线的拉力大小为 D．A、B两木块恰好分离时，细线的拉力大小为 【答案】A 【详解】AB．当小球C到达最低点时A、B两木块恰好分离，设C的速度大小为，A、B的速度大小为 则由动量守恒定律可知 由能量关系可知 解得，，A正确，B错误； CD．小球在最低点时对小球由牛顿第二定律 解得，C、D错误。 故选A。 5．（23-24高一下·北京·期中）微观粒子对心碰撞实验中，t=0时粒子A静止，粒子B以一定的初速度v0向A运动。由于它们之间存在相互的排斥作用，两粒子的v-t图像如图所示，已知它们的相互排斥作用力做功与路径无关，对应着相互作用势能变化（总动能与相互作用势能的总量守恒）。则（　　） A．A粒子质量小于B粒子 B．两粒子在t1时刻相距最近，且其相互作用势能最大 C．在t=3t1时刻，A、B再次共速 D．B在0~t3时间内动能一直减小 【答案】B 【详解】A．由图可知在t=0时刻A的速度为零，B的速度为；在时刻B的速度为零，A的速度不为零，设为，根据动量守恒有 由图可知，则可得，故A错误； B．由图可知，在时刻两粒子的速度相等，此时相距最近，系统动能损失最大，根据能量守恒，可知其相互作用势能最大，故B正确； C．在时刻B的速度为零，之后沿负方向运动，A速度方向为正方向，故两者距离不断拉大，斥力不断减小，不可能再次出现共速，故C错误； D．由图可知，在时间内B的速度正方向减少，在时间内B的速度反方向增大，故B在0~t3时间内动能先减小，后增大，故D错误。 故选B。 6．（24-25高一下·四川泸州·期末）水火箭是利用反冲原理制作的趣味玩具，瓶内有高压气体和一定量的水。总质量为M的水火箭，由静止沿竖直方向发射，在极短的时间内将内部质量为m的水相对地面以速度v0向下喷出，重力加速度大小为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．瓶内高压气体对箭体做负功 B．喷水后瞬间，箭体的速度大小为 C．箭体上升的最大高度为 D．整个过程中，箭体与水组成的系统机械能守恒 【答案】C 【详解】A．高压气体推动水向下运动的同时，对箭体的力方向向上，箭体向上运动，位移与力同向，所以气体对箭体做正功，故A错误； B．喷水过程水和箭体组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律有 解得箭体的速度为，故B错误； C．喷水后箭体做竖直上抛运动，由B选项可知其上抛的初速度为，所以竖直上抛的最大高度为，故C正确； D．喷水时气体做功，系统机械能增加，故箭体与水组成的系统机械能不守恒，故D错误。 故选C。 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，用不可伸长的、长度为L的轻质细绳将质量为3m的木块悬挂于O，木块静止。质量为m的弹丸以速度水平向右射入木块后未射出木块，射入木块后二者共同上摆动的最大高度为h，木块和弹丸可视为质点，二者作用时间极短，空气阻力不计，则（    ） A．弹丸打入木块后瞬间，二者的速度为 B．弹丸打入木块后瞬间，细绳拉力的大小 C．弹丸与木块共同上摆的最大高度h为 D．弹丸打入木块的过程中系统损失的机械能为 【答案】C 【详解】AC．第一颗弹丸打入木块后瞬间，根据动量守恒可得 解得弹丸打入木块后瞬间，二者的速度为 弹丸与木块共同上摆过程，根据动能定理可得 解得弹丸与木块共同上摆的最大高度为 故A错误，C正确； B．弹丸打入木块后瞬间，根据牛顿第二定律可得 解得细绳拉力的大小为，故B错误； D．弹丸打入木块的过程中系统损失的机械能为，故D错误。 故选C。 8．（24-25高一下·北京·期末）如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻， 规定向右为正方向，0~2t0内P、Q物块运动的a-t图像如图所示，已知t0时刻P、Q的加速度最大，其中t轴下方部分的面积大小为S，下列判断不正确的是（　　） A．物体Q的质量为2m B．2t0时刻Q物体的速度大小为 C．t0时刻弹簧的弹性势能为 D．时间内弹簧对P物体做功为 【答案】D 【详解】A．由题意可知时间内Q、P所受弹力大小始终相等，方向相反，Q所受弹力向左，P所受弹力向右。t0时刻弹力最大，由牛顿第二定律得 和 解得，故A正确； B．根据图像与横坐标轴围成的面积表示速度变化量得 所以2t0时刻Q物体的速度大小为S，故B正确； C．t0时刻弹力最大，两者速度相等，设此速度大小为，由图像的对称性可知 设P的初速度大小为，P、Q及弹簧组成的系统动量守恒，由此可得 则 因P、Q及弹簧组成的系统机械能守恒，由此可得，故C正确； D．设2t0时刻P的速度大小为，同理由动量守恒得 解得 则t0和2t0两时刻P物体的速度大小相等，所以这段时间内物体P的动能的变化量为零。由动能定理可知这段时间内弹簧对P物体做的功为零。故D错误。 本题选不正确的，故选D。 二、多选题 9．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图甲所示，轻弹簧的两端与质量分别为和的两物块、相连接组成一个系统，静止在光滑的水平地面上。现使以的速度向运动压缩弹簧，、的速度-时间图像如图乙，下列说法正确的是（     ） A．从到过程中，系统的动能减小 B．时刻轻弹簧被拉伸至最长 C．两物块的质量之比 D．时刻，系统的弹性势能与动能之比 【答案】CD 【详解】A．从到过程中，弹簧从压缩到最短逐渐恢复到原长状态，系统的弹性势能减小，则系统的动能增加，A错误； B．时刻轻弹簧恢复到原长状态，B错误； C．从到过程中，由动量守恒可知 其中，， 解得两物块的质量之比，C正确； D．时刻，系统的动能 弹性势能 可知系统的弹性势能与动能之比，D正确。 故选CD。 10．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图所示，半径分别为和的两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道相连，在水平轨道上有一轻弹簧被、两小球夹住，同时释放两小球，、球都恰好能通过各自圆轨道的最高点，已知球的质量为，重力加速度为，则（　　） A．球的质量 B．两小球与弹簧分离时，动能不相等 C．球到达圆心等高处时，对轨道压力大小为 D．若，要求、球都能通过各自圆轨道的最高点，弹簧释放前至少应具有的弹性势能为 【答案】ABD 【详解】A．、球都恰好能通过各自圆轨道的最高点，根据 可得 同理可知 a球从最低点到最高点满足 解得 同理b球在最低点时的速度为 弹簧弹开ab时由动量守恒定律 解得，A正确； B．两小球与弹簧分离时，动量大小相等，根据可知，动能不相等，B正确； C．球到达圆心等高处时，根据 根据牛顿第二定律 解得 根据牛顿第三定律可知，对轨道压力大小为，C错误； D．要求、球都能通过各自圆轨道的最高点，当a恰好经过最高点时速度为 被弹簧弹开时a的速度为 若，则被弹簧弹开时b的速度也为 则弹簧释放前至少应具有的弹性势能为，D正确。 故选ABD。 11．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图所示，一质量的滑块套在光滑的水平轨道上，一质量的小球通过长的轻质细杆与滑块上的光滑轴连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕轴自由转动。初始时，轻杆水平，现给小球一竖直向上的初速度，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．若滑块固定，小球到达最高点的速度大小为 B．若滑块不固定，小球到达最高点的速度大小为 C．若滑块不固定，小球到达最高点时，滑块相对地面的位移大小为 D．若滑块不固定，小球到达轴右侧水平位置时相对地面的位移大小为 【答案】ABD 【详解】A．滑块固定时，小球运动过程只有重力做功，机械能守恒： 得 故A正确； B．滑块不固定时，系统水平方向不受外力，水平动量守恒，初始总水平动量为。小球到达最高点时，小球的速度为，滑块的速度，由动量守恒得 由机械能守恒定律 得 故B正确。 C．小球到最高点时，水平相对位移为，则由， 解得 故C错误； D．设滑块相对于初始位置向左的位移大小为，则小球坐标为 小球初始坐标为，因此小球相对初始位置的位移 由人船模型动量关系积分得 代入数值 因此小球位移大小 故D正确； 故选ABD。 