24.4 数据的分组-【新学期对照学】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

据的中位数， 0=3.60+3.67=3.635, 6=4.10+4.15=4.125. 2 (2)解：如图所示. 收益率% 5 2 团队A团队B 由箱线图可知，团队A产品收益率的中位数 与团队B的相差不大，可知两个团队的总体 经营效益基本一样； 而团队A的产品收益率明显比团队B的收 益率的波动大，即团队B的经营水平更 稳健 故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财 产品更合适 24.4数据的分组 1.B由组内离差平方和的定义可知，需计算两 组离差平方和的总和， 2.B根据离差的意义，可知其目的是使每组组 内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可 能大 3.解：第一组数据：元=3+5+7=5，组内离差平 3 方和为(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2=8. 第二组数据：x-6+8+10=8,组内离差平方 3 和为(6-8)2+(8-8)2+(10-8)2=8， 4.解：第一组数据的平均数为(87+88+90+91+ 92+92)÷6=90, 第一组数据的离差平方和为(87-90)2+(88 90)2+(90-90)2+(91-90)2+(92-90)2+ (92-90)2=22, 第二组数据的平均数为(96+98)÷2=97， 第二组数据的离差平方和为(96-97)2+ (98-97)2=2, 所以组内离差平方和为22+2=24. 5.小大7 6.解：将4个数据按从小到大排列，可得15,15， 18,24. 把它们分成两组共有3种情况，分别计算组 内离差平方和，如表所示. 第一组离 第二组离 组内离 分组 差平方和 差平方和差平方和 第1个间隔 0 42 42 第2个间隔 0 18 18 第3个间隔 6 0 6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当 按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {15,15,18}和{24. 7.解：将这组数据按从小到大的顺序排列为 1.1,1.1,1.2,1.5,1.6,1.6,将它们分成两组 共有5种情况，分别计算组内离差平方和（结 果保留小数点后四位)，如下表所示 第一组离 第二组离组内离差 分组 差平方和 差平方和 平方和 第1个间隔 0 0.22 0.22 第2个间隔 0 0.1075 0.1075 第3个间隔 0.0067 0.0067 0.0134 第4个间隔 0.1075 0 0.1075 第5个间隔 0.22 0 0.22 观察最后一列组内离差平方和可知，当按第 3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此 按组内离差平方和最小的分法是{1.1,1.1， 1.2}和{1.5,1.6,1.6} 2Q新学期对照学数学八年级下册RJ 24.4 数据的分组 教材内容对照学 批注拓展原教材·预习听课都实用 敲黑板多 在社会生活中，分类现象普遍存在.例如，超市里各种商品按用 途不同分类摆放，宾馆根据硬件设施、服务水平等分成不同的星级， 等等.在实际问题中，当面临的对象复杂多样时，分类往往可以为我 们处理问题带来方便.对于一组取值多样的数据，对其进行合理分组， 也会有助于我们解决问题. 问题一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔 试，然后根据笔试成绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的 笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序排列如下： 58646875768385899092 你认为哪一部分应聘者应当进入面试？ 自然，应当选择笔试成绩好的应聘者进入面试.那么笔试成绩怎 样才算好呢？可以有不同的标准.例如，前三名或85分及以上等.不 管哪种标准，目的都是把笔试成绩分成好和差两组 对笔试成绩进行分组，上面提到的标准各有其合理性，在实际中 也经常被采用.但这些标准都没有考虑数据自身的特点，这可能导致 两个很接近的笔试成绩被分到不同的组.例如，83分与85分的差距 很小，若以“85分及以上”为好成绩的标准，则85分属于好成绩， 而83分属于差成绩.而从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩 相对接近的分到同一组，是一种较合理的做法.因此，笔试成绩可以 根据组内差异最小的原则进行分组 将笔试成绩按从小到大的顺序排列，使相互最接近的笔试成绩都 挨在了一起.因此，要使分组后的组内差异最小，只需在已排序数据 的基础上寻找分组方法.可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9 个间隔，如图24.4-1所示. 182|中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 58646875768385899092 敲黑板色 图24.4-1 每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法. 交思孝 怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好 和差两组的组内差异最小？ 】 在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离 散程度.下面我们利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对 数据进行分组. 一般地，设有n个数据x1,x2,…,xn,其平均数记为x,则离差 平方和为 d=(x1-元)2+(x2-x)2+…+（n-x)2. 如果把这组数据分为两组，前m（m<n)个数据为一组，后(n-m) 个数据为一组，它们的平均数分别记为x,和x2,离差平方和分别为 d=（x1-元1)2+(x2-1)P+…+（xm-元1)2， =（xm+1-3)P+(xm+2-2)P+…+(xn-G2)2, 那么 d=(x1-元)P+(62-x)2+…+(x,-x)2 =(-无+无-x}+(6-无+-x尸+…+(x-G+6-x2+(xn+1 石+2-元)）2+(xm+2-2+2-无)2+…+(x,-2+石2-元)2 =（x-G)2+(6-x}+…+(xm-x尸+(xn-a2+(xa25 )2+…+(xn-a2+m(G1-x)2+(n-m）(6-x)2 组内离差平方和 =d+d+m(低，-x)2+(n-m）(2-元)只.