精品解析：山东济南市平阴县高级中学2025-2026学年高二5月质量检测数学试题

2024级高二5月份质量检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：A 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于BD，散点图分布总体是斜向上，故BD中对应的两个变量之间是正相关； 对于AC，散点图分布总体是斜向下，但C中散点分布较为集中， 而A中散点分布较为分散，故C中对应的两个变量相关性较强且为负相关. 3. 在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 14种 D. 28种 【答案】C 【解析】 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】4位志愿者分到两个服务站，每个站至少1人，分组情况有三种： 1人去，3人去：种 2人去，2人去：种 3人去，1人去：种 总方案数：种 4. 的展开式中的常数项是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的通项公式，得到，，从而得到的展开式中常数项的值． 【详解】的通项公式为， 当时，．当时，， 故的展开式中常数项的值为． 故选：B． 5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据 ，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由 ，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 6. 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知数据求原数据的样本中心，再确定新数据的样本中心，进而得出新的回归直线方程，再结合残差的定义计算即可. 【详解】由题意可知，旧数据，则， 增加数据后，，， 将点代入中得， ，即，则， 当时，，故残差为. 故选：D 7. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值. 【详解】依题意，合格项目的个数，则，， 由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分， 因此，， 则，又， 所以当时，取得最大值. 故选：C 8. 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性即可求解. 【详解】设，由， 得， ， 令，则， 所以函数在上单调递减，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 所以函数为上的偶函数，且， 由，得 ， 也即 ，因此，即 ， 得或，解得或 ， 则满足的的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 10. 已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中的系数和等于二项式系数和 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意可得，则，故A正确； 因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确； 令，得，令，得， 两式相减可得，故C正确； 令，则 ， 令，则，所以 ，故D不正确. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：结合函数单调性与极值定义即可得；对B：利用函数单调性及即可得；对C：构造函数，利用导数计算其单调性可得，即可得时，有；构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误； 对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为， 所以只有一个零点，所以B正确； 对于C，当时，，令， 则，可知在上单调递减，在上单调递增，， 所以，所以， ，故C错误； 对于D，，即， 设，则问题可转化为， 因为是上的增函数，所以，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，于是，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，结合概率公式，可得答案. 【详解】由身高近似服从正态分布，则， 所以， 可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）. 故答案为：. 13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 14. 为提高学生的身体素质，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复，记某同学第n天选择水果的概率为,则=_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式可得递推公式，再构造并证明求出. 【详解】依题意，， 由，而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故数列的通项公式为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 （1）完善上面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）分布列见解析，期望为1. 【解析】 【分析】（1）由已知数据填写列联表，计算出，与临界值比较可得； （2）由分层抽样得随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人，的可能值依次为，计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望. 【小问1详解】 由已知列联表如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 30 150 不是每天都整理数学错题人数 60 90 150 合计 180 120 300 ， 依据的独立性检验，有99%的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关” 【小问2详解】 随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人， 所以的可能值依次为， ，，， 的分布列为： 0 1 2 . 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）若在上恒成立，求k的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用极值点求出并验证即可. （2）求出函数的单调区间，进而求出在上的最大值即可. 【小问1详解】 函数，求导得， 由在处取得极值，得，解得， 此时，当时，，当或时，， 即函数在处取得极值，所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，因此，， 不等式在上恒成立，则在上恒成立，， 所以k的取值范围是. 17. 如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求AI智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ， （3）该系统会得到推广，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式，结合问题清晰与不清晰两种情况的采纳概率即可求解； （2）由二项分布概率模型，计算各可能次数的概率及期望、方差； （3）根据二项分布期望公式求出10个问题的总得分期望，并与75比较得出结论. 【小问1详解】 设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， 则； 【小问2详解】 由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ，； 【小问3详解】 随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分， 则， 满足推广条件，因此该系统会得到推广. 18. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且满足，证明：． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）由题意，记，那么，是 的两根， 由 ，，则 ， 令，解得， 若，则；若，则， 在上单调递增，在上单调递减， ，要证，只需证， 只需证①， 令，求导得：， 当时，，则 ， 此时，则在上单调递增， ，则，即①式得证，故命题得证. 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数单调性，可求得函数的极值； （2）求导，利用导数分析函数单调性； （3）转化不等式，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 的定义域为， 当 时，， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 ， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增， 当时，若时，，则在上单调递增； 若时，，则在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 略 19. 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）两局后比赛终止有两种情况：先平后胜达到 30 分或两负达到 0 分，利用相互独立事件概率公式计算； （2）先求出 3 局后比赛终止的概率以及 3 局后挑战成功的概率，再利用条件概率公式计算； （3）根据获奖金额确定胜的局数，再结合比赛终止条件得到比赛局数与胜、负局数的关系，从而得出概率表达式，进而求最大值. 【小问1详解】 设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件， 因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． 【小问2详解】 设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为 ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． 【小问3详解】 因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”的顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率 ，． 所以． 因为，所以， 所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高二5月份质量检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 14种 D. 28种 4. 的展开式中的常数项是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ） A. B. 展开式中的系数和等于二项式系数和 C. D. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 14. 为提高学生的身体素质，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复，记某同学第n天选择水果的概率为,则=_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 （1）完善上面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）若在上恒成立，求k的取值范围． 17. 如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求AI智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； （3）公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 18. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且满足，证明：． 19. 某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $