高考数学导数类试题考点归类与解题策略研究-《中学生数理化》高考数学2026年5月刊

知织管数攀学备务播肉中学生款理化 。高考数学导数类试题考点 归类与解题策略研究 ■河南省周口市第三高级中学 李辉 面对“重能力、反套路”的新高考，导数复 当x∈(0,2)时，cosx∈(01) 习需进行战略转型。本文选用的试题突出数 学问题本质，考查创新思维，体现学科价值， 令函数u(x)=x一sinx,则u'(x)=1 突出探究性、创新性的要求，最终实现数学核 osx>0,所以u(x)在(0,5)上单调递增， 心素养的全面提升。 故u(x)>u(0)=0,即f(x)>sinx。 考点一、函数性质的综合应用 令函数o(x)=tanx一x,则o'(x)= 此类问题往往涉及函数变换、构造新函 数，以及利用已证结论进行递推证明。主要 (--o。-1.又当xe(0) 考查同学们对函数关系的深层理解和逻辑链 时，cosx∈(0,1)，则cos2x∈(0,1)，1 cos'x 的构建能力。同学们在日常学习中需注意以 下几点：①洞察结构：不要急于求导，先观察 1.+∞)，故。(x)=-1>0,所以 cos'x 题目中式子的结构特征，思考可能的构造函 数方向。②利用好“桥梁”：前面问题的结论 (x)在(0，受)上单调递增，则u(x)>a(0) 常常是解答后面问题的“桥梁”或“垫脚石”， =0,即tanx>f(x)。 要有意识地联想和应用。③书写逻辑：使用 综上可知，当x∈(o,)时，sinx< 分析法思考，用综合法（由因导果）书写，清晰 f(x)<tanx成立。 地写出“要证…只需证，因为…所以成立”。 (2)f'(x)=(xer)'=(1+a.x)e,x∈ 例1已知f(x)=xe“。 [0,2]。 1)若a=0,证明：当x∈(0，受)时， 若a≥0，则1十ax≥0对任意x∈[0,2] 恒成立，即f'(x)≥0恒成立，所以f(x)在 sin r<f(x)<tan r; [0,2]上单调递增，则f(x)m*=f(2)=2e“。 (2)求f(x)在[0,2]上的最大值； (3)已知f(x)在x=1处的切线与x轴 若a<0,令1十ax=0,则x=-1 平行，若存在x1,x:∈R,x1<x,使得f(x1) 由-}∈0,2，得a<-所以当x∈ =f(x),证明：x1e>eo 解析：(1)若a=0,则f(x)=x。 [0,-)时，f(x)>0,f(x)单调递增：当 Y￥￥Y￥Y￥￥y￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥￥Y￥￥￥￥Y￥￥Y￥Y￥￥Y￥Y￥ 识点串联起来的，识别其中的关键连通点和 连通性问题中，规范的数学语言（代数式、逻 转化技巧。 辑符号)是保证思维清晰、推理严谨的基础。 (3)培养自我“双向推理”能力：既要训练 需强化将文字描述、图形关系精确转化为数 从条件到结论的顺向综合推导，也要训练从 学表达的训练。总而言之，面对新高考，同学 结论到条件的逆向分析（如必要性探路），更 们只有建构起这种“连通性”认知，才能真正 要练习在已知某些连通关系（如函数最值构 驾驭高考数学的深度与广度，从解题者成长 成数列)后，如何提出并解决新的问题。 为问题的探究者与知识的整合者。 (4)注重“数学表达”的精准性：在复杂的 (责任编辑王福华) 中学生表理化智皱学幸新向 x∈(-日]时f'x)<0,f(x)单调递减. 活构造函数，利用导数研究其单调性或最值 来证明不等关系。 考点二、函数的零点问题 此类问题的核心是“函数图像与x轴的 当-2∈[2，十).即-合≤a<0时1 交点情况”，借助导数可以描绘函数图像的轮 十ax≥0对任意x∈[0,2]恒成立，即f'(x) 廓（单调性、极值）。同学们在备考过程中需 ≥0恒成立，所以f(x)在[0,2]上单调递增， 注意以下几点：①“数形结合”是本能：分析时 则f(x)mx=f(2)=2e“。 一定要在心中或草稿上画出∫(x)的大致趋 综上所述，当a≥-之时f(x) 势图。②关注特殊点：定义域端点、极值点、 f(x)=0的特殊解（如x=0,1,e等），这些 2e:当a<-2时f）= 1 点是判断符号和划分讨论的关键。③规范语 ea 言：说明零点存在时，要写明“f(x)在(a,b) (3)因为f(x)在x=1处的切线与x轴 上连续，且f(a)·f(b)<0,由零点存在定 平行，所以f'(1)=(1+a)e=0,解得a= -1,所以f(x)=xe,f'(.x)=(1-x)e。 理可知…”。④双零点问题：证明x1十x 当x<1时，f'(x)>0,f(x)在(-∞，1) >c或x1·x2>c这类问题时，通常需将双 上单调递增； 变量问题通过关系式（零点方程）转化为单变 当x>1时，f'(x)<0,f(x)在(1，+∞) 量问题，或利用对称构造函数解决。 上单调递减。 例2已知函数f(x)= sin x 2+cos x 作出函数f(x)= (1)求函数f(x)的值域： xe的图像，如图1所 (2)若对任意的x∈[0，十∞)，都有 示，若f(x1)=f(x:), 则0<x1<1<x2。 f(x)≤ax,求实数a的取值范围： (3)设n∈N",且n≥2，证明：2sin1+ 要证x1e>e,只需 图1 证x2>1-lnx1。 2<2n-3 3、:24s1n2十“十ns1n2 又因为0<x1<1,所以1-lnx1>1。 2 因为f(x)在(1，+∞)上单调递减，所以 3(n+1)° 只需证明f(x1)=f(xe)<f(1一lnx1),即 解析：(1)由条件知，f(x十2π)= 证x1e<(1-lnx1)e1=1-n. sin(x+2π) sin x 2+os(z+2x)-2+c0sx=f(x),所以2元 =1lnx),即证e十nz< 为函数f(x)的一个正周期，故只需求函数 f(x)在x∈[一π，π]上的值域即可。 0<x1<1。 对函数f(x)求导得f'(x)= 设h(t)=e-十lnt,t∈(0,1)，则h'(t) (2+cosx)cosx一sinx(一sinx) -1-te- (2+cos x) t 2cos x+1 由f(x)的单调性可知，f(t)≤f(1)= (2+cos x). 名则e≤名即1-1e≥0，所以h()> 当x∈(-x,-安）时f(x)<0,函数 0,即h(t)在t∈(0,1)上单调递增，所以h(t) f(x)单调递减； <h(1)=1。 故不等式x1e>e得证。 当r∈(-否)时，f（x)之0.函数 说明：此考点综合性强，要求同学们能灵 f(x)单调递增； 8 高三数学普军指月中学生教理化 知识篇科学备考新指向 当x∈()时f'(x)<0,函数fx) 递减，所以h(x)h(0)=0,故当0x1 1 单调递减。 时，cosx1一 又因为f(-x)=0,f(x)=0,f(-） 所以当k∈N"且k≥2时，cos 6<1 2 1是 1 4 二，所以函数f(x)的值域为 [ km是<号(-)=2-号·< (2)记g(x)=f(x)一ax,则g'(x)= 1 1+2cos a 3 2 (2+cos x)2 (2+cosx)十2+c0sx g一是 所以2sin1+3sin子+4sin 2十…十 1 -a+ 112 -a=-3( 2+cos x 3 nsin2<2(n-1)-号(2-n+ 211 ）=2n 由g(0)=号-a=0,解得a=子. 7 若a≥分则g(x)≤0，K()在区间[0 3+3(n+1D 说明：此考点难度较大，主要考查利用导 十∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0,即 数分析函数图像、确定零点个数或存在区间， f(x)≤ax在区间[0，十∞)上恒成立。 常与不等式结合。 若a<},则存在，>0，使得当x∈(0， 考点三、利用导数证明不等式 x,)时，g'(x)>0,g(x)单调递增。故当x∈ 此类问题是导数的综合高阶应用，核心 思想是“将不等式问题转化为函数最值问 (0,xo)时，g(x)>g(0)=0,即f(x)≤ax在 区间[0，十∞)上不恒成立。 题”。同学们在解题过程需注意以下几点： ①先化简，再构造：证明前先对不等式两边进 综上，实数a的取值范围为 行适当的代数变形（如通分、取对数、指数化 1 (3)由(2)知，当a=3时，对任意的x∈ 等)，使结构更清晰，便于构造函数。②“分而 治之”：对于复杂的不等式，可将其拆分成左 sinx<1x 《0门有2十co9x3x,即sin2<} (2+ 右两部分，分别证明“左式<A”和“A<右 3 式”。③积累常用放缩式：熟记e,lnx, 2 sinx,cosx等基本初等函数在特定点处的 cosx),因此2 切线放缩不等式，它们是破解复杂不等式的 6 “利器”。④注意定义域与等号成立条件：放 且k≥2)，即sim名<号(2+e) 缩时要检查等号能否成立，以及在目标区间 内放缩的方向是否正确。 设hx)=c0sx-1+子x0<x≤1，则 例3已知函数f)=名ar+snt 1 h'(x)=-sin. +cosx一x一1，g(x)=x十cosx一sinx 令9(x)）=-sinx+2r,x∈（o,1]G (0,),则p(x)=-osx+号<0，可得 1)当x∈[0，]时，求g(x)的最大值： h'(x)在区间(0,1]上单调递减，所以h'(x) (2)若f(x)≤0对任意的x∈[0，]恒 <h'(0)=0,所以h(x)在区间(0,1]上单调 成立，求实数a的取值范围； 9 知识篇科学备考新指向 中学生教理化高二数学2026年月 1 1 1 1 (3)证明：2一4<sin2<4市 2+3 G(0)=0,所以G(x)在(6，】]上单测递减， 2n∈N。 则G(x)<G(0)=0,所以x sinx成 4 解析：(1)对函数g(x)求导得g'(x)= 立。 1-sin :-cos *-1-sin(). 当∈0]时x+∈[至，]， 当xe(o,]时写)-（后-） sn(+)∈]，所以g'(x)≤0gx 4(g-1<0。设h(x)=24-6 +x- 在[0，艺]上单测递减，放gx)=g0)=0 (2)对函数f(x)求导得∫'(x)=ax+ cos xe cOsx-sinx-1。 当a≤1时，由(1)得f'(x)≤g(x)≤0， 设，)A.则A(x)=若-十 则fx)在[0，]上单调递减，所以ra)≤ sinx。 设h2(x)=h{(x),则h(x)=x一1+ f(0)=0成立。 cosx。 当a>1时，设F(x)=ax+cosx 设h:(x)=h:(x),则h(x)=1-sinx sinx一1，则F'(.x)=a-sinx-cosx=a >0,所以A(r)在(Q,]上单调递增，则 sin(+). 因为F'(0)=a一1>0，所以存在x。∈ u)>h0)=0,所以3()在(o,】]上单 调递增，则h{(x)>h1(0)=0,所以h'(x) (0,）,使得当x∈(0，)时，F'(x)>0, 在(0，]上单测通增，则A()>(0)=0 F(x)在(0，x。)上单调递增，则F(x)>F(0) =0,即f'(x)>0,故f(x)在(0，x。)上单调 所以方)在(o,] 单调递增，则h(x)> 递增，则f(x)>f(0)=0,不符合题意。 xx 综上所述，a的取值范围是（一∞，1]。 h(0)=0,所以sinx<24-6+x<64-8 =,即证x- (3)令2 <sin x< 十x成立。 综上所述，原命题得证。 +reo] x 说明：此考点综合性强，要求同学们能灵 活构造函数，利用导数研究其单调性或最值 先证x一 x 4<sin z. 来证明不等关系。 设G(x)=x- 通过对上述三道试题的归类分析，可以 发现高考导数解答题呈现出“基础性与综合 则G'(x)=1- x --cosx。 性并举”“通性通法与创新思维并重”的特点。 试题虽情境多样，但核心思想高度一致：以导 设G1(x)=G'(x)=1- 一cosx,则 数为工具，函数性质研究为主线，逻辑推理和 2 代数变形为关键。导数学习没有捷径，唯有 G(x)=sin x- <G() 2 =0,所以 通过理解本质、掌握方法、持续思考、规范训 练，才能将这一高中数学的“高地”转化为夺 上单调递减，则G'(x)< 取高分的“阵地”。 (责任编辑王福华) 10