2.2.2平方根（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方根”核心知识点，涵盖定义、性质、表示方法及与算术平方根的区别。课堂通过“平方等于9的数有哪些”等问题导入，以平方与开平方的逆运算为支架，衔接平方运算与平方根概念，构建知识脉络。 其亮点在于用对比表格明晰平方根与算术平方根的异同，结合分层练习（如基础题判断平方根、提优题含参数问题）和易错总结，培养抽象能力、推理能力与运算能力。学生能精准掌握概念，教师可利用系统资料提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.2.2平方根 第二章 实数 北师大版八年级上册2.2.2 平方根 练习题 【核心知识点回顾】 1. 平方根定义：如果一个数的平方等于$$a$$（$$a\geq0$$），即$$x^2=a$$，那么这个数$$x$$叫做$$a$$的平方根，也叫二次方根。 2. 平方根性质：正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。 3. 表示方法：正数$$a$$的算术平方根记作$$\sqrt{a}$$，负平方根记作$$-\sqrt{a}$$，整体平方根记作$$\pm\sqrt{a}$$。 4. 核心公式：$$(\sqrt{a})^2=a$$（$$a\geq0$$）；$$\sqrt{a^2}=|a|$$。 5. 重难点区分：算术平方根只有一个非负值，平方根成对出现、一正一负，做题严禁混淆两个概念。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 16的平方根是（） A. 4 B. $$\pm4$$ C. -4 D. 8 2. 下列说法正确的是（） A. 任意数都有两个平方根 B. 负数的平方根是负数 C. 0的平方根是0 D. 平方根等于本身的数是1和0 3. $$\pm\sqrt{81}$$的值为（） A. 9 B. $$\pm9$$ C. 3 D. $$\pm3$$ 4. 若一个数的平方根是$$\pm5$$，则这个数是（） A. 10 B. 25 C.$$\pm25$$ D. 5 5. 下列式子无意义的是（） A. $$\sqrt{0}$$ B. $$\sqrt{-9}$$ C. $$\sqrt{16}$$ D. $$\pm\sqrt{0.25}$$ ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 49的平方根是________，算术平方根是________。 2. 平方根等于它本身的数是________。 3. 若$$x^2=36$$，则$$x=$$________。 4. 一个正数的两个平方根分别为$$a$$和$$a-4$$，则$$a=$$________。 5. $$\sqrt{(-7)^2}=$$________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）求下列各数的平方根：（1）100 （2）0.81 （3）$$\frac{4}{9}$$ （4）0 2.（20分）计算下列各式的值：（1）$$\pm\sqrt{144}$$ （2）$$\sqrt{64}-\pm\sqrt{25}$$ 3.（20分）已知一个正数的两个平方根分别是$$2m+1$$和$$m-4$$，求这个正数。 ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.C 3.B 4.B 5.B 填空题答案：1.$$\pm7$$、7 2.0 3.$$\pm6$$ 4.2 5.7 解答题解析 1. 解：（1）$$\pm\sqrt{100}=\pm10$$；（2）$$\pm\sqrt{0.81}=\pm0.9$$；（3）$$\pm\sqrt{\frac{4}{9}}=\pm\frac{2}{3}$$；（4）0的平方根是0。 2. 解：（1）$$\pm\sqrt{144}=\pm12$$；（2）原式$$=8-(\pm5)$$，结果为$$13$$或$$3$$。 3. 解：正数的两个平方根互为相反数，和为0。列方程：$$2m+1+m-4=0$$，解得$$m=1$$。代入得平方根为3和-3，这个正数为$$3^2=9$$。 ### 易错知识总结 1. 审题区分关键词：问“平方根”必须带$$\pm$$，问“算术平方根”只取正数；2. 正数两平方根互为相反数，可利用和为0求参数；3. 负数没有平方根，被开方数恒非负；4. $$\sqrt{a^2}$$化简必须加绝对值，避免符号错误。 了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系，发展抽象能力． 通过阅读课本，进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系，发展学生的推理能力． 通过经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，还巩固和提高所学知识的应用能力 问题 (1)3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗? -3的平方也是9. (2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢? 平方等于的数有两个，是±； 平方等于0.64的数也有两个，是±0.8. 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）.   例如：3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根. 知识点 平方根 4 思考 (1)平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点? 知识点 平方根 平方根 算术平方根 区别 定义 个数 结果 一般地，如果一个数x的平方等于 a，即x2=a那么这个数x叫做 a 的平方根或二次方根. 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根. 一个正数的平方根有两个. 一个正数的算术平方根只有一个. 正数的平方根一正一负. 正数的算术平方根一定是正数. 5 平方根与算术平方根的联系 平方根 算术平方根 联系 具有包含关系 存在条件相同 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根. 只有非负数才有平方根和算术平方根. 知识点 平方根 6 思考 (2)一个正数有几个平方根?0有几个平方根?负数呢? 知识点 平方根 平方根的性质： 1.一个正数有两个平方根（它们互为相反数）； 2.0只有一个平方根，它是0本身； 3.负数没有平方根. 7 根号 被开方数 （a 是非负数） 读作“正、负根号 a” 正平方根： 负平方根： 读作“根号 a” 读作“负根号 a” 知识点 平方根 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是-,它们互为相反数.这两个平方根合起来可以记作： 8 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数. 知识点 平方根 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 平方 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 开平方 观察下图，你发现了什么? 平方与开平方互为逆运算 想求一个数的平方根，就想谁的平方等于它 知识点 平方根 10 例1 求下列各数的平方根： (1)64；(2) ；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11. 解：(1)因为(±8)2=64， 所以64的平方根是±8，即±=±8； (2)因为(±)2=， 所以的平方根是±，即±=±； (3)因为(±0.02)2=0.000 4， 所以0.000 4的平方根是±0.02，即±=±0.02； 知识点 平方根 11 例1 求下列各数的平方根： (1)64；(2) ；(3)0.000 4；(4)(-25)2；(5)11. 解：(4)因为(±25)2=(-25)2， 所以(-25)2的平方根是±25，即±=±25； (5)因为(±)2=11， 所以11的平方根是±. 知识点 平方根 12 跟踪训练 下列各数有平方根吗? (1) 0.36； (2) -5； (3) (-4)2. 解：(1)因为0.36是正数， 所以0.36有两个平方根，即±=±0.6. (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根； (3)因为(-4)2=16是正数， 所以(-4)2有两个平方根，即±=±4. 知识点 平方根 13 例2 求下列各式的值： (1) ；(2) -；(3) . 解：(1) = =15； (2) -= -=- ； (3) =8. 知识点 平方根 14 知识点1 平方根的定义及性质 1.2的平方根是(　　) A.±　　 B.　　 C.－　　 D. 返回 A 基础提优题 2.下列关于平方根的说法： ①正数的平方根是正数； ②－1的平方根是－1； ③的平方根是±4； ④非负数a的平方根是非负数； ⑤－m是m2的一个平方根； ⑥n2的平方根是n. 其中正确的有(　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 返回 A 基础提优题 3.下列各数：0，，a2＋1，－2，－(－5)2，｜a－1｜，｜a｜－1，，a2－2a＋1，－a，a2－6，其中一定有平方根的数有　　　　个. 返回 6 基础提优题 4.若2a－3的平方根是它本身，则a2＋1的值是　　　　 . 返回 基础提优题 5. 已知a－1和5－2a都是非负数m的平方根，求m的值. 佳佳的解题过程如下： 解：因为a－1和5－2a都是非负数m的平方根， 所以a－1＋5－2a＝0，解得a＝4， 所以a－1＝3，所以m的值为9. 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由. 返回 基础提优题 【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下： 因为a－1和5－2a是非负数m的平方根， 所以当a－1＋5－2a＝0时，解得a＝4， 所以a－1＝3，所以m的值为9； 当a－1＝5－2a时，解得a＝2，所以a－1＝1， 所以m的值为1. 综上所述，m的值为1或9. 返回 基础提优题 知识点2 开平方 6.若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m＋n)3的平方根为(　　) A.4　　 B.8　　 C.±4　　 D.±8 返回 D 基础提优题 7.已知x＝－3，则(x＋3)2＋90的平方根是　　　　. 返回 ±46 基础提优题 8.求下列各数的平方根： (1)225；　　 (2)； 返回 【解】因为(±15)2＝225，所以225的平方根是±15. 【解】因为＝，2＝， 所以的平方根是±. 基础提优题 (3)2；　　 (4). 返回 【解】因为2＝2， 所以2的平方根是±1. 【解】因为＝13，所以的平方根为±. 基础提优题 9.求下列各式中x的值. (1)4x2－9＝0； (2)(2x－1)2－＝1. 返回 【解】4x2－9＝0，4x2＝9，x2＝，解得x＝±. 【解】(2x－1)2－＝1，(2x－1)2＝，2x－1＝±，解得x＝或x＝－. 基础提优题 10.［宁波自主招生］若实数m，n满足＋3＝mn＋2，则m＋5n的平方根为(　　) A.±　　 B.±2　　 C.±　　 D.± 返回 A 综合应用题 平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x²=a，那么这个数x叫作a的平方根（也叫作二次方根）. ±（a≥0） 表示 (1)一个正数有两个平方根（它们互为相反数）； (2)0只有一个平方根，它是0本身； (3)负数没有平方根. 开平方（开平方与平方互为逆运算） 运算 概念 性质 课堂小结 $