广东广州市海珠外国语实验中学2026届高三毕业班综合测试（四）数学试题

**基本信息** 2026届高三数学综合测试卷立足核心素养，以函数、几何、概率等模块为载体，通过阿基米德三角形、双曲线切线新定义等创新情境，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、统计等|第8题结合阿基米德三角形历史背景，体现文化传承与数学眼光| |多选题|3/18|概率独立、三角函数性质、立体几何|第11题直三棱柱动态问题，考查空间观念与逻辑推理| |填空题|3/15|导数切线、向量夹角、抛物线与圆|第14题抛物线切线与圆综合，强化数学语言表达| |解答题|5/77|解三角形（选做）、立体几何、数列、函数导数、双曲线|第19题双曲线切线新定义，突出创新应用与模型意识，呼应高考命题趋势|

2026届高三毕业班综合测试(四)数学试题 满分150分,考试用时120分钟 注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 一.单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={x∈N|x﹣3<0},则∁UA=( ) A.{4} B.{0,4} C.{3,4} D.{0,3,4} 2.若复数z满足(i﹣i2026)(z﹣1)=2(i为虚数单位),则( ) A. B. C. D.3 3.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4+a7=13,则S10=( ) A.13 B.45 C.65 D.130 4.已知,则cos cos =( ) A. B. C. D. 5.某市实行居民阶梯电价收费政策后有效促进了节能减排.现从某小区随机调查了200户家庭十月份的用电量(单位:kW•h),将数据进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出如图所示的频率分布直方图,则下列选项错误的是( ) A.图中a的值为0.015 B.样本的第25百分位数约为217 C.样本平均数约为198.4 D.在被调查的用户中,用电量落在[170,230)内的户数为148 6.用4种不同的颜色对右侧图形中的4个区域进行着色,相邻两个区域颜色不同,则不同的着色方法种数等于( ) A.16 B.24 C.48 D.256 7.已知函数f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,且则不等式xf(x﹣1)<0在(﹣2,2)上的解集为( ) A.(﹣2,﹣1) B.(﹣2,﹣1)∪(0,1) C.(﹣1,0)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(1,2) 8.阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大,还享有“数学之神”的称号,圆锥曲线上任意两点M,N处的切线交于点Q,称 QMN为“阿基米德三角形”.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AF|=3|BF|,抛物线C在A,B处的切线交于点P,则 PAB的面积为( ) A. B. C. D. 二.多选题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五张号签,从中有放回地随机选取两张号签,每次取一张.事件A=“第一次取到标号为1或2的号签”,事件B=“第二次取到标号为5的号签”,事件C=“两张号签标号之和为5”,则( ) A.A与B独立 B.B与C对立 C. D. 10.已知函数,则下列说法中正确的有( ) A.f(x)的图象关于直线对称 B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在上单调递增 D.若f(x1)﹣f(x2)=2,则|x1﹣x2|的最小值为 11.如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2,D为BC的中点.若P,Q为线段CB1上两点(CP<CQ),且,则( ) A.A1B∥平面AC1D B.异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 C.三棱锥B﹣APQ的体积为定值 D.点A1到平面AC1D的距离为 三.填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知直线y=x+t与曲线f(x)=ex﹣k相切,t,k∈R,则t+k= . 13.已知向量,,t<0,且与的夹角为锐角,则t的取值范围是 . 14.已知点M在抛物线C:y2=8x上,过点M作圆E:(x﹣2)2+y2=1的两条切线,切点分别为P,Q,则的最小值为 . 四.解答题(共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(13分)在 ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (1)求A; (2)请从问题①②中任选一个作答(若①②都做,则按①的作答计分) ①若a=2,求 ABC周长的取值范围; ②求sinBsinC的最大值. 16.(15分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C1,BB1的中点,AB=BC,AC=AA1=2. ( )求证:AC⊥平面BEF; ( )求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值; ( )直接写出直线FG与平面BCD的位置关系. 17.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且. (1)证明:数列{bn}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nbn}的前n项和Tn. 18.(17分)已知函数f(x)=x3+ax2+6ax. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间[﹣1,5]上有3个零点,求实数a的取值范围; (3)若a∈Z,求使得关于x的不等式恒成立的a的最小值. 19.双曲线的一个顶点在直线l:y=x+1上,且其离心率为. (1)求双曲线E的标准方程; (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点,且该直线与双曲线的渐近线不平行,则定义该直线为双曲线的切线,定义该公共点为切线的切点.已知点T在直线l上,且过点T恰好可作双曲线E的两条切线,设这两条切线的切点分别为P和M. (i)设点T的横坐标为t,求t的取值范围; (ii)设直线TP和直线TM分别与直线x=﹣1交于点Q和点N,证明:直线PN和直线MQ的交点在定直线上. (附:双曲线以点(m,n)为切点的切线方程为1) 参考答案 一.选择题 1——8: CCCCBCBB. 二.多选题 9.ACD. 10.BCD. 11.ACD. 三.填空题 12.1. 13.. 14.. 四.解答题 15.解:(1)因为, 所以2ccosA=acosB+bcosA 由正弦定理得:2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC, 又因为sinC≠0,所以, 又因为A∈(0, ),所以; (2)选①:由余弦定理得b2+c2﹣a2=2bccosA, 因为,所以b2+c2=4+bc,所以(b+c)2=4+3bc, 因为b,c>0,所以,解得0<b+c≤4, 又因为b+c>2,所以2<b+c≤4, 所以2<b+c≤4,所以4<a+b+c≤6, 所以 ABC周长的取值范围是(4,6]. 选②:因为, 所以 , 因为,所以,所以, 所以当,即时,取得最大值. 16.( )证明:∵E,F分别是AC,A1C1的中点,∴EF∥CC1, ∵CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC, 又AC⊂平面ABC,∴EF⊥AC, ∵AB=BC,E是AC的中点, ∴BE⊥AC, 又BE∩EF=E,BE⊂平面BEF,EF⊂平面BEF, ∴AC⊥平面BEF. ( )解:以E为原点,以EB,EC,EF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示: 则B(2,0,0),C(0,1,0),D(0,﹣1,1), ∴(﹣2,1,0),(0,﹣2,1), 设平面BCD的法向量为(x,y,z),则,即, 令y=2可得(1,2,4),又EB⊥平面ACC1A1, ∴(2,0,0)为平面CD﹣C1的一个法向量, ∴cos,. 由图形可知二面角B﹣CD﹣C1为钝二面角, ∴二面角B﹣CD﹣C1的余弦值为. ( )解:F(0,0,2),G(2,0,1),∴(2,0,﹣1), ∴•2+0﹣4=﹣2≠0, ∴与不垂直, ∴FG与平面BCD不平行,又FG⊄平面BCD, ∴FG与平面BCD相交. 17.解:(1)证明:因为Sn=2an﹣n﹣2, 当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1)﹣2, n≥2时,两式相减得an=2an﹣2an﹣1﹣1,即an=2an﹣1+1, 则an+1=2(an﹣1+1),n≥2, 当n=1时,S1=a1=2a1﹣3,解得a1=3, 所以{an+1}是以4为首项,2为公比的等比数列, 所以,即an=2n+1﹣1,且n=1时也符合, 所以; (2)因为bn=an+1=2n+1, 所以, , 两式相减可得, 所以. 18.解:(1)依题意,x∈R,f'(x)=3x2+2ax+6a, 则 =4a2﹣4 3 6a=4a(a﹣18), 若 ≤0,即0≤a≤18时f'(x)≥0,故f(x)在R上单调递增; 若 >0,即a<0或a>18时,令f'(x)=3x2+2ax+6a=0, 则, 故当x∈(﹣∞,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述,若0≤a≤18,则f(x)在R上单调递增;若a<0或a>18,则f(x)在和 上单调递增,在上单调递减; (2)令f(x)=0,则x3+ax2+6ax=0, 显然x=0是f(x)的一个零点,则x2+ax+6a=0在区间[﹣1,5]上有2个非零零点, 则,x∈[﹣1,5],令,则, 故当x∈[﹣1,0)时,m'(x)>0,m(x)单调递增; 当x∈(0,5]时,m′(x)<0,m(x)单调递减; 而m(0)=0,,, 作出 m(x)在区间[﹣1,5]上的大致图象如下所示,观察可知,, (3)依题意,,即,则. 设,则, 设,则, 所以k(x)在区间(0,+∞)上单调递减, 又,k(2)=2﹣3ln2<0, 故存在x0∈(1,2),使,则, 当x∈(0,x0)时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 当x∈(x0,+∞)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, 故, 则满足条件的a的最小值为1. 19.解:(1)直线l与x轴交于(﹣1,0),所以a=1,设双曲线半焦距为c, 因为双曲线离心率为,,所以,故b2=c2﹣a2=4, 所以双曲线E的标准方程为. (2)(i)经检验,当一条切线斜率不存在时,不符合题意. 设切线斜率为k,切线方程为y=k(x﹣t)+(t+1), 联立,消去y得(k2﹣4)x2﹣2k(kt﹣t﹣1)x+(kt﹣t﹣1)2+4=0, 令. 整理得:(kt﹣t﹣1)2﹣k2+4=0,由于k≠ 2,所以且t≠1. 上式整理得:(t2﹣1)k2﹣2t(t+1)k+t2+2t+5=0. 由题意,k有两个相异实根,所以t2﹣1≠0, 且, 整理得4(t+1)(﹣3t+5)>0,解得:. 综上所述,t的取值范围是. (ii)证明:设M(x1,y1),P(x2,y2). 直线MT和PT方程分别为和, 联立得点. 又点T在直线l上,代入整理得:x2y1﹣x1y2=4(x1﹣x2)﹣(y1﹣y2).① 在直线MT方程中,令x=﹣1,得点, 所以,故直线PN方程为:, 设直线PN与直线l交点为A,联立, 消去y得. 解得:. 设直线MQ与直线l交点为B, 同理可得:. 由①式,比较可得xA和xB表达式的分子分母分别相等, 故A,B两点重合,所以直线PN与MQ的交点在定直线l:y=x+1上. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2026/5/29 11:08:48;用户:18665925436;邮箱:18665925436;学号:24335353 ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $