2.2.1算术平方根（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“算术平方根”，涵盖定义、双重非负性及(√a)²=a等核心知识点。通过“正方形画布边长”情境导入和x²=2等问题填空，结合知识点回顾、例题解析、跟踪训练等学习支架，构建从概念到性质再到应用的完整脉络。 其亮点在于情境导入贴近生活，培养抽象能力，分层设计基础题、提优题及综合应用题，提升运算能力。通过对比表格辨析(√a)²与√a²，发展推理意识，易错点总结助力学生规避错误。学生能夯实基础、提升思维，教师可直接用于教学，提高效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.2.1算术平方根 第二章 实数 北师大版八年级上册2.2.1 算术平方根 练习题 【核心知识点回顾】 1. 算术平方根定义：一般地，如果一个正数$$x$$的平方等于$$a$$，即$$x^2=a$$，那么这个正数$$x$$就叫做$$a$$的算术平方根。记作$$\sqrt{a}$$，读作“根号$$a$$”。 2. 特殊规定：0的算术平方根是0，即$$\sqrt{0}=0$$。 3. 取值范围：被开方数$$a\geq0$$，算术平方根$$\sqrt{a}\geq0$$，具有双重非负性，负数没有算术平方根。 4. 基础公式：$$(\sqrt{a})^2=a\ (a\geq0)$$，常用于化简和计算。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 9的算术平方根是（） A. $$\pm3$$ B. 3 C. $$-3$$ D. 81 2. 下列数中，没有算术平方根的是（） A. 0 B. 1.44 C. $$-4$$ D. $$\sqrt{4}$$ 3. 式子$$\sqrt{x-3}$$有意义，则$$x$$的取值范围是（） A. $$x\geq3$$ B. $$x\leq3$$ C. $$x&gt;3$$ D. $$x<3$$ 4. 下列说法正确的是（） A. 算术平方根一定是正数 B. 负数的算术平方根是负数 C. 0的算术平方根是0 D. 正数有两个算术平方根 5. $$(\sqrt{16})^2$$的值为（） A. 4 B. 16 C. $$\pm4$$ D. 8 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 25的算术平方根是________。 2. 算术平方根等于它本身的数是________。 3. 若$$\sqrt{x}=5$$，则$$x=$$________。 4. $$\sqrt{1}$$的结果是________。 5. 若$$\sqrt{a-2}=0$$，则$$a=$$________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）求出下列各数的算术平方根：（1）64 （2）0.49 （3）$$\frac{36}{81}$$ （4）0 2.（20分）计算下列各式的值：（1）$$(\sqrt{121})^2$$ （2）$$\sqrt{25}-\sqrt{9}$$ 3.（20分）已知$$\sqrt{x-4}+\sqrt{y+1}=0$$，求$$x、y$$的值。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 填空题答案：1.5 2.0和1 3.25 4.1 5.2 解答题解析 1. 解：（1）因为$$8^2=64$$，所以64的算术平方根是8；（2）因为$$0.7^2=0.49$$，所以0.49的算术平方根是0.7；（3）因为$$(\frac{6}{9})^2=\frac{36}{81}$$，所以该数算术平方根是$$\frac{2}{3}$$；（4）0的算术平方根是0。 2. 解：（1）$$(\sqrt{121})^2=121$$；（2）$$\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$$。 3. 解：算术平方根具有非负性，两个非负数相加为0，则两个数分别为0。即$$x-4=0，y+1=0$$，解得$$x=4，y=-1$$。 ### 易错知识总结 1. 算术平方根只有非负值，区别于平方根，切勿多写负号；2. 被开方数必须非负，负数无算术平方根；3. 0和1的算术平方根是本身，是常考特殊值；4. 多个算术平方根相加为0，利用非负性可求解未知数。 通过了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，发展运算能力． 会根据平方运算求某些非负数的算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维． 通过让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力； 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 情境导入 一级标题：黑体， 3 问题 根据下图填空： x2＝____，y2＝____， z2＝____，w2＝____． 2 3 4 5 思考 x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数?你能表示它们吗? z是有理数，x，y，w 是无理数. x2＝____，y2＝____， z2＝____，w2＝____． 2 3 4 5 知识点1 算术平方根 5 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作,读作“根号a”. 特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即=0. 知识点1 算术平方根 根号 被开方数 a的算术平方根 6 知识点1 算术平方根 举例：32=9，所以9的算术平方根是3. 在x2＝2，y2＝3，z2＝4，w2＝5中，正数x，y，z，w 可表示为x=，y= ，z=2，w= . 7 例1 求下列各数的算术平方根： (1)900；(2)1；(3) ；(4)14. 解：(1)因为 302=900，所以900的算术平方根是30，即=30； (2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即=1； (3)因为() 2= ，所以的算术平方根是，即= ； (4)14的算术平方根是. 知识点1 算术平方根 8 跟踪训练 求下列各数的算术平方根： (1)0.64； (2)； (3)(-9)2. 解：(1)=0.8； (2)=； (3)=9. 为什么不是-9呢？ 知识点1 算术平方根 9 思考 (1)在上面例1中，一些数的算术平方根的结果没有“”了，这些数有什么特点? 这些数都是平方数. =30；=1；= ； 14的算术平方根是. 知识点2 算术平方根的性质 10 是什么数？其中a可以取任何数吗？ a 的算术平方根 ≥0，是非负数 a≥0，被开方数a是非负数 算术平方根的双重非负性 知识点2 算术平方根的性质 11 (2)在上面例1中，=30，也就是=30.一般地，当a≥0时，=a成立吗?a<0时，=a还成立吗? 当a≥0时，=a；当a<0时，=-a. 即对于任意数a，=|a|. 知识点2 算术平方根的性质 =9 12 (3)()=a成立吗?这里的a是什么数? 负数没有算术平方根，被开方数a是非负数. 当a≥0时，()²=a 知识点2 算术平方根的性质 13 辨析 ()与的相同点与不同点 () 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方 表示数a的平方的算术平方根 包含的运算顺序 先求算术平方根再平方 先平方再求算术平方根 a的取值范围 a≥0 a为任意数 结果的表达形式 ()²=a(a≥0) =|a| 知识点2 算术平方根的性质 14 ()与的相同点与不同点 相同点 ()和的结果都是非负数， 且当a≥0时，()= 知识点2 算术平方根的性质 15 例1 由静止自由下落的物体下落的距离s(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系为s=4.9t2.有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间? 解：将s=19.6代入公式s=4.9t2， 得t2=4， 所以t==2. 因此，铁球到达地面需要2 s. 知识点2 算术平方根的性质 16 知识点1 算术平方根 1.如果m没有算术平方根，那么m可以是(　　) A.－52　　 B.｜－5｜　　 C.(－5)2　　 D.－(－5) 返回 A 基础提优题 2.下列说法中不正确的有(　　) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1； ③a2的算术平方根是a； ④(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π； ⑤算术平方根不可能是负数. A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个 返回 C 基础提优题 3. (1)10－6的算术平方根是　　　　； (2)的算术平方根是　　　　. 返回 10－3 本题易误认为是求的算术平方根而出错，遇到类似求的算术平方根时，要先开方，再对开方后的数求其算术平方根. 基础提优题 4.［2026扬州期中］已知是2a－1的算术平方根，3是3a＋2b－3的算术平方根，则a＋2b的算术平方根是　　　　. 返回 【点拨】因为是2a－1的算术平方根，所以2a－1＝5，解得a＝3.因为3是3a＋2b－3的算术平方根，所以3a＋2b－3＝9，解得b＝，所以a＋2b＝6，所以a＋2b的算术平方根为. 基础提优题 知识点2 算术平方根的非负性 5.［2026杭州萧山区期中］若(x＋5)2＋｜y－2｜＋＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A.0 　　 B.－6 　　 C.－4 　　 D.2 返回 B 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0. 基础提优题 6.已知y＝＋－3，则2xy的值为(　　) A.－15　　 B.15　　 C.－　　 D. 返回 A 基础提优题 7.当a＝　　　　时，代数式 －3有最小值　　　　. 返回 － －3 基础提优题 知识点3 ()2与的性质 8.下列计算正确的是(　　) A.(－)2＝64　　　 B.＝±25 C.＝3　　　 D.－＝－8 返回 D 基础提优题 9.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简－－＝　　 　　. 返回 －2a＋b＋4 基础提优题 【点拨】由数轴可知b＜－2，0＜a＜2， 所以a－2＜0，b＋2＜0， 所以－－ ＝－(a－2)＋(b＋2)－a ＝－2a＋b＋4. 返回 基础提优题 知识点4 算术平方根的实际应用 10. 电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)，导线电阻R(单位：Ω)，通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q＝I2Rt.若导线电阻为5 Ω，通电时间为1 s，导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？ 返回 基础提优题 【解】把R＝5 Ω，t＝1 s，Q＝80 J代入Q＝I2Rt， 得80＝I2×5×1， 所以I2＝＝16，所以I＝4 A. 所以电流I的值为4 A. 返回 基础提优题 11.若＝3，｜b｜＝5，且ab＜0，则a＋b的算术平方根为 (　　) A.4　　 B.2　　 C.±2　　 D.3 返回 B 综合应用题 返回 综合应用题 12. 已知Rt△ABC 的三边长分别为a，b，c，且满足＋b2＋16＝8 b，则c的值为(　　) A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.或5 D 返回 综合应用题 【点拨】因为＋b2＋16＝8b，所以＋b2－8b＋16＝0，所以＋2＝0，所以a－3＝0，b－4＝0，所以a＝3，b＝4.当a＝3，b＝4为直角边时，c＝＝5；当b＝4为斜边时，c＝＝.综上可知，c的值为或 5. 返回 综合应用题 13.直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长为　　　　步.(一亩＝240平方步) 60 返回 综合应用题 算术平方根 性质 定义 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根. 1.负数没有算术平方根. 2.具有双重非负性： ①被开方数a是非负数，即a≥0； ② 是非负数，即≥0. 3.当a≥0 时， =a，()²=a； 当a<0时，=-a. 课堂小结 $