7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量及其分布列，通过掷骰子、摸球等引例建立样本空间，从样本点与数值的对应引入随机变量，逐步过渡到离散型随机变量的定义、特征及分布列，构建连贯的知识支架。 其特色在于设置“跟踪6min”“限时6min”等计时练习强化应用，结合产品检验、体育成绩等实例，引导学生用数学眼光抽象问题、用数学思维推理概率，帮助学生发展抽象能力与推理意识，教师可通过结构化例题和限时训练提升教学效率。

限时6min 1.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中 1.D 的一个运动队，不同报法的种数是() A.A B.A C.43 D.3 2.某中学准备在校园科技节展示5款不同的A学习软件，分别是：豆包、讯 飞星火、文心一言、元宝、即梦.在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻， 2.B 且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（)种不同的放置方式. A.12 B.24 C.36 D.48 3.下列函数中，求导错误的是（) 3.D A.(sin60°)=0 B. (nx)y'=元 C.(cosx)=-sinx 到 s7.2 离散型随机变量及其分布列 >>>第七章随机变量及其分布 导语 在求随机事件的概率时，往往需要为随机试验建立样本空间， 样本空间是研究概率的基础。 引例 请为以下随机试验建立样本空间： (1)掷一枚骰子，观察出现的点数； (2)掷两枚骰子，观察出现的点数之和； (3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况； (4)从装有5个红球，3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色， (1)2={1,2,3,4,5,6}: (2)2={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}: (3)2={正面，反面}； (4)2=红白，白白，白红，红红} 问题1 如果有些随机试验的样本点与数值无关，例如随机抽到一件 产品，有抽到次品”和抽到正品”两种结果，如何建立样本 点与实数之间的对应呢？ 对于任何一个随机试验，总可以把它的每一个样本点与一个实 数对应，即引入一个取值依赖于样本点的变量， 因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值 也具有随机性。 (3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况： (4)从装有5个红球，3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色， 问题2 考察下列随机试验及其引入的变量？ 试验1：从100个电子元件（至少含3个次品）中随机抽取三个进行检验， 变量X表示三个元件中的次品数. 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数， 这两个随机试验的样本空间各是什么？各个样本点与变量的值是如何 对应的？变量X、Y有哪些共同特征？ 变量X、Y共同特征： ①取值依赖于样本点，②所有可能取值是明确的. 对于每一个样本点都有唯一确定的实数与之对应 定义 1.随机变量：一般地，对于随机试验样本空间2中的每个样本点ω， 都有唯一的实数Xω)与之对应，我们称X为随机变量. 试验1：从100个电子元件（至少含3个次品）中随机抽取三个进行检验， 变量X表示三个元件中的次品数 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数 试验1中的随机变量X的可能取值为0,1,2,3共4个值；试验2中随 机变量Y的可能取值为1,2,3，…有无限个取值，但可以一一列出. 称为离散型随机变量 定义 2.离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列的随机变量，我 们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字标随机变量，例如X, Y,Z:用 小写英文字襞示随机变量的取值，例如x,y,z 离散型随机变量的特征： (1)可以用数值表示. (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取 何值。 (3)试验结果能一一列出. 例1(1)袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码， 从中任意抽取2个球，设2个球号码之和为Y,则Y的所有可能取值的个 数是 A.25 B.10 D.6 (2)(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是 从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的 号码 B√个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个球，其中所含白球的 个数 C.某林场的树木最高达30，则此林场中树木的高度 D.某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 举例 尝试举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子. 例如： ①射击运动员射击一次可能命中的环数X,则X的可能取值为0,1,2，…10： ②在一个装有8个红球，3个白球的袋子中随机摸出4个球，这4个球中白球的 个数Y,则Y的可能取值为0,1,2,3 ③种子含水量的测量误差X; 连续型随机变量 ④某品牌电视机的使用寿命Y; ⑤某一个零件长度的测量误差Z; 引例 掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则事件“掷出3点”可以表示 为{X=3},事件“掷出m点”可以表示为X=m}( m=1,2,3,4,5,6) 事件“掷出的点数不大于2”可以表示为 {X≤2 事件“掷出偶数点”可以表示为 {X=2U{X=4}U{X=6} _等等 因为掷出各种点数的可能性相等，所以 1 PX=m)F6,m=l,2,3,4,5,6. 这一规律可以用表格表示， X 1 2 3 4 5 6 P 定义 离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为1， 2,,xn, 我们称X取每一个值x的概率 PX=x=p,i=1,2,,n 为X的概率分布列，简称分布列. 离散型随机变量的分布列也可以用表格表示： X X1 X2 Xn P pi P2 Pn 离散型随机变量的分布列的性质： (1)p≥0，i=1,2,…,n (2)p1tp2++pm=1 引例 掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数，则 掷出的点数不大于2”的概率为 P(X≤2)=PX=1)+P(X=2) 11 66 1 3 类似，事件“掷出偶数点”可以表示为 P(X=2}U{X=4U{X=6}) PX=2)+P(X=4)+P(X=6) 一十 6 6 6 1 限时6min 1.若(1+x)8=a+ax+a2x2+…+agr8,则a1+3+as+a=（ 1.B A.127 B.128 C.129 D.256 2.二项式(3-2x) 的展开式中第四项的系数是（) 2.C A.15 B.20 C.-160 D.240 3.函数f(x)=xhx在x=e处的切线斜率为（) 3.C A.0 B.1 C.2 D.e 例3（课本例1）一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 抽到次品， 0,抽到正品. 求X的分布列 定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”， 定义X= 1,A发生， 0,A发生 如果P(A)=P,则P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示. X 0 1 P 1-p p 我们称X服从两点分布或0-1分布， 定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，A表示“失败”， 定义={ 1,A发生， 0,A发生， 如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示. X 0 P 1-p p 我们称服从 两点分布或0-1分布. 举例 尝试举出一些可以用两点分布来描述的例子， 购买的彩票是否中奖；新生婴儿的性别；投篮是否命中； 例2(1)（课本例2）某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成 绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥ 4). 例2(1)（课本例2） 解X的可能取值为1,2,3,4,5， X=1=“不及格”，{X=2=“及格”，{X=3}=“中等”，{X=4=“良”， {X=5}=“优”由题意， 20 P(X=1)= 200 10 ∴X的分布列如表所示： 50 1 P(X=2)= X 1 2 3 4 5 200 3 PX=3)= P 10 4 1 PX=4)= 200 P0K24PK4+PX0品 P(X-5)= 200 20 例2(2)（课本例3）一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台. 如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列 解X的可能取值为0,1,2 由古典概型的知识，得 7 :.X的分布列用表格表示如下： PX=0)= 15 X 0 1 2 7 7 PX=1)）F 15 P PX=2)= C。 1 总结 求离散型随机变量分布列的一般步骤： (1)根据问题设立一个随机变量X,并写出随机变量X的所有可能 取值； (2)利用古典概型，求随机变量X的每个可能取值所对应的概率； (3)用解析式或者表格表示x的分布列 限时6min 例2一 袋中装有6个完全相同的黑球，编号分别为1,2,3,4， 现从中随机取出3个球，用X表示取出球的最大编号，求X的分布列 解X的可能取值为3,4,5,6 由古典概型的知识，得 3 PX=3)= PX=5)= 20 10 CC 2 3 C 5 1 P(X=4)= C3 20 PX=6)= 3 2 X的分布列用表格表示如下： X 3 4 5 6 P 反思感悟 求离散型随机变量的分布列的关键 (1)找出随机变量的所有可能取值 (2)计算每一个取值所对应的概率，并利用分布列的性质 对计算结果进行检验！ 跟踪训练1(1)某班有学生45人，其中0型血的有10人，A型血的有12人， B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X, 求X的分布列. 解O,A,B,AB四种血型分别编号为1,2,3,4， 则X的可能取值为1,2,3,4 由题可得 10 2 8 PX=1)= 45 93 PX=3)= 5 1 4 1 1 P(X=2)= 45 15 PX=4)= 45 3 X的分布列用表格表示如下： X 2 3 4 P 跟踪训练1 (2)设随机变量X的分布列为P(X=)-(i=1,2,3,4),求： ①PX-1或X-2;②P<X<) 解①由题意知， 123410 PX=1)+PX=2)+PX=3)+PX=4)=-+二+-+ =1, ∴.=10， a aaa a P(X=1RX-2)=P(X=1)+P(X=2)= 1.2 3 10 10 10 PE<X<)PK=I+PK-2+PK=3)1++363 10 105 例3若随机变量X只能取0,1这两个值，且X取0的概率是取1的概率的3 倍，写出X的分布列 解由题意， PX=0)=3P(X=1) 又PX=O)+PX=1)=1, 得PX=O)= 4 PX=1)= 4 X的分布列用表格表示如下： X 0 1 P 反思感悟 判断一个分布是否为两点分布 (1)看取值：随机变量只取0和1. (2)验概率：检验P(X=0)+P(X=1)=1是否成立. 跟踪训练2袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记 (d: 球全红， 球非全红 求的分布列 解由题可知X服从两点分布， PX=0)= C-2 1 2 19 P(X=1)=1- 21-21 “X的分布列用表格表示如下： X 0 1 P 四 随堂演练 随堂演练 1.已知随机变量X服从两点分布，若P(X=1)=0.6,则P(X=0)等于 A.0.6 B.0.3 C.0.2 0.4 解析 因为随机变量X服从两点分布，则P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4. ①234 2.某一随机变量的分布列如表所示，且m+2n=1.2,则m等于 5 0 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.-0.2 0.2 C.0.1 D.-0.1 解析 由离散型随机变量分布列的性质可得0.1+m+n+0.1=1,即m+n=0.8, 又m+2n=1.2,解得m=n=0.4,可得m-20.2. 1234 3.已知随机变量X的分布列为PX=)=2(i=1,2,3),则PX=2)等于 号 B c D 解析 因为随机变量X的分布列为P(X=)=ai2(i=1,2,3), 所以PX=IHPX2PX=3a+4a+9a-l,解得a4 所以PX-2)=4a-2 1234 4.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为 二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量X, 4 则P(EsX≤)；. 1234 解析 设二级品有k个，则一级品有2k个，三级品有个，总数为个 .X的分布列为 X 1 2 3 P ∴P(G≤X≤)PK-I) 1234 返回