12．（2026·云南昭通·模拟预测）如图所示，光滑斜轨道AB和一条足够长的粗糙水平轨道BC平滑连接，质量为5kg的物块乙静置在水平轨道的最右端，质量为1kg的物块甲从斜轨道上距离BC竖直高度为处由静止下滑，滑下后与物块乙碰撞。已知两物块与水平轨道BC之间的动摩擦因数均为0.2，物块甲和乙均可视为质点，它们之间的每次碰撞均为弹性碰撞，重力加速度。下列判断正确的是（   ） A．甲和乙第一次碰撞后甲沿光滑斜轨道上升的高度为1.0m B．甲和乙第二次碰撞时乙已经停止在水平轨道上 C．甲和乙第二次碰撞时乙仍在向左滑行 D．甲和乙总共会发生2次碰撞 【答案】BD 【详解】A．物块甲的下滑过程有 得 甲和乙第一次弹性碰撞时有， 得， 此后甲滑上光滑斜轨道，有 得，故A错误； BC．物体甲第二次滑入水平轨道时的速度为，在粗糙平面上 物体乙第一次向左滑行的距离为 运动时间 甲在斜面上的加速度，则在斜轨道AB上的运动时间 甲在平面上滑行至停下所用时间为 甲在平面上滑行至乙停下的地方有 解得，另一解不符合题意舍去 由于，故甲是在乙停下以后和它发生的第二次碰撞，故B正确、C错误。 D．甲在水平面上运动1m后，有 再次发生弹性碰撞有， 得， 注意到甲和乙第二次碰撞后，故甲和乙只发生了两次碰撞，故D正确。 故选BD。 13．（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）如图1所示，质量为的木板A静置于光滑水平地面上，时刻物块B（可视为质点）以水平向右的初速度3m/s从木板A的左端滑入，此后两者的速度随时间变化的图像如图2所示。当时，物块B恰好到达木板A的右端。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物块B的质量为1kg B．木板A的长度为3m C．物块B与木板A间的动摩擦因数为0.1 D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，则最终物块B与木板A右端的距离为1.5m 【答案】ABC 【详解】AC．由图2，可求得B冲上A后，B减速运动时的加速度大小 A加速运动时的加速度大小 设B的质量为，根据牛顿第二定律有 对A，根据牛顿第二定律有 联立，代入数据求得物块B与木板A间的动摩擦因数为，，故AC正确； B．当时，物块B恰好到达木板A的右端，根据图线围成的面积表示位移，由图像围成的面积差，可求得木板A的长度为，故B正确； D．若只将物块B的初速度大小变为1.5m/s，B与A共速时有 求得 A达到与B共速时，所用时间 可得物块B相对木板A滑动的距离为 则最终物块B与木板A右端的距离为，故D错误。 故选ABC。 14．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）如图所示，两个半径均为R的圆槽静止放在水平地面上，圆槽底端点A、B所在平面与水平面相切。质量为m的小球（可视为质点）从左圆槽上端C点的正上方P点（P点未画出）静止释放，恰好从C点沿切线进入圆槽，PC间距离也为R，左侧圆槽质量为2m，右侧圆槽质量为3m。重力加速度为g。不计一切摩擦，下列说法中正确的是（　　） A．小球运动到A点时对左圆槽的压力大小为 B．小球到A点时，左侧圆槽的位移 C．右圆槽的最大速度的大小是 D．小球在右侧圆槽上运动时，上滑过程和下滑过程的动量变化大小相等 【答案】CD 【详解】A．小球从P到A过程，对小球和左圆槽组成的系统，水平方向动量守恒，机械能守恒。设小球到A点时小球速度为，左圆槽速度为，由水平动量守恒 机械能守恒 联立解得， 在A点，对小球， 联立化简得 A错误； B．小球和左圆槽组成的系统水平动量守恒，设小球水平位移为，左圆槽位移为，则 且 联立解得 B错误； C．小球与右圆槽相互作用过程，水平动量守恒，机械能守恒，当小球离开右圆槽时，右圆槽速度最大。设小球速度为，右圆槽速度为，则， 联立解得 C正确； D．小球在右侧圆槽上运动时，上滑和下滑过程，小球相对圆槽的位移大小相等，系统水平动量守恒，机械能守恒，所以小球动量变化大小相等，D正确。 故选CD。 三、解答题 15．（20-21高一下·重庆北碚·期末）“鸡蛋撞地球”挑战活动要求学生制作鸡蛋“保护器”装置，使鸡蛋在保护装置中从高处静止下落撞到地面而不破裂。某同学制作了如图所示的鸡蛋“保护器”装置，从高处静止下落到地面后瞬间速度减小为零，鸡蛋在保护器装置中继续向下运动、用时静止而完好无损。已知鸡蛋在装置中运动过程受到恒定的作用力，且该装置含鸡蛋的总质量为，其中鸡蛋质量为，不计下落过程装置质量的变化，重力加速度为。求： （1）装置落地前瞬间的速度； （2）在下降过程，装置含鸡蛋所受阻力做的功； （3）鸡蛋在向下运动过程，装置对鸡蛋的冲量。 【答案】(1)6m/s；(2) 9.84J；(3) 【详解】(1)根据题意可知装置落地前瞬间与鸡蛋的速度相同且为v，根据运动学公式 代入数据解得 (2)以装置含鸡蛋为研究对象且质量为M，根据动能定理有 代入数据解得 (3)以鸡蛋为研究对象，向上为正方向，根据动量定理 代入数据解得 16．（25-26高一下·辽宁大连·期中）如图所示，小球A，质量为；B为带有四分之一圆弧面的物体（不固定），质量为，半径为，其轨道末端与水平地面相切；水平地面的右边有一固定的弹性挡板。现让小球A从B的轨道正上方距地面高为处静止释放，经B末端滑出，最后与水平面上的挡板发生碰撞，其中小球与挡板之间的碰撞为弹性正碰，所有接触面均光滑，重力加速度。求： (1)小球A第一次经过B末端的时候，B移动的距离； (2)小球A第一次返回是否能冲出B的上端； (3)最终物体B所受的冲量大小。 【答案】(1) (2)未冲出 (3) 【详解】（1）设B的位移大小为，小球A水平方向相对地面的位移大小为，取水平向右为正方向，由水平方向动量守恒得             又                 解得B的位移的大小 （2）设小球第一次从B的轨道末端水平滑出时的速度大小为，对A和B，由水平方向动量守恒有             对A和B，由能量守恒有         联立解得，         小球A与挡板之间的碰撞为弹性正碰，可知小球反向的速度大小为4 m/s大于B物体速度，小球A第一次返回冲上B至最高点，由水平方向动量守恒有     根据能量守恒有             解得，小球恰好到达B的最高点并未冲出 （3）小球第一次反向的速度大小为4 m/s，此时B的速度为1 m/s，设小球A与B分离时的速度分别为、，有             根据能量守恒有         解得，             可知小球第二次反向的速度大小为0.8 m/s，小于此时B的速度，追不上B，对B，根据动量定理有 17．（2026·江苏·模拟预测）如图所示，静止在光滑的水平面上的小车质量为M=2kg，小车的左边是半径为R=0.8m的四分之一光滑圆弧轨道AB，右边是半径为r=0.4m的半圆形光滑轨道CDE，D点与半圆形轨道的圆心等高，两光滑轨道末端与小车水平粗糙面平滑相连，中间水平轨道BC长度为L=4m，质量为m=1kg、可视为质点的滑块从轨道A点正上方h=1.6m处由静止释放，恰好沿切线落入四分之一圆弧轨道，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数为。重力加速度g取，求： (1)滑块经过B点时的速度大小； (2)滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小； (3)滑块从E点飞出后落到小车上的位置。 【答案】(1) (2) (3)在C点左侧到C点的距离为 【详解】（1）设滑块经过B点时的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 根据滑块和小车组成的系统机械能守恒可得 解得， （2）滑块经过D点时，滑块和小车在水平方向的速度相同，设为，滑块在竖直方向的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 可得 滑块到达D点的过程中，根据能量守恒可得 小车运动到D点时，相对于小车做圆周运动 根据牛顿第二定律可得 小球的向心加速度水平向左，为小球水平方向上相对小车的相对加速度 在D点，水平方向上对小球：   在D点，水平方向上对小车： 解得半圆形轨道对滑块的支持力大小为 根据牛顿第三定律可得，滑块经过D点时对半圆形轨道的压力大小为 （3）设滑块从E点飞出时，滑块的速度大小为，此时小车的速度大小为，根据滑块和小车组成的系统在水平方向动量守恒 滑块从D点到E点的过程中，系统机械能守恒 解得， 滑块飞行过程中，在竖直方向 解得 在水平方向，滑块从E点飞出后落到小车上位置在C点左侧到C点的距离为 18．