23.4一次函数与实际问题（三大题型）专项训练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，分方案选择、最大利润、分段函数三大题型系统训练，通过真实情境问题培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方案选择问题|7题|含采购、购票等场景，需建立函数关系并结合不等关系求最优方案|从实际问题抽象一次函数模型，通过不等式确定自变量范围，利用函数增减性解决优化问题| |最大利润问题|5题|涉及销售套餐、农产品种植等，需计算利润并结合数量限制求最值|基于成本与售价关系构建利润函数，结合取值范围分析函数最值，体现运算能力与推理意识| |分段函数问题|8题|涵盖收费标准、费用计算等，需根据不同区间建立分段函数关系|通过实际情境中变量关系的分段变化，理解分段函数的构成，培养数据意识与数学表达能力|

2025-2026学年八年级下册人教版新教材第23章 23.4一次函数与实际问题（三大题型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1 方案选择问题 1．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 2．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 3．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 4．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． (1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ (2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 ①求与的函数解析式； ②求学校租车最少的总费用． 5．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 6．为亲近大自然，体验采摘乐趣，莉莉和爸爸、妈妈一家三口打算利用周末去某草莓采摘园摘草莓（三人全部参与采摘）．当天草莓的单价为每千克20元，为满足客户需求，该采摘园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买门票，门票单价为10元／人，采摘的草莓按原价的六折收费． 乙方案：游客进园不需购买门票，如果采摘的草莓不超过5千克，则按原价收费：若超过5千克，则超过部分按原价的五折收费．设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过5千克时，分别求出，关于的函数表达式． (2)若采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 7．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 题型2 最大利润问题 8．兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 9．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 10．某农户今年准备在自己的亩地中全部种植，两种农产品，经咨询农科所，情况如下表： 销售价格（元/） 亩产量（/亩） (1)农科所技术人员介绍，农产品的销售单价比农产品的销售单价高元，若该农户种植亩农产品和亩农产品的总收入将为万元，请求出两种农产品的单价； (2)该农户准备全部种植这两种农产品，已知，两种农产品的种植成本分别为元/亩和元/亩，且它们的销售成本均为元/，若要使总成本不超过元，如何安排两种农产品的种植面积，能使所获利润最大，并求出最大利润．（总成本种植成本销售成本） 11．某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 12．某海产品店计划购进A、B两种即食礼盒进行销售．按原定进价，购进1盒A种礼盒和2盒B种礼盒，则需要290元；购进2盒A种礼盒和3盒B种礼盒，则需要490元．该店销售1盒A种礼盒可获利20元，销售1盒B种礼盒可获利15元． (1)A、B两种即食礼盒每盒原定进价分别为多少元？ (2)若该店决定购进A、B两种礼盒共100盒，由于进价调整，A种礼盒实际进价比原定进价提高了，B种礼盒实际进价为原定进价的八折．若购进两种礼盒的总费用不超过8670元，该店通过调整售价保持A、B两种礼盒每盒各自的销售利润不变，请问该店如何进货可使购进的礼盒全部售出后，获得的利润最大？最大利润是多少？ 题型3 分段函数问题 13．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 14．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 15．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 16．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 17．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 18．某社团计划订购一些羽毛球和羽毛球拍，经调查发现：同一款式的羽毛球和羽毛球拍在甲、乙两家商店标价均相同．其中羽毛球拍每副标价80元，羽毛球每盒标价15元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：买一副球拍赠一盒羽毛球． 乙商店：羽毛球和羽毛球拍都按标价的八五折出售． 该社团计划订购羽毛球拍6副，羽毛球盒，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若需订购羽毛球20盒，如果在甲商店订购，求购买羽毛球和羽毛球拍的总费用． (2)若在乙商店购买更划算，求的取值范围． 19．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 20．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册人教版新教材第23章 23.4一次函数与实际问题（三大题型） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1 方案选择问题 1．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用、一次函数的性质，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 2．今年年初，某种玩偶以其独特的外观爆火，广受年轻人的喜爱．因市场需要，厂家需要加大生产力度．已知这种产品需要，B两种主要原材料．该厂购进了这两种原料A，B，其中购进千克A材料和千克材料的总价为89元．购进千克A材料和千克B材料的总价为96元（单位：元/千克）． (1)A、B两种原材料每千克的价格分别是多少元； (2)若该工厂计划购进两种原材料共2700千克，其中购进A材料的重量不少于B材料重量的2倍，且B材料购进不少于300千克．当购进A材料多少千克时所需资金最少，最少资金是多少． (3)为满足市场需求，厂家派遣甲、乙两辆配送车从仓库出发，前往货运站配送货物．甲配送车提前出发，他们的配送距离s（千米）关于配送时间t（分钟）的函数图象如图所示： ①乙配送车从出发到追上甲配送车需要 分钟． ②乙车出发 分钟，甲乙两车相距1.62千米． 【答案】(1)A材料每千克5元，B材料每千克6元 (2)购进A材料2400千克，最少资金为13800元 (3)20；2或38 【分析】(1) 根据两种购买方案的总价列二元一次方程组，求解A、B两种原材料的单价． (2) 根据题意列一元一次不等式组确定自变量的取值范围，建立所需资金关于购进A材料重量的一次函数关系式，根据一次函数的增减性求最值． (3) 根据函数图象上的点的坐标求出甲、乙两车的速度，利用追及问题公式求追及时间；分乙车追上甲车之前和之后两种情况列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设A材料每千克元，B材料每千克元， ， 解得， ∴A材料每千克5元，B材料每千克6元； （2）解：设购进A材料千克，则购进B材料千克， 购进A材料的重量不少于B材料重量的倍， ， ， B材料购进不少于300千克， ， ， ， 设所需资金为元， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值， ． （3）解：由图象可知，甲车过点和， 甲车速度为千米/分钟， 由图象可知，乙车过点和， 乙车速度为千米/分钟， 乙车出发时，甲车已行驶12分钟， 甲车领先距离为千米， ①乙车追上甲车所需时间为分钟， ②设乙车出发后分钟，甲乙两车相距1.62千米， 当乙车追上甲车前，甲车在乙车前， ， ， ， 解得， 当乙车追上甲车后，乙车在甲车前， ， ， ， 解得． 故乙车出发2或38分钟，甲乙两车相距1.62千米． 3．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 4．为了有效落实省教育厅颁布的《关于推进中小学生研学旅行的实施方案》，某中学进行研学活动．在此次活动中，若每位老师带30名学生，则还剩7名学生没有老师带，若每位老师带31名学生，就会有一位老师少带1名学生． (1)参加此次研学活动的老师和同学各有多少名？ (2)现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表所示．学校要求每位老师负责一辆车的组织工作，因此需按老师人数租车．设租用辆甲型客车，租车的总费用为元． 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 ①求与的函数解析式； ②求学校租车最少的总费用． 【答案】(1)参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名 (2)①；②最少是2800元 【分析】（1）设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车，进一步确定关于的函数解析式即可；②根据题意，得，求解可得的取值范围，然后结合一次函数的性质，易得随的增大而增大，故当时，学校租车总费用最少，即可获得答案． 【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有位，则参加此次研学活动的学生有名， 根据题意得：，解得， 答：参加此次研学活动的老师有8名，学生有247名； （2）①根据题意，租用辆甲型客车，则租用辆乙型客车， ∴租车的总费用； ②根据题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， ∴当时，， ∴租甲型车3辆，乙型车5辆费用最少，最少是2800元． 5．某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 6．为亲近大自然，体验采摘乐趣，莉莉和爸爸、妈妈一家三口打算利用周末去某草莓采摘园摘草莓（三人全部参与采摘）．当天草莓的单价为每千克20元，为满足客户需求，该采摘园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买门票，门票单价为10元／人，采摘的草莓按原价的六折收费． 乙方案：游客进园不需购买门票，如果采摘的草莓不超过5千克，则按原价收费：若超过5千克，则超过部分按原价的五折收费．设采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元． (1)当采摘量超过5千克时，分别求出，关于的函数表达式． (2)若采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】(1)， (2)乙方案更划算，理由见详解 【分析】（1）理解题意，结合甲乙两种不同的销售方案以及草莓的单价为每千克20元进行列式表示，即可作答． （2）理解题意，结合采摘量为15千克，算出，的值，再比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：∵采摘量为千克，且采摘量超过5千克， 依题意，， ； （2）解：乙方案更划算，理由如下： 由（1）得，， 依题意，当时，则，， ∵， ∴， 即乙方案更划算． 7．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)元 (3)当款智能机器人模型件，款科创笔记本件时，总费用最少，最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得： ，其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，， 故当购买了件款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知为， 且， 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元． 题型2 最大利润问题 8．兰州牛肉面作为金城兰州的城市名片，是国家级非物质文化遗产代表性项目，以“一清二白三红四绿五黄”的独特风味享誉全国，是西北饮食文化中极具代表性的经典美食，也是深受各地食客喜爱的大众面食．某牛肉面馆传承本土风味，面向市民推出两款实惠套餐：A套餐为单人餐：一碗牛肉面，两小份小菜，售价14元；B套餐为双人餐：两碗牛肉面，五小份小菜，售价31元． (1)求一碗牛肉面和一小份小菜的售价分别为多少元？ (2)已知每碗牛肉面毛利润为2元，每小份小菜毛利润为0.5元．面馆每天准备的B套餐数量是A套餐数量的3倍少5份，且两种套餐总份数不超过95份．若所有套餐均可全部售出，为使当日销售利润最大，该面馆每天应准备A套餐多少份？最大利润为多少元？ 【答案】(1)一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元 (2)面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元 【分析】（1）设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，根据题意，列出不等式求出的范围，设当日总利润为，列出一次函数关系式，求最值即可. 【详解】（1）解：设一碗牛肉面的价格为元，一小份小菜的价格为元． 根据题意可得，解得，． 答：一碗牛肉面价格为8元，一小份小菜价格为3元． （2）解：设每天准备种套餐件，则准备B种套餐件，设当日总利润为． 根据题意可得， 解得：； 同时，A、B套餐数量为非负整数数，需满足，解得（m为整数）． 故（m为整数）； 则当日总利润：． ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，元， ∴面馆每天应准备25份A种套餐，最大利润为530元． 9．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 【答案】(1) ( 且 为整数 ) (2)550元 【分析】（1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题； （2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【详解】（1）解：与的函数关系式为且为整数； （2）解：∵该商场计划最多投入2300元， ∴， 解得， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大为（元）， ∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元． 10．某农户今年准备在自己的亩地中全部种植，两种农产品，经咨询农科所，情况如下表： 销售价格（元/） 亩产量（/亩） (1)农科所技术人员介绍，农产品的销售单价比农产品的销售单价高元，若该农户种植亩农产品和亩农产品的总收入将为万元，请求出两种农产品的单价； (2)该农户准备全部种植这两种农产品，已知，两种农产品的种植成本分别为元/亩和元/亩，且它们的销售成本均为元/，若要使总成本不超过元，如何安排两种农产品的种植面积，能使所获利润最大，并求出最大利润．（总成本种植成本销售成本） 【答案】(1)，两种农产品的销售单价分别为元/和元/ (2)种农产品种植亩，种农产品种植亩，能使种植农产品所获利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据相等关系列方程组求解即可； （2）设种农产品种植亩，种农产品种植亩，总利润为，根据总成本不超过元，可得，所以总利润为，根据一次函数的性质可知随的增大而减小，所以当时，总利润取得最大值，求出此时的最大利润即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ，两种农产品的销售单价分别为和5元； （2）解：设种农产品种植亩，种农产品种植亩，总利润为， 由题意得：， 化简得：， 解得：， ， ， 随的增大而减小， 当时，总利润取得最大值， 此时总利润（元）， （亩）， 答：种农产品种植亩，种农产品种植亩，能使种植农产品所获利润最大，最大利润为元． 11．某玩具店决定购进A，B两种玩偶．已知一个B种玩偶比一个A种玩偶价格贵元，玩具店用元购进A种玩偶的数量是用元购进B种玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过元再次购进A，B两种玩偶（两种都要购进）共个进行销售，且将每个A种玩偶售价定为元，每个B种玩偶售价定为元，若设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，求w关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，A、B两种玩偶各购进多少个时获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)20元；30元 (2)，自变量的取值范围为且是整数； (3)A种40个，B种80个；1680元 【分析】（1）设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设购进A种玩偶个， A、B两种玩偶全部售完所获利润为元，再结合总利润等于A、B两种玩偶的利润之和建立关系式，进一步求解的范围即可； （3）运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种玩偶的单价为元，则种玩偶的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：A种玩偶的单价为20元，则B种玩偶的单价为30元； （2）解：根据题意得：. ∵， 解得：， ∴自变量的取值范围为且是整数； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴w随的增大而减小， ∴当时，最大为元，此时， 答：购买A种玩偶40个，购买B种玩偶80个时，最大利润为1680元． 12．某海产品店计划购进A、B两种即食礼盒进行销售．按原定进价，购进1盒A种礼盒和2盒B种礼盒，则需要290元；购进2盒A种礼盒和3盒B种礼盒，则需要490元．该店销售1盒A种礼盒可获利20元，销售1盒B种礼盒可获利15元． (1)A、B两种即食礼盒每盒原定进价分别为多少元？ (2)若该店决定购进A、B两种礼盒共100盒，由于进价调整，A种礼盒实际进价比原定进价提高了，B种礼盒实际进价为原定进价的八折．若购进两种礼盒的总费用不超过8670元，该店通过调整售价保持A、B两种礼盒每盒各自的销售利润不变，请问该店如何进货可使购进的礼盒全部售出后，获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A种礼盒每盒原定进价为110元，B种礼盒每盒原定进价为90元 (2)购进A种礼盒30盒，B种礼盒70盒时获得的利润最大，最大利润为1650元 【分析】（1）根据两种购进方案的总价，设未知数后列二元一次方程组即可求解原定进价； （2）设购进A种礼盒的数量，根据总费用的限制条件列一元一次不等式，得到自变量的取值范围，再列出总利润的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出最大利润和对应的进货方案． 【详解】（1）解：设A种礼盒每盒原定进价为x元，B种礼盒每盒原定进价为y元， ∴， 解得：， ∴A种礼盒每盒原定进价为110元，B种礼盒每盒原定进价为90元． （2）解：设购进A种礼盒a盒，全部售出后获得总利润为W元，则购进B种礼盒盒， 根据题意得总利润：， A种礼盒实际进价为：（元），B种礼盒实际进价为（元）， 由总费用不超过8670元可得：， 解得：， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∴当a取最大值30时，W取得最大值， 将代入得，最大利润（元）， 此时（盒）， ∴购进A种礼盒30盒，B种礼盒70盒时获得的利润最大，最大利润为1650元． 题型3 分段函数问题 13．“数趣研习社”网络学习平台为满足不同用户的学习需求，策划了A、B两种上网学习的月收费套餐，具体收费标准如下表： 收费套餐 月使用费／元 包月上网时间／ 超时费／（元／） 5 20 0.4 0.5 设每月上网学习时间为小时，套餐A、B对应的收费金额分别为元，元． (1)如图是与之间函数关系的图象，请根据图象填空：__________，__________； (2)当时，求与之间的函数关系式． (3)已知某同学每月平均上网学习的时间为70小时，选择哪种方式上网学习合算？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)选择B方式上网学习合算，理由见解析 【分析】（1）观察函数图象，即可作答； （2）根据表格的信息列式，即可作答； （3）分别算出当每月上网时间70小时的时候，方案A，B的收费金额，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：由函数图象可知，，； （2）解：当时，； （3）解：每月上网时间为70小时，选择B方式上网学习合算，理由如下： 由图象可得， 当时，（元）， （元）， ∵， ∴如果每月上网时间70小时，选择B方式上网学习合算． 14．“兰陵大蒜”是山东知名特色农产品，也是国家地理标志产品．为推动乡村产业高质量发展，拓宽优质农产品销售渠道，某电商平台联合当地农民专业合作社开展助农专场促销活动，对兰陵大蒜实行分段计价销售：一次性购买大蒜不超过时，按原价销售；超过时，超过部分享受助农优惠价．如图为购买大蒜消费金额（元）与购买量之间的函数图象． (1)①大蒜的原价为_________元；②求当时，与之间的函数关系式． (2)某餐馆为储备食材，在活动期间一次性购买大蒜，求该餐馆比按原价购买节省多少元？ (3)某农产品经销商通过该活动采购大蒜，共支付270元，求该经销商本次采购大蒜多少千克？ 【答案】(1)18； (2)节省30元 (3)该经销商本次采购大蒜 【分析】（1）①根据图象可得答案；②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出原价花费和实际花费，再比较大小即可得答案； （3）将代入求得x值即可． 【详解】（1）解：①根据图象，当时，， ∴原价为（元）； ②根据图象，当时，与之间满足一次函数关系， 设时，与之间的函数关系式为， 将，代入，得，解得， 与之间的函数关系式为； （2）解：当时，原价花费：（元）； 实际花费：（元）； ∴（元）， 答：该餐馆比按原价购买节省30元； （3）解：， 当时，由解得． 答：该经销商本次采购大蒜． 15．西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 16．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场．目前来看，共享电动车的收费方式与共享单车差不多，两种品牌的共享电动车收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)请求出两个函数的关系式，并说明品牌的收费方案； (2)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为/小时，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (3)如果你是运营商，在不增加客户使用费用的前提下，还有其他提高利润的方法吗？（请至少写出一条） 【答案】(1)；；品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元 (2)小明选择品牌的共享电动车更省钱 (3)技术创新，提升生产工艺，降低生产成本（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）利用待定系数法求品牌的函数关系式即可；根据图象可知，品牌的函数关系式分两段求解，利用待定系数法求函数关系式即可； （2）先求出小明从家到工厂所用时间，再通过图象可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱，即可得解； （3）答案不唯一，合理即可． 【详解】（1）解：设， 把点代入中，得， 解得， ． 由图象，可知当时，． 当时，设， 把点和点代入中， 得，解得， ． 品牌的收费方案：当骑行时间不超过时，收费元；当骑行时间超过时，除了收费元之外，每多骑行，加收元． （2）解：，． 由图象，可知当骑行时间不足时，，即骑行品牌的共享电动车更省钱， ， 小明选择品牌的共享电动车更省钱． （3）解：技术创新，提升生产工艺，降低生产成本．（答案不唯一，合理即可） 17．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 18．某社团计划订购一些羽毛球和羽毛球拍，经调查发现：同一款式的羽毛球和羽毛球拍在甲、乙两家商店标价均相同．其中羽毛球拍每副标价80元，羽毛球每盒标价15元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下： 甲商店：买一副球拍赠一盒羽毛球． 乙商店：羽毛球和羽毛球拍都按标价的八五折出售． 该社团计划订购羽毛球拍6副，羽毛球盒，单独在甲商店或者乙商店购买． (1)若需订购羽毛球20盒，如果在甲商店订购，求购买羽毛球和羽毛球拍的总费用． (2)若在乙商店购买更划算，求的取值范围． 【答案】(1)元 (2)，且为正整数 【分析】（1）根据甲商店的优惠规则，确定需要付费的羽毛球数量，结合单价计算总费用； （2）分别表示出在甲、乙两店购买的总费用，根据乙商店更划算的条件列出一元一次不等式，求解后得到的取值范围． 【详解】（1）解：已知购买羽毛球拍副，羽毛球盒，． 甲商店买一副球拍赠一盒羽毛球， 因此购买副球拍赠送盒羽毛球，需要付费的羽毛球盒数为（盒）． 总费用为（元）． 答：在甲商店订购的总费用为元． （2）设购买羽毛球盒，其中，且为正整数． 在甲商店购买的总费用为： 在乙商店购买的总费用为： 因为在乙商店购买更划算，因此， 所以：， 解得． 因此的取值范围是，且为正整数． 19．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)（）； (2)60 (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 20．共享电动车是一种新理念下的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有，两种品牌的共享电动车可选择．已知：品牌电动车骑行，收费元，且；品牌电动车骑行，收费元，且，，两种品牌电动车所收费用与骑行时间之间的函数图象如图所示． (1)说明图中函数与图象的交点表示的实际意义． (2)求函数解析式中的和． (3)请直接写出当为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为8元 (2) (3)5或40 【分析】（1）函数图象的交点表示两函数值相等，即两品牌收费相同． （2）由图象可知在时的图象经过点和交点，利用待定系数法列方程组求解和． （3）分两种情况讨论：当时，；当时，．根据列方程求解，注意检验解是否在对应区间内． 【详解】（1）解：由图象可知，点的坐标为， 点表示的实际意义为：当骑行时间为时，，两种品牌的共享电动车收费都为元． （2）解：由图象可知，在时的图象经过点和点， 将和代入得： ， 解得． （3）解：当时，，， 由题意得， 即， 当时，，解得（舍去，不合题意）， 当时，，解得． 当时，，， 由题意得， 即， 整理得， 当时，，解得， 当时，，解得（舍去，不合题意）． 综上所述，当或时，两种品牌共享电动车收费相差元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $