山东济南市平阴县高级中学2025-2026学年高二5月质量检测数学试题

**基本信息** 高二5月数学月考卷聚焦函数与概率统计核心知识，融入宁波马拉松、AI客服等现实情境，通过基础巩固到创新应用的分层设计，考查数学眼光观察、思维推理与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求值、线性相关、排列组合|基础概念与情境结合（如第3题志愿者分配）| |多选题|3/18|随机变量分布列、二项式定理|多角度辨析（如第11题函数极值与零点）| |填空题|3/15|正态分布、切线方程、概率递推|知识迁移应用（如第14题营养餐选择概率）| |解答题|5/77|独立性检验、导数应用、概率模型|综合实践与创新（如17题AI客服概率分布，19题比赛积分问题）|

2024级高二5月份质量检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是 正确的 1.己知函数f)=e-x,则mf+A0-f0-（)】 △r-0 △x A.e-2 B.e-1 C.e+1 D.e+2 2.对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是() 珠 珠 604 60 60 60· 50 5 50P.°··· 40 0 40 30 3 30 30。。· 20 20.·. 10F 。。 10g·· 20H 10 0102030405060 0102030405060元 0102030405060 0102030405060元 图①（相关系数r) 图②（相关系数r2) 图③（相关系数3） 图④（相关系数r4) A.5 B.3 C.53 D.r 3.在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站， 若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有(） A.6种 B.12种 C.14种 D.28种 420+的展开式中的常数项是（ A.12 B.8 C.-8 D.-12 5.已知函数f(x)=e-(a+1)nx在区间(L,4)上单调递增，则a的取值范围是() A.(-o,e-1] B.（-o,4e4-1 C.(-o,e-1) D.（-o,4e4-1) 6.已知变量x,y线性相关，其一组样本数据(，)=1,26)满足∑=30，用最小二乘法得到的 经验回归方程为y=x-1,若增加一个数据(-2,4)后，得到新的经验回归方程y=2x+a,则此时数据 (3,4)的残差为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目.已知甲同学每个项目合格的概率均为(0<p<), 合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立.设6个项目测试完后甲的总得分为Y,期 望为E(Y),方差为D(Y),当E(Y)+DY)最大时，p=() A.3 B. c 2 D. 8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，x,x∈[0，+∞)，且x≠x2 f()-f(<2(x+x)恒成立， X1-X2 f(I)=2,则满足f(na)≤2na)?的a的取值范围为() o.le.) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知离散型随机变量X的分布列为： X -1 0 2 P a 2a a b 且(X)方则( 1 A.a=3 8.b=J CD(X)=号 D.P0Xs-是 10.已知(3x-1)”=a,+4x+4,x2++a,x”,且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确 的是( ) A.n=9 B.展开式中的系数和等于二项式系数和 C.4+a3+a5+4+ag=28+2×48 0.3+ +%++0=0 11.已知函数f(x)=e"m+(m-1)x-lnx,下列结论正确的是( A.当m=0时，f(x)有极值B.当m=0时，f(x)只有一个零点C.当m=2时，x>0,f(x)=1 D.若对任意的x>0,都有f(x)≥0，则实数m的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某校高三学生共1000人，其身高近似服从正态分布N(170,25)(单位：cm),身高大于175cm称为“高 个子”，则全校高三学生中“高个子"的学生人数约为人.（参考数据：P(u-σ<X≤+o)≈0.6826， 结果保留整数) 1B.已知曲线y-n(2x)在点〔合0处的切线也是曲线y=e1+-a的切线，则a= 14.为提高学生的身体素质，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选 择其中一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为？，选择牛奶的概率为号而前一天 选择水果第二天选择水果的概率为}，选择牛奶的概率为}：前一天选择牛奶第二天选择水果的概率 为2，选择牛奶的概率也是)，如此往复，记某同学第n天选择水果的概率为P,则P,= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同 学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数 学错题的情况，统计得到部分数据如下： 数学成绩总评优秀情况 整理数学错题情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 (1)完善上面2×2列联表，依据=0.01的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整 理数学错题有关”； (2)采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中 选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X,求X的分布列及数学期望. n(ad-be)" 附：X= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2 0.10 001 0.001 P(x2≥a) 2.706 6.635 10.828 16.(15分)已知函数f(x)=e*(x2-2ax+1)在x=1处取得极值. (1)求实数a的值： (2)若f(x)-k≤0在(-o0,2]上恒成立，求k的取值范围. 17.(15分)如今，A1赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员A1助手”可实现批量外呼、分堆播 报等功能.圆通速递的A!智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、 理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时， A1智能客服的回答被采纳的概率为？：当输入的问题表达不清晰时，A1智能客服的回答被采纳的概率 仅为？，已知输入的问题表达不清晰的概率为；·每次回答是否被采纳相互独立. (1)求A1智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设X表示A!智能客服的回答被采纳的次数，求X的分布列及期望、 方差： (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，A1智能客服的回答每被采纳1 次计10分，不采纳则不计分.记被采纳的回答数的总得分为Y,若E(Y)≥75，则推广使用该功能.试 推断该功能是否会得到推广，请说明理由. 18.(17分)已知函数f(x)=lnx-mx2+(1-2m)x+1,8(x)=x(3-lnx). (1)若m=1,求f(x)的极值： (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若0<<x2,且满足8(x)=g(x2),证明：x+x2>22. 19.(17分)某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局 比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分.当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当 选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛选手胜、平、负的概率分 行且各局比寒相互独立 别为于 (1)求两局后比赛终止的概率； (2)在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； (3)在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元.记n(n≥10)局后比赛终止且选手获奖1万元的概 率为P(n),求P(n)的最大值.2024级高二5月份质量检测数学试题答案 1-8A B C B AD C C 9.BCD 10.ABC 11.BD 12.13 13.114. 8。【详解】设x>与，由 f)f<2(x+),得f(f()<2-)， X1-X2 ∴f(x)-2x2<f(x)-2x令8(x)=f(x)-2x2,则g(x)<g(x),所以函数8(x)在[0，+w)上单调递减， 因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(-x)=f(x),所以g(-x)=f(-x)-2(-x)2=f(x)-2x2=8(x), 所以函数g(x)为R上的偶函数，且g(1)=f(I)-2=2-2=0,由f(lna)≤2lna)2,得：f(Ina）-2(na)2≤0， ∴glna)s0.∴g(na)≤g(（),na≥l,na≥l或na≤-l,解得a≥e或0<as故选：c 11.【详解】对于A,当m=0时，f()=1-x-Inx(x>0),则f'(x)=-1-1<0, 所以∫(x)在(0，+o)上单调递减，所以函数无极值，A错误： 对于B,由选项A可知，f(x)在(0，+o)上单调递减，又因为f(I)=0,所以∫(x)只有一个零点，所以B正确： 对于C,当m=2时，f(w=e2+x-nx,令m)=x-1-nx,则m()=1-1-- 可知(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增，m(x)≥m(1)=0,所以x-1≥nx,所以x>0, f(x)=e2+x-nx≥e2+x+1-x=e2x+1>1,故C错误； 对于D,f(x)=e"m+x-(x+lnx)≥0，即emr+x≥x+lnx,设8(x)=x+lnx(x>O),则问题可转化为 8(e“)≥g),因为8(x)=x+lnx是0，+0)上的增函数，所以em≥x>0,即m≥血(x>0)恒成立， 设-hx>0.则(-，当xeQe,)小0.M)单调递城，当xce+o时，)0。 草调该所以=e-。于是me&口） 1 故D正确. 31 14.依题意，P=4P.+20-P,)=4P,+2 2 21 2 21 所以数列口导是以为首项。为公比的等比数列，以号子分，数列n}的通项公式为 2x白 p=334 15.(1)由已知列联表如下： 数学成绩总评优秀情况 整理数学错题情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 30 150 不是每天都整理数学错题人数 60 90 150 合计 180 120 300 零假设H。：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关 300×(120×90-60x30-50>6635, 150×150×180×120 根据小概率值0=0.01的独立性检验，推断零假设H。不成立，即认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有 关”，此推断犯错误的概率不超过0.01. (2)随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人， 所以X的可能值依次为0,1,2， X的分布列为： X 0 1 2 5 3-5 5 区x0=1+2×写1 16.(1)函数f(x)=e(x2-2ax+1),求导得f'(x)=e[x2-2(a-1)x+1-2a], 由f(x)在x=1处取得极值，得f'I)=e(4-4a)=0,解得a=1, 此时f'(x)=e(x2-1),当-1<x<1时，f'(x)<0,当x<-1或x>1时，f'(x)>0, 即函数f(x)在x=1处取得极值，所以a=1. (2)由(1)知，函数f(x)=e(x2-2x+1)在(-1,1)上单调递减，在(-0，-1)，(L,+oo)上单调递增， 当xe(m2时.f-0-f2)-e,因tx(w2,f≤f2)-e, 不等式f(x)-k≤0在(-o,2]上恒成立，则k≥f(x)在(-o,2]上恒成立，k≥e2, 所以k的取值范围是k≥e2. 17.【详解】(1)设事件A表示回答被采纳，事件B表示问题表达清晰， 则P国-写PB-手PAB-名PA= -2分 则P)P4@Pe到+P4回P@名5 -4分 (2)由(1)知每个问题的回答被采纳的概率p=,且每次回答是否被采纳相互独立， 5 因此统机变量X服从二限分布X~网3)】 --5分 则x==c())Px=)=c)周=品 Px2ce周sPxc X的分布列为： X 0 1 3 1 12 48 64 125 125 125 125 -9分 E(X)=p=3x42,1 -11分 55 (3)随机抽取10个问题，设被采纳的次数为5，则有子~0引，总得分Y-1,-1B分 则E)=10e(5=10:个0)-075， --14分 满足推广条件，因此该系统会得到推广. -15分 18.(1)f(x)的定义域为(0，+0)， 当m=1时，f(x)=nx-x2-x+1, 令f'=2x-1=-+X2x-D=0,解得x=-1,x= 2 当0<<时，f)>0,则)在02 上单调递增； 当x时，f<0,则fu在分四上单调遥减 在时得极大为f付}h2.无极小直 (2)f'W=1-2x+1-2m=- 2mr2+(2m-1)x-1_-(2mx-lx+D(cx>0, 当m≤0时，f'(x)>0在(0，+o)上恒成立，此时f(x)在(0，+o)上单调递增， 1 当m>0时，若0<x<2m时，f)>0,则f在0三 2m 上单调递增； <x时，f'(x)<0,则f(x)在 上单调递减； 2m 1 综上可知：当m≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增；当m>0时，f(x)在0， 上单调递增，在 2m) 21m 单调递减 (3)由题意，记g(x)=g(:)=u,那么x,x是x(3-lnx)=u的两根， g(x)=x3-nx),求导得g'(x)=2-lnx, 令g'(x)>0,解得x=e2, 若g(x)>0,则x<e2:若g'(x)<0,则x>e2,∴.g(x)在(0，e2)上单调递增，在(e2,+∞)上单调递减， 不妨设0<x<e2<为，要证x+x>2e2,只需证x2>2e2-x>e2, 只需证8(x2)=g(x)<8(2e2-x)①， 令G(x)=g(x)-g(2e2-x),求导得：G(x)=(2-lnx)-2-ln(2e2-x](-I)=4-ln(-2+2ex), 当x∈(0，e2)时，-x2+2e2x∈(0，e4),ln(-x2+2e2x<4, ∴.此时G(x)>0,G(x)在(0，e2)上单调递增， ∴.G(x)<G(e2)=0,即①式得证，故命题得证. 19.(1)设每局比赛甲胜为事件A,每局比赛甲平为事件B,每局比赛甲负为事件C,(i∈N), 设“两局后比赛终止”为事件M,因为棋手与机器人比赛2局，所以棋手可能得0分或30分比赛终止 (i)当棋手得分为0分，则2局均负，即CC2: (i)当棋手得分为30分，则2局先平后胜，即BA2· 因为CC2、BA互斥，所以P(M)=P(CC2+BA)=P(CC2)+P(BA2) CC)+raPr)〈④-}6 3 所以两局后比赛终止的概率为 16 (2)设“3局后比赛终止”为事件D,“3局后棋手挑战成功”为事件E, 因为P(D)=P(BB2A+BC,C3+CAA+CBC3) 日+++好8 )-P(BBA+CA)- 3 所以在3后后比赛绕止的条件下，棋手桃战成功的率为：P(ED)D P(DE)P(E)_32_3 P(D)14 8 所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为} (3)因为n局获奖励1万元，说明甲共胜2局. (i)当棋手第n局以0分比赛终止，说明前n-1局中有3负2胜， 且是“负胜负胜负”顺序，其余均为平局，共有C种， (ii)当棋手第n局以30分比赛终止，说明前n-1局中有1负1胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有C,种， 则“n(n≥10)局后比赛终止且棋手获得1万元奖励'的概率 Pa侧=e周用c-2saw. 22m-2 P(n+1)1 C2+C 所以Pm4C2+C C+C-4C21-4C1=(C-4C2)+(C-4C) _(n-1(8-3m）(n-1)(n-2)n-3)n-4)(20-3m） 2 120 因为n≥10，所以C+C-4C-4C1<0,所 P(n+<l,所以P(n)单调递减， P(n) 所以当n=10时，Pm)取最大值为P10)= 217 2024级高二5月份质量检测数学试题答案 1-8.A B C B A D C C 9.BCD 10.ABC 11.BD 12. 13.1 14. 8. 【详解】设，由，得， 令，则，所以函数在上单调递减，因为是定义在上的偶函数，所以，所以， 所以函数为上的偶函数，且，由，得：，，，或，解得或 故选：C 11.【详解】对于A，当时，，则， 所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误； 对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为，所以只有一个零点，所以B正确； 对于C，当时，，令，则， 可知在上单调递减，在上单调递增，，所以，所以， ，故C错误； 对于D，，即，设，则问题可转化为，因为是上的增函数，所以，即恒成立， 设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，于是，故D正确. 14. 依题意，， 由，而， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，，数列的通项公式为. 15.（1）由已知列联表如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 30 150 不是每天都整理数学错题人数 60 90 150 合计 180 120 300 零假设：数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题无关 ， 根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”， 此推断犯错误的概率不超过0.01. （2）随机抽取的6名学生中，每天都整理数学错题的有4人，不是每天都整理数学错题的有2人， 所以的可能值依次为， ，，， 的分布列为： 0 1 2 . 16.（1）函数，求导得， 由在处取得极值，得，解得， 此时，当时，，当或时，， 即函数在处取得极值，所以. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，，因此，， 不等式在上恒成立，则在上恒成立，， 所以k的取值范围是. 17．【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰， 则， --------------------------------------------2分 则； ---------------------------4分 （2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立， 因此随机变量服从二项分布， ------------------------------------------------5分 则，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 -------------------------------------------9分 ，；---------------------------11分 （3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分，--13分 则， --------------------------------------------------14分 满足推广条件，因此该系统会得到推广. ---------------------------------------------------15分 18. （1）的定义域为， 当 时，， 令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 在时取得极大值为，无极小值． （2）， 当时，在上恒成立，此时在上单调递增， 当时，若时，，则在上单调递增； 若时，，则在上单调递减； 综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由题意，记，那么，是的两根， ，求导得， 令，解得， 若，则；若，则，在上单调递增，在上单调递减， 不妨设，要证，只需证， 只需证①， 令，求导得：， 当时，，， 此时，在上单调递增， ，即①式得证，故命题得证． 19. （1）设每局比赛甲胜为事件，每局比赛甲平为事件，每局比赛甲负为事件， 设“两局后比赛终止”为事件，因为棋手与机器人比赛局，所以棋手可能得分或30分比赛终止． （i）当棋手得分为分，则局均负，即； （ii）当棋手得分为30分，则局先平后胜，即． 因为、互斥，所以 ． 所以两局后比赛终止的概率为． （2）设“局后比赛终止”为事件，“局后棋手挑战成功”为事件． 因为 ， ． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为：． 所以在局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为． （3）因为局获奖励万元，说明甲共胜局． （i）当棋手第局以分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是“负胜负胜负”顺序，其余均为平局，共有种， （ii）当棋手第局以30分比赛终止，说明前局中有负胜， 且是先负后胜的顺序，其余均为平局，共有种， 则“局后比赛终止且棋手获得万元奖励”的概率，． 所以． 因为，所以，所以，所以单调递减， 所以当时，取最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 高二年级下学期5月份阶段性检测 数学答题卡 班级 姓名 考号 条形码 一、 单项选择题 1 [A] [B] [c] 5 [A] [B] [C] [D] [D] 6 [A] [B] [c] [D] 2 [A] [B] [c] [A] [B] [c] [D] [D] 8 [A] [B] [c] [D] 3 [A] [B] [c] 二、 多项选择题： 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] rn 三、填空题： 12 13. 14 15. (13分) (1) 数学成绩总评优秀情况 整理数学错题情况 数学成绩总评 数学成绩总评非 合计 优秀人数 优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人 90 数 150 合计 300 ■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 18.(17分) ■ 19.(17分) 2024级高二5月份质量检测数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 对四组数据进行统计，获得如图散点图，其中线性相关性比较强且负相关的是（ ） A. B. C. D. 3．在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（     ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 4. 的展开式中的常数项是（ ） A. 12 B. 8 C. D. 5. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量，线性相关，其一组样本数据满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为，若增加一个数据后，得到新的经验回归方程，则此时数据的残差为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（ ） A. B. C. D. 10．已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（      ） A． B．展开式中的系数和等于二项式系数和 C． D． 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 14.为提高学生的身体素质，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复，记某同学第n天选择水果的概率为,则=_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）为了研究高中生每天整理数学错题与数学成绩的关系，我市某校数学建模兴趣小组的同学在本校高二年级学生中采用随机抽样的方法抽取了300名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，统计得到部分数据如下： 整理数学错题情况 数学成绩总评优秀情况 合计 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 （1）完善上面列联表，依据的独立性检验，能否认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； （2）采用分层随机抽样的方法从数学成绩总评优秀的学生中随机抽取6名学生，再从这6名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中不是每天都整理数学错题的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附： 0.10 001 0.001 2.706 6.635 10.828 16.（15分）已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）若在上恒成立，求k的取值范围． 17．（15分）如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． (1)求AI智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差； (3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由． 18.（17分）已知函数，． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若，且满足，证明：． 19. （17分）某选手参加一项人工智能机器人PK比赛，规则如下：该选手的初始分为20分，每局比赛，该选手胜加10分；平局不得分；负减10分．当选手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当选手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续．已知每局比赛选手胜、平、负的概率分别为，且各局比赛相互独立. （1）求两局后比赛终止的概率； （2）在3局后比赛终止的条件下，求选手挑战成功的概率； （3）在挑战过程中，选手每胜1局，获奖5千元．记局后比赛终止且选手获奖1万元的概率为，求的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $高二年级下学期5月份阶段性检测 数学答题卡 班级 姓名 考号 条形码 一、单项选择题 1[A] [B] [C] [D] 5[A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [c] [D] 6[A [B] [c] [D] 3 [A] [B] [c] [D] [A] [B] [c] [D] 4[A] [B] [c] [D] 8[A] [B] [c] [D] 二、多项选择题： 9[A] [B][C] [D] 10[A] [B] [c] [D] 11[A] [B] [c] [D] 三、填空题： 12. 13. 14 请勿在框线外作答 15.(13分) (1) 数学成绩总评优秀情况 整理数学错题情况 数学成绩总评 数学成绩总评非 合计 优秀人数 优秀人数 每天都整理数学错题人数 120 不是每天都整理数学错题人数 90 150 合计 300 数学答题卡第1页/共2页 16.(15分) 请勿在框线外作答 17.(15分) 请勿在框线外作答 18.(17分) 数学答题卡第2页/共2页 19.(17分) 请勿在框线外作答