组间离差平方和 其中d+称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记 d2=m(1-x)2+(n-m）(2-x)2, d是m个第一组数据平均数、(n-m）个第二组数据平均数关于总 中小学A1教辅引领者1183 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 敲黑板国 体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的 差异.根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于不变，既 因方法点拨 比较各种分组情况的组 可以按+最小来分组，也可以按，最大来分组 内离差平方和的大小， 目的是使每组组内数据差异尽 最小的一组即为要分组 可能小，组间据差异尽可能大 的情况. 这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较 小的应聘者分在同一组.利用计算器或信息技术工具，可以计算出图 24.4-1中的9种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）， 如表24.4-1所示 表24.4-1 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 799.6 799.6 第2个间隔 18 503.5 521.5 第3个间隔 50.7 271.4 322.1 第4个间隔 152.8 170.8 323.6 第5个间隔 228.8 54.8 283.6 第6个间隔 411.3 26 437.3 第7个间隔 587.4 4.7 592.1 第8个间隔 819.5 2 821.5 第9个间隔 1026.2 0 1026.2 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时， 组内离差平方和最小.因此，按组内离差平方和最小的分法为 (58,64,68,75,76 和 83,85,89,90,92} 例210个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温)如 表24.4-2所示. 表24.4-2 石家 呼和 哈尔 城市 北京 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 庄 浩特 滨 平均高 3 -11 10 21 22 12 温/℃ 184|中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组 敲黑板多 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 分组的前提条件← -11-33391012172122 将它们分成两组共有9种情况，利用计算器或信息技术工具，分别 计算组内离差平方和（结果保留小数点后一位），如表24.4-3所示， 表24.4-3 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 584.2 584.2 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 290.8 第5个间隔 228.8 113.2 342 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0.5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第4个间隔分组时， 组内离差平方和最小.因此，按组内离差 平方和最小的分法为 cccecece6cece620ec06c06ce 结合地理课所学 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨)】 知识，说一说这样分 和 组合理吗？ (上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}： 合理 6练习 同练习答 1.把表24.4-2中10个城市的平均高温按组间离差平方和最大进行分 L.(北京，石家庄，呼和 组，应该如何分？结果和按组内离差平方和最小分组一致吗？ 浩特，哈尔滨)和（上 2.某年5个城市的人均生活用电量如下表所示. 海，广州，海口，成都。 贵阳，昆明.一致. 城市 A B D E 2.{A,B}和(C,D,E 人均生活用电量/ 910 886 847 812 788 (kW·h) 根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市 分为两组 中小学AI教辅引领者1185 Q新学期对照学数学八年级下册RJ 脉络梳理 梳理整合知识点·复盘沉淀更高效 组内离差平方和与组间离差平方和 数据的分组 按组内离差平方和最小或组间离差平方和最大的原则分组 课外提升对照练 精准聚焦训练点·巩固突破稳提分 知识对照 24.4数据的分组 一、组内离差平方和 4.某小组8名学生的数学考试成绩（单位：分） 1.若将排序后的数据分为两组，计算组内离 分别为88,98,87,92,92,90,91,96， 差平方和时需 老师决定将这些成绩分为两组，以便更好 A.仅计算第一组的离差平方和 地分析学生的成绩分布.若按照以下分组 B.计算两组离差平方和的总和 方式：第一组{87,88,90,91,92,92， C.仅计算最大值与最小值的差 第二组{96,98}，求组内离差平方和. D.计算两组离差平方和的平均数 2.在分组时要求“组内离差平方和最小”， 其目的是 A.使每组数据数量相等 B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数 据差异尽可能大 C.减少计算复杂度 D.保证组间均值相等 3.设有两组数据，第一组数据为3,5,7； 第二组数据为6,8,10.分别计算这两组 数据各自的组内离差平方和， 186|中小学AI教辅引领者 第二十四章数据的分析 二、组内离差平方和最小的应用 7.重点题某市6个区2025年地区生产总值 5.科研人员选出8个数据，在同等实验条 （单位：千亿元)分别是1.1,1.6,1.2,1.5， 件下，测量它们光合作用速率（单位： 1.6,1.1,根据组内离差平方和最小原则， mol·m2·s),统计结果为35,30， 把这6个区分成两组. 23,17,20,25,32,30,若根据组内离 差平方和最小的原则，将数据由 到 排序，再将这8个数据分成两组， 共可以分成 种情况. 6.中考新角度分类讨论甲、乙、丙、丁四 名学生的竞赛成绩（单位：分）如下： 15,18,15,24. 根据组内离差平方和最小的原则，将竞赛 成绩分成两组. 中小学A1教辅引领者1187