第三章 位置与坐标 习题课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“确定位置”核心知识点，通过艺术中心座位、游乐园平面示意图等实际场景导入，系统呈现行列定位法、方位角+距离定位法、区域定位法，构建从具体实例到抽象方法的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其特色在于紧密联系生活实际与科技情境，如电子银行口令卡、神舟飞船发射中心位置等实例，结合创新拓展题（如甲虫爬行路线、射线旋转定位），培养学生的抽象能力、空间观念与模型意识。采用问题驱动教学，学生能提升用数学语言表达现实世界的能力，教师可借助多样题型优化教学效果。

第三章 位置与坐标 章末培优 全章热门考点整合 考点1 位置的确定 1.如图，已知∠AOC＝30°，∠BOC＝150°，OD平分∠BOA，若点A表示为(2，30°)，点B表示为(4，150°)，则点D表示为(　　) A.(5，90°) B.(5，75°) C.(5，60°) D.(5，120°) 返回 A 核心考点 整合 2.［2026德阳期中］将自然数按以下规律排列： 表中数2在第二行第一列，与有序数对(2，1)对应，数5与(1，3)对应，数14与(3，4)对应，根据这一规律，数2 029对应的有序数对为　　　　　. 返回   第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17   第二行 2 3 6 15 …   第三行 9 8 7 14 …   第四行 10 11 12 13 …   第五行 …     …     …             (46，4) 核心考点 整合 【点拨】由题意可得，第一列的奇数行的数的规律是：第几行就是几的平方； 第一行的偶数列的规律是：第几列就是几的平方. 因为45×45＝2 025， 所以数2025在45行，第1列. 因为2 025＋4＝2 029， 所以2 029在第46行，第4列， 故数2 029对应的有序数对为(46，4). 返回 核心考点 整合 考点2 平面直角坐标系及点的坐标特征 3.在平面直角坐标系中，若点A的坐标为(，b2＋3)，则点A所在的象限是(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 A 核心考点 整合 4.已知点A的坐标为(a＋1，3－a)，下列说法正确的是(　　) A.若点A在y轴上，则a＝3 B.若点A在第一、三象限的角平分线上，则a＝1 C.若点A到x轴的距离是3，则a＝±6 D.若点A在第四象限，则a的值可以为－2 返回 B 核心考点 整合 5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(1，2)，点C的坐标为(1，－4)，AB＝BC，D为AC上一点，且BD平行于x轴，BD＝AD，则点B的坐标为　　　　　　　. 返回 (－2，－1) 核心考点 整合 6.中国象棋文化历史久远，雅俗共赏，具有广泛的参与度.象棋残局是象棋的基础，如图就是某次对弈的残局图.如果建立平面直角坐标系，使“帅”位于点(－1，－2)，“象”位于点(－2，5)，那么“兵”在同一坐标系下的坐标是(　　) A.(1，3)　　 B.(2，3)　　 C.(2，2)　　 D.(3，2) 返回 C 考点3 建设平面直角坐标系描述点的位置 核心考点 整合 考点4 轴对称与坐标变化 7.［2026西安新城区期中］在平面直角坐标系中，点A(a－1，3)与点B(b，a＋b)关于x轴对称，则－3a＋b的立方根为 (　　) A.－1　　　B.－2　　　C.1　　　D.2 返回 C 核心考点 整合 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)，B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO，PA，则PO＋PA的最小值为　　　　. 返回 5 核心考点 整合 【点拨】取点O′(0，4)，连接O′P，O′A，如图. 因为B(0，2).直线l垂直于y轴，所以点O′(0，4) 与点O(0，0)关于直线l对称，所以PO′＝PO， 所以PO＋PA＝PO′＋PA≥O′A，即PO＋PA的最 小值为O′A的长.在Rt△O′AO中，因为OA＝3，OO′＝4，所以由勾股定理，得O′A＝＝＝5，所以PO＋PA的最小值为5. 返回 核心考点 整合 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(1，1)，B(3，0)，C(2，3). (1)在平面直角坐标系中画出△ABC，△ABC的面积是　　； 返回 【解】如图，△ABC即为所求. 核心考点 整合 (2)若点D与点A关于y轴对称，点E与点B关于y轴对称，点F与点C关于x轴对称，画出△DFE，写出点F的坐标为　　　 　； 返回 【解】如图，△DEF即为所求. (2，－3) 核心考点 整合 (3)已知P为坐标轴上的一点，若△ABP的面积为3，求点P的坐标. 返回 【解】分情况讨论：①当点P在x轴上时，因为△ABP的面积为3，A(1，1)，所以BP×1＝3.所以BP＝6. 所以点P的坐标为(－3，0)或(9，0)； 核心考点 整合 ②当点P在y轴上时， 设P(0，m)，当点P在负半轴上时，3×｜1－m｜－×｜1－m｜×1－×｜m｜×3－×2×1＝3，整理得 5｜1－m｜－3｜m｜＝8，即5－5m＋3m＝8，解得m＝－； 返回 核心考点 整合 当点P在正半轴上时，连接OA，则×m×3－×m×1－×3×1＝3，解得m＝. 所以点P的坐标为或. 综上，点P的坐标为或 或(－3，0)或(9，0). 返回 核心考点 整合 思想1 方程思想 10. 已知点P(2a－2，a＋5). (1)若点Q的坐标为(4，5)，直线PQ∥y轴，则点P的坐标为　　　　. 返回 (4，8) 【点拨】因为点Q的坐标为(4，5)，P(2a－2，a＋5)，直线PQ∥y轴，所以2a－2＝4，解得a＝3，所以P(4，8). 思想方法 整合 (2)若将点P向上平移3个单位长度恰好落在x轴上，则点P原来的坐标为　　　　　　　. 返回 (－18，－3) 【点拨】因为将点P(2a－2，a＋5)向上平移3个单位长度恰好落在x轴上，所以a＋5＋3＝0，解得a＝－8， 所以点P原来的坐标为(－18，－3). 思想方法 整合 11. 定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1(a，b)，P2(c，b)，P3(c，d)，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最佳间距”.例如：点P1(－1，2)，P2(1，2)，P3(1，3)的“最佳间距”是1. (1)点Q1(－2，1)，Q2(－5，1)，Q3(－5，5)的“最佳间距”是　　　　； 返回 3 思想2 分类讨论思想 思想方法 整合 【点拨】连接Q1Q2，Q2Q3，Q1Q3.因为点Q1(－2，1)，Q2(－5，1)，Q3(－5，5)，所以Q1Q2＝3，Q2Q3＝4，Q2Q3⊥Q2Q1. 因为垂线段最短，所以Q1Q3＞4. 所以点Q1(－2，1)，Q2(－5，1)，Q3(－5，5)的“最佳间距”是3. 返回 思想方法 整合 (2)当点O(0，0)，E(2m，0)，P(2m，－2m＋3)的“最佳间距”为1时，点P的横坐标为　　　　　　　. 返回 ±1或2或4 【点拨】连接OP，PE.因为点O(0，0)，E(2m，0)，P(2m，－2m＋3)，所以PE⊥OE，OE＝｜2m｜，PE＝｜－2m＋3｜.因为垂线段最短，所以OE＜OP，PE＜OP.又因为点O，E，P的“最佳间距”是1，所以OE＝1或PE＝1.所以2m＝±1或－2m＋3＝±1. 思想方法 整合 返回 当2m＝1时，｜－2m＋3｜＝2，点O，E，P的“最佳间距”是1，符合题意；当2m＝－1时，｜－2m＋3｜＝4，点O，E，P的“最佳间距”是1，符合题意；当－2m＋3＝1时，2m＝2，点O，E，P的“最佳间距”是1，符合题意；当－2m＋3＝－1时，2m＝4，点O，E，P的“最佳间距”是1，符合题意.综 上，当点O(0，0)，E(2m，0)，P(2m，－2m＋3)的“最佳间 距”为1时，点P的横坐标为±1或2或4. 思想方法 整合 【解】因为｜a－3｜＋(b－4)2＋＝0， 所以a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0， 所以a＝3，b＝4，c＝5. 思想3 转化思想 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(4，c)三点，其中a，b，c满足关系式｜a－3｜＋(b－4)2＋＝0. (1)求a，b，c的值. 返回 思想方法 整合 (2)请直接判断BC与y轴的位置关系. 返回 【解】BC平行于y轴. 思想方法 整合 (3)若平面内有一点P，且点P到BC的距离为5，则△AOP的面积为　　　　. 返回 或 思想方法 整合 【点拨】因为点P到BC的距离为5，B(4，0)，C(4，5)， 所以｜m－4｜＝5，所以m－4＝±5，解得m＝9或－1， 所以P点的坐标为或. 因为A点的坐标为(0，3)，所以OA＝3. 当m＝9时，S△AOP＝×9×3＝， 当m＝－1时，S△AOP＝×1×3＝， 综上所述，△AOP的面积为或. 返回 思想方法 整合 (4)如果点P在平面内，是否存在m，使四边形ABOP的面积为△AOP面积的3倍？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由. 返回 【解】存在.点P的坐标为或. 思想方法 整合 【点拨】当m＜0时，如图①， S△AOP＝×3×(－m)＝－， S四边形ABOP＝S△AOP＋S△ABO＝×(－m)＋×3×4＝－＋6. 因为四边形ABOP的面积为△AOP面积的3倍， 所以－＋6＝3×，解得m＝－2， 所以满足条件的点P的坐标为； 返回 思想方法 整合 当m＞0时，如图②，S△AOP＝×3×m＝， S四边形ABOP＝S△ABO－S△AOP＝×3×4－×m＝6－. 因为四边形ABOP的面积为△AOP面积的3倍， 所以6－＝3×，解得m＝1， 所以满足条件的点P的坐标为. 综上所述，满足条件的点P的坐标为或. 返回 思想方法 整合 返回 利用“”或“”将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差的形式，把所要解决的问题转化为另一个较容易解决的问题来解决，这种求不规则图形面积的方法叫割.指导思想是化不规则为规则、化难为易的转化思想. 思想方法 整合 $ 第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第3课时 建立平面直角坐标系 知识点1 建立适当的平面直角坐标系 1.［2026深圳期末］△OAB为等边三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，若OA＝4，则点B的坐标为(　　) A.(2，2)　　 B.(1，) C.(2，－2)　 D.(2，2) 返回 (第1题) D 基础提优题 2.如图，四边形ABCD是长方形，AB＝3，AD＝4.已知 A，则点C的坐标是　　　　. 返回 (第2题) 基础提优题 3. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，在正方形的一个角上剪去长方形CEFG，其中E，G分别是边CD，BC上的点，且CE＝3，CG＝2，剩余部分是六边形ABGFED，请你建立适当的平面直角坐标系，并求出六边形ABGFED各顶点的坐标. 返回 基础提优题 【解】分别以A为原点，边AB，AD所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 因为点A是原点，所以A(0，0). 易知AB＝AD＝CD＝BC＝4. 因为点B，D分别在x轴、y轴上，所以B(4，0)，D(0，4). 返回 基础提优题 因为点D，E的纵坐标相等，且DE＝CD－CE＝1， 所以E(1，4). 因为点B，G的横坐标相等，且BG＝BC－CG＝2，所以G(4，2).因为点F与点E的横坐标相等，点F与点G的纵坐标相等，所以F(1，2). 返回 基础提优题 知识点2 根据已知点的坐标确定其他点的坐标 4.为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(－2，0)，(0，0)，则“技”所在的象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 A 基础提优题 5.如图是天安门广场周围的主要景点分布示意图，在此图中建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的坐标为(0，－1)，表示美术馆的点的坐标为(2，2)，则表示其他景点的点的坐标正确的是(　　) A.王府井(3，1)　　 B.电报大楼(－3，－2) C.人民大会堂(－1，－3)　　 D.天安门(0，2) 返回 (第5题) C 基础提优题 【点拨】由题意得表示王府井的点的坐标为(3，－1)，表示电报大楼的点的坐标为(－4，－2)，表示人民大会堂的点的坐标为(－1，－3)，表示天安门的点的坐标为(0，－2). 返回 基础提优题 6.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A(3，2)和B(3，－2)两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为(0，0)，如图，藏宝地点可能是(　　) A.M点　　 B.N点　　 C.P点　 D.Q点 返回 (第6题) B 基础提优题 知识点3 利用平面直角坐标系求图形的面积 7.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，3)，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，则△AOB的面积为　　　　. 返回 3 基础提优题 8.在如图所示的网格中画出合适的平面直角坐标系(每个小正方形的边长为1)，并在平面直角坐标系中描出下列各点： A(－2，1)，B(2，－2)，C(2，3)，D(0，1)，连接AB，BD，DC，CA.求所连线段围成图形的面积. 返回 基础提优题 【解】(所画图形不唯一)如图所示，所连线段围成图形的面积为×2×2＋×2×3＝2＋3＝5. 返回 基础提优题 返回 在平面直角坐标系中，当图形是不规则图形时，求面积是常用的方法，通过作辅助线，可以将不规则图形补成一个规则的图形，其面积等于大图形的面积减去其他小图形的面积；也可以将不规则图形分割成几个规则的小图形，其面积等于几个小图形面积的和. 基础提优题 9.小明家位于公园的正东方向200 m处，从小明家出发向北走300 m就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度代表1 m，则公园的坐标是(　　) A.(－300，200)　　 B.(200，300) C.(－200，－300)　 D.(300，200) 返回 C 综合应用题 【点拨】依据题意建立平面直角坐标系如图所示. 由“从小明家出发向北走300 m就到小华家”可知小明家在小华家的正南方向300 m处， 由“小明家位于公园的正东方向200 m处”可知公园在小明家的正西方向200 m处， 图中点O 是小华家，点B是小明家，点A是公园， 故公园的坐标为(－200，－300). 返回 综合应用题 10.已知等腰三角形ABC，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为A(m，0)，B(m＋4，2)，C(m＋4， －3)，其中m＞0，则下列关于该三角形的三边关系正确的是 (　　) A.AC＝BC≠AB　　 B.AB＝AC≠BC C.AB＝BC≠AC　　 D.AB＝AC＝BC 返回 A 综合应用题 点拨】建立平面直角坐标系如图所示，设BC交x轴于点D，则AD＝4，BD＝2，CD＝3，所以BC＝5，AB＝＝＝2，AC＝＝＝5，所以AC＝BC≠AB. 返回 综合应用题 返回 根据题意画出图形，得到BC的长，再利用勾股定理分别计算出AB，AC的长，即可判断. 基础提优题 11.如图，直线l1⊥l2，在某平面直角坐标系中，x轴∥l1，y轴∥l2，点A的坐标为(－2，－1)，点B的坐标为(1，2)，那么点C在第　　　　象限. 返回 二 综合应用题 返回 【点拨】因为点A的坐标为(－2，－1)，点B的坐标为(1，2)，所以点A位于第三象限，点B位于第一象限，根据题意可建立如图所示的平面直角坐标系，所以点C位于第二象限. 综合应用题 12. 建立如图所示的平面直角坐标系，在△ABO中， A(－3，6)，B(6，3)，则线段OC的长为　　　. 返回 (第12题) 5 综合应用题 【点拨】如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E.因为A(－3，6)，B(6，3)， 所以AD＝OE＝6，OD＝BE＝3， 所以S△AOB＝×(3＋6)×(3＋6)－2××6×3＝OC×3＋OC×6， 所以OC＝5. 返回 综合应用题 【解】因为AD＝8，AB＝6，∠BAD＝90°， 所以BD＝＝10. 因为BC＝24，CD＝26，所以BD2＋BC2＝102＋242＝262＝CD2，所以△BCD是直角三角形，且∠CBD＝90°，所以BD⊥CB. 13. 如图①所示，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝24，CD＝26，DA＝8. (1)试说明：BD⊥CB； 返回 综合应用题 (2)求四边形ABCD的面积； 返回 【解】S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×6×8＋×24×10＝24＋120＝144. 综合应用题 (3)如图②，以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点P是y轴上一点，且S△PBD＝S四边形ABCD，求点P的坐标. 【解】因为S△PBD＝S四边形ABCD，所以PD•AB ＝×144，即PD×6＝24，解得PD＝8. 因为D(0，8)，点P在y轴上， 所以P的坐标为(0，0)或(0，16). 返回 综合应用题 14. ［安徽竞赛］在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a表示任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h表示任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah. 例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(－3，1)，C(2，－2)，则“水平底”a＝5，“铅垂高”h＝4，所以“矩面积”S＝ah＝20. 返回 创新拓展题 根据所给定义解决下列问题： (1)若三点A(1，2)，B(－3，1)，D(0，6)，则“水平底”a＝　　，“铅垂高”h＝　　，所以“矩面积”S＝　　　. 返回 4 5 20 创新拓展题 (2)若三点A(1，2)，B(－3，1)，E(0，t)的“矩面积”为18，求点E的坐标. 返回 【解】由题意知a＝1－(－3)＝4. 因为“矩面积”为18，所以h＝4.5.当h＝t－1＝4.5时，t＝5.5，所以E(0，5.5)； 当h＝2－t＝4.5时，t＝－2.5，所以E(0，－2.5). 综上所述，E(0，5.5)或E(0，－2.5). 创新拓展题 (3)已知三点B(－3，1)，C(2，－2)，F(m，3m)，其中m＞0.若三点B，C，F的“矩面积”为15，求m的取值范围. 返回 【解】当0＜m≤时，因为B(－3，1)，C(2，－2)，F(m， 3m)，所以a＝2－(－3)＝5，b＝1－(－2)＝3，所以三点B， C，F的“矩面积”为15，满足题意； 创新拓展题 返回 当＜m≤2时，则a＝2－(－3)＝5，b＝3m－(－2)＝3m＋2，所以5(3m＋2)＝15，解得m＝(舍去)；当m＞2时，则a＝m－ (－3)＝m＋3，b＝3m－(－2)＝3m＋2，所以a＞5，b＞8，所以此时ab≠15.综上所述，0＜m≤. 创新拓展题 $ 第三章 位置与坐标 3 轴对称与坐标变化 知识点1 关于x轴对称的点的坐标特征 1.在平面直角坐标系中，将点P(1，－1)向右平移2个单位长度后，得到的点P1关于x轴的对称点的坐标是(　　) A.(1，1)　　 B.(3，1) C.(3，－1)　　 D.(1，－1) 返回 B 基础提优题 2.［2026西安雁塔区期中］若点A(4，m＋5)与点B(n－5，3)关于x轴对称，则(m＋n)2 027等于(　　) A.1　　 B.－1　　 C.2 027　　 D.－72 027 返回 A 基础提优题 知识点2 关于y轴对称的点的坐标特征 3. 在平面直角坐标系中，点P(－4，m2＋1)关于y轴的对称点在(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 A 基础提优题 【点拨】方法一：因为m2＋1＞0，所以点P在第二象限，所以点P关于y轴的对称点在第一象限. 方法二：点P(－4，m2＋1)关于y轴的对称点为(4，m2＋1).因为m2＋1＞0，所以点P关于y轴的对称点在第一象限. 返回 基础提优题 4.如图，△ABC经过两次轴对称(x轴和y轴为对称轴)变化后，得到△DEF，如果A，B，C各点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，0)，C(1，3)，那么D，E，F各点的坐标分别为D　　　　，E　　　　，F　　　　 　. 返回 (5，－1) (2，0) (－1，－3) 基础提优题 5.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，在如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(－3，5)，AC与x轴平行. (1)求点C的坐标； 返回 【解】由题图可知，点C的坐标为(－3，1). 基础提优题 (2)在如图所示的平面直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并在图中标出B1，C1两点的坐标； 返回 【解】如图所示，△A1B1C1即为所作. 基础提优题 (3)若△A2B2C2与△ABC关于x轴对称，求△A2B2C2各顶点的 坐标. 返回 【解】A2(0，－1)，B2(－3，－5)，C2(－3，－1). 基础提优题 知识点3 图形对称与坐标变化 6.将第一象限的“小旗”各点的纵坐标分别乘－1，横坐标保持不变，符合上述要求的图形是(　　) A 　　 B C 　　 D 返回 B 基础提优题 7. 佳佳将平面直角坐标系中一图案横向拉长为原来的2倍，又向右平移2个单位长度，若想变回原来的图案，需要将变化后的图案上各点坐标(　　) A.纵坐标不变，横坐标减2 B.纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2 C.纵坐标不变，横坐标除以2 D.纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2 返回 D 基础提优题 【点拨】因为图案向右平移2个单位长度，所以想变回原来的图案要先向左平移2个单位长度，即横坐标先减2.因为图案横向拉长为原来的2倍，所以是横坐标乘2，纵坐标不变，所以想变回原来的图案，要纵坐标不变，横坐标除以2，故选D. 返回 基础提优题 8.如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是(　　) A.点A　　 B.点B　　 C.点C　　 D.点D 返回 B 综合应用题 9. 在平面直角坐标系中，点A(2，3)，丽丽同学对点A进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以－1，另一坐标不变.第一次将点A的横坐标乘以－1，纵坐标不变得到A1；第二次将点A1的纵坐标乘以－1，横坐标不变得到A2；第三次将点A2的横坐标乘以－1，纵坐标不变得到A3；第四次将A3的纵坐标乘以－1，横坐标不变得到A4；第五次将A4的横坐标乘以－1，纵坐标不变得到A5；…，她按照上述规律操作，则点A25的坐标为　　　　　　　. 返回 (－2，3) 综合应用题 【点拨】由题意知A(2，3)，第一次操作后，A1(－2，3)；第二次操作后，A2(－2，－3)；第三次操作后，A3(2，－3)；第四次操作后，A4(2，3)；第五次操作后，A5(－2，3)；…；由此可得，每4次为一个循环.因为25÷4＝6……1，所以点A25的坐标为(－2，3). 返回 综合应用题 10. 如图，在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点A(－6，6)的对称点A′的坐标为(0，6)，点M(m，n)为图形上的一点，则点M在图形上的对称点的坐标为　 　　　　. 返回 (第10题) (－6－m，n) 综合应用题 【点拨】因为点A(－6，6)的对称点A′的坐标为(0，6)，所以对称轴为直线x＝－3.设点M在图形上的对称点的坐标为(m′，n′)，所以＝－3，n′＝n.所以m′＝－6－m.所以点M在图形上的对称点的坐标为(－6－m，n). 返回 综合应用题 11. 如图，已知平面直角坐标系中的两点A(0，4)，B(1，0)，P为线段AB上一动点(不与点A，B重合)，作点B关于直线OP的对称点C，则线段AC长度的取值范围是　　 　　. 返回 (第11题) 3≤AC＜ 综合应用题 【点拨】如图，连接OC.因为A(0，4)，B(1，0)，所 以OA＝4，OB＝1，所以AB＝＝.因 为C是点B关于直线OP的对称点，所以OC＝OB＝1. 因为OA－OC≤AC，所以AC≥3.因为P为线段AB上 一动点(不与点A，B重合)，所以AC＜AB＝，所以线段AC长度的取值范围是3≤AC＜. 返回 综合应用题 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－5，5)，点B的坐标为(－1，－2)，点C的坐标为(3，0). (1)请画出△ABC关于y轴对称的图形△DEF (点A，B，C的对称点分别为D，E，F)； 返回 【解】如图，△DEF即为所求. 综合应用题 (2)求△ABC的面积； 返回 【解】S△ABC＝7×8－4×7×－2×4×－5×8×＝56－14－4－20＝18. 综合应用题 (3)在y轴上找一点M，使△ABM的周长最小，并求出这个最 小值. 返回 【解】如图，连接AE，交y轴于点M，连接BM，由对称可得BM＝ME，易知此时△ABM的周长最小. △ABM周长的最小值为AB＋AM＋BM＝AB＋AM＋ME＝AB＋AE. 综合应用题 又因为A(－5，5)，B(－1，－2)， 所以AB＝＝， AE＝＝. 所以△ABM周长的最小值为＋. 返回 综合应用题 13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l： x＝m表示经过点(m，0)，且平行于y轴的直 线.给出如下定义：将点P关于x轴的对称点 P1，称为点P的一次反射点；将点P1关于直 线l的对称点P2，称为点P关于直线l的二次反 射点.例如，如图，点M(3，2)的一次反射点为M1(3，－2)，点M关于直线l：x＝1的二次反射点为M2(－1，－2).已知点A(－1，－1)，B(－3，1). 返回 创新拓展题 (1)点A的一次反射点为　　　　　　，点A关于直线l1：x＝2的二次反射点为　　　　　　； 返回 (－1，1) (5，1) 创新拓展题 (2)点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点，求a的值； 返回 【解】因为点B是点A关于直线l2：x＝a的二次反射点， 所以2a－(－1)＝－3.所以a＝－2. 创新拓展题 (3)设点A，B关于直线l3：x＝0的二次反射点分别为A2，B2，求四边形AB2A2B的面积. 返回 【解】因为A(－1，－1)，B(－3，1)， 所以点A，B关于直线l3：x＝0的二次反射点分别为A2(1，1)，B2(3，－1). 所以易得四边形AB2A2B的面积＝4×2＝8. 创新拓展题 $ 第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征 知识点1 各象限内点的坐标特征 1.［2025成都］在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是(　　) A.第一象限　　　 B.第二象限　 C.第三象限　　　 D.第四象限 返回 B 基础提优题 2.已知点P在第四象限，坐标为(10－a，3a＋6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是　　　　　　. 返回 (18，－18) 基础提优题 知识点2 坐标轴上点的坐标特征 3.在平面直角坐标系中，已知点P(2a－4，a＋3)在y轴上，则点P′(－a＋4，3a－1)所在的象限为(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 A 基础提优题 4.如果点M(1－m，1＋m)在x轴上，点N(n＋2，n－2)在y轴上，那么m＋n的值为　　　　. 返回 －3 基础提优题 知识点3 象限角平分线上点的坐标特征 5.在平面直角坐标系中，点P(a，b)在第二象限的角平分线上，且a，b满足2a＋b＝－3 ，则点P的坐标为(　　) A.(1，－1) 　　 B.(1，1) 　　 C.(3，3)　　　　 D.(－3，3) 返回 D 基础提优题 6.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝　　　　. 返回 2 基础提优题 【点拨】由作图过程可知，OH为∠MON的平分线，所以易得2a－1＝a＋1，解得a＝2. 返回 基础提优题 知识点4 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 7.已知点A(a－1，b＋2)，B(3，4)，C(－1，－2)在同一个坐标平面内，且点A，B所在的直线平行于x轴，点A，C所在的直线平行于y轴，则a＋b的算术平方根为　　　　. 返回 【点拨】由题意，得b＋2＝4，a－1＝－1，解得b＝2，a＝ 0，所以a＋b＝2，所以a＋b的算术平方根为. 基础提优题 8.在平面直角坐标系xOy中，有一点P(a，b)，实数a，b，m满足以下两个等式：2a－6m＋4＝0，b＋2m－8＝0. (1)当a＝1时，点P到x轴的距离为　　　　； 返回 6 【点拨】当a＝1时，2×1－6m＋4＝0，解得m＝1.把m＝1代入b＋2m－8＝0中，得b＝6. 所以点P的坐标为(1，6)，所以点P到x轴的距离为6. 基础提优题 (2)若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标； 返回 【解】当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b. 由2a－6m＋4＝0，可得a＝3m－2；由b＋2m－8＝0，可得b＝－2m＋8.则3m－2＝－2m＋8，解得m＝2. 所以a＝b＝4， 所以点P的坐标为(4，4). 基础提优题 (3)已知A(3，－2)，AP∥x轴，求AP的长. 返回 【解】由题意可知P(3m－2，－2m＋8).因为AP∥x轴，A(3，－2)，所以－2m＋8＝－2，解得m＝5，所以P(13，－2)，所以AP＝10. 基础提优题 9.如果a是任意实数，那么点P(a－4，a－2)一定不在(　　) A.第一象限　　 B.第二象限 C.第三象限　　 D.第四象限 返回 D 【点拨】因为(a－4)－(a－2)＝－2＜0，所以点P的横坐标一定小于纵坐标.又因为在第一、二、三象限内总有点满足横坐标小于纵坐标，但是在第四象限，所有点的横坐标一定大于纵坐标，所以点P(a－4，a－2)一定不在第四象限. 综合应用题 10. 在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)，B(4，1)，在坐标轴上有一点P，且点P到A点和到B点的距离相等，则点P的坐标为(　　) A.(1，0)或(0，－1)　　 B.(0，3)或(4，0) C.(－1，0)或(0，1)　　 D.(2，0)或(0，1) 返回 A 综合应用题 【点拨】若点P在x轴上，连接AP，BP，设P(t，0)，因为A(2，3)，B(4，1)，所以AP2＝(2－t)2＋32，BP2＝(4－t)2＋12.因为AP＝BP，所以AP2＝BP2，所以(2－t)2＋32＝(4－t)2＋12，所以t＝1，所以P(1，0).若点P在y轴上，连接AP，BP，设P(0，m)，因为A(2，3)，B(4，1)，所以AP2＝22＋(3－m)2，BP2＝42＋(1－m)2.因为AP＝BP，所以AP2＝BP2，所以22＋(3－m)2＝42＋(1－m)2，所以m＝ －1，所以P(0，－1).综上，点P的坐标为(1，0)或(0，－1)，故选A. 返回 综合应用题 11. 在平面直角坐标系xOy中，点A(0，a)，B(b，24－b)，C(2a－3，0)，0＜a＜b＜24，若OB平分∠AOC，且AB＝BC，则a＋b的值为(　　) A.15或21　　　　 B.9或11　　 C.15或20　　　　 D.15或19 返回 A 综合应用题 返回 【点拨】因为点A(0，a)，B(b，24－b)，C(2a－3，0)，0＜a＜b＜24，所以点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，所以∠AOC＝90°.因为OB平分∠AOC，所以b＝24－ b，所以b＝12.因为AB＝BC，所以＝，所以a＝3或9，所以a＋b＝15或21. 综合应用题 12. 在平面直角坐标系中，点A(－2，3)，B(1，－4)，经过点A的直线l∥y轴，若点C为直线l上的一个动点，则当线段BC的长度最小时，点C的坐标为　　　　　　. 返回 (－2，－4) 综合应用题 【点拨】由垂线段最短，知当BC⊥l时，线段BC的长度最小.因为l∥y轴，所以当BC⊥l时，BC∥x轴，所以点C的纵坐标和点B的纵坐标相同，即为－4.因为点A和点C都在直线l上，所以点C的横坐标和点A的横坐标相同，即为－2，所以点C的坐标为(－2，－4). 返回 综合应用题 13. ［长沙长郡中学自主招生］如图，正方形 BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物质A与物 质Q均由点A(2，0)同时出发，沿正方形BCDE的 周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以每秒1 个单位长度匀速运动，物质Q按顺时针方向，以每秒2个单位长度匀速运动，则两个物质运动后的第2 026次相遇地点的坐 标是　　　　　　. 返回 综合应用题 【点拨】由题图知，正方形的边长为4，因为物 质Q是物质A的速度的2倍，二者时间相同，所以 物质A与物质Q的路程比为12，由题意知， ①第一次相遇时，物质A与物质Q行的路程和为16，物质A行的路程为16×＝，物质Q行的路程为16×＝，在BC边相遇，易知相遇点的坐标为； 返回 综合应用题 ②第二次相遇时，物质A与物质Q行的路程和为16×2，物质A行的路程为16×2×＝，物质Q行的路程为16×2×＝，在DE边相遇，易知相遇点的坐标为； 返回 综合应用题 ③第三次相遇时，物质A与物质Q行的路程和为16×3，物质A行的路程为16×3×＝16，物质Q行的路程为16×3×＝32，在A点相遇； 返回 综合应用题 ④第四次相遇时，物质A与物质Q行的路程和为16×4，物质A行的路程为16×4×＝，物质Q行的路程为16×4×＝，在BC边相遇，且与第一次相遇点相同； 返回 综合应用题 ⑤第五次相遇时，物质A与物质Q行的路程和为16×5，物 质A行的路程为16×5×＝，物质Q行的路程为16×5 ×＝，在DE边相遇，且与第二次相遇点相同；…； 综上可得，相遇三次为一个循环.因为2 026＝3×675＋1，即第2 026次相遇和第一次相遇的地点相同，所以它们第2 026次相遇地点在边BC上，相遇地点的坐标是. 返回 综合应用题 14. 阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则该两点间的距离公式为P1P2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴或平行于y轴时，两点间的距离公式可化简成｜x1－x2｜或｜y1－y2｜. 返回 综合应用题 (1)若已知两点A(3，3)，B(－2，－1)，则A，B两点间的距离为　　　　； (2)已知点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为－2，则M，N两点间的距离为　　　　； 返回 9 综合应用题 【点拨】因为点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为－2，所以MN＝｜－2－7｜＝9.即M，N两点间的距离是9. 返回 综合应用题 (3)已知一个三角形各顶点的坐标为A，B，C，请求出该图形的面积. 返回 【解】因为一个三角形各顶点的坐标为A，B，C， 所以AB＝＝， 综合应用题 AC＝＝， BC＝＝. 所以AB2＋AC2＝2＋2＝＝BC2， 所以△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. 所以S△ABC＝AB•AC＝××＝. 返回 综合应用题 15. ［2026武汉江汉区期中］在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(0，b)，△ABC为等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，AC交y轴负半轴于点D. (1)如图①，a，b满足关系式｜a＋2b｜＋(b－2)2＝0，直接写出点A，B，C的坐标； 返回 【解】A(－4，0)，B(0，2)，C(2，－2). 创新拓展题 【点拨】因为｜a＋2b｜＋(b－2)2＝0， 所以a＋2b＝0，b－2＝0，所以b＝2，a＝－4. 因为A(a，0)，B(0，b)，所以A(－4，0)，B(0，2). 所以BO＝2，AO＝4. 返回 创新拓展题 如图①，过点C作CM⊥y轴，交y轴于点M， 所以∠MBC＋∠MCB＝90°. 因为∠ABC＝90°，所以∠MBC＋∠ABM＝90°， 所以∠MCB＝∠ABM. 因为BA＝BC，∠AOB＝∠BMC＝90°， 所以△AOB≌△BMC(AAS)， 所以MC＝BO＝2，BM＝AO＝4， 所以MO＝BM－BO＝4－2＝2，所以C(2，－2). 返回 创新拓展题 (2)如图②， 点E是x轴正半轴上的动点， 过点B作BF⊥BE交AC于点F，且BF＝BE.试说明：点 D是CF的中点； 返回 创新拓展题 【解】如图②，过点F作FN⊥y轴交y轴于点N，过点C作CM⊥y轴交y轴于点M. 因为BF⊥BE，所以∠BFN＝90°－∠FBD＝∠EBO. 因为BF＝BE，∠BNF＝∠BOE＝90°， 所以△FNB≌△BOE(AAS)，所以FN＝BO. 易证△AOB≌△BMC，所以BO＝MC，所以FN＝MC. 因为∠FND＝∠CMD＝90°，∠FDN＝∠CDM， 所以△FND≌△CMD(AAS)， 所以DF＝DC，所以点D是CF的中点. 返回 创新拓展题 (3)在(2) 的条件下，的值是否为定值？ 若是，请计算出定值； 若不是，请用含有a，b的代数式表示. 返回 【解】是定值.因为A(a，0)，B(0，b)，所以AO＝－a，BO ＝b. 创新拓展题 由(2)知，FN＝BO＝b，△FND≌△CMD，△FNB≌△BOE，△AOB≌△BMC，所以DN＝DM，BN＝EO，BM＝AO＝－a. 设DN＝DM＝x，所以OE＝BN＝BM－2x＝－a－2x， 所以S△ABE＝AE×BO＝(AO＋OE)×b＝(－a－a－2x)×b＝ －b(a＋x)，S△FBD＝BD×FN＝(BM－DM)×b＝－b(a＋x)， 所以＝＝. 返回 创新拓展题 $ 第三章 位置与坐标 专项培优7 平面直角坐标系中的规律探究问题 类型1 平面直角坐标系中的动点移动问题 1.在平面直角坐标系中，一个动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右……的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示. 返回 (1)填写下列各点的坐标：A4　　　　　，A6　　　 　，A12　　 　　，A14　　　 　； (2)按此规律移动，n为正整数，则点A4n的坐标为　　　　，点A4n＋2的坐标为　　　　　　　； 返回 (2，0) (3，1) (6，0) (7，1) (2n，0) (2n＋1，1) (3)动点A从点A2 026到点A2 027的移动方向是　　　　.(填“向上”“向右”或“向下”) 返回 向下 2.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，即(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，2)，(2，1)，(2，0)，(3，0)，…，根据规律探索可得，第2 027个点的坐标为(　　) A.(62，11)　　 B.(63，10)　　 C.(63，11)　　 D.(64，10) 返回 B 【点拨】由题图知，第一列有1个点，点的横坐标为0，第二列有2个点，点的横坐标为1，第三列有3个点，点的横坐标为2，…，以此类推，第n列有n个点，点的横坐标为n－1，且奇数列点由上到下排列，偶数列点从下到上排列，所以前n列点的总数为. 返回 因为＝2 016，＝2 080，2 016＜2 027＜2 080，所以第2 027个点在第64列.所以第2 027个点的横坐标为63.因为2 027－2 016＝11，64为偶数列，所以第2 027个点的纵坐标为10.所以第2 027个点的坐标为(63，10).故选B. 返回 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△OPQ是直角三角形，点O为直角顶点，已知点P，Q(0，2)，PQ＝，将△OPQ按如图方式在x轴上向左连续翻滚，依次得到△1，△2，△3，△4，…，则△2 026的直角顶点的横坐标是　　　　. 返回 －4 050 【点拨】由题意得从△1的直角顶点到△3的直角顶点经过的路程恰好为△OPQ的周长，即2＋＋＝6，故△3的直角顶点的横坐标为－6，△4的直角顶点的横坐标为－6. 返回 同理，从△4的直角顶点到△6的直角顶点经过的路程恰好为2＋＋＝6，故△6的直角顶点的横坐标为－12，△7的直角顶点的横坐标为－12，…，所以△1，△4，△7，…，△1＋3n的直角顶点的横坐标为0，－6，－12，…，－6n.因为2 026＝1＋3×675，所以△2 026的直角顶点的横坐标为－6×675＝－4 050. 返回 4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点(1，0)，(2，0)的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点C落在点(3，0)的位置，第2次滚动使点D落在点(4，0)的位置，…，按此规律滚动下去，则第2 026次滚动后，顶点A的坐标是　　　　　　. 返回 (2 028，1) 【点拨】第1次滚动点A1的坐标为(2，1)，第2次滚动点A2的坐标为(4，1)，第3次滚动点A3的坐标为(5，0)，第4次滚动点A4的坐标为(5，0)，第5次滚动点A5的坐标为(6，1)，…，所以A4n＋1(4n＋2，1)，A4n＋2(4n＋4，1)，A4n＋3(4n＋5，0)，A4n＋4(4n＋5，0).因为2 026÷4＝506……2，所以第2 026次滚动后，顶点A的坐标为(4×506＋4，1)，即(2 028，1). 返回 类型3 平面直角坐标系中的新定义型问题 5.在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，把点P1叫作点P的友好点.已知点A1的友好点为点A2，点A2的友好点为点A3，…，这样依次得到点A1，A2，A3，A4，…，An，若点A1的坐标为，则根据友好点的定义，点A2 026的坐标为　 　　　. 返回 (－1，－1) 【点拨】根据已知易得A2(2，2)，A3(2，－1)，A4(－1， －1)，A5，A6，A7，…，观察发现，每6个点为一个循环组依次循环.因为2 026÷6＝337……4，所以点A2 026的坐标与A4的坐标相同，为(－1，－1). 返回 返回 探究点的坐标变化规律，一般可根据题意先将开始几次变化后的坐标计算出来，算到出现循环，便可找到规律. 6. ［江苏竞赛］在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(－x，y′)，给出如下定义：y′＝称点Q为点P的“可控变点”.例如：点(1，2)的“可控变点”为点(－1，2)，点(－1，2)的“可控变点”为点(1，－2). 根据定义，解答下列问题： 返回 (1)点(3，4)的“可控变点”为点　　　　； (2)点P1的“可控变点”为点P2，点P2的“可控变点”为点P3，点P3的“可控变点”为点P4，…，以此类推.若点P2 026的坐标为(3，a)，求点P1的坐标. 返回 (－3，4) 【解】设P1(x，y).当x≥0时，点P1(x，y)的“可控变点”为点P2(－x，y)，点P2(－x，y)的“可控变点”为点P3(x，－y)，点P3(x，－y)的“可控变点”为点P4(－x，－y)，点P4(－x，－y)的“可控变点”为点P5(x，y)，…，故每四个点为一组循环；当x＜0时，同理可得每四个点为一组循环.因为2 026＝4×506＋2，所以若点P2 026的坐标为(3，a)，则点P1的坐标为(－3，－a). 返回 $ 第三章 位置与坐标 1 确定位置 返回 知识点1 行列定位法 1.河北省艺术中心是省会文化娱乐活动中心、高雅艺术展示基地、精神文明建设的窗口.若艺术中心“9排7号”记作(9，7)，那么(2，3)表示(　　) A.“3排2号”　　 B.“2排3号” C.“2排2号”　　 D.“3排3号” B 基础提优题 返回 2.如图是游乐园一角的平面示意图. (1)如果用有序数对(3，2)表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板　　　　　，摩天轮　　　　　，碰碰车　　　　　； (2，4) (6，5) (5，1) 基础提优题 返回 (2)秋千的位置是(4，5)，请在图中标出来. 【解】秋千的位置如图所示. 基础提优题 知识点2 方位角＋距离定位法 3.［2026宁波期末］小方家和科技馆的位置关系如图，下列说法正确的是(　　) A.科技馆在小方家的东偏北30°，400 m处 B.科技馆在小方家的北偏东30°，400 m处 C.小方家在科技馆的南偏西30°，800 m处 D.小方家在科技馆的南偏西60°，800 m处 返回 (第3题) D 基础提优题 4.如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为(120°，4)，(240°，3)，按照此方法可以将目标C的位置表示为　 　. 返回 (第4题) (30°，5) 基础提优题 5. \ 北京时间2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，下列描述能准确确定酒泉卫星发射中心位置的是(　　) A.甘肃省西北部　　 B.东经100°，北纬40° C.东经92°23′～100°21′　　 D.北纬38°05′～42°48′ 返回 B 基础提优题 知识点4 区域定位法 6.电子银行口令卡相当于一种动态的电子银行密码.交易时，电子银行系统就会随机给出一组口令卡坐标，客户根据坐标从卡片中找到口令组合并输入电子银行系统.只有当口令组合输入正确时，客户才能完成相关交易.如图是电子银行口令卡的一部分，如果电子银行系统发出的口令组合为D6H7，其对应的密码为　　　　　　. 返回 163177 综合应用题 7.［2026无锡期中］如图的密码表是用来玩听声音猜字母的，如果听到“咚咚—咚咚，咚—咚，咚咚咚—咚”表示的是“DOG”，那么听到“咚咚—咚咚咚，咚咚咚咚—咚咚咚咚，咚咚咚—咚咚咚咚”时，表示的是(　　) A.AUI　　 B.BUS C.ASU　　 D.BUI 返回 B 基础提优题 【点拨】因为“咚咚—咚咚，咚－咚，咚咚咚—咚”表示的是“DOG”，而由题图知(2，2)，(1，1)，(3，1)对应的字母为D，O，G，所以“咚咚—咚咚咚，咚咚咚咚—咚咚咚咚，咚咚咚—咚咚咚咚”表示(2，3)，(4，4)，(3，4)，对应表格中的字母为B，U，S，所以“咚咚—咚咚咚，咚咚咚咚—咚咚咚咚，咚咚咚—咚咚咚咚”表示的是“BUS”. 返回 基础提优题 8.如图是一个按某种规律排列的数阵.若用有序实数对(m，n)表示第m行，从左到右第n个数，如(4，3)表示实数3，则(8，5)表示的实数是(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 返回 1 第1行 　 第2行 2　　 第3行 　2　3　 第4行 … … B 综合应用题 【点拨】由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为正整数且按顺序排列，所以第8行第1个数为＝，所以第8行第5个数为＝，所以(8，5)表示的实数是. 返回 1 第1行 　 第2行 2　　l 第3行 　2　3　 第4行 … … 综合应用题 9.七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用(m，n)表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位.设某学生原来的座位为(m，n)，调整后的座位为(i，j)，记a＝m－i，b＝n－j，则称该生作了平移［a，b］＝［m－i，n－j］，并称a＋b为该生的位置数.某生的位置数为8，当m＋n取最小值时，则mn的最大值为(　　) A.25　 　B.30　　 C.36　　 D.48 返回 A 综合应用题 【点拨】因为［a，b］＝［m－i，n－j］，所以a＋b＝m－i＋n－j＝m＋n－(i＋j).又因为a＋b＝8，所以m＋n－(i＋j)＝8，即m＋n＝i＋j＋8.因为1≤i≤6，1≤j≤8，且i，j都是整数，所以m＋n的最小值为10.因为1≤m≤6，1≤n≤8，且m，n都是整数，所以当m＝2，n＝8时，mn＝16；当m＝3，n＝7时，mn＝21；当m＝4，n＝6时，mn＝24；当m＝5，n＝5时，mn＝25；当m＝6，n＝4时，mn＝24，所以mn的最大值为25，故选A. 返回 综合应用题 10. ［2026上海浦东新区期中］如图，在5×5的方格(每个小正方形的边长为1)内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下.规定：向右与向上为正，向左与向下为负.A→B的爬行路线记为(＋1，＋4)，B→A的爬行路线记为(－1，－4)，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息. 返回 综合应用题 (1)图中B→D的爬行路线为(　　，　　)，C→B的爬行路线为(－2，　　)； 返回 ＋3 －2 ＋1 综合应用题 (2)若甲虫的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫爬行的路程. 返回 【解】A→B的爬行路线为(＋1，＋4)，B→C的爬行路线为(＋2，－1)，C→D的爬行路线为(＋1，－1)，所以甲虫爬行的路程为1＋2＋1＋4＋1＋1＝10. 综合应用题 (3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为(＋2，＋3)，(－2，＋1)，(＋3，－5)，(－4，＋2)，最终到达点P处，请在图中标出点P的位置. 返回 【解】如图，点P即为所求. 综合应用题 11. 如图①，将射线OX按逆时针方向旋转x°，得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝a，那么我们用(a，x)表示点P在平面内的位置，并记为P(a，x).例如，在图②中，如果OM＝8，∠XOM＝110°，那么点M在平面内的位置记为M(8，110).根据图形，解答下面的问题： 返回 创新拓展题 (1)如图③，如果点N在平面内的位置记为N(6，30)，那么ON＝　　，∠XON＝　　　； 返回 6 30° 创新拓展题 【解】如图所示，连接AB， 因为A(5，30)，B(12，120)， 所以∠BOX＝120°，∠AOX＝30°，OA＝5，OB＝12， 所以∠AOB＝90°， 所以在Rt△AOB中，AB＝＝13. (2)如果点A，B在平面内的位置分别记为A(5，30)，B(12，120)，画出图形，并求A，B两点之间的距离. 返回 创新拓展题 $ 第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 知识点1 平面直角坐标系的有关概念 1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是(　　) 返回 B 基础提优题 2.关于平面直角坐标系，给出以下说法： ①平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系； ②在平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴；③坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限；④坐标原点不属于任何象限；⑤x轴与y轴互相平行. 其中正确的个数为(　　) A.1　　　 　B.2　　　　 C.3　　　 　D.0 返回 C 基础提优题 知识点2 平面直角坐标系中点的坐标与点的位置的关系 3. 如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为(－2，2)，则“炮”所在位置的坐标为(　　) A.(3，1)　　　 B.(1，3)　　　 C.(4，1)　　　 D.(3，2) 返回 A 基础提优题 4.已知点P(2m＋4，3m－8)到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为(　　) A.5　　 B.－8 C.－8或－　　 D.5或 返回 D 基础提优题 返回 本题易混淆点的横、纵坐标表示的意义，掌握点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值是解题的关键. 基础提优题 5.点A，B，C，D在平面直角坐标系的位置如图所示. (1)直接写出点A，B，C的坐标； 返回 【解】A(3，2)，B(－3，4)，C(－4，－3). 基础提优题 (2)在图中描出下列各点：M(4，0)，N(－3，－4)，P(－2，3). 返回 【解】描点如图. 基础提优题 (3)依次连接AC，CD，DA得到一个封闭图形，此图形的形状为　　　　　　，AC的长为　　　.(作出图形) 返回 直角三角形 基础提优题 6. 如果点P(x，y)的坐标满足x＋y＝xy，那么称点P为“和谐点”.若某个“和谐点”到x轴的距离为3，则 P点的坐标为　　　　　　　　　　. 返回 或 综合应用题 【点拨】由题意得y＝±3.因为x＋y＝xy，所以x＋3＝3x或x－3＝－3x，解得x＝或x＝.所以点P的坐标为或. 返回 综合应用题 7. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，…，按这样的运动规律，经过第2 026次运动后，动点P的坐标是　　　　　　. 返回 (2 026，0) 综合应用题 8. 在平面直角坐标系中，三角形ABC的边AB在x轴上，且AB＝3，已知点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(－2，4). (1)在如图所示的直角坐标系中画出所有符合条件的三角形ABC，并写出点B的坐标； 返回 综合应用题 【解】如图①所示，当点B在点A的左边时，2－3＝－1，所以点B的坐标为(－1，0)； 如图②所示，当点B在点A的右边时，2＋3＝5， 所以点B的坐标为(5，0). 综上，点B的坐标为(－1，0)或(5，0). 返回 综合应用题 (2)求三角形ABC的面积. 返回 【解】三角形ABC的面积为×3×4＝6. 综合应用题 返回 解此题时注意要分两种情况讨论：点B在点A的左边和点B在点A的右边. 综合应用题 $ 第三章 位置与坐标 专项培优6 坐标系中的图形面积 类型1 运用分割法求图形的面积 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别是O(0，0)，A(0，12)，B(－10，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积. 返回 【解】如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D. 因为B(－10，8)， 所以OD＝10，BD＝8. 因为A(0，12)，C(－14，0)， 所以OC＝14，OA＝12.所以CD＝4. 所以S四边形OABC＝S△BCD＋S四边形OABD＝BD•CD＋(BD＋OA)•OD＝×8×4＋×(8＋12)×10＝16＋100＝116. 返回 类型2 运用补形法求图形的面积 2. ［湖南竞赛］在如图所示的平面直角坐标系中，多边形ABCDEF的各顶点的坐标分别是A(1，0)，B(2，3)，C(5，6)，D(7，4)，E(6，2)，F(9，0)，试确定这个多边形的面积. 返回 【解】如图所示，多边形ABCDEF的面积＝S长方形AHMF－(S△ABG＋S梯形BCHG＋S梯形DNMC＋S梯形DEPN＋S△EPF)＝AF•AH－［AG•GB＋(BG＋HC)•HG＋(DN＋MC)•MN＋(DN＋EP)•PN＋•PE•FP］＝8×6－［×3×1＋×(1＋4)×3＋×(2＋4)×2＋×(2＋3)×2＋×3×2］＝48－＝25. 返回 类型3 利用图形面积求点的坐标 3. 已知点A(2，0)，B(0，2)，点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积是2，则满足条件的点C的坐标为　　　　　　　　　　　. 返回 (0，0)或(4，0)或(0，4) 【点拨】若点C在x轴上，则S△ABC＝AC×2＝2，解得AC＝2，所以点C的坐标为(4，0)或(0，0)；若点C在y轴上，则S△ABC＝BC×2＝2，解得BC＝2，所以点C的坐标为(0，4)或(0，0).综上所述，点C的坐标为(0，0)或(4，0)或(0，4). 返回 4.［2026成都锦江区期中］已知A(－3，－2)，B(2，－2)，C(3，1)，D(－2，1)四个点. (1)在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C， D，A； 返回 【解】画出图形如图所示. 【解】S四边形ABCD＝5×3＝15. 设点P(0，t)，因为S△PAB＝S四边形ABCD，AB＝5， 所以×5×｜2＋t｜＝15，即｜2＋t｜＝6， 解得t1＝4，t2＝－8. 所以点P的坐标为(0，4)或(0，－8). (2)在y轴上有一点P，且S△PAB＝S四边形ABCD，求出点P的坐标. 返回 5. ［武汉竞赛］如图，将长方形ABCD放置在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AB＝4，AD＝2，A(2，1). (1)求B，C，D的坐标，并说明将长方形ABCD进行怎样的平移使C点移到A点处. 返回 【解】易得B(6，1)，C(6，3)，D(2，3)，将长方形ABCD先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，可使C点移到A点. (2)y轴上是否存在点P，使△PAB的面积等于长方形ABCD面积的？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 返回 【解】)存在.理由如下：设P(0，a)，则S△ABP＝AB•｜a－1｜，所以×4×｜a－1｜＝4×2×，所以｜a－1｜＝3，所以a＝4或－2，故P(0，－2)或(0，4). $