专题05 图形的轴对称（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材北师大版

专题05 图形的轴对称 轴对称及其性质 （一）轴对称的定义 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。 （二）轴对称的性质 1. 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等。 1. 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 1. 对应线段（或延长线）的交点在对称轴上。 （3） 轴对称图形的作图问题 1. 找出图形关键点，作出各点关于对称轴的对称点。 2. 按原图形顺序依次连接对称点，得到轴对称图形。 （四）坐标系中的轴对称问题 1. 点关于x轴对称：。 1. 点关于y轴对称：。 1. 图形轴对称：先求顶点对称点，再连线作图。 简单的轴对称图形 （一）等腰对等角 等腰三角形中，两条腰相等，则它们所对的两个底角相等；常用于角度计算、证明两角相等。 （二）三线合一 仅适用于等腰三角形，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三条线段重合；可用来证垂直、线段相等、角相等。 （三）垂直平分线的定义、性质与作图 1. 定义：垂直且平分一条线段的直线。 1. 性质：垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等。 1. 作图：尺规作图，分别以线段两端点为圆心、大于线段一半长为半径画弧，连接两组弧的交点，所得直线即为垂直平分线。 （四）角平分线的定义、性质与作图 1. 定义：将一个角分成两个相等角的射线。 1. 性质：角平分线上任意一点，到角两条边的距离相等。 1. 作图：尺规作图，以顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧，连接顶点与两弧交点，得到角平分线。 轴对称图形的判定 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果两个平面图形沿一条直线折叠，两个图形能够互相重合，那么这两个图形叫做成轴对称图形． 【详解】解：由成轴对称图形的定义可知，编号为②和④的三角形都可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 编号为③的三角形不可以与编号为①的三角形成轴对称图形， 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东菏泽·月考）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有B与原图形成镜面对称． 故选：B． 画轴对称图形 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）分别确定、、关于的对称点、、，再顺次连接即可； （2）由对称可得，则，当、、三点共线时，的值最小，所以连接交于，则即为所求； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接交于，则即为所求； （3）． 【变式2-1】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析；8； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（）分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； （）两个三角形都可以是以为底的三角形，根据同底等高即可知面积相等，所以只需要作同高，根据平行线间的距离相等，过作的平行线交于即可； （）的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【详解】（1）关于直线成轴对称的如图所示： 分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； ∵ ∴ ∴． （2）解：过作的平行线交于，点即为所求作的图 （3）解：的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； （2）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求．（答案不唯一） 。 （2）解：如图②，即为所求． 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图：在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行下列解答： (1)画出沿直线翻折后的； (2)的面积为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了轴对称作图，求三角形的面积，解题的关键是作出的三个顶点翻折后的对应点． （1）作出点A、B、C关于直线的对称点、、，然后再顺次连接即可； （2）根据三角形面积公式求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：． 等边对等角 【例3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角的度数为和底角的度数为，当底角的度数为时，根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：① 当已知的角为顶角时，则顶角的度数是； ② 当已知的角为底角时，则另一个底角也为，顶角的度数为， 综上所述，顶角的度数为或， 故选：C． 【变式3-1】（25-26七年级下·天津红桥·月考）如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形内角和定理，关键是利用等腰三角形“三线合一”的性质确定，再结合等腰三角形的内角计算求出角度． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，且． ∵， ∴． 又∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级下·天津·月考）已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【答案】 80 【分析】根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形内角和为即可求解. 【详解】解： 等腰三角形的底角等于，等腰三角形的两个底角相等， 顶角的度数为. 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 三线合一 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴，即， ∵， ∴． 故选：A 【变式4-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，熟练掌握相关的定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线定义即可得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，， ∴°， ∵是的角平分线， ∴， 故选：B． 【变式4-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据等腰三角形的性质可得，进而求得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 垂直平分线的定义与性质 【例5】（25-26七年级下·云南文山·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质可得，然后利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是的垂直平分线， ， ， ． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，则，当、、三点共线且时，的值最小，根据即可求出的最小值． 【详解】如图，连接，， 垂直平分边，点是上的一点， ， ， 中，，点是边的中点， ，此时的值最小， ，， ． 的最小值为的长为，即最小值为． 【变式5-2】（25-26七年级下·广西梧州·月考）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，进而求出，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到，，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 又的周长， ， 即， 的周长． 角平分线的定义与性质 【例6】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【详解】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 【变式6-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 【变式6-2】（25-26七年级下·广西梧州·月考）如图，平分，，则点D到的距离为__________． 【答案】3 【详解】解：∵平分，， ∴点D到的距离． 【变式6-3】（25-26七年级下·福建福州·月考）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 【答案】4 【分析】过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值． 【详解】解:过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 垂直平分线与角平分线的作图问题 【例7】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 【变式7-1】（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】（1）取格点E，F，由网格的特征可知，四边形是正方形，由正方形的性质可知，则的垂直平分线即为所求； （2）根据外心的定义，分别作三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于点O，则点O为的外心． 【详解】（1）解：如图所示，的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的外心O即为所求： 【变式7-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】（1）利用基本作图作出的平分线即可； （2）根据角平分线的定义得，，再根据平角的定义求出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：∵是的平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）按要求完成作图 (1)尺规作图：如图①，已知，作的对称轴； (2)仅用直尺：如图②，作出线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出的平分线所在的直线即可； （2）作出正方形，取与格线的交点，由正方形网格特征可得为的中点，则直线为的垂直平分线． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； 易错点一 轴对称的实际应用问题 常为最短路径、选址类问题，核心利用轴对称转化线段；易忽略对称轴选择、未结合两点之间线段最短分析。 易错点二 轴对称中的光线反射问题 反射遵循轴对称原理，反射光线、入射光线关于反射面对称；解题可作对称点还原光路，易搞错对称对象与角度关系。 易错点三 根据成轴对称图形的特征进行求解 依据对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线解题；易错点是找错对应点、对应边/角，混淆图形位置关系。 轴对称的实际应用问题 【例8】（25-26七年级下·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称． 【详解】解：实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点， 那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子， 所以应该是A或D答案之一，这两个答案中更接近八点的应该是第四个图形． 故选：D． 【变式8-2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 【变式8-3】（25-26七年级下·河南濮阳·阶段检测）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形得出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：C． 轴对称中的光线反射问题 【例9】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 【变式9-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式9-2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 【变式9-3】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】利用轴对称变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，过点P，点B的射线交于一点O， 故选：B． 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例10】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【详解】解：由点，分别是点P关于，的对称点，可知：， ∴的周长为． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 【变式10-2】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 技巧1 最短路径问题 核心依托轴对称+两点之间线段最短。 1. 两定点+一条直线：作其中一点的对称点，连接对称点与另一点，连线和直线的交点即为所求，该线段长度是最短路径。 2. 两定点+两条直线：分别作对称点，连线确定拐点，求解最短折线。 3. 易错：分不清对称对象，未验证路径合理性。 技巧2 折叠问题 本质是轴对称变换，折叠前后图形全等。 1. 核心结论：对应边、对应角相等，折痕为对称轴，对称轴垂直平分对应点连线。 2. 解题思路：挖掘相等线段、相等角，结合勾股定理、等腰三角形、方程思想计算边长与角度。 3. 易错：遗漏隐藏的相等边角，看错折叠后的对应位置。 最短路径问题 【例11】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【分析】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 【变式11-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 【变式11-2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： (1)画出格点△（顶点均在格点上）关于直线对称的△； (2)求出的面积； (3)在直线上画出点P，使最小，并求出最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析，最小值为 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）连接交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，△即为所求． （2）解：△的面积为． （3）解：如图，连接交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 由勾股定理得，， 最小值为． 折叠问题 【例12】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线和折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，根据折叠得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸条中， ∴， 根据折叠可得：． 【变式12-2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 【变式12-3】（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的轴对称 轴对称及其性质 （一）轴对称的定义 两个图形沿一条直线折叠后能够完全重合，称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。 （二）轴对称的性质 1. 成轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等。 1. 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线。 1. 对应线段（或延长线）的交点在对称轴上。 （3） 轴对称图形的作图问题 1. 找出图形关键点，作出各点关于对称轴的对称点。 2. 按原图形顺序依次连接对称点，得到轴对称图形。 （四）坐标系中的轴对称问题 1. 点关于x轴对称：。 1. 点关于y轴对称：。 1. 图形轴对称：先求顶点对称点，再连线作图。 简单的轴对称图形 （一）等腰对等角 等腰三角形中，两条腰相等，则它们所对的两个底角相等；常用于角度计算、证明两角相等。 （二）三线合一 仅适用于等腰三角形，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三条线段重合；可用来证垂直、线段相等、角相等。 （三）垂直平分线的定义、性质与作图 1. 定义：垂直且平分一条线段的直线。 1. 性质：垂直平分线上任意一点，到线段两个端点的距离相等。 1. 作图：尺规作图，分别以线段两端点为圆心、大于线段一半长为半径画弧，连接两组弧的交点，所得直线即为垂直平分线。 （四）角平分线的定义、性质与作图 1. 定义：将一个角分成两个相等角的射线。 1. 性质：角平分线上任意一点，到角两条边的距离相等。 1. 作图：尺规作图，以顶点为圆心画弧交两边，再分别以交点为圆心画弧，连接顶点与两弧交点，得到角平分线。 轴对称图形的判定 【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（    ） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式1-1】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·山东菏泽·月考）甲在照镜子，如图，镜子里哪个是他的像？（   ） A． B． C． D． 画轴对称图形 【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为．的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的值最小． (3)求的面积． 【变式2-1】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图：在边长为1的正方形网格中有一个，按要求进行下列解答： (1)画出沿直线翻折后的； (2)的面积为_____________． 等边对等角 【例3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式3-1】（25-26七年级下·天津红桥·月考）如图，在中，是边上的中线，点在边上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·天津·月考）已知等腰三角形的底角等于，则顶角等于______． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 三线合一 【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是边的中点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______． 【变式4-3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为________． 垂直平分线的定义与性质 【例5】（25-26七年级下·云南文山·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，，边的垂直平分线为l，点D是边的中点，点P是l上的动点，则最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（25-26七年级下·广西梧州·月考）如图，在中，，是的垂直平分线，，则的度数为__________． 【变式5-3】（25-26七年级下·江苏常州·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 角平分线的定义与性质 【例6】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）如图，中，D是上一点，，则上一点D到的距离为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式6-2】（25-26七年级下·广西梧州·月考）如图，平分，，则点D到的距离为__________． 【变式6-3】（25-26七年级下·福建福州·月考）如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为____ 垂直平分线与角平分线的作图问题 【例7】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【变式7-1】（25-26七年级下·江西九江·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中作的垂直平分线； (2)在图2中作的外心O． 【变式7-2】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，点在直线上，是的平分线． (1)仅利用无刻度的直尺与圆规，作出的平分线，记为．（不写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，试说明：． 【变式7-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）按要求完成作图 (1)尺规作图：如图①，已知，作的对称轴； (2)仅用直尺：如图②，作出线段的垂直平分线． 易错点一 轴对称的实际应用问题 常为最短路径、选址类问题，核心利用轴对称转化线段；易忽略对称轴选择、未结合两点之间线段最短分析。 易错点二 轴对称中的光线反射问题 反射遵循轴对称原理，反射光线、入射光线关于反射面对称；解题可作对称点还原光路，易搞错对称对象与角度关系。 易错点三 根据成轴对称图形的特征进行求解 依据对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线解题；易错点是找错对应点、对应边/角，混淆图形位置关系。 轴对称的实际应用问题 【例8】（25-26七年级下·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26七年级下·河南濮阳·阶段检测）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为（    ）    A． B． C． D． 轴对称中的光线反射问题 【例9】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级下·河北衡水·阶段检测）如图，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例10】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，内一点P，点，分别是点P关于，的对称点，交于点M，交于点N，若，则的周长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【变式10-2】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 技巧1 最短路径问题 核心依托轴对称+两点之间线段最短。 1. 两定点+一条直线：作其中一点的对称点，连接对称点与另一点，连线和直线的交点即为所求，该线段长度是最短路径。 2. 两定点+两条直线：分别作对称点，连线确定拐点，求解最短折线。 3. 易错：分不清对称对象，未验证路径合理性。 技巧2 折叠问题 本质是轴对称变换，折叠前后图形全等。 1. 核心结论：对应边、对应角相等，折痕为对称轴，对称轴垂直平分对应点连线。 2. 解题思路：挖掘相等线段、相等角，结合勾股定理、等腰三角形、方程思想计算边长与角度。 3. 易错：遗漏隐藏的相等边角，看错折叠后的对应位置。 最短路径问题 【例11】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【变式11-1】（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【变式11-2】（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： (1)画出格点△（顶点均在格点上）关于直线对称的△； (2)求出的面积； (3)在直线上画出点P，使最小，并求出最小值． 折叠问题 【例12】（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26七年级下·浙江·期中）如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【变式12-3】（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $