第二章 实数 习题课件2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件围绕“认识非有理数”核心知识点，从有理数概念过渡，通过直角三角形斜边计算、正方形边长判断等问题导入，构建从概念理解到估算应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，如用面积8的正方形边长理解非有理数，通过数学思维进行估算（如菜地边长范围），结合跨学科（浮力实验）和立德树人案例，培养抽象能力与应用意识，助力学生深化理解，教师可借分层题目提升教学效率。

第二章 实数 专项培优3 算术平方根的非负性的应用 应用1 中a≥0的应用 1.设等式＋＝－在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是 (　　) A.3　　　　B.　　　　C.2　　　　D. 返回 B 【点拨】因为被开方数是非负数，所以a(x－a)≥0，a(y－a)≥0，x－a≥0，a－y≥0.由a(x－a)≥0和x－a≥0可以得到a≥0，由a(y－a)≥0和a－y≥0，可以得到a≤0，所以a只能等于0，代入等式得－＝0，所以有x＝－y，即y＝－x.因为x，y，a是两两不同的实数，所以x＞0，y＜0.将y＝－x代入原式得，原式＝＝. 返回 2.已知a，b为一个等腰三角形的两边长，且满足等式2＋3＝b－6，则此等腰三角形的周长为　　　. 返回 15 【点拨】根据题意，得3a－9≥0，3－a≥0，解得a＝3，所以b－6＝0.所以b＝6.易知等腰三角形的腰长为6，底边长为3，所以等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15. 返回 3.已知a满足｜2 025－a｜＋＝a. (1)有意义，a的取值范围是　　　　　； (2)根据(1)的分析，求a－2 0252的值. a≥2 026 【解】因为a≥2 026，所以2 025－a＜0. 所以｜2 025－a｜＋＝a－2 025＋＝a. 所以＝2 025. 所以2 0252＝a－2 026.所以a－2 0252＝2 026. 应用2 ≥0的应用 4. 已知a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＋｜c＋8｜＝0，ax2＋bx＋c＝0，求代数式3x2＋6x＋200的值. 返回 【解】因为(a－2)2＋＋｜c＋8｜＝0，(a－2)2≥ 0，≥0，｜c＋8｜≥0， 所以a－2＝0，a2＋b＋c＝0，c＋8＝0. 返回 所以a＝2，c＝－8，b＝4. 又因为ax2＋bx＋c＝0， 所以2x2＋4x－8＝0.所以x2＋2x＝4. 所以3x2＋6x＋200＝3(x2＋2x)＋200＝12＋200＝212. 5.学习了算术平方根后，我们知道： (1)(a≥0)是非负数，那么有最小值吗？如果有，此时a为多少？最小值又是多少？ 返回 【解】有最小值，此时a＝0，最小值是0. (2)当a取什么值时，＋1的值最小？请求出这个最 小值. 返回 【解】因为≥0，所以当2a＋1＝0，即a＝－时，有最小值，最小值是0，所以＋1的最小值是1. (3)当x＝m时，3－有最大值，且最大值为n，你知道m，n的值分别为多少吗？ 返回 【解】因为≥0，所以当1－x＝0，即x＝1时，3－有最大值，最大值为3，所以m＝1，n＝3. 6. 数轴上从左到右依次有A，B，C三点，A，B，C三点表 示的数分别为a，b，，其中b为整数，且满足｜a＋3｜＋＝b－2，求b－a的值. 返回 【解】由题意可得a＜b＜. 因为｜a＋3｜＋＝b－2，所以b≥2. 又因为b为整数，所以b＝2或3. 所以｜a＋3｜＝0，所以a＝－3. 所以b－a＝2－(－3)＝5或b－a＝3－(－3)＝6. 应用3 ≥0且a≥0的应用 7.已知a，b为有理数，且－(b－1)•＝0，则a2 026－b2 027的值为　　　　. 返回 0 【点拨】因为－(b－1)＝0，所以＋(1－b)＝0.又因为≥0，(1－b)•≥0，所以1＋a＝0，1－b＝0，解得a＝－1，b＝1.所以a2 026－b2 027＝(－1)2 026－12 027＝1－1＝0. 8. ［北京竞赛］若实数a，b，c满足关系式：－＝＋，试确定c 的值. 返回 【解】由被开方数的非负性可得，a－199＋b≥0，199－a－b≥0，所以易得a＋b＝199.所以原式可化为＋＝0.又由算术平方根的非负性得 3a＋5b－2－c＝0，2a＋3b－c＝0，解得c＝201. $ 第二章 实数 2 平方根与立方根 第2课时 平方根 知识点1 平方根的定义及性质 1.2的平方根是(　　) A.±　　 B.　　 C.－　　 D. 返回 A 基础提优题 2.下列关于平方根的说法： ①正数的平方根是正数； ②－1的平方根是－1； ③的平方根是±4； ④非负数a的平方根是非负数； ⑤－m是m2的一个平方根； ⑥n2的平方根是n. 其中正确的有(　　) A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 返回 A 基础提优题 3.下列各数：0，，a2＋1，－2，－(－5)2，｜a－1｜，｜a｜－1，，a2－2a＋1，－a，a2－6，其中一定有平方根的数有　　　　个. 返回 6 基础提优题 4.若2a－3的平方根是它本身，则a2＋1的值是　　　　 . 返回 基础提优题 5. 已知a－1和5－2a都是非负数m的平方根，求m的值. 佳佳的解题过程如下： 解：因为a－1和5－2a都是非负数m的平方根， 所以a－1＋5－2a＝0，解得a＝4， 所以a－1＝3，所以m的值为9. 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由. 返回 基础提优题 【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下： 因为a－1和5－2a是非负数m的平方根， 所以当a－1＋5－2a＝0时，解得a＝4， 所以a－1＝3，所以m的值为9； 当a－1＝5－2a时，解得a＝2，所以a－1＝1， 所以m的值为1. 综上所述，m的值为1或9. 返回 基础提优题 知识点2 开平方 6.若8xmy与6x3yn的和是单项式，则(m＋n)3的平方根为(　　) A.4　　 B.8　　 C.±4　　 D.±8 返回 D 基础提优题 7.已知x＝－3，则(x＋3)2＋90的平方根是　　　　. 返回 ±46 基础提优题 8.求下列各数的平方根： (1)225；　　 (2)； 返回 【解】因为(±15)2＝225，所以225的平方根是±15. 【解】因为＝，2＝， 所以的平方根是±. 基础提优题 (3)2；　　 (4). 返回 【解】因为2＝2， 所以2的平方根是±1. 【解】因为＝13，所以的平方根为±. 基础提优题 9.求下列各式中x的值. (1)4x2－9＝0； (2)(2x－1)2－＝1. 返回 【解】4x2－9＝0，4x2＝9，x2＝，解得x＝±. 【解】(2x－1)2－＝1，(2x－1)2＝，2x－1＝±，解得x＝或x＝－. 基础提优题 10.［宁波自主招生］若实数m，n满足＋3＝mn＋2，则m＋5n的平方根为(　　) A.±　　 B.±2　　 C.±　　 D.± 返回 A 综合应用题 【点拨】依题意有m－5≥0，10－2m≥0，所以m＝5.所以mn＋2＝0.所以5n＋2＝0.所以5n＝－2.所以±＝±＝±. 返回 综合应用题 11.已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，则a＋2b的值为　　　　. 返回 9 【点拨】因为2a－1的平方根是±3，所以2a－1＝9，所以a＝5. 因为3a＋b－1的算术平方根是4，所以3a＋b－1＝16，所以3×5＋b－1＝16，所以b＝2，所以a＋2b＝5＋2×2＝9. 综合应用题 12.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.若一个三角形的a，b，c，p为四个连续正整数，则此三角形的面积为　　　　. 返回 6 综合应用题 返回 首先根据a，b，c，p为四个连续正整数，设a＝x，把b，c，p用x表示出来，再根据p＝，列出方程，求出 x，可得a，b，c，p的值，再代入面积公式计算即可. 综合应用题 13. 若实数x，y，z满足条件＋＋＝(x＋y＋z＋9)，则xyz＝　　　　. 返回 120 【点拨】因为实数x，y， z满足条件＋＋＝(x＋y＋z＋9)，所以x＋y＋z＋9＝4(＋＋)，所以(x－4＋4)＋(y－1－4＋4)＋(z－2－4＋4)＝0 综合应用题 所以(－2)2＋(－2)2＋(－2)2＝0，所以－2＝0，－2＝0，－2＝0所以＝2，＝2，＝2，所以x＝4，y－1＝4，z－2＝4，所以y＝5，z＝6，所以xyz＝120. 返回 综合应用题 14. 若｜a－2 026｜＋＝2，其中a，b均为整数，则｜a＋b｜＝　　 　 　　. 返回 4或2或0 【点拨】因为｜a－2 026｜＋＝2，其中a，b均为整数，且｜a－2 026｜≥0，≥0，所以可分为以下三种情况：①｜a－2 026｜＝0，＝2，解得a＝2 026，b＝－2 022，所以｜a＋b｜＝4；②｜a－2 026｜＝1， 综合应用题 返回 ＝1，解得a＝2 025或2 027，b＝－2 025，所以｜a＋b｜＝0或2；③｜a－2 026｜＝2，＝0，解得a＝2 028或2 024，b＝－2 026，所以｜a＋b｜＝2.综上所述，｜a＋b｜＝4或2或0. 解本题的关键在于如何进行2的拆分，注意不要 漏解. 综合应用题 15. “保护环境，节约资源”一直是现代社会所提倡的，墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比赛，他想将一个废旧易拉罐的侧面制成一个正方体(有底有盖)储存盒，他测得该废旧易拉罐的高是20 cm，底面直径是10 cm，废旧易拉罐的侧面刚好用完，正方体储存盒的接头部分忽略不计，求墨墨所做的正方体储存盒的棱长.(π取3) 返回 综合应用题 【解】设墨墨所做的正方体储存盒的棱长为x cm. 由题意，得6x2＝20×3×10， 解得x＝10(负值已舍去). 答：墨墨所做的正方体储存盒的棱长为10 cm. 返回 综合应用题 16. 已知正数x的平方根是m和m＋n. (1)当n＝6时，求m的值； 返回 【解】因为正数x的平方根是m和m＋n， 所以m＋m＋n＝0. 因为n＝6，所以2m＋6＝0，所以m＝－3. 综合应用题 (2)若m2x＋(m＋n)2x＝32，求x－1的值. 返回 【解】因为正数x的平方根是m和m＋n， 所以(m＋n)2＝x，m2＝x.因为m2x＋(m＋n)2x＝32， 所以x2＋x2＝32，所以x2＝16. 因为x是正数，所以x＝4，所以x－1＝3. 综合应用题 返回 一个正数的平方根有两个，它们互为相，即它们的和为零. • • • 综合应用题 17. 阅读与理解：小明在学习了有关平方根的知识后，知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于－1，所以－1没有平方根.有一天，善于思考的小明想：如果存在一个数i，使i2＝－1，那么(±i)2＝－1，因此－1就有两个平方根了.进一步，小明想：因为(±2i)2＝－4，所以－4的平方根是±2i；因为(±3i)2＝－9，所以－9的平方根就是±3i.请你根据上面的信息解答下列问题： 返回 创新拓展题 (1)求－25，－36的平方根； 返回 【解】因为(±5i)2＝－25， 所以－25的平方根就是±5i. 因为(±6i)2＝－36，所以－36的平方根就是±6i. 创新拓展题 (2)求i＋i2＋i3＋…＋i2 026的值； 返回 【解】因为i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 所以i＋i2＋i3＋i4＝i＋(－1)＋(－i)＋1＝0. 因为2026÷4＝506……2， 所以i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 026＝i＋(－1)＋(－i)＋1＋…＋(－1)＝i＋(－1)＝i－1. 创新拓展题 (3)利用所学公式求(3＋2i)2和(3＋2i)(3－2i)的值. 返回 【解】(3＋2i)2＝9＋12i＋4i2＝5＋12i， (3＋2i)(3－2i)＝9－4i2＝13. 创新拓展题 $ 第二章 实数 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 11 12 13 14 15 16 17 B D 60 (1) 0.2；20；200 (2) 2×10n 3 (1)不是 习题链接 知识点1 算术平方根 1.如果m没有算术平方根，那么m可以是(　　) A.－52　　 B.｜－5｜　　 C.(－5)2　　 D.－(－5) 返回 A 基础提优题 2.下列说法中不正确的有(　　) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1； ③a2的算术平方根是a； ④(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π； ⑤算术平方根不可能是负数. A.2个　　B.3个　　C.4个　　D.5个 返回 C 基础提优题 3. (1)10－6的算术平方根是　　　　； (2)的算术平方根是　　　　. 返回 10－3 本题易误认为是求的算术平方根而出错，遇到类似求的算术平方根时，要先开方，再对开方后的数求其算术平方根. 基础提优题 4.［2026扬州期中］已知是2a－1的算术平方根，3是3a＋2b－3的算术平方根，则a＋2b的算术平方根是　　　　. 返回 【点拨】因为是2a－1的算术平方根，所以2a－1＝5，解得a＝3.因为3是3a＋2b－3的算术平方根，所以3a＋2b－3＝9，解得b＝，所以a＋2b＝6，所以a＋2b的算术平方根为. 基础提优题 知识点2 算术平方根的非负性 5.［2026杭州萧山区期中］若(x＋5)2＋｜y－2｜＋＝0，则x＋y＋z的值为(　　) A.0 　　 B.－6 　　 C.－4 　　 D.2 返回 B 几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0. 基础提优题 6.已知y＝＋－3，则2xy的值为(　　) A.－15　　 B.15　　 C.－　　 D. 返回 A 基础提优题 7.当a＝　　　　时，代数式 －3有最小值　　　　. 返回 － －3 基础提优题 知识点3 ()2与的性质 8.下列计算正确的是(　　) A.(－)2＝64　　　 B.＝±25 C.＝3　　　 D.－＝－8 返回 D 基础提优题 9.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简－－＝　　 　　. 返回 －2a＋b＋4 基础提优题 【点拨】由数轴可知b＜－2，0＜a＜2， 所以a－2＜0，b＋2＜0， 所以－－ ＝－(a－2)＋(b＋2)－a ＝－2a＋b＋4. 返回 基础提优题 知识点4 算术平方根的实际应用 10. 电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)，导线电阻R(单位：Ω)，通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足Q＝I2Rt.若导线电阻为5 Ω，通电时间为1 s，导线产生的热量为80 J，则电流I的值是多少？ 返回 基础提优题 【解】把R＝5 Ω，t＝1 s，Q＝80 J代入Q＝I2Rt， 得80＝I2×5×1， 所以I2＝＝16，所以I＝4 A. 所以电流I的值为4 A. 返回 基础提优题 11.若＝3，｜b｜＝5，且ab＜0，则a＋b的算术平方根为 (　　) A.4　　 B.2　　 C.±2　　 D.3 返回 B 综合应用题 返回 综合应用题 12. 已知Rt△ABC 的三边长分别为a，b，c，且满足＋b2＋16＝8 b，则c的值为(　　) A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.或5 D 返回 综合应用题 【点拨】因为＋b2＋16＝8b，所以＋b2－8b＋16＝0，所以＋2＝0，所以a－3＝0，b－4＝0，所以a＝3，b＝4.当a＝3，b＝4为直角边时，c＝＝5；当b＝4为斜边时，c＝＝.综上可知，c的值为或 5. 返回 综合应用题 13.直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长为　　　　步.(一亩＝240平方步) 60 返回 综合应用题 14.观察表格并回答问题： (1)表格中的三个值分别为：x＝　 　；y＝　 　；z＝　 　； a … 0.04 4 400 40 000 … … x 2 y z … 0.2 20 200 返回 综合应用题 (2)用公式表示这一规律：当a＝4×100n(n为整数)时，＝　　　　. a … 0.04 4 400 40 000 … … x 2 y z … 2×10n 返回 综合应用题 15. ［黄冈市竞赛］设互不相等的非零实数a，b，c满足a＋＝b＋＝c＋，则的值为　　　　. 3 返回 综合应用题 【点拨】令a＋＝b＋＝c＋＝k，则ab＋3＝bk，bc＋3＝ck，ac＋3＝ak，所以abc＋3c＝kbc＝k(ck－3)，即abc＋3k＝(k2－3)c.同理得出abc＋3k＝(k2－3)a，abc＋3k＝(k2－3)b，所以(k2－3)a＝(k2－3)b＝(k2－3)c.因为a，b，c为互不相等的非零实数，所以k2＝3，所以原式＝＝3. 返回 综合应用题 16. 小明每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t(单位：s)和下落高度h(单位：m)近似满足公式h＝gt2，其中g为重力加速度，g≈10 m/s2.物体落地时产生的动能＝物体质量(单位：kg)×重力加速度(单位：m/s2)×高度(单位：m)，动能的单位名称为焦耳(J).例如：一个 1 kg重的花盆从30 m高空坠落到地面产生的动能约为1×10×30＝300(J). 返回 综合应用题 (1)一个物体从80 m的高空坠落到地面大约需要几秒？ 【解】把h＝80代入h＝gt2，得80≈×10t2， 解得t≈4(负值已舍去). 答：一个物品从80 m的高空坠落到地面大约需要4 s. 返回 综合应用题 (2)一个1 kg的物体坠落到地面产生了200 J的动能，请推算该物体坠落到地面用了几秒. 【解】由题意得1×10h≈200，解得h≈20. 把h＝20代入h＝gt2，得20≈×10t2， 解得t≈2(负值已舍去). 答：该物品坠落到地面约用了2 s. 返回 综合应用题 17. ［重庆自主招生］喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，＝2，＝3，＝6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9这三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6. 返回 创新拓展题 (1)请判断3，12，16是不是“和谐组合”.　　　　；(填“是”或“不是”) (2)试说明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； 不是 【解】因为＝6，＝4，＝12，且6， 4，12都是整数，所以2，8，18这三个数是“和谐组合”，且最小算术平方根是4，最大算术平方根是12. 返回 创新拓展题 (3)已知4，a，25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值. 【解】分三种情况：①当4≤a≤25时，＝5，解得a＝0，舍去； ②当a＜4时，＝5，解得a＝1； ③当a＞25时，＝5，解得a＝100. 综上所述，a的值为1或100. 返回 创新拓展题 $ 第二章 实数 阶段综合培优练 实数、平方根及立方根 一、选择题(每题4分，共32分) 1.在实数－，3.14，，，中，无理数的个数为 (　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 返回 B 2.已知m＝－，则实数m的范围是(　　) A.2＜m＜3　　 B.3＜m＜4　 C.4＜m＜5　　 D.5＜m＜6 返回 B 3.下列说法中，正确的个数有(　　) ①m是一个实数，m2的算术平方根是m； ②m是一个实数，则－m没有平方根； ③带根号的数是无理数； ④无限小数是无理数； ⑤若－a＝b成立，则b的取值范围是b≥0. A.0　　B.1　　C.2　　D.3 返回 B 【点拨】只有⑤正确. 4.已知442＝1 936，452＝2 025，462＝2 116，若n为整数且n＜－22＜n＋1，则n的值为(　　) A.21　　 B.22　　 C.23　　 D.24 返回 C 5.［2026济南期中］实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简()2＋－的结果为(　　) A.－2a－b－2c　　　 B.a－b＋c C.c－b－a　　　 D.－2a＋b 返回 B 返回 6. 对于两个不相等的实数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a，当a＞b时，min{a，b}＝b.例如：min{1，－2}＝－2.已知min{，x}＝x，min{，y}＝，且x和y为两个连续正整数，则的算术平方根为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.2 返回 D 【点拨】由题意得，＞x，＜y.因为x和y为两个连续正整数，3＜＜4，所以x＝3，y＝4，所以4x＋y＝4×3＋4＝16，所以的算术平方根为2. 返回 7. ［浙江余姚中学自主招生］已知非零实数a，b满足｜2a－4｜＋｜b＋2｜＋＋4＝2a，则a＋b等于(　　) A.－1　　 B.0　　 C.1　　 D.2 返回 C 【点拨】由题意得｜2a－4｜＋｜b＋2｜＋＝2a－4≥0. 所以｜b＋2｜＋＝0，所以b＝－2，a＝3.所以a＋b＝1. 8. 已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，， －2，，，－，，，－，…，据此可推得这一列数中的第2 026个数应是(　　) A.　　 B.－ C.　　 D.2 026 返回 B 【点拨】由题意得－1，，；－，，；－，，；…，每三个相邻的数为一组.因为2 026÷3＝675……1，所以2026处在第675组后的第1个数，所以第2 026个数应是－. 返回 二、填空题(每题5分，共20分) 9.下列计算中，错误的是　　　　.(填序号) ①(－)2＋()3＝0； ②＝－0.4； ③＝－2； ④＝7. 返回 ① 10.已知5a＋2的立方根是3，4b＋1的算术平方根是3，c是的整数部分，则a＋b＋c＝　　　　. 返回 10 11. 如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是　　 　.(写出一个答案即可) 返回 2(答案不唯一) 12. 我们已经学习了利用“夹逼法”估算的值，现在用an表示距离(n为正整数)最近的正整数.例如：a1表示距离最近的正整数，所以a1＝1；a2表示距离最近的正整数，所以a2＝1；a3表示距离最近的正整数，所以a3＝2，…，利用这些发现得到以下结论： ①若an＝3，则n的值有　　　　个； 返回 6 【点拨】当an＝3时，n为7，8，9，10，11，12，一共有6个； ②当＋＋…＋＝20时，n的值为　　　　. 返回 110 【点拨】由a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝2，a5＝2，a6＝2，a7＝3，a8＝3，a9＝3，a10＝3，a11＝3，a12＝3，…；可得结果中有2个1，4个2，6个3，…，所以＋＋…＋＝20＝10×2＝2×1＋4×＋6×＋…＋20×，所以n＝2＋4＋6＋…＋20＝×10＝110. 三、解答题(共48分) 13.(8分)把下列各数填入相应的集合内： －，0，0.16，3，0.1，，－，，，，1.234 56，3.212 112 111 2…(每相邻两个2之间1的个数逐次 加1). 返回 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 有理数集合：{　　　　　　　　　　　　　 　　　　 …}； 无理数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　 …}. 返回 0，，， －，0.16，3，0.1，1.234 56， －，0，0.16，3，0.1，，， 1.234 56， ，－，，3.212 112 111 2…(每相邻两个2 之间1的个数逐次加1)， 14.(8分)计算：－＋｜－2｜－(－2)2＋2. 返回 【解】原式＝＋＋2－－4＋2＝－. 15.(10分)［2026德州期末］已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求2mn＋x－z2的平方根. 返回 【解】因为与互为相反数， 所以＋＝0， 因为7－2x≥0，2x－7≥0， 所以2x－7＝0，所以x＝3.5. 返回 因为y的算术平方根为14，所以＝14. 因为z的绝对值为， 所以z＝±，所以z2＝2. 因为m，n互为倒数，所以mn＝1， 所以原式＝2＋3.5×14－2＝49， 所以±＝±7. 所以2mn＋x－z2的平方根是±7. 16.(10分) 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中(杯的形状为圆柱体)，并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为216 cm3，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了0.5 cm. (1)铁块的棱长为多少厘米？ 返回 【解】设铁块的棱长为x cm， 则x3＝216，解得x＝6， 所以铁块的棱长为6 cm. (2)杯内部的底面直径约为多少厘米(π取3)？ 返回 【解】设杯内部的底面直径为d cm， 则32×0.5≈216， 解得d≈24(负值已舍去). 所以杯内部的底面直径约为24 cm. 17.(12分) 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，所以用－1来表示的小数部分. 例如：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分是2，小数部分为－2. 返回 (1)的整数部分是　　，小数部分是　　　　　　. (2)点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列对于m，n的说法正确的是　　　　.(填序号) ①m，n均为有理数；②1＜＜2； ③3＜m－n＜4；④3＜m＋n＜4. 4 －4 返回 ②④ 【点拨】设点A所表示的无理数为a，由题意可知，3＜a＜4，所以点A所表示的无理数a的整数部分m＝3，小数部分n＝a－3.①易知n为无理数，故①不正确；②由于1＜＜2，即1＜＜2，因此②正确；③因为3＜a＜4，m－n＝3－a＋3＝6－a，所以2＜m－n＜3，故③不正确；④因为3＜a＜4，m＋n＝3＋a－3＝a，所以3＜m＋n＜4，故④正确.综上所述，正确的是②④. 返回 (3)若p，q分别是6－的整数部分和小数部分，求3p－q－的值. 返回 【解】因为＜＜，即2＜＜3，所以－3＜－＜－2，所以3＜6－＜4，所以6－的整数部分p＝3，小数部分q＝6－－3＝3－，所以3p－q－ ＝9－(3－)－＝6. $ 第二章 实数 1 认识实数 第3课时 二次根式的混合运算 知识点1 分母有理化 1.化简的结果是(　　) A.－　　 B.－　　 C.－　　 D.－ 返回 D 【点拨】＝＝＝＝－.故选D. 基础提优题 2.已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是(　　) A.互为相反数　　 B.相等 C.互为倒数　　 D.互为负倒数 返回 A 基础提优题 3.下列各数中，与－2互为倒数的是(　　) A.＋2　　 B.－－2　　 C.2＋2　　 D.＋2 返回 【点拨】－2的倒数是＝＝＋2. A 基础提优题 4.已知＋(b－3)2＝＋，则化简的结果为　　　　　. 返回 【点拨】由题意得c－4≥0，4－c≥0，所以c＝4，所以＋(b－3)2＝0.所以a＝5，b＝3.所以＝＝＝＋. ＋ 基础提优题 知识点2 二次根式的混合运算 5.如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷的运算结果的点是(　　) A.点A　　　　B.点B　　　　C.点C　　　　D.点D 返回 C 基础提优题 【点拨】×－÷＝－2× ＝6－3＝3＝.因为42＜18＜52，所以4＜＜5，所以可以近似表示×－÷的运算结果的点是点C. 返回 基础提优题 6.［2026西安碑林区模拟］如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为(　　) A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 返回 (第6题) B 基础提优题 【点拨】设△ABC中边BC上的高为h， 由勾股定理得BC＝＝， 因为S△ABC＝BC•h＝2×3－×2×2－×1×1－×3×1＝2， 所以×h＝2， 所以h＝， 即△ABC中边BC上的高为. 返回 基础提优题 7.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　　　. (第7题) 返回 2 基础提优题 8.计算： (1)－＋3； 返回 【解】原式＝5－＋3×＝5－＋＝5－(－)＋＝5－＋＋＝6. 基础提优题 (2)－4－÷； 返回 【解】原式＝3－4×－＝3－2－＝3－2－2＝－. (3)｜－2｜＋(2 027＋π)0＋－－2. 【解】原式＝2－＋1＋3－4＝2－. 基础提优题 知识点3 二次根式的化简求值 9. 设M＝(－)•，其中a＝4，b＝8，则M的值为(　　) A.2　　 B.－2　　 C.3　　 D.－3 返回 D 基础提优题 【点拨】方法一：因为a＝4，b＝8，所以M＝•＝×＝×＝－＝－＝1－4＝－3. 方法二：原式＝×－×＝1－＝1－｜a｜.因为a＝4，所以原式＝1－4＝－3. 返回 基础提优题 10.若x2－x－1＝0，则的值等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.或 返回 A 基础提优题 【点拨】因为x2－x－1＝0，所以x2－x＝1， 所以＝＝. 返回 基础提优题 11.先化简，再求值：x＋y2－(x2－5x)，其中x＝，y＝4. 返回 【解】原式＝2x＋－x＋5＝x＋6. 当x＝，y＝4时，原式＝＋6＝＋6＝. 基础提优题 12. 已知a＝－，b＝－，c＝－， 那么a，b，c的大小关系是 (　　) A.a＜b＜c　　 B.a＜c＜b C.c＜b＜a　　 D.b＜c＜a 返回 A 综合应用题 【点拨】＝＝＋，＝＝＋，＝＝＋，所以＞＞，所以a＜b＜c. 返回 综合应用题 13. ［重庆市自主招生］按顺序排列的一列数：x1，x2，x3，…，xn(n是正整数)，从第二个数x2开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即x2＝－，x3＝－，…，则下列说法：①当x1≠0且x1≠且x1≠时，x1•x2•x3•x4＝－1；②若x1＝，则x1＋x2＋…＋x47＝18； ③代数式＋2x1－1的值恒为负；④若(x1－)(x2－)x7•x8＝－1，则x1＝±1.其中正确的有(　　) A.4个　　　　B.3个　　　　C.2个　　　　D.1个 返回 B 综合应用题 【点拨】设x1＝a，则x2＝－＝，x3＝－＝－＝，x4＝－＝－＝－，x5＝－＝＋(a－)＝a，…，可以发现每4个数为1个循环，则x1•x2•x3•x4＝a••• ＝－1，故①正确； 返回 综合应用题 若x1＝，则可得x2＝，x3＝，x4＝－，x5＝，…，可见每4个数为1个循环，所以x1＋x2＋x3＋…＋x47＝(x1＋x2＋…＋x48)－x48＝12(x1＋x2＋x3＋x4)－x48＝12××－(－)＝17＋＝18，故②正确；由题意得x10＝x2，x11＝x3，x12＝x4，故＋2x1－1＝＋2a－1＝－a2＋2a－1＝－(a－1)2. 返回 综合应用题 因为对于任意的a都有－(a－1)2≤0，所以＋2x1－1为非正数，当a＝1时为0，故③错误；由题意得x7＝x3，x8＝x4，所以(x1－)(x2－)x7•x8＝(a－••＝－1，所以＝－1.所以a2＝1.所以a＝±1，即x1＝±1.故④正确.综上，正确的结论有3个. 返回 综合应用题 14. 已知x＞0，y＞0，x2＋y2＝24，(＋)4＋(－)4＝180，则xy＝　　　　. 返回 11 【点拨】因为2＋2＝180，所以(x＋y＋2)2＋(x＋y－2)2＝180，所以(x＋y)2＋4(x＋y)＋4xy＋(x＋y)2－4(x＋y)＋4xy＝180，所以(x＋y)2＋4xy＝90，所以x2＋y2＋6xy＝90.因为x2＋y2＝24，所以24＋6xy＝90，所以xy＝11. 综合应用题 15. ［全国初中数学竞赛］设a＝，则＝　　　　. 返回 【点拨】因为a2＝2＝＝＝1－a，所以a2＋a＝1.所以原式＝＝＝＝＝＝＝＝＝－2. －2 综合应用题 16. 某市去年口袋公园建设成效显著，推动完善了“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，如图，地块的长为2米，宽为2米，现要在地块中间修建两块大小相同的长方形绿地(阴影部分)，每块小长方形绿地的长为(2＋3)米，宽为(2－3)米. 返回 综合应用题 (1)求长方形空闲地块的周长. 返回 【解】由题意可得，长方形空闲地块的周长为2×(2＋2)＝4(6＋7)＝(24＋28)米. 综合应用题 (2)除绿地部分，其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，铺地砖的费用为多少？ 返回 【解】铺地砖的面积为2×2－2(2＋3)•(2－3)＝12×14－2×(52－9)＝(168－86)平方米，所以铺地砖的费用为(168－86)×50＝(8 400－4 300)元. 综合应用题 17. ［2026上海实验学校模拟］材料一：由(＋)•(－)＝()2－()2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ＝＝－； 返回 创新拓展题 材料二：根式变形： ＝＝＝(1－)；＝＝＝(－). 返回 创新拓展题 请根据以上材料，回答下列问题： (1)＝　　　　； 返回 3＋ 创新拓展题 (2)＋＋＋…＋＝　　　　； 返回 【点拨】＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋ ＝×(1－＋－＋－＋…＋－) ＝×＝×＝. 创新拓展题 (3)计算： ＋＋…＋. 返回 原式＝＋＋…＋ 创新拓展题 返回 ＝＋＋…＋ ＝－＋－＋…＋－＝－ ＝－＝－＝－－. 创新拓展题 $ 第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及加减运算 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 13 14 15 16 17 18 19 D D 8或0 (1)21　(2)8 ＋ (1)13；－11 习题链接 知识点1 积的算术平方根的性质 1.下列各式变形正确的是(　　) A.＝× B.＝＋ C.＝×　 D.＝× 返回 D 基础提优题 2.化简的结果是(　　) A.2　　 B.－2　　 C.3　　 D.－3 返回 A 基础提优题 3. 小华和小刚两人分别拿一张卡片，小华在卡片上写二次根式a，小刚在卡片上写二次根式b，使得ab＝，请你写出一对满足条件的a，b的值：　　　 . 　　　　. 返回 ，(答案不 唯一) 基础提优题 知识点2 商的算术平方根的性质 4.若＋(a－3)2＝0，则化简的结果是(　　) A.　　 B.　　 C.±　　 D. 返回 B 基础提优题 5.化简二次根式(x＜0)正确的是(　　) A.　　　　B.　　　　C.－　　　　D.－ 返回 C 【点拨】因为x＜0，所以＝＝－，故选C. 基础提优题 6.如果＋6＝20，那么x＝　　　　. 返回 【点拨】因为＋6＝20，所以×3＋6×＝20，即2＋3＝20，所以5＝20，所以＝4，所以x＝16.经检验：x＝16是原方程的解，故答案为16. 16 基础提优题 知识点3 最简二次根式 7.下列各式：①，②，③，④，⑤， ⑥中，最简二次根式有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 基础提优题 8.已知最简二次根式与可以合并，则a＋b的值为　　　　. 返回 【点拨】由题意得b＋1＝2，4a＋3＝2a－b＋6，解得a＝1，b＝1，则a＋b＝1＋1＝2. 2 基础提优题 知识点4 二次根式的加减法 9.下列计算结果正确的是(　　) A.＋＝　　　 B.2＋＝2 C.3－＝2　　　 D.＝1 返回 C 基础提优题 10.若m＋－n＝5，则下列结论正确的是(　　) A.m＝0，n＝1　　 B.m＝1，n＝1 C.m＝－1，n＝0　　 D.m＝2，n＝4 返回 B 基础提优题 11.一个长方形的周长为，它的一边长为，则另一边长为　　　　. 返回 2 基础提优题 12.计算： (1)－；　　 (2)＋； 返回 原式＝5－2＝3. 【解】原式＝＋＝2＋＝. 基础提优题 (3)3－2－4＋3； 返回 【解】原式＝3－4－＋12＝2＋8. 【解】原式＝2＋－－＝＋. (4)＋－. 基础提优题 13.已知＝a，＝b，则等于(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 返回 D 【点拨】＝＝＝.因为＝a，＝b，所以原式＝. 综合应用题 14.已知二次根式与化简成最简二次根式后，被开方数相同，若a是正整数，则a的最小值为(　　) A.23　　 B.21　　 C.15　　 D.5 返回 D 综合应用题 【点拨】因为二次根式与化简成最简二次根式后，被开方数相同，且＝2，所以当23－a＝2时，a＝21，当23－a＝8时，a＝15；当23－a＝18时，a＝5；当23－a＝32时，a＝－9(不符合题意，舍去).综上，符合条件的正整数a的值为5，15，21，所以a的最小值为5. 返回 综合应用题 15.设x，y都是有理数，且满足x2－2y＋y＝8＋4，则x＋y的值为　　　　. 返回 8或0 【点拨】因为x2－2y＋y＝8＋4， 所以(x2－2y－8)＋(y－4)＝0. 因为x，y都是有理数， 所以x2－2y－8，y－4也是有理数. 综合应用题 返回 因为是无理数，所以x2－2y－8＝0，y－4＝0， 解得x＝±4，y＝4. 当x＝4，y＝4时，x＋y＝8；当x＝－4，y＝4时，x＋y＝0. 所以x＋y的值是8或0. 综合应用题 16. 在进行实数的化简时，我们可以用“＝·(a≥0，b≥0)” .如＝＝×＝2.利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式. (1)已知m为正整数，若是整数，则m的最小值为　　　　； 返回 21 综合应用题 【点拨】因为＝＝3，m为正整数，是整数，所以m的最小值为21. 返回 综合应用题 (2)设n为正整数，若y＝，y是大于1的整数，则y的最大值与y的最小值的差为　　　　. 返回 8 综合应用题 返回 【点拨】因为y＝＝10，n为正整数，y是大于1的整 数，所以当n＝2时，ymax＝10＝10.因为当n增大时，y减 小，所以当n＝50时，ymin＝＝2.所以y的最大值与y的最小值的差为10－2＝8. 综合应用题 17. 将图①中的长方形分成B，C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形.如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长是　　　　. 返回 ＋ 综合应用题 【点拨】设长方形C的长为x，宽为y，则正方形A的边长为x，长方形B的长为x＋y，宽为y.因为正方形A的面积为2，所以x＝.因为拼接后的大正方形的面积是5，所以x＋y＝，所以y＝－，所以题图①中原长方形的长为x＋x＋y＝2x＋y＝2＋－＝＋. 返回 综合应用题 18. 小进准备完成题目“(■－5)－”时，发现“■”处的数印刷不清楚. (1)他把“■”处的数猜成6，请你计算(6－5)－的结果； 返回 【解】原式＝6×－5×－2＋×2＝2－－2＋＝0. 综合应用题 (2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的答案是.”请你通过计算说明原题中“■”处的数是多少. 返回 【解】设原题中“■”处的数是a， 则－＝， 即a－5×－2＋×2＝. 综合应用题 返回 所以a－－2＋＝. 所以 ＝. 所以a－2＝，解得a＝. 所以原题中“■”处的数是. 综合应用题 19. ［江苏竞赛］如图，在数轴上有两个长方形ABCD和长方形EFGH，这两个长方形的宽都是2个单位长度，长方形ABCD的长AD是4个单位长度，长方形EFGH的长EH是8个单位长度，点E在数轴上表示的数是5，且E，D两点之间的距离为12. 返回 创新拓展题 (1)点H在数轴上表示的数是　　　　 ，点A在数轴上表示的数是　　　　. 返回 13 －11 创新拓展题 (2)若线段AD的中点为M，线段EH上有一点N，EN＝EH，M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动的时间为x s，问当x为多少时，原点O恰为线段MN的三等分点？ 返回 创新拓展题 【解】由题意知，线段AD的中点为M，则M表示的数为－9，线段EH上有一点N，且EN＝EH，则N表示的数为7. 因为M以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动， 所以经过x s后，M点表示的数为4x－9，N点表示的数为7－3x， 返回 创新拓展题 ①当OM＝2ON时，有｜4x－9｜＝2｜7－3x｜， 解得x＝(经检验，不符合题意，舍去)或x＝； 返回 创新拓展题 ②当ON＝2OM时，有2｜4x－9｜＝｜7－3x｜， 解得x＝或x＝(经检验，不符合题意，舍去). 综上所述，当x＝或x＝时，原点O恰为线段MN的三等分点. 返回 创新拓展题 $ 第二章 实数 2 平方根与立方根 第3课时 立方根 知识点1 立方根的定义及性质 1.下列说法正确的是(　　) A.27的立方根是3，记作＝3 B.－是－的立方根 C.64的立方根是±4 D.－1的立方根是－1 返回 D 基础提优题 2.下列说法：①立方根是它本身的数只有3个；②的立方根是与－；③－81无立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数的立方根不是正数就是负数； ⑥如果一个数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是0.其中正确的是(　　) A.①②⑤　　　B.③⑥　　　C.①④　　　D.②④ 返回 C 基础提优题 知识点2 开立方 3.［2026菏泽期中］已知x，y满足＋(y＋2)2＝0，则yx的立方根是(　　) A.　　 B.－8　　 C.－2　　 D.±2 返回 C 基础提优题 4.若a2＝16，＝－2，则a＋b的值是　　　　. 返回 12或4 【点拨】因为a2＝16，＝－2，所以a＝±4，b＝8，所以a＋b＝4＋8＝12或a＋b＝－4＋8＝4. 基础提优题 5.求下列各式的值： (1)；　　 返回 【解】＝＝－. 基础提优题 (2)－. 返回 【解】－＝－3－4＝－7. 基础提优题 6.求下列各式中的x： (1)8x3＋125＝0； 返回 【解】因为8x3＋125＝0，所以8x3＝－125. 所以x3＝－.所以x＝－. 基础提优题 (2)3(x－1)3＋81＝0. 返回 【解】因为3(x－1)3＋81＝0，所以(x－1)3＝－27. 所以x－1＝－3.所以x＝－2. 基础提优题 知识点3 ()3和的运用 7.下列计算正确的是(　　) A.＝2　　　 B.－＝0.4 C.()3＝21　　　 D.－＝－2 返回 B 基础提优题 8.若＝9－x，则x的平方根为　　　　. 返回 ±3 【点拨】因为＝x－9＝9－x，所以x＝9.因为9的平方根为±3，所以x的平方根为±3. 基础提优题 知识点4 算术平方根、平方根与立方根的综合 9.有一个数值转换器，流程如图所示，当输入x的值为64时，输出y的值是(　　) A.2　　 B.　　 C.　　 D. 返回 C 基础提优题 10.已知3a－7的立方根是2，3a＋b－1的算术平方根是4，则a＋2b的平方根是　　　　. 返回 ±3 【点拨】因为3a－7的立方根是2，所以3a－7＝23，所以a＝5.因为3a＋b－1的算术平方根是4，所以3a＋b－1＝42，所以b＝2，所以a＋2b＝5＋2×2＝9.因为9的平方根为±3，所以a＋2b的平方根为±3. 基础提优题 知识点5 立方根的实际应用 11. 在做物理实验时，小明用一根细线将一个实心铁球拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁球排出的水的体积为64π cm3.小明又将铁球从水中提起，量得烧杯中的水位下降了 cm.请问烧杯内部的底面半径和铁球的半径各是多少？(球的体积公式为V＝πr3，r为球的半径) 返回 基础提优题 【解】设烧杯内部的底面半径为R cm，铁球的半径为r cm，根据题意得πR2×＝64π，πr3＝64π，解得R＝6，r＝.故烧杯内部的底面半径是6 cm，铁球的半径是 cm. 返回 基础提优题 12.已知≈1.333，≈2.872，那么 ≈(　　) A.－28.72　　 B.－13.33　　 C.－0.287 2　　 D.－0.133 3 返回 B 综合应用题 13.若－＝0，则x2＋x－3的算术平方根为(　　) A.3　　 B.2　　 C.3和－3　　 D.2和－2 返回 A 【点拨】因为－＝0，所以＝，所以x－3＝2x＋1，所以x＝－4，所以x2＋x－3＝16－4－3＝ 9，所以x2＋x－3的算术平方根为＝3. 综合应用题 14.已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m－n＝　　　　　　. 返回 5－ 综合应用题 15. 立方根等于本身的数的个数为a，平方根等于本身的数的个数为b，算术平方根等于本身的数的个数为c，倒数等于本身的数的个数为d，则a＋b＋c＋d＝　　　　. 返回 8 【点拨】立方根等于本身的数的个数为3，故a＝3；平方根等于本身的数的个数为1，故b＝1；算术平方根等于本身的数的个数为2，故c＝2；倒数等于本身的数的个数为2，故d＝2.把这些数值代入，得a＋b＋c＋d＝8. 综合应用题 16.M 是个位数字不为零的两位数，将M的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N，若M－N恰是某正整数的立方，则这样的两位数M共有　　　　个. 返回 6 综合应用题 【点拨】设两位数M＝10a＋b，则N＝10b＋a，设M－N是正整数c的立方，所以M－N＝(10a＋b)－(10b＋a)＝9(a－b)＝c3.因为a，b为正整数，且1≤a≤9，1≤b≤9，所以c3≤72.因为c是正整数，43＝64，53＝125，所以c≤4.又因为c是正整数，c3是9的整数倍，所以c＝3，即a－b＝3，所以满足条件的两位数M有41，52，63，74，85，96，共6个.故答案为6. 返回 综合应用题 17. 【发现】 ①＋＝2＋(－2)＝0； ②＋＝1＋(－1)＝0； ③＋＝10＋(－10)＝0； ④＋＝＋＝0； …… 返回 综合应用题 (1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：　　　　. 　　　　　　　　　　 　　　　. 等式①②③④所反映的规律，可归纳为一结论：对于任意两个实数a，b，若　　 　 　 　　，则＋＝0；反之，也成立. 返回 ＝3＋(－3)＝0(答案不唯一) ＋ a，b互为相反数 综合应用题 【应用】根据上述结论，解决下列问题： (2)若与互为相反数，则＝　　　　. 返回 6 【点拨】因为与互为相反数，所以＋＝0，所以3－2x＋x＋6＝0，所以x＝9，所以＝＝6. 综合应用题 (3)若与互为相反数，且10a2－6b＝16，求a的值. 返回 【解】因为与互为相反数， 所以4a2－10＋6－3b＝0，所以b＝. 因为10a2－6b＝16，所以10a2－8a2＋8＝16， 所以2a2＝8，所以a＝±＝±2. 综合应用题 18. 我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求59 319的立方根.他脱口而出：39.他是怎样快速准确算出来的呢？ (1)【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为03＝0，所以＝0；因为(－2)3＝－8，所以＝－2，因此，我们需要熟悉一些数及其立方.请补全表格： 返回 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27     216     729 103 106 64 125 343 512 创新拓展题 (2)【思路探究】尝试求出19 683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由103＝1 000，1003＝1 000 000，确定是　　　　位数； ②确定个位的数字：根据(1)中各整数的立方的个位数字，确定的个位上的数字是　　　　； 返回 两 7 创新拓展题 ③确定十位的数字：由203＝8 000，303＝27 000，且8 000＜19 683＜27 000，确定的十位上的数字是　　　　； ④确定立方根的值：由①～③可得的值为　　　　. 返回 2 27 创新拓展题 (3)【尝试应用】某商场拟建一个容积为373 248的正方体玻璃柜放置东莞迎恩门城楼模型，请问这个正方体玻璃柜的棱长是多少？直接写出答案. 返回 【解】这个正方体玻璃柜的棱长是72. 创新拓展题 $ 第二章 实数 专项培优5 二次根式的化简求值的特殊方法 方法1 分母有理化法 1.已知m是正整数，a＝，b＝，a＋b＋3ab＝2 029，则m的值为　　　　. 返回 506 【点拨】因为a＝＝＝m＋1＋m－2，b＝＝＝m＋1＋m＋2，所以a＋b＝4m＋2，ab＝1.又因为a＋b＋3ab＝2 029，所以4m＋2＋1×3＝2 029，解得m＝506. 返回 当二次根式出现在分母中时，可通过分的方法进行化简：1.若分母是单项二次根式，可利用•＝a来进行分母有理化；2.若分母是非单项二次根式，则可以利用平方差公式来进行分母有理化. 方法2 拆项法 2.计算：. 返回 【解】原式＝＝＋＝＋＝－＋－＝－. 根据“提示”，将原式的分子，从而把原式变为两个式子的和，再约分、分母有理化. 方法3 倒数法 3.化简：. 返回 【解】易知原式＝，设原式＝x， 则＝＋＝－＋－1＝－1. 所以x＝＝，即原式＝. 原式中的分子、分母比较复杂，可以通过简化运算. 方法4 约分法 4.计算：. 返回 【解】原式＝＝＝＝. 方法5 换元法 5.已知n＝＋1，求＋的值. 返回 【解】设x＝n＋2＋，y＝n＋2－， 则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8. 所以原式＝＋＝＝＝－2＝－2＝n. 当n＝＋1时，原式＝＋1. 返回 原式表面看上去无法化简，分子、分母变形后取倒数，便可化简，注意最后还要取倒数还原得最终结果. 方法6 数形结合法 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点表示出来如图所示： (1)请化简：－＋； 返回 【解】由数轴得c＜－1＜b＜0＜a＜1， 所以a＋c＜0，b－a＜0， 所以－＋＝｜b｜－｜c＋a｜＋｜b－a｜＝－b＋a＋c＋a－b＝2a－2b＋c. 返回 (2)已知a＝2－12，b＝1－，c＝－，求－＋的值. 返回 【解】因为a＝2－1＝，b＝1－，c＝－， 所以原式＝2a－2b＋c＝2×－2(1－)－＝2－. 返回 化简二次根式时一般是与数轴 结合，先根据字母表示的点在数轴上的位置确定该字母的值或取值范围，再进行化简. 方法7 整体代入法 7. 已知a＋b＝3，ab＝1，且a＞b，求的值. 返回 【解】＝＝. 因为a＋b＝3，所以(a＋b)2＝9，所以(a－b)2＋4ab＝9. 因为ab＝1，所以(a－b)2＝5. 又因为a＞b，所以a－b＝. 所以原式＝＝. 返回 $ 第二章 实数 专项培优4 比较含有二次根式式子大小的方法 方法1 平方法 1.比较＋与＋的大小. 返回 【解】因为(＋)2＝17＋2，(＋)2＝17＋2，17＋2＞17＋2， 所以(＋)2＞(＋)2. 又因为＋＞0，＋＞0， 所以＋＞＋. 返回 利用比较两个式子的大小：先将两个要比较的式子分别平方，再根据“a＞0，b＞0时，若a2＞b2，则a＞b；a＜0，b＜0时，若a2＞b2，则a＜b”来比较大小.对于±与±，若a＋b＝c＋d，也可用此法. 方法2 作商法 2. 比较与的大小. 返回 【解】解法1：÷＝＝＜1. 易知＞0，＞0，所以＜. 返回 已知a＞0，b＞0，若＞1，则a＞b；若＝1，则a＝b；若＜1，则a＜b. 返回 解法2：－＝－＝－＝＜0， 所以＜. 方法3 分子有理化法 3.(1)比较－与－的大小； 返回 【解】因为－＝＝， －＝＝ ， 且＋＞＋＞0， 所以＜， 即－＜－. (2)比较－与－的大小. 返回 【解】因为－＝＝， －＝＝， 且＋＞＋＞0， 所以＜，即－＜－. 方法4 分母有理化法 4.比较与的大小. 返回 【解】因为＝2＋，＝＋，2＋＞＋ ，所以＞ . 方法5 作差法 5.比较3－和－2的大小. 返回 【解】因为3－－＝3－－＋2＝5－2，5－2＝－＞0，所以3－＞－2. 返回 利用比较两个式子的大小时，若a－b＞0，则a＞b；若a－b＜0，则a＜b；若a－b＝0，则a＝b. 方法6 倒数法 6. 已知x＝－，y＝－，试比较x，y的大小. 返回 【解】＝＝＞0， ＝＝＞0. 因为＋＞＋＞0， 所以＞＞0.所以x＜y. 方法7 设参比较法 7. 比较A＝与B＝的大小. 返回 【解】设54 321＝x，则A＝＝， B＝＝. 因为x2＋3x＜x2＋3x＋2， 所以A＜B. $ 第二章 实数 章末培优 全章热门考点整合 考点1 实数的相关概念及分类 1.下列说法：①数轴上的点与实数成一一对应关系；②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则这个数是0.其中正确的有(　　) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个 返回 C 核心考点 整合 2.定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作［x］.例如［］＝1，［－］＝－3.按此规定，［1－］＝　　　. 返回 －3 【点拨】因为9＜10＜16，所以3＜＜4.所以－4＜－＜－3.所以－3＜1－＜－2.所以［1－］＝－3. 核心考点 整合 3.将下列各数填在相应的集合里. ，π，3.141 592 6，－0.456，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1个0)，0，，，，. 有理数集合：{　　　　　　　　　　 . 　　　　　…}； 返回 ，3.141 592 6，－0.456，0，， ， 核心考点 整合 无理数集合：{　　　　　 　　　　. 　　　　　　　 　…}； 正实数集合：{　　　　　　　　 　　　. 　　　 　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}. 返回 π，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1 个0)，，， ，π，3.141 592 6，3.030 030 003…(相邻两个3之间依次多1个0)，， ，，， 核心考点 整合 考点2 算术平方根、平方根、立方根 4.下列说法正确的是(　　) A.的平方根是±3 B.()2的算术平方根是5 C.(－7)2的平方根是7 D.1的平方根和算术平方根都是1 返回 A 核心考点 整合 5.若｜a－3｜＋(b－2)2＋＝0，则(a－b＋c)2的值是　　　　. 返回 9 核心考点 整合 6.一个正数m的两个不同的平方根分别为2n＋1和3－3n，则m的值为　　　　. 返回 81 核心考点 整合 7.比小且比－大的整数有　 　　. 返回 －1，0，1，2 核心考点 整合 8.比较大小：－2　　＋2.(填“＞”“＜”或“＝”) 返回 ＞ 核心考点 整合 9. 已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值：　　　　　　　　. 返回 ±12，， 核心考点 整合 10.已知与互为相反数(其中y≠0)，则＝　　　　. 返回 【点拨】由与互为相反数可得1－3y与4x－1互为相反数，所以4x－1＋1－3y＝0，整理得y＝x.将y＝x代入可得，＝＝. 核心考点 整合 考点3 二次根式的相关概念及性质 11.下列各式，，，，，中，一定是二次根式的有(　　) A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个 返回 B 核心考点 整合 12.下列各式化成最简二次根式正确的是(　　) A.＝　　　 B.＝ C.＝　　　 D.＝3 返回 C 核心考点 整合 13.已知a＞0，那么可化简为　　　　 . 返回 【点拨】因为a＞0，≥0，所以b＜0，所以＝＝＝－. － 核心考点 整合 14.已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简｜a｜－＋－＝　　　　. 返回 【点拨】由数轴可知a＜0，a＋c＜0，c－a＜0，b＞0，则｜a｜－＋－＝－a＋a＋c－(c－a)－b＝ a－b. a－b 核心考点 整合 15.下列计算中，正确的是(　　) A.－＝　　 B.3－＝3 C.3×2＝6　　 D.÷＝2 返回 D 考点4 二次根式的运算 核心考点 整合 16.估计×＋×的值在(　　) A.4和5之间 　　 B.5和6之间 C.6和7之间 　　 D.7和8之间 返回 C 核心考点 整合 17.如图是添加了便签的台历示意图，正方形ABFE为日历区，正方形EGHD为备忘录区，长方形GFCH为便签区，已知日历区的面积为270 cm2，备忘录区的面积为80 cm2，则便签区的面积为　　　　　　　cm2. 返回 (60－80) 核心考点 整合 18.计算：(1)－2＋｜1－｜＋(π－2)0＋； 返回 【解】原式＝9＋－1＋1＋2＝9＋3. (2)(2－1)2＋(－3)(＋3)； 【解】原式＝12－4＋1＋2－9＝6－4. 核心考点 整合 (3)(＋)÷＋×－. 返回 【解】原式＝(2＋4)÷＋3－(－1)＝2＋4＋3－＋1＝4＋5. 核心考点 整合 19.已知a＝，b＝. (1)求a＋b的值； 返回 【解】a＝＝＝＋， b＝＝＝－. a＋b＝＋＋－＝2. 核心考点 整合 22 (2)求a2－3ab＋b2的值. 返回 【解】a＝＝＝＋， b＝＝＝－. 因为ab＝(＋)(－)＝3－2＝1， 所以a2－3ab＋b2＝(a＋b)2－5ab＝(2)2－5＝7. 核心考点 整合 思想1 方程思想 20.已知a，b为有理数，且＝＋1，求a＋b的值. 返回 【解】＝＋1，去分母得b－2＝(＋1)(a－3)，即b－2＝5a＋a－3－3， 所以b－5a－a＝－－3，所以b－5a＝－3，－a＝－1，解得a＝1，b＝2，所以a＋b＝1＋2＝3. 思想方法 整合 思想2 分类讨论思想 21. 设x，y为非零数，试求＋的值. 返回 【解】①若x，y同号， 当x＞0，y＞0时，原式＝＋＝＋＝1＋1＝2；当x＜0，y＜0时，原式＝＋＝＋＝－1－1＝－2. 思想方法 整合 返回 ②若x，y异号， 当x＞0，y＜0时，原式＝＋＝＋＝1－1＝0； 当x＜0，y＞0时，原式＝＋＝＋＝－1＋1＝0. 综上所述，原式的值是2或－2或0. 思想方法 整合 22. 已知a＋b＝－8，ab＝12，求b＋a的值. 返回 【解】因为a＋b＝－8＜0，ab＝12＞0， 所以a＜0，b＜0， 所以原式＝－－＝－＝－.当a＋b＝－8，ab＝12时，原式＝－×＝－. 思想3 整体思想 思想方法 整合 23. 请阅读下列材料： 问题：已知x＝＋2，求代数式x2－4x－7的值. 小明的做法：根据x＝＋2得(x－2)2＝5，所以x2－4x＋4＝5，所以x2－4x＝1.把x2－4x的值整体代入，得x2－4x－7＝1－7＝－6.即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题. 返回 思想方法 整合 仿照上述方法解决问题： (1)已知x＝－3，求代数式x2＋6x－8的值； 返回 【解】因为x＝－3，所以x＋3＝， 所以(x＋3)2＝10，即x2＋6x＋9＝10， 所以x2＋6x＝1，所以x2＋6x－8＝1－8＝－7. 思想方法 整合 (2)已知x＝，求代数式x3＋2x2的值. 返回 【解】因为x＝，所以2x＝－1，所以2x＋1＝， 所以(2x＋1)2＝5，所以4x2＋4x＋1＝5， 所以4x2＋4x＝4， 所以x2＋x＝1，所以x3＋2x2＝x3＋x2＋x2＝x(x2＋x)＋x2＝x×1＋x2＝x＋x2＝1. 思想方法 整合 $ 第二章 实数 阶段综合培优练 二次根式及其运算 一、选择题(每题4分，共32分) 1.如果＋有意义，那么代数式｜x－1｜＋的值为(　　) A.±8　　 B.8 C.－8　　 D.无法确定 返回 B 2.小明的作业本上有以下四题：①＝4a2；②•＝5a；③a＝＝；④÷＝4.做错的题是 (　　) A.①　　 B.②　　 C.③　　 D.④ 返回 D 3.如果最简二次根式和可以合并，那么a，b的值为(　　) A.a＝1，b＝－2 　　 B.a＝－1，b＝1 C.a＝2，b＝0　　 　　 D.a＝0，b＝2 返回 D 4.的整数部分是x，小数部分是y，则y(x＋)的值是 (　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 返回 A 5.已知x＋2＋＝10，则x的值为(　　) A.4 　　 B.±2 　　 C.2 　　 D.±4 返回 C 6.［2026厦门期中］小明做数学题时，发现＝；＝2；＝3；＝4；….按此规律，若＝a(a，b为正整数)，则a＋b＝(　　) A.64　　　　B.72　　　　C.65　　　　D.73 返回 D 7. ［武汉二中自主招生］化简＋的结果是(　　) A.6　　 B.　　 C.3　　 D.3 返回 D 【点拨】＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝＝3，故选D. 返回 8. 如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，某同学在观察探究时发现：①△ABC的形状是等腰三角形；②△ABC的周长是2＋；③点C到AB边的距离是.你认为该同学观察的结论正确的序号是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 返回 B 10 【点拨】因为方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，所以AB＝＝，BC＝＝.所以AB＝BC.所以△ABC是等腰三角形，故①的结论正确.因为AC＝＝2，所以△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝＋＋2＝2＋2，故②的结论错误. 返回 11 因为S△ABC＝32－×1×3－×2×2－×1×3＝9－－2－ ＝4，所以点C到AB边的距离为2×4÷＝，故③的结论正确. 返回 12 二、填空题(每题6分，共24分) 9.实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则化简－｜b－a｜的结果是　　　　. 返回 b－c 10. 对于任意两个和为正数的实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝，例如3※1＝＝1.那么8※12＝　　　　. 返回 － 11. 已知x＝，y＝，则代数式3x2－5xy＋3y2的值是　　　　. 返回 181 【点拨】因为x＝＝＝＝4－，y＝＝＝＝4＋，所以x－y＝(4－)－(4＋)＝－2，xy＝1，所以3x2－5xy＋3y2＝3x2－6xy＋3y2＋xy＝3(x－y)2＋xy＝3×(－2)2＋1＝180＋1＝181. 返回 返回 返回 12. ［深圳中学自主招生］已知x，y为正整数，x＋y－－＋＝7，则x＋y＝　　　　. 8 【点拨】因为x＋y－－＋＝7，所以x＋y－－＋－7＝0.所以＋)－＋)＋－)＝0.所以(＋)•(－)＋－)＝0.所以(＋＋)(－)＝0.易得＋＋≠0.所以－＝0，所以xy＝7.又因为x，y为正整数，所以x＋y＝8. 返回 三、解答题(共44分) 13.(12分) 计算： (1)(－3)0＋＋(－3)2－4×； 返回 【解】原式＝1＋2＋9－2＝10. (2)÷－×＋； 返回 【解】原式＝4÷－＋2＝4－＋2＝4＋. (3)(3＋2)2－(4＋)(4－). 【解】原式＝9＋12＋20－(16－5)＝29＋12－11＝18＋12. 14.(8分)已知a，b，c满足(a－)2＋＋｜c－3｜＝0. (1)求a，b，c的值. 返回 【解】因为(a－)2＋＋｜c－3｜＝0，且(a－)2≥0，≥0，｜c－3｜≥0， 所以a－＝0，b－5＝0，c－3＝0，解得a＝2，b＝5，c＝3. (2)用长为a，b，c的三条线段能否围成三角形？若能围成，说明理由并求出三角形的周长；若不能围成，请说明理由. 返回 【解】用长为a，b，c的三条线段能围成三角形.理由如下： 由(1)知b＞c＞a. 因为a＋c＝2＋3＝5＞5，所以a＋c＞b. 所以用长为a，b，c的三条线段能围成三角形. 三角形的周长为a＋b＋c＝2＋5＋3＝5＋5. 15.(12分) 如图①，两张面积分别为25 cm2和20 cm2的正方形纸片无重叠地放在一张长方形纸片ABCD中. (1)图①中阴影部分图形的长为　 　cm，宽为　　 　cm. 返回 2 (5－2) (2)求图①中阴影部分图形的周长和面积. 返回 【解】阴影部分图形的周长＝2×(2＋5－2)＝10(cm).阴影部分图形的面积＝2×(5－2)＝(10－20) cm2. (3)小康将图①中的面积分别为25 cm2和20 cm2的正方形纸片重新按照如图②所示的方式摆放在另一张长方形纸片A′B′C′D′中，其中长方形A′B′C′D′中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若A′B′＝6 cm，求图②中空白部分的面积. 返回 【解】由题图②可知，S空白＝S正方形C′GEF＋S长方形D′GNK.因为长方形D′GNK的长为＝2(cm)，宽为(6－)＝1(cm)，所以 S空白＝S正方形C′GEF＋S长方形D′GNK＝25＋1×2＝(25＋2) cm2. 返回 【解】S2－S1＝(1＋)2－12＝1＋2＋2－1＝2＋2.S3－S2＝(1＋2)2－(1＋)2＝1＋4＋8－1－2－2＝6＋2，S4－S3＝(1＋3)2－(1＋2)2＝1＋6＋18－1－4－8＝10＋2. 16.(12分) 如图，将边长分别为1，1＋，1＋2，1＋3的正方形的面积记为S1，S2，S3，S4. (1)计算：S2－S1，S3－S2，S4－S3. 返回 (2)把边长为1＋(n－1)的正方形的面积记作Sn，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出Sn＋1－Sn等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由. 返回 【解】Sn＋1－Sn＝4n－2＋2.理由如下： Sn＋1－Sn＝(1＋n)2－［1＋(n－1)］2 ＝1＋2n＋2n2－［1＋2(n－1)＋2(n－1)2］ ＝1＋2n＋2n2－(1＋2n－2＋2n2－4n＋2) ＝1＋2n＋2n2－1－2n＋2－2n2＋4n－2 ＝4n－2＋2. (3)若将正方形的边长变为a，a＋，a＋2，a＋3，…时，Sn＋1－Sn的值是多少？ 返回 【解】Sn＋1－Sn＝(a＋n)2－［a＋(n－1)］2 ＝a2＋2an＋n2b－［a2＋2a(n－1)＋(n－1)2b］ ＝a2＋2an＋n2b－［a2＋2an－2a＋n2b－2nb＋b］ ＝a2＋2an＋n2b－a2－2an＋2a－n2b＋2nb－b ＝2nb－b＋2a. $ 第二章 实数 1 认识实数 第2课时 实数的概念及分类 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 11 12 13 14 15 C 20 (1)－2 ； 3 ；无理数 习题链接 1. 下列五个数：，2.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数依次加1)，－π，－0.5，3.14，其中无理数有 (　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 B 知识点1 无理数的概念 基础提优题 2.如图是由16个边长为1的小正方形组成的，连接这些小正方形的若干个顶点，得到5条线段CA，CB，CD，CE，CF，其中长度是无理数的有(　　) A.1条　　 B.2条 C.3条　　 D.4条 返回 C 基础提优题 3. 若m是无理数，且1＜m＜2，则m的值可以 是　　 　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 知识点2 实数及其分类 4.下列说法： ①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数既是有理数又是无理数. 其中正确的有(　　) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 返回 A 基础提优题 5.把下列各数的序号填在相应的集合里： ①7；②－2.6；③－；④｜－2｜；⑤0.6；⑥－；⑦3； ⑧0.303 003 000 3… (相邻两个3之间依次多一个0)；⑨3.14. 整数集合：{　　　…}； 负分数集合：{　　　　…}； 无理数集合：{　　　…}. 返回 ①④ ②⑥⑦ ③⑧ 基础提优题 知识点3 实数的性质 6. 下列比较大小正确的是(　　) A.｜－1.5｜＞1.　　 B.＞0.667 C.π＜3.142　　 D.π＝3.141 592 6 返回 C 基础提优题 7.3－π的绝对值是　　　　，的倒数是　　，π－3.14的相反数是　　　　. 返回 π－3 π 3.14－π 基础提优题 知识点4 实数与数轴上点的关系 8. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足－a＜b＜a，则b的值可以是(　　) A.2　　 B.－1　　 C.－2　　 D.－3 返回 B 基础提优题 【点拨】方法1：因为－a＜b＜a，所以｜b｜＜a，又因为1＜a＜2，所以b可以是－1. 方法2：因为｜a｜＜2，－a＜b＜a，所以实数b对应的点到原点的距离一定小于2. 返回 基础提优题 9.如果数轴上点A表示的数为－π，点B到点A的距离为4，那么点B表示的数为　 　. 返回 4－π或－4－π 基础提优题 10.已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简｜a＋2｜－｜b－3｜－｜a＋b｜＝　　　 　. 返回 2a＋2b－1 【点拨】由数轴可得a＞－2，b＜2，｜a｜＞｜b｜，所以a＋2＞ 0，b－3＜0，a＋b＜0，所以原式＝a＋2－［－(b－3)］－［－(a＋b)］＝a＋2＋b－3＋a＋b＝2a＋2b－1，故答案为2a＋2b－1. 基础提优题 11.［2025南京］实数－a，a，在数轴上对应点的位置如图所示，下列四个点中，表示1的点可能是(　　) A.P 　　 B.Q 　　 C.R 　　 D.S 返回 C 综合应用题 返回 【点拨】依题意得，a≠0，观察数轴，得－a＜a＜，所以0＜a＜1，则＞1，所以a＜1＜.因为R在表示a和的点之间，所以表示1的点可能是R，故选C. 综合应用题 12. 如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，有 　　　条线段的长度为无理数. 20 返回 综合应用题 【点拨】由题意可得，O＝1，O＝O＋12＝2，O＝O＋12＝3，O＝O＋12＝4，O＝O＋12＝5，…，所以线段长度为有理数的是OA1＝1，OA4＝2，OA9＝3，OA16＝4，OA25＝5，所以OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，长度为无理数的线段有25－5＝20(条). 返回 综合应用题 13. ［2026唐山期中］如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示－，设点B所表示的数为m. (1)求｜m＋1｜＋｜m－1｜的值； 【解】由题意得m＝2－，所以m＋1＞0，m－1＜0，所以 ｜m＋1｜＋｜m－1｜＝m＋1＋1－m＝2. 返回 综合应用题 (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有｜2c＋8｜与(d－3)2为相反数，求2d－c的平方. 【解】由题意得｜2c＋8｜＋(d－3)2＝0，所以2c＋8＝0，d－3＝0，解得c＝－4，d＝3，所以2d－c＝2×3－(－4)＝6＋4＝10.因为10的平方是100，所以2d－c的平方为100. 返回 综合应用题 14. 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果ax＋b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a＝0，且b＝0.运用上述知识解决下列问题： (1)如果(a＋2)π－b＋3＝0，其中a，b为有理数，那么a＝　　　　，b＝　　　　； －2 3 返回 综合应用题 【点拨】因为(a＋2)π－b＋3＝0，其中a，b为有理数，所以a＋2＝0，－b＋3＝0，所以a＝－2，b＝3. 返回 综合应用题 (2)如果2b－6－(a－4)π＝5，其中a，b为有理数，求3a＋2b 的值. 【解】因为2b－6－(a－4)π＝5，即(a－4)π－2b＋11＝0，其中a，b为有理数，所以a－4＝0，且－2b＋11＝0，解得a＝ 4，b＝，所以3a＋2b＝3×4＋2×＝12＋11＝23. 返回 综合应用题 15. 如图，数轴上从左到右依次有A，B，C，D四个点，A，B之间的距离为a＋b，B，C之间的距离为2a－b，B，D之间的距离为5a＋2b，将直径为1的圆形纸片按如图所示的方式放置在点A处，并沿数轴向右滚动. (1)若圆形纸片从点A处滚到点C处，恰好滚动了n(n为正整数) 圈，则a＝　　　　(用含n的代数式表示)，a是　　　　(填“有理数”或“无理数”)； 无理数 返回 创新拓展题 【点拨】圆形纸片的直径为1，因此周长为π，滚动n圈的距离为nπ，而AC＝(a＋b)＋(2a－b)＝3a，所以3a＝nπ，即a＝，是无理数. 返回 创新拓展题 (2)若圆形纸片从点A处滚动1圈后，恰好到达点B处，求C，D之间的距离(结果保留π)； 【解】因为圆形纸片从点A处滚动1圈到达点B处， 所以a＋b＝π， 所以CD＝(5a＋2b)－(2a－b)＝3a＋3b＝3(a＋b)＝3π， 所以C，D之间的距离为3π. 返回 创新拓展题 (3)若点A表示的数为π，圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点A处滚动3圈后，恰好到达点C处，求点D表示的数. 【解】由(2)得CD＝3AB. 由于圆形纸片从点A处滚动到点B，C，D处的圈数均为整数，且从点A处到点C处恰好滚动3圈， 返回 创新拓展题 因此有：①当A，B之间的距离为π时， 则B，C之间的距离为2π，C，D之间的距离为3π， 所以A，D之间的距离为π＋2π＋3π＝6π. 又因为点A表示的数为π， 所以点D表示的数为π＋6π＝7π； 返回 创新拓展题 ②当A，B之间的距离为2π时， 则B，C之间的距离为π，C，D之间的距离为2π×3＝6π， 所以A，D之间的距离为2π＋π＋6π＝9π. 又因为点A表示的数为π， 所以点D表示的数为π＋9π＝10π. 综上，点D表示的数为7π或10π. 返回 创新拓展题 $ 第二章 实数 2 平方根与立方根 第4课时 估算 知识点1 估算 1.［2025天津］估计1＋的值在(　　) A.1和2之间　　　 B.2和3之间 C.3和4之间　　　 D.4和5之间 返回 C 基础提优题 2. 如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示数－1，1，2，3，表示数4－的点M应落在线段(　　) A.AO上　　 B.OB上　　 C.BC上　　 D.CD上 返回 C 基础提优题 3. 、 写出一个比大且比小的整数：　 　. . 返回 2(答案 不唯一)　 基础提优题 知识点2 比较数的大小 4.若记a＝－2，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜b＜c　　 B.b＜a＜c C.c＜a＜b　　 D.c＜b＜a 返回 B 基础提优题 5.通过估算，比较下面各组数的大小： (1)和； 返回 【解】因为＞3，所以－2＞3－2，即－2＞1，所以＞. 基础提优题 (2)和. 返回 【解】因为＝，所以要比较和的大小，只需比较和的大小. 因为5－(2＋2)＝3－2，(2)2＝20＞32， 所以3－2＜0，所以＜. 基础提优题 知识点3 用计算器开方 6.利用计算器，比较下列各组数的大小： (1)　　　　； (2)　　　　. 返回 ＜ ＜ 综合应用题 7.用计算器计算.(结果精确到0.01) (1)－＋2π－； 返回 【解】－＋2π－≈0.866－3.142＋6.283－1.414≈2.59. (2)(－)×. 【解】(－)×≈25.205 621 73≈25.21. 基础提优题 8.已知a，b，n均为正整数. (1)若n＜＜n＋1，则n＝　　　　； 返回 【点拨】因为＜＜，所以3＜＜4.因为n＜＜n＋1，n为正整数，所以n＝3. 3 综合应用题 (2)若n－1＜＜n，n＜＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少　　　　个. 返回 【点拨】因为n－1＜＜n，所以(n－1)2＜a＜n2，所以n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1.因为n＜＜n＋1，所以n2＜b＜(n＋1)2，所以(n＋1)2－n2＝n2＋2n＋1－n2＝2n＋1.因为(2n＋1)－(2n－1)＝2，所以满足条件的a的个数总比b的个数少2个. 2 综合应用题 9. 阅读理解：求的近似值. 解：设＝10＋x，其中0＜x＜1，则107＝(10＋x)2，即107＝100＋20x＋x2. 因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100＋20x，解得x≈0.35，即的近似值为10.35. 理解应用：利用上面的方法求的近似值(结果精确到0.01). 返回 综合应用题 【解】设＝10－x，其中0＜x＜1，则97＝(10－x)2，即97＝100－20x＋x2.因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以97≈100－20x，解得x≈0.15，即的近似值为9.85. 返回 综合应用题 【解】因为长方形ABCD的长和宽的长度比为4:3，所以设长方形的长为4x cm，宽为3x cm.由题意知，4x•3x＝612，所以12x2＝612，所以x2＝51. 10. 如图，长方形ABCD的长和宽的长度比为4:3，面积为612 cm2.请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16π cm2的圆？ 返回 综合应用题 因为x＞0，所以x＝，所以长方形的长为4 cm，长方形的宽为3 cm.设圆的半径为r cm.因为πr2＝16π，所以r2＝16.因为r＞0，所以r＝4，所以圆的直径为8 cm，4÷8＝，因为7＜＜8，所以3.5＜＜4，所以在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出3个面积为16π cm2的圆. 返回 综合应用题 $ 第二章 实数 3 二次根式 第1课时 二次根式的乘除 知识点1 二次根式的定义 1.在式子(x＞0)，，(y＝－2)，(x＜0)，3，，，x＋y中，二次根式有(　　) A.2个　　 B.3个　　 C.4个　　 D.5个 返回 C 基础提优题 返回 判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非. • • • 基础提优题 2.若式子＋(3m－6)0有意义，则m的值可以是(　　) A.　　 B.－　　 C.3　　 D.2 返回 C 基础提优题 知识点2 二次根式的乘法 3.计算×的结果是(　　) A.6　　　 B.4　　　 C.2　　　 D.1 返回 C 基础提优题 4.［2026重庆期末］估算×(＋)的结果在(　　) A.5和6之间　　　 B.6和7之间　 C.7和8之间　　　 D.8和9之间 返回 【点拨】×(＋)＝×＋×＝＋＝6＋.因为＜＜，所以2＜＜3，所以8＜6＋＜ 9，故选D. D 基础提优题 5. 若一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是　　　　　　　　. 返回 (答案不唯一) 基础提优题 6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒，若其内部是底面半径为2 cm，深为6 cm的圆柱，则其容积为　　　　cm3(结果保留根号和π). 返回 120π 基础提优题 7.计算：(1)×； 返回 【解】原式＝××(×) ＝×18 ＝3. 基础提优题 (2)(－)2(8＋2). 返回 【解】原式＝［()2＋()2－2××］(8＋2) ＝(8－2)(8＋2) ＝64－60＝4. 基础提优题 知识点3 二次根式的除法 8.［2026苏州期中］下列计算错误的是(　　) A.×＝　　　　 B.÷＝2 C.÷＝9 　　　 D.＝3 返回 C 基础提优题 9.已知a＞0，b＞0，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为　　　　. 返回 基础提优题 10.计算： (1)； 返回 【解】原式＝－＝－＝4－2＝2. 基础提优题 (2)＋5； 返回 【解】原式＝＋＋5＝＋＋5＝2＋5＋5＝12. (3)÷(a＞0，b＞0). 【解】原式＝＝＝2a. 基础提优题 11.如果是整数，那么整数x是(　　) A.6或3　　 B.3或1 C.2或18　　 D.18 返回 C 综合应用题 12.问题探究：因为(－1)2＝3－2，所以＝－1.因为(＋1)2＝3＋2，所以＝＋1.请你根据以上规律，结合你的经验化简＝　　　　　. 返回 －1　 综合应用题 13. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从1到若干个数的自然数排成纵、横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之积为　　　　. 返回 (第13题) 20 综合应用题 【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果为5××＝10.根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，得A×5×＝10，解得A＝2；B××10＝10，解得B＝1；5××C＝10，解得C＝2；×10×D＝10，解得D＝，所以A，B，C，D之积为2×1×2×＝20. 返回 综合应用题 14. 七巧板是大家熟悉的一种益智玩具.用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块，正好制成一副七巧板(如图②).已知AB＝40 cm，且OH2＋OE2＝HE2，则图中阴影部分的面积为　　　　cm2. 返回 (第14题) 50 综合应用题 【点拨】如图，设OF＝EF＝FG＝x cm， 所以OE＝OH＝2x cm，所以EH＝2x cm. 因为AB＝40 cm，所以由题意得EH＝20 cm， 所以20＝2x，所以x＝5，所以阴影部分的面积为(5)2＝50(cm2). 返回 综合应用题 15. ［秦皇岛市自主招生］正数a，b满足a＋b＝1，则a2＋b2的值为　　　　. 返回 1 【点拨】因为a＋b＝1，两边平方得a2(1－b2)＋b2(1－a2)＋2ab•＝1，整理得1－a2－b2＋a2b2－2ab＋a2b2＝0，所以(－ab)2＝0，所以＝ ab，所以1－a2－b2＋a2b2＝a2b2，所以a2＋b2＝1. 综合应用题 16. 已知a＝－2，b＝＋2. (1)求a2＋3ab的值. 返回 【解】因为a＝－2，b＝＋2， 所以a2＋3ab＝(－2)2＋3(－2)×(＋2)＝6－4＋4＋3×(6－4)＝16－4. 综合应用题 (2)若c＝2，试判断以a，b，c为三边长的三角形的形状，并说明理由. 返回 【解】以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形. 理由：因为a＝－2，b＝＋2，c＝2， 所以a2＝(－2)2＝10－4，b2＝(＋2)2＝10＋4，c2＝(2)2＝20，所以a2＋b2＝c2， 所以以a，b，c为三边长的三角形是直角三角形. 综合应用题 17. 阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如：与，＋1与－1.这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了.例如：＝＝，＝＝＝＝. 返回 创新拓展题 (1)请你写出3＋的有理化因式：　　　　　　　　　； (2)请仿照上面给出的方法化简(b≥0且b≠1)； 返回 3－(答案不唯一) 【解】原式＝＝＝1＋. 创新拓展题 (3)已知a＝，b＝，求的值. 返回 【解】a＝＝＝－－2， b＝＝＝－＋2. 把a，b的值代入，得＝＝＝4. 创新拓展题 $ 第二章 实数 1 认识实数 第1课时 认识非有理数 知识点1 认识非有理数 1.已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝5，那么斜边AB的长是(　　) A.整数　　 B.分数 C.有理数　　 D.非有理数 返回 D 基础提优题 2.以下各正方形的边长不是有理数的是(　　) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 返回 C 基础提优题 3. 已知一个等边三角形的边长为4，则这个三角形的高为　　 　　小数.(填“无限循环”或“无限不循环”) 返回 无限不循环 基础提优题 知识点2 非有理数的估算 4.某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是21 m2，现决定把此正方形菜地的边长增加1 m，则新的正方形菜地的边长范围是(　　) A.4 m与5 m之间　　 B.5 m与6 m之间 C.6 m与7 m之间　　 D.7 m与8 m之间 返回 B 基础提优题 5. 面积为17π的圆，它的半径的整数部分是　　　，十分位是　　　，百分位是　　　，千分位是　　　. 返回 4 1 2 3 基础提优题 6.［2026温州期中］如图，每个小正方形的边长 均为1，可以得到每个小正方形的面积为1. (1)图中阴影部分的面积是多少？ (2)估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间. 返回 【解】S阴影＝2×2＋×1×3×4＝4＋6＝10. 【解】因为32＜10＜42，所以边长的值在3与4之间. 基础提优题 7. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，若量得溢出水的体积为34 cm3，则该铁块棱长大小的范围是(　　) A.2 cm和3 cm之间　　 B.3 cm和4 cm之间 C.4 cm和5 cm之间　　 D.5 cm和6 cm之间 返回 B 综合应用题 8.［2026成都青羊区期中］如图所示，数轴上的点A所表示的数为a，则数a为(　　) A.有理数　　 B.无限不循环小数 C.－4.5　　 D.不存在 返回 B 综合应用题 9. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积为225 cm2的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比为3:2，面积为420 cm2，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明你的判断. 返回 综合应用题 【解】因为正方形贺卡的面积为225 cm2， 所以正方形贺卡的边长为15 cm. 设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm. 因为长方形信封的面积为420 cm2， 所以2x•3x＝420.所以x2＝70. 所以8＜x＜9.所以16＜2x＜18. 所以小芳能将这张贺卡不折叠就放入此信封. 返回 综合应用题 $