（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，质量的小球被一不可伸长、长度的轻质细线悬挂于点，轻质细线与竖直方向夹角，轻质细线已绷紧；在光滑水平面上，放一薄板，，在板的最右端放一质量的滑块，滑块与板的动摩擦因数，滑块在点正下方，小球和滑块都可看成质点。现将小球由静止释放，经，小球与滑块发生完全弹性碰撞，碰后经，滑块从薄板左端冲出。不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小球释放瞬间，轻质细线上的拉力大小； (2)小球释放后到与滑块碰撞前瞬间，轻质细线拉力的冲量大小； (3)薄板的长度。 【答案】(1)2.5N (2)2.5N·s (3)1.25m 【详解】（1）对小球，释放瞬间有 解得 （2）对小球，从释放到碰前瞬间有 解得 由动量定理得， 由矢量三角形得 代入数据得 （3）小球和滑块碰撞时，由动量守恒和能量守恒得 联立解得， 碰后，物体做匀减速直线运动，有 解得 物体的位移 解得 物体做匀加速直线运动，有 解得 物体C的位移为 解得 薄板C的长度 19．（2026·重庆沙坪坝·一模）重庆某机器人公司拟设计一个机器人杂技表演项目参加2026春晚选拔。如图所示，为固定在同一水平面的两条光滑平行轨道，垂直轨道放置质量为的滑杆，滑杆用总长度为的轻绳与质量为的机器人相连。初始时，轻绳跨过点（轨道平面内）正下方处的光滑定滑轮。表演开始时，用外力缓慢向左拉动滑杆，当滑轮上方细绳与竖直方向的夹角为时，撤去外力，滑杆向右运动，绳与滑杆的中心相连，机器人可视为质点，机器人、滑轮、点以及点始终在同一竖直平面内，不计空气阻力，轻绳不可伸长，重力加速度为。求： (1)滑杆滑至点时的速度大小； (2)滑杆滑至点右侧后，求机器人离平行轨道平面的最小距离； (3)滑杆滑至点右侧后，机器人的最大速率。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑杆滑至O点时，其竖直方向速度为0，所以机器人的速度为0，二者组成的系统机械能守恒，有 解得 （2）滑杆滑至O点右侧后，当二者水平方向速度相等时，机器人离平行轨道的距离最小，设其为，对于滑杆和机器人组成的系统，根据系统水平方向动量守恒 根据机械能守恒可得 解得 （3）当机器人再次到最低点时速度最大，在最低点，动量守恒 能量守恒 解得 即机器人的最大速率为。 20．（25-26高一上·贵州黔东南·期末）如图所示，将一质量m＝1kg的小物块（可视为质点）从A点以水平速度抛出后恰好从B点沿切线方向进入固定光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C端等高、静止在光滑水平面上的长木板且恰好不滑出长木板。已知长木板的质量M＝3kg，圆弧轨道BC对应的圆心角为，圆弧轨道C端的切线水平，物块运动到B点时速度大小，运动到C端时对圆弧轨道的压力大小为28N，B点距C点的高度h＝0.55m，圆弧轨道半径R＝2m，物块与长木板之间的动摩擦因数＝0.3，不计空气阻力。，，。求： (1)小物块在A点时的初速度大小； (2)A点距C点的高度H； (3)小物块滑至C点时的速度大小； (4)长木板长度为多长。 【答案】(1)4m/s (2)1m (3)6m/s (4)4.5m 【详解】（1）小物块在A点时的初速度大小等于在B点的水平速度，则 （2）A点距C点的高度 （3）在C点时，由牛顿第二定律，对小物块有 解得 （4）对小物块和长木板系统由动量守恒 由能量关系 解得l=4.5m 长木板长度为4.5m。 2 学科网（北京）股份有限公司 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