北京市第二十中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

**基本信息** 北京二十中高二5月月考数学卷以集合、概率、函数等知识为载体，通过共享充电宝、康托三分集等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，层次分明且具创新应用价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、复数、排列组合、概率等|第4题结合共享充电宝情境考查条件概率，第8题以康托三分集渗透数学文化| |填空题|5/25|二项式定理、导数、新定义数列|第13题通过8道单选题情境考查全概率公式，第15题“绝对可等和数列”创新定义辨析| |解答题|6/85|数列求和、统计分析、导数应用、椭圆综合、新定义证明|17题手机待机时间统计分析数据观念，21题有限数列新定义证明考查逻辑推理与创新思维|

2026北京二十中高二5月月考 数 学 时间： 120 分钟 满分： 150 分 班级 姓名 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每题的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合，，则 A． B． C． D． （2）若复数满足，则 A． 1 B． 5 C． 7 D． 25 （3）由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是 A． 24 B． 12 C． 10 D． 6 （4）随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1000次的概率是 A． B． C． D． （5）从甲､乙等五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作，若甲和乙只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为 A． B． C． D．48 （6），则 A．16 B．65 C．80 D．81 （7）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 （8）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数的最小值为 (，) A． B． C． D． （9）若，则 A． B． C． D． （10）设函数，则下列四个结论中所有正确结论的序号是①当时，函数有三个极值点； ②当时，函数有三个极值点； ③，是函数的极小值点； ④，不是函数的极大值点． A．①② B． ②③ C． ①④ D． ②④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）的展开式中的常数项是___________． （12）若函数，则___________． （13）现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． （14）记为正项数列的前项积，已知，则_________；_________． （15）已知无穷数列的前n项和，若存在不相等的正整数，使得，则称为“绝对可等和数列”，下列结论中所有错误结论的序号是__________． ①已知数列则数列为“绝对可等和数列”； ②存在一个公差不为0的等差数列，使得对任意的正整数k，总存在，满足； ③若公比为q的等比数列为“绝对可等和数列”，则q的取值集合为； ④若两个公差均不为0的等差数列和均为“绝对可等和数列”，则也一定是“绝对可等和数列”． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题满分14分） 已知等差数列的前项和为，，． （Ⅰ）求的通项公式： （Ⅱ）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． （17）（本小题满分14分） 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下： 手机编号 1 2 3 4 5 A型待机时间（h） 120 125 122 124 124 B型待机时间（h） 118 123 127 120 已知，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等． （1）求的值； （2）判断，两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）； （3）从被测试的手机中随机抽取，型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率． （注：个数据的方差，其中为数据的平均数） （18）（本小题满分14分） 已知函数在处的切线为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：函数有最小值． （19）（本小题满分14分） 已知椭圆过点，其左、右焦点和上顶点构成的三角形为等边三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，AD分别与直线交于点和点，若，求的值． （20）（本小题满分15分） 已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数在区间上的极值点的个数； （Ⅲ）若函数在区间上有唯一零点，证明：． （21）（本小题满分14分） 有限数列：，，…，．（）同时满足下列两个条件： ①对于任意的，（），； ②对于任意的，，（），，，，三个数中至少有一个数是数列中的项． （Ⅰ）若，且，，，，求的值； （Ⅱ）证明：，，不可能是数列中的项； （Ⅲ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $