第一章 勾股定理 习题课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件以勾股定理为核心，从认识勾股定理入手，通过基础题辨析概念，结合综合应用题（如折叠问题）和创新拓展题，以解题步骤等学习支架帮助学生构建从概念到应用的知识脉络。 其亮点在于融入几何直观（如勾股树面积计算）、推理能力（分类讨论高的位置）和模型意识（方程思想解决折叠问题），采用点拨、易错点提示等方法，学生能提升思维能力，教师可高效开展教学。

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 知识点1 勾股定理的验证 1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有(　　) A.①③　　 B.②③　　 C.②④　　 D.①④ 返回 D 基础提优题 2.［2026南京期中］如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°. (1)试说明：DF⊥AB. 返回 基础提优题 【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC.又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°，所以DF⊥AB. 返回 基础提优题 (2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的验证.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2. 返回 【解】因为S△BCE＋S△ACD＝S△ABD－S△ABE，DE＝AB＝c，CE＝BC＝a，AC＝CD＝b，所以a2＋b2＝•c•DF－•c•EF＝•c•(DF－EF)＝•c•DE＝c2，所以a2＋b2＝c2. 基础提优题 知识点2 勾股定理的应用 3. 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(如图，1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，竹梢抵地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为(　　) A.4.55尺　　 B.5.45尺　　 C.4.2尺　　 D.5.8尺 返回 C 基础提优题 4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度为8 m，若A，B，B′三点在同一直线上，则BB′的长为(　　) A.4 m　　 B.3 m　　 C.2 m　　 D.1 m 返回 (第4题) C 基础提优题 5. 2026年1月19日，神舟二十号飞船返回舱在东风着陆场成功着陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如图，小烨控制的无人 返回 (第5题) 机在距离地面18米高的点D处(CD＝18米)，空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得AD＝17米，点A与点D之间的水平距离AE＝15米，已知AE⊥CD于点E，AB＝CE，则风筝离地面的高度AB是　　　　　　. 10米 基础提优题 6.一辆装满货物、宽为1.6 m的卡车，欲通过如图所示的隧道(隧道上半部分是以AB为直径的半圆)，则卡车的高度必须低于(　　) A.3.0 m　　 B.2.9 m　　 C.2.8 m　　 D.2.7 m 返回 (第6题) B 综合应用题 【点拨】1.6÷2＝0.8(m).如图，取AB的中点O，在OB上截取OE＝0.8 m，过点E作AB的垂线，交半圆于点F，交CD于点G，连接OF，则OF＝1 m，在Rt△OEF中，由勾股定理可得EF＝0.6 m，则FG＝0.6＋2.3＝2.9(m).则卡车的高度必须低于2.9 m. 返回 综合应用题 返回 综合应用题 7.如图，一只小猫沿着斜立在墙边的木板往上爬，木板底端距离墙脚0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑了0.9 m，则小猫在木板上爬了　　　　m. 返回 (第7题) 2.5 综合应用题 【点拨】如图.设OB′＝x m，则OB＝(0.9＋x) m，由题可得，(1.3＋0.7)2＋x2＝0.72＋(x＋0.9)2，解得x＝1.5，所以AB2＝0.72＋(1.5＋0.9)2＝6.25，所以AB＝2.5 m，即小猫在木板上爬了2.5 m. 返回 综合应用题 8. ［2026盐城期中］第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1 700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直 返回 角三角形(△DAE，△ABF，△BCG，△CDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接BE，CE.若△CDE的面积是△ABE面积的9倍，小正方形EFGH的面积是16，则大正方形ABCD的面积为　　　　. 40 综合应用题 【点拨】设AE＝BF＝a，DE＝AF＝CH＝b(b＞a＞0).由题意得S△CDE＝DE•CH＝b2，S△AEB＝ 返回 AE•BF＝a2.因为△CDE的面积是△ABE面积的9倍，所以b2＝a2，所以b＝3a.因为小正方形EFGH的面积是16，所以(b－a)2＝16.所以b－a＝4.所以a＝2，b＝6.所以大正方形ABCD的面积＝a2＋b2＝4＋36＝40. 综合应用题 9. ［2026成都外国语学校期中］如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340 km的B处有一台风中心，沿BC方向以 15 km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160 km. (1)台风中心经过多长时间从B点移动到D点？ 返回 【解】由题意可知，AD⊥BC，AB＝340 km，AD＝160 km，所以由勾股定理易得BD＝300 km. 因为300÷15＝20， 所以台风中心经过20 h从B点移动到D点. 综合应用题 (2)如果在距台风中心200 km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间为多少小时？ 返回 综合应用题 【解】如图，在射线BC上取点E，F，连接AE，AF，使得AE＝AF＝200 km. 又因为AD⊥BC，所以EF＝2ED. 在Rt△AED中，由勾股定理易得ED＝120 km， 所以EF＝2ED＝240 km. 因为240÷15＝16， 所以A市受到台风影响的时间为16 h. 返回 综合应用题 10. (1)【问题】①如图①，在长方形ABCD中，AB＝CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，则AC与BD的数量关系是　　　　. 返回 AC＝BD 【点拨】因为∠CDA＝∠DAB＝90°，所以AC2＝AD2＋DC2，BD2＝AD2＋AB2.因为AB＝CD，所以AC2＝BD2，所以AC＝BD. 创新拓展题 ②如图②，P是长方形ABCD内任意一点，通过构造直角三角形，利用勾股定理，你发现AP2＋CP2与BP2＋DP2的数量关系是　 　 . 返回 AP2＋CP2＝BP2＋DP2 创新拓展题 【点拨】如图①，过P作PM⊥AD于M，延长MP交BC于N，所以易得AM＝BN，DM＝CN，PN⊥BC.由勾股定理得AP2＝AM2＋PM2，CP2＝CN2＋PN2，BP2＝BN2＋PN2，DP2＝DM2＋PM2，所以AP2＋CP2＝AM2＋PM2＋CN2＋PN2，BP2＋DP2＝BN2＋PN2＋DM2＋PM2，所以AP2＋CP2＝BP2＋DP2. 返回 创新拓展题 (2)【探究】如图③，P是长方形ABCD外任意一点，上面②的结论是否成立？请说明理由. 返回 创新拓展题 【解】成立.理由如下：如图②，过P作PM⊥AD于M，交BC于N，所以易得AM＝BN，DM＝CN，PN⊥BC.由勾股定理得AP2＝AM2＋PM2，CP2＝CN2＋PN2，BP2＝BN2＋PN2，DP2＝DM 2＋PM 2，所以AP2＋CP2＝AM2＋PM2＋CN2＋PN2，BP2＋DP2＝BN2＋PN2＋DM2＋PM2，所以AP2＋CP2＝BP2＋DP2. 返回 创新拓展题 $ 第一章 勾股定理 专项培优2 利用勾股定理解决折叠问题 类型1 三角形中的折叠问题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD，DE.将△CDE沿 DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝　　　　. 返回 (第1题) 【点拨】因为AC＝6，D是边AC的中点，所以CD＝AC＝3.因为∠ACB＝90°，BC＝4，所以BD＝5.因为将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，所以DF＝CD＝3，CE＝EF，∠EFD＝ 返回 (第1题) ∠ACB＝90°.所以BF＝BD－DF＝2，∠BFE＝90°.设CE＝x，则EF＝x，BE＝BC－CE＝4－x.在Rt△BFE中，由勾股定理，得(4－x)2＝x2＋22，解得x＝，所以CE＝. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF 沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为　　　　. 返回 (第2题) 【点拨】因为∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，所以AC2＝AB2－BC2＝64，所以AC＝8.由翻折可知，∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE ＝BC＝6，AF＝EF.因为∠A＋∠B＝90°，所以∠DEF＋∠DEC＝ 返回 (第2题) 90°，即∠FEC＝90°，所以EF2＋CE2＝CF2.设AF＝EF＝x，则CF＝AC－AF＝8－x，所以x2＋62＝(8－x)2，所以x＝，即AF＝. 3.［2026深圳盐田区期中］如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝8 cm，AD＝4 cm.把纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，则重叠部分△ACF的面积为(　　) A.5 cm2　　 B.10 cm2 C.15 cm2　　 D.20 cm2 返回 (第3题) B 【点拨】因为四边形ABCD是长方形，所以∠B＝∠D＝90°，BC＝AD＝4 cm，CD＝AB＝8 cm，由翻折得AE＝AB＝CD＝8 cm，∠E＝∠B＝90°，CE＝BC＝AD＝4 cm，所以∠D＝∠E＝90°.又因为∠CFE＝∠AFD，所以△CFE≌△AFD，所以EF＝DF，CF＝AF. 返回 (第3题) 设CF＝AF＝x cm，则DF＝CD－CF＝(8－x) cm.在Rt△AFD中，AF2＝DF2＋AD2，即x2＝(8－x)2＋42，所以x＝5，即CF＝5 cm，所以重叠部分△ACF的面积为AD•CF＝×4×5＝10(cm2).故选B. 返回 (第3题) 4.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE所在直线折叠，使点B落在长方形内的点B′ 处，连接CB′，则CB′的长为　　　　. 返回 (第4题) 【点拨】连接BB′交AE于H，易得BB′⊥AE，BB′＝2BH.因为BC＝6，点E为BC的中点，所以BE＝3.又因为AB＝4，所以在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝25，所以AE＝5，所以易得BH＝，所 返回 (第4题) 以BB′＝2BH＝.因为B′E＝BE＝EC，所以易得∠BB′C＝90°，所以根据勾股定理得，CB′2＝CB2－BB′2＝2.所以CB′＝. 5. 如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处. (1)求CE的长. 返回 【解】在长方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10. 由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝10. 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝6， 所以CF＝BC－BF＝4. 设CE＝x，则EF＝DE＝CD－CE＝8－x. 在Rt△ECF中，根据勾股定理，得CF2＋CE2＝EF2， 即16＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，所以CE＝3. 返回 (2)BC边上是否存在一点P，使得PA＋PE的值最小？若存在，请求出最小值的平方；若不存在，请说明理由. 返回 【解】存在.延长EC至E′使CE′＝CE＝3，连接AE′交BC于点P，易知此时PA＋PE的值最小，为AE′的长.在Rt△ADE′中，根据勾股定理，得AE′2＝AD2＋DE′2＝102＋(8＋3)2＝221，即PA＋PE的最小值的平方为221. 返回 类型3 正方形中的折叠问题 6. 如图，动点E，P分别是正方形ABCD的边BC，CD上的动点，沿AE，AP折叠正方形，点B，D的对应点恰好都落在点O处，若AB＝3，当点P是CD边的三等分点 时，BE的长为　　　　. 返回 或 【点拨】四边形ABCD是正方形，AB＝3，点P是CD边的三等分点，则分两种情况.易知P，O，E三点共线.若DP＝1，则PC＝CD－DP＝3－1＝2.设BE＝x，则CE＝3－x，由折叠可知，OE＝BE＝ 返回 x，DP＝OP＝1，所以PE＝OE＋OP＝x＋1.在Rt△PCE中，PE2＝PC2＋CE2，即(x＋1)2＝22＋(3－x)2，解得x＝，所以BE＝；若DP＝2，同理可得BE＝.综上，BE的长为或. 7. 如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E，若AE＝5，求GE的长. 返回 【解】设CF与DE交于点O. 由折叠可知GO＝DO，CF⊥DG，所以∠FOD＝90°. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD. 所以∠CFD＋∠FCD＝∠CFD＋∠ADE. 所以∠ADE＝∠FCD. 所以△ADE≌△DCF. 返回 所以DF＝AE＝5，DE＝CF. 在Rt△CDF中，由勾股定理易得CF＝13， 所以DE＝13. 因为S△CDF＝DF•CD＝CF•OD， 所以×5×12＝×13×OD. 所以GO＝DO＝. 所以GE＝13－2×＝. 返回 $ 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 知识点1 认识勾股定理 1.下列说法中正确的是(　　) A.已知a，b，c是三角形的三边，则a2＋b2＝c2 B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方 C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 D.在Rt△ABC中，∠B＝90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，所以a2＋b2＝c2 返回 C 基础提优题 2.如图，直线AB⊥CD，垂足为O，AO＝15，CO＝8，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AB于点E，则OE的长 为(　　) A.8　　 B.6　　 C.4　　 D.2 返回 (第2题) D 基础提优题 【点拨】因为AB⊥CD，所以∠COA＝90°，所以AC2＝AO2＋OC2.因为AO＝15，CO＝8，所以AC＝17.因为以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AB于点E，所以AC＝AE＝17，所以OE＝AE－AO＝2. 返回 (第2题) 基础提优题 3. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为4 cm，则“帥”“马”两棋子所在格点之间的距离为　 　. 返回 (第3题) 20 cm 基础提优题 4. 在△ABC中，AB＝30，AC＝26，高AD＝24，则△ABC的周长为　　　　　. 返回 84或64 基础提优题 【点拨】(1)当高AD在△ABC的内部时，如图①.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝324，所以BD＝18.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝100，所以CD＝10.所以BC＝BD＋CD＝28，此时△ABC的周长是AB＋BC＋AC＝30＋28＋26＝84； 返回 基础提优题 (2)当高AD在△ABC的外部时，如图②.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝324，所以BD＝18.在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝100，所以CD＝10.所以BC＝BD－CD＝8，此时△ABC的周长是AB＋ 返回 此题易漏掉高AD在△ABC外部这种情况而致错. BC＋AC＝30＋8＋26＝64.综上所述，△ABC的周长是84或64. 基础提优题 5.如图，四边形ABCD中，AD⊥AB，BD⊥CD，AD＝3，AB＝4，BC＝13，求四边形ABCD的面积. 返回 基础提优题 【解】因为AD⊥AB，BD⊥CD，所以∠A＝∠BDC＝90°. 因为AB＝4，AD＝3，所以根据勾股定理得BD＝5. 又因为CB＝13，所以根据勾股定理得CD＝12， 所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×3×4＋×12×5＝36. 返回 基础提优题 6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是4，6，2，4，则正方形E的面积是(　　) A.12　 B.14　　 C.16 D.18 返回 (第6题) C 知识点2 勾股定理与图形的面积 基础提优题 7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AC，AB为直径向外作两个半圆，面积分别记为S1和S2.在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，分别以BD，CD为边向外作两个正方形，面积分别记为S3和S4.若S1－S2＝2π，S3＝41，则S4的值为(　　) A.5　　 B.15　　 C.20　　 D.25 返回 (第7题) D 基础提优题 【点拨】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2，所以S2＋π(BC)2＝S1，所以S1－S2＝π•BC2.因为S1－S2＝2π，所以2π＝π•BC2.所以BC2＝16.在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，所以BC2＋CD2＝BD2，所以S4＝S3－BC2＝41－16＝25. 返回 (第7题) 基础提优题 8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图②的方式放置在最大正方形内，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(　 ) A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积之和 返回 C 综合应用题 【点拨】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边的长为b，较短直角边的长为a，由勾股定理得，c2＝a2＋b2，阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c)，较小两个正方形重叠部分的宽＝a－(c－b)，长＝a，则较小两个正方形重叠部分的面积＝a(a＋b－c)，所以知道阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积. 返回 综合应用题 9.［2026武汉武昌区期中］在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2＋BP•PC的值是(　　) A.15　　 B.25　　 C.30　　 D.20 返回 B 综合应用题 【点拨】如图，过点A作AD⊥BC于D，所以∠ADP＝∠ADB＝90°，因为AB＝AC＝5，所以BD＝CD，易得PA2＝PD2＋AD2，AD2＋BD2＝AB2，所以AP2＋PB•PC＝AP2＋(BD＋PD)(CD－PD)＝AP2＋(BD＋PD)(BD－PD)＝AP2＋BD2－PD2＝AP2－PD2＋BD2＝AD2＋BD2＝AB2＝25. 返回 综合应用题 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，把△ABC沿直线AD折叠，使得点B的对应点B′落在AC的延长线上，则CD＝　　　　. 返回 (第10题) 3 综合应用题 返回 综合应用题 11. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，射线CD与边AB交于点D.E，F分别为AD，BD的中点，设点E，F到射线CD的距离分别为m，n，则m＋n的最大值为　　　　. 返回 (第11题) 7.5 综合应用题 【点拨】如图，连接CE，CF，过E作CD的垂线，垂足为M，过F作CD的垂线，垂足为N，即EM＝m，EN＝n，所以S△CDF ＝CD×n，S△CDE＝CD×m.因为E，F分别为AD，BD的中点，所以S△CDE＝S△CDA，S△CDF＝S△CDB，所以S△CEF＝S△CDE＋S△CDF＝(S△CDA＋S△CDB)，所以CD(m＋n)＝S△ABC. 返回 综合应用题 因为∠ACB＝90°，所以S△ABC＝×9×12＝54，所以CD•(m＋n)＝27，所以CD(m＋n)＝54，所以当CD最短时，m＋n有最大值，此时CD⊥AB.因为在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2＝122＋92＝225，所以AB＝15.当CD⊥AB时，AB•CD＝54，所以CD＝7.2，所以m＋n＝7.5，即m＋n的最大值为7.5. 返回 综合应用题 12. ［温州中学自主招生］设直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，若a，b，c均为整数，且c＝ab－(a＋b)，则满足条件的直角三角形的周长为　　　　　　　　. 返回 56或40或36 综合应用题 【点拨】由题意得c2＝a2＋b2，因为c＝ab－(a＋b)，所以c2＝2＝a2b2－ab(a＋b)＋a2＋b2＋2ab＝a2＋b2，整理，得ab［ab－6(a＋b)＋18］＝0.因为ab＞0，所以ab－6(a＋b)＋18＝0，所以(a－6)(b－6)＝18. 返回 综合应用题 因为a，b均为正整数，不妨设a＜b，则a－6＝1，b－6＝18或a－6＝2，b－6＝9或a－6＝3，b－6＝6，所以a＝7，b＝24或a＝8，b＝15或a＝9，b＝12，当a＝7，b＝24时，c＝25，则a＋b＋c＝56；当a＝8，b＝15时，c＝17，则a＋b＋c＝40；当a＝9，b＝12时，c＝15，则a＋b＋c＝36.所以满足条件的直角三角形有三个，周长分别为56或40或36. 返回 综合应用题 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，AC＝6 cm，动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动的时间为t s. (1)当点P运动到BC的中点时，t的值是　　　； 返回 2 综合应用题 (2)连接AP，4 s内，若BP＝AP，求BP的长； 返回 【解】在Rt△ABC中，由勾股定理易得BC＝ 8 cm，当点P到达点C时，t＝8÷2＝4，所以 4 s内，点P在线段BC上.由题意得BP＝AP＝2t cm.因为BC＝ 8 cm，所以PC＝(8－2t)cm.在Rt△APC中，根据勾股定理可得PC2＋AC2＝AP2，即(8－2t)2＋62＝(2t)2，解得t＝，所以BP＝2×＝(cm). 综合应用题 (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 返回 【解】①当∠APB＝90°时，点P和点C重合，此时t＝4； ②当∠BAP＝90°时，点P在线段BC的延长线上，如图.因为BP＝2t cm，BC＝8 cm，所以PC＝(2t－8)cm. 综合应用题 在Rt△ACP中，根据勾股定理可得AP2＝AC2＋PC2＝62＋(2t－8)2，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得AP2＝BP2－AB2＝(2t)2－102，所以62＋(2t－8)2＝(2t)2－102，解得t＝.综上，t＝4或t＝. 返回 综合应用题 14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，点E在BC边上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF. (1)试说明：AF2＋BE2＝EF2； 返回 创新拓展题 【解】方法一：延长ED到点M，使DM＝DE，连接AM，FM，如图①.因为D为AB的中点，所以AD＝BD. 在△ADM与△BDE中， 所以 返回 △ADM≌△BDE(SAS)，所以AM＝BE，∠DAM＝∠B，所以AM∥BC，所以∠MAF＝180°－∠C＝90°.因为FD⊥ME，DE＝DM，所以易得MF＝FE.因为在Rt△MAF中，AM2＋AF2＝MF2，所以AF2＋BE2＝EF2. 创新拓展题 方法二：如图②，延长FD到点G，使DG＝FD，连接GB，EG， 因为ED⊥DF，所以易得EF＝EG. 因为 D是AB的中点，所以BD＝AD. 在△BDG和△ADF中， 所以△BDG≌△ADF(SAS)， 所以AF＝BG，∠A＝∠DBG. 返回 创新拓展题 因为∠A＋∠ABC＝90°， 所以∠EBG＝∠DBG＋∠ABC＝90°， 所以BG2＋EB2＝EG2， 所以AF2＋BE2＝EF2. 返回 创新拓展题 (2)若AC＝7，BC＝5，EC＝1，求AF的长. 返回 【解】设AF＝x.因为AC＝7，BC＝5，CE＝1，所以CF＝AC－AF＝7－x，BE＝BC－CE＝4.因 为∠C＝90°，所以CF2＋CE2＝EF2，所以EF2＝(7－x)2＋1.由(1)知EF2＝AF2＋BE2＝x2＋42，所以x2＋42＝(7－x)2＋1，解得x＝，所以AF＝. 创新拓展题 解此类题的关键在于运用倍•将原来分散的线段关联起来，使其集中到同一个直角三角形内，从而借助勾股定理建立等量关系. 返回 • • • • 创新拓展题 $ 第一章 勾股定理 章末培优 全章热门考点整合 答 案 呈 现 温馨提示：点击 进入讲评 9 10 11 12 13 A 130 60 习题链接 考点1 勾股定理 1.如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠ACB＝90°，CD＝12，AD＝16，BC＝15，则AB的长为(　　) A.20　　 B.25　　 C.35　　 D.30 返回 (第1题) B 核心考点整合 2.［2026烟台期中］如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝90°，过点A作AE⊥BD于点E，若DE＝2，AE＝8，则BC的长为(　　) A.10　　 B.12　　 C.14　　 D.16 返回 (第1题) A 核心考点整合 【点拨】因为∠ABC＝90°，所以∠ABE＋∠CBD＝90°.因为AE⊥BD，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＋∠BAE＝90°.所以 ∠BAE＝∠CBD.在△AEB和△BDC中， 返回 (第1题) 核心考点整合 所以△AEB≌△BDC，所以AE＝BD，BE＝DC.因为DE＝2，AE＝8，所以DC＝BE＝BD－DE＝8－2＝6.在Rt△BDC 中，BC2＝BD2＋DC2＝100，所以BC＝10.故选A. 返回 (第1题) 核心考点整合 3.［2026保定期中］如图所示，E为长方形ABCD的边BC上的一点，将长方形ABCD沿直线DE折叠，使顶点C恰好落在AB边上的点F处.已知AD＝8，BE＝3，则图中阴影部分的面积为(　　) A.10　　　 B.20　　　 C.30　　　 D.40 返回 C 核心考点整合 【点拨】因为四边形ABCD是长方形，所以AD＝BC＝8，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝90°.所以CE＝BC－BE＝8－3＝5.因为将长方形ABCD沿直 返回 线DE折叠，所以DC＝DF，CE＝EF＝5，∠DFE＝∠C＝90°，在Rt△BEF中，由勾股定理得BF＝4.在Rt△ADF中，AD2＋AF2＝DF2，所以64＋(AB－4)2＝AB2，所以AB＝10，所以AF＝6，所以阴影部分的面积为×6×8＋×3×4＝30. 核心考点整合 4.［黄冈市竞赛］如图，在直线l上依次摆放七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋2S2＋2S3＋S4＝(　　) A.5　　 B.4　　 C.6　　 D.16 返回 C 核心考点整合 【点拨】根据题意易得△ABC≌△BDE，所以AC＝BE.根据勾股定理得，DE2＋BE2＝BD2，所以DE2＋AC2＝BD2，所以S1＋S2＝1.同理可得S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，所以S1＋2S2＋2S3＋S4＝1＋2＋3＝6. 返回 核心考点整合 考点2 直角三角形的判定 5.下列由三条线段a，b，c构成的三角形ABC中：①∠A＋∠B＝∠C；②a＝3k，b＝4k，c＝5k(k＞0)；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a＝m2＋1，b＝m2－1，c＝2m(m为大于1的整数)，其中是直角三角形的是(　　) A.①④　　 B.①②④ C.②③④　 D.①②③ 返回 B 核心考点整合 6.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　　) A.AB2＝20　 B.∠BAC＝90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 返回 C 核心考点整合 7.如图，在四边形ABDC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BD＝5，CD2＝125，连接BC. (1)求BC的长； 返回 【解】因为在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，所以BC2＝AB2＋AC2＝100，所以BC＝10. 核心考点整合 (2)求△BCD的面积. 返回 【解】因为BC＝10，BD＝5，CD2＝125， 所以BC2＋BD2＝102＋52＝125＝CD2， 所以△BCD是直角三角形，且∠CBD＝90°， 所以△BCD的面积为BD•BC＝×5×10＝25. 核心考点整合 考点3 勾股数 8.法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2＋y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解.我们把满足该方程的正整数解(x，y，z)称为勾股数.如(3，4，5)就是一组勾股数. (1)请你再写出两组勾股数：　　　　　　，　 . 　　　　　； 返回 (6，8，10) (9，12，15)(答案 不唯一) 核心考点整合 (2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2－1，z＝n2＋1，那么以x，y，z为三边长的三角形为直角三角形，即(x，y，z)为勾股数.请你加以说明. 返回 【解】因为x2＋y2＝(2n)2＋(n2－1)2＝4n2＋n4－2n2＋1＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝z2，所以(x，y，z)为勾股数. 核心考点整合 考点4 勾股定理的应用 9.如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面的高度为1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处.若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是(　 ) A.0.9 m B.1.3 m C.1.6 m D.2 m 返回 A 核心考点整合 【点拨】如图，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂足为F，由题意可知，OB＝OC＝2 m，BD＝1.6 m，DF＝ 1.3 m，.在Rt△OBD中，由勾股定理易得OD＝1.2 m，所以OF＝OD＋DF＝2.5 m.因为∠ODB＝90°，所以∠OBD＋∠BOD＝90°. 返回 核心考点整合 因为∠BOC＝90°，所以∠BOD＋∠COE＝90°，所以∠OBD＝ ∠COE.在△BOD和△OCE中， 所以 △BOD≌△OCE(AAS)，所以OE＝BD＝1.6 m，所以EF＝OF－OE＝0.9 m，即小丽在C处时距离地面的高度是0.9 m. 返回 核心考点整合 10. 2025年是“全运年”，第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举行，健身运动的热潮也席卷全国，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一 起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB＝ 160 m，AC＝200 m，点C在点B的正东方120 m处，点D在点C的正北方50 m处. 返回 核心考点整合 (1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； 返回 【解】AB⊥BC.理由如下： 由题知AB＝160 m，AC＝200 m，BC＝120 m. 因为AB2＋BC2＝1602＋1202＝2002＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°. 所以AB⊥BC. 核心考点整合 (2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短. 返回 【解】由题意可知BC⊥CD，CD＝50 m. 在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD＝130 m， 所以AB＋BD＝160＋130＝290(m). 而AC＋CD＝200＋50＝250(m). 因为290 m＞250 m，即AB＋BD＞AC＋CD， 所以小亮跑的路线更短. 核心考点整合 思想1 转化思想 11.如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是 20 cm、长是50 cm、宽是40 cm，一只蚂蚁沿台阶从点A出发爬到点B，其爬行的最短线路的长度是　　　　 cm. (第11题) 返回 130 思想方法整合 思想2 方程思想 12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为　　　　. (第12题) 返回 60 思想方法整合 【点拨】因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.因为BF∥AC，所以∠ACB＝∠CBF.所以∠ABC＝∠CBF.所以BC平分∠ABF.过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM＝ 返回 (第12题) CN.因为S△ACE＝AE•CM，S△CBF＝BF•CN，且BF＝AE，所以S△CBF＝S△ACE.所以四边形EBFC的面积为S△CBF＋S△CBE＝S△ACE＋S△CBE＝S△CBA.因为AC＝13，所以AB＝13. 思想方法整合 设AM＝x，则BM＝13－x，由勾股定理，得CM2＝AC2－AM2＝BC2－BM2，所以132－x2＝102－(13－x)2，解得x＝，所以易得CM＝.所以S△CBA＝AB•CM＝60.所以四边形EBFC的面积为60. 返回 (第12题) 思想方法整合 思想3 分类讨论思想 13. 如图，点C为直线l上的一个动点，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，点E在点D右侧，并且点A，B在直线l的同侧，AD＝DE＝8，BE＝2，当CD的长为多少时，△ABC为直角三角形？ 返回 思想方法整合 【解】过点B作BF⊥AD于点F， 则易得四边形DEBF为长方形，所以BF＝DE＝8，DF＝BE＝2，所以AF＝AD－DF＝6.由勾股定理得，AB2＝AF2＋BF2＝100，AC2＝64＋CD2.当∠CAB＝90°时，点C在点D的左侧，此时BC2＝(CD＋8)2＋4＝CD2＋16CD＋64＋4.由勾股定理得AB2＋AC2＝BC2，所以100＋64＋CD2＝CD2＋16CD＋64＋4，解得CD＝6； 返回 思想方法整合 当∠ABC＝90°时，点C在线段DE上，此时BC2＝(8－CD)2＋4＝CD2－16CD＋64＋4. 由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，所以64＋CD2＝100＋CD2－16CD＋64＋4，解得CD＝； 返回 思想方法整合 当∠ACB＝90°时，易知点C在线段DE上，此时BC2＝(8－CD)2＋4＝CD2－16CD＋64＋4. 由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2， 所以100＝64＋CD2＋CD2－16CD＋64＋4， 所以(CD－4)2＝0，所以CD＝4. 综上，当CD长为6或4或时，△ABC为直角三角形. 返回 思想方法整合 $ 第一章 勾股定理 3 勾股定理的应用 知识点1 在几何中的应用 1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，若△ABD的面积为10，则CD的长为(　　) A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.4.5 返回 (第1题) A 基础提优题 【点拨】因为∠C＝90°，△ABD的面积为10，所以DA•BC＝10.因为DA＝5，所以BC＝4，所以CD2＝DB2－BC2＝9，所以CD＝3. 返回 (第1题) 基础提优题 2.如图，在长方形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE的长度为(　) A.3 cm　　 B.4 cm　　 C. cm　　 D. cm 返回 (第2题) C 基础提优题 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则AC 边上的高BD的长为(　　) A.8　　 B.8.8　　 C.9.6　 D.10 返回 (第3题) C 基础提优题 返回 基础提优题 知识点2 在实际问题中的应用 4.如图，这是一个装饮品的圆柱形玻璃杯，现测得其内径为 5 cm，高为12 cm，有一支长为15 cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度最少 为(　 ) A.1 cm　　 B.2 cm　　 C.3 cm　　 D.不能确定 返回 B 基础提优题 5. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地2.1米(AB＝2.1米)，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米(BC＝1.2米)的地方时，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于(　　) A.1.2米 B.1.3米 C.1.5米 D.2米 返回 B 基础提优题 6.［2026深圳期中］某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠DAF时，顶部边缘D处离桌面的高度DE为20 cm，此时底部边缘A处与E处之间的距离AE为15 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠BAF时(B是D的对应点)，顶部边缘B处到桌面的距离BC为7 cm，则底部边缘A处与C处之间的距离AC为( ) A.13 cm B.15 cm C.20 cm D.24 cm 返回 D 综合应用题 【点拨】根据题意得，在Rt△DEA中，DE＝20 cm，AE＝ 15 cm，AD2＝AE2＋DE2＝152＋202＝625，所以AD＝25 cm， 在Rt△BCA中，AB＝AD＝25 cm，BC＝7 cm，AC2＝AB2－BC2＝252－72＝576，所以AC＝24 cm， 所以底部边缘A处与C处之间的距离AC的长为24 cm.故选D. 返回 综合应用题 7. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体 返回 C的升降.实验初始状态如图①所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是6dm，物体C到定滑轮A的垂直距离是8dm.(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) (1)求绳子的总长度； 基础提优题 【解】根据题意得AC＝8 dm，BC＝6 dm，∠ACB＝90°，所以由勾股定理得AB＝10 dm，所以AB＋AC＝10＋8＝18 (dm).所以绳子的总长度为18 dm. 返回 基础提优题 (2)如图②，若物体C升高7 dm，求滑块B向左滑动的距离. 返回 【解】如图所示. 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝(10＋7)2－82＝225，所以BD＝15 dm， 所以BE＝BD－DE＝15－6＝9(dm). 所以滑块B向左滑动的距离为9dm. 基础提优题 8. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5 m、长13 m、宽2 m的楼梯铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮忙计算一下，铺完这个楼梯至少需要　　　　元. 返回 (第8题) 1 020 综合应用题 【点拨】由勾股定理得AB2＝AC2－BC2＝132－52＝144，所以AB＝12 m，所以地毯总长为12＋5＝17(m)，所以地毯的总面积为17×2＝34(m2)，所以铺完这个楼梯至少需要34×30＝ 1 020(元). 返回 (第8题) 综合应用题 解此题的关键是用平求出地毯的总长度，即将楼梯的水平线段向下平移，垂直线段向右平移，可发现，地毯的总长度＝楼梯的水平总长度＋楼梯的垂直总长度. 返回 • • • 综合应用题 9. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，DE⊥AC，CD＝BC，CE＝AC，P是直线AC上一动点，把△CDP沿DP所在的直线翻折后(再展开)，若点 C落在直线DE上的点H处，则CP＝　　　 　 　. 返回 (第9题) 10或 综合应用题 【点拨】(1)当点P在点E左边时，如图①，由折叠的性质得PC＝PH，DC＝DH.因为∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝9，所以BC＝15.因为DH＝CD＝BC＝×15＝5，CE＝AC＝×12＝ 返回 4，DE⊥AC，所以DE＝3，所以EH＝ED＋DH＝3＋5＝8.设PC＝PH＝x，则PE＝x－4.在Rt△PEH中，由勾股定理得PH2－PE2＝EH2，即x2－(x－4)2＝82，解得x＝10，即CP＝10； 综合应用题 (2)当点P在点E右边时，如图②所示，同上得PC＝PH，DH＝CD＝5，DE＝3，EC＝4，所以EH＝DH－ED＝5－3＝2.设PC＝PH＝a，则PE＝4－a.在Rt△PEH中，由勾股定理得PH2－PE2＝EH2，即a2－(4－a)2＝22，解得a＝，即PC＝.综上所述，PC＝10或. 返回 综合应用题 此题易因所给图形而忽略点P在点E右边的情况而 致错. 返回 综合应用题 10. ［2026南通期中］小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出 返回 发，以3米/秒的速度由南向北行驶(如图).已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米. (1)出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 综合应用题 【解】如图， 出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米. 因为AC＝40米，AB＝30米， 所以AC1＝28米，AB1＝21米，所以易得B1C1＝35米. 因为35＞25， 所以出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰. 返回 综合应用题 (2)当两赛车距A点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 返回 【解】设出发t秒钟时，两赛车距A点的距 离之和为35米， 由题意得，40－4t＋30－3t＝35，解得t＝5， 此时AC1＝20米，AB1＝15米， 所以易得B1C1＝25米，即两赛车之间的距离是25米， 所以遥控信号将会产生相互干扰. 综合应用题 11. 如图，在长方形ABCD中，AB＝9，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝6，连接AE. (1)求AE的长. 返回 【解】在长方形ABCD中，∠D＝90°， CD＝AB＝9. 因为CE＝6，所以DE＝CD－CE＝9－6＝3. 又因为AD＝4， 所以在Rt△ADE中，由勾股定理得AE＝5. 创新拓展题 (2)点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE.设点P运动的时间为t s. ①当t为何值时，△PAE为等腰三角形？ 返回 创新拓展题 【解】分三种情况讨论： 当EP＝EA时，易得AP＝6，所以BP＝3，所以t＝3； 当AP＝AE时，有9－t＝5，所以t＝4； 当PE＝PA时，易得(6－t)2＋42＝(9－t)2， 所以t＝. 综上所述，当t为3或4或时，△PAE为等腰三角形. 返回 创新拓展题 ②当t为何值时，△PAE为直角三角形？ 返回 【解】分两种情况讨论：当∠EPA＝90°时，易得t＝6； 当∠PEA＝90°时，过点P作PF⊥CD于点F. 创新拓展题 在Rt△EPF中，PE2＝EF2＋PF2＝(6－t)2＋42， 在Rt△APE中，AP2＝PE2＋AE2， 所以(6－t)2＋42＋52＝(9－t)2， 解得t＝. 综上所述，当t为或6时，△PAE为直角三角形. 返回 创新拓展题 $ 第一章 勾股定理 专项培优1 勾股定理中的常见模型 【模型展示】 返回 图示 条件 作正方形 作半圆 作等腰直角三角形 作等边三角形 结论 S1＋S2＝S3   模型1 勾股树 1.［2026杭州萧山区期中］如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＋S3－S1＝24，则图中阴影部分的面积为(　　) A.6　　 B.12 C.10　　 D.8 返回 (第1题) A 模型1 勾股树 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝6时，阴影部分的面积为　 　 　. 返回 (第2题) 12 模型1 勾股树 【模型展示】 返回 图示 条件 大正方形ABCD由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成 模型2 赵爽弦图 返回 图示 结论 1.S正方形ABCD＝S正方形EFGH＋4S△ABE； 2.正方形EFGH的边长是直角三角形较长直角边与较短直角边之差，即EF＝BE－BF 模型2 赵爽弦图 返回 3. ［2026衢州期中］如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接DF并延长，交BC于点M，若S正方形ABCD＝9，E为AF的中点，则BM的长为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. B 模型2 赵爽弦图 【点拨】因为E为AF的中点，所以EF＝AE.又因为∠AED＝∠FED＝90°，DE＝DE，所以△AED≌△FED(SAS)，所以∠ADE＝∠FDE，DF＝AD.因为S正方形ABCD＝9，所以DF＝AD＝3.因为DE∥BG，所以∠EDF＝∠BFM. 返回 模型2 赵爽弦图 因为∠FBM＝∠ADE，所以∠FBM＝∠BFM，所以易得BM＝FM.因为DM2＝CM2＋CD2，所以(DF＋BM)2＝CD2＋(BC－BM)2，所以(3＋BM)2＝32＋(3－BM)2，所以BM＝.故选B. 返回 模型2 赵爽弦图 4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”，实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系.如图是由8个全等的直角三角形拼成的，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题： (1)正方形ABCD的面积是　　　　，正方 形IJKL的面积是 　　　 　；(用含a，b的 式子表示) 返回 (a＋b)2 (a－b)2 模型2 赵爽弦图 (2)记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为S1，S2，S3，若S1＋S2＋S3＝60，Rt△AEH的面积为3，求(a－b)2的值. 返回 模型2 赵爽弦图 【解】由题意得S1＝(a＋b)2，S2＝(a＋b)2－4×ab＝a2＋b2，S3＝(a－b)2.因为S1＋S2＋S3＝60，所以(a＋b)2＋a2＋b2＋(a－b)2＝60，所以a2＋b2＝20.因为Rt△AEH的面积为3，所以ab＝3，即ab＝6，所以(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝20－12＝8. 返回 模型2 赵爽弦图 【模型展示】 返回 图示 条件 竹子原高a尺，折断后竹梢与竹根的距离为b尺，设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子长度为(a－x)尺 结论 x2＋b2＝(a－x)2 模型3 风吹树折 5. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”译文：今有一竖立着的 返回 木柱(如图)，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺.牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处绳索用尽(绳索头与地面接触).问绳索的长是多少尺？ 模型3 风吹树折 【解】设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为(x－3)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2－AB2＝BC2， 即x2－(x－3)2＝82，解得x＝. 所以绳索的长是尺. 返回 模型3 风吹树折 【模型展示】 返回 图示 条件 AB＝m尺，AC＝n尺，PB＝PC 设水深AP＝x尺，则PB＝PC＝(x＋m)尺 结论 x2＋n2＝(x＋m)2 模型4 出水芙蓉 6.如图，一个底面直径为8 cm的圆柱形杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1 cm，当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动)，筷子顶端刚好触到杯口，则筷子长度为 　　　　cm. 返回 8.5 模型4 出水芙蓉 7. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？大意是：如图，水池底面的宽AB＝1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD＝1尺. 返回 将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC＝OE，求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺). (1)水池的深度OD为　　　　尺； 12 模型3 风吹树折 (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步地给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB＝2a，芦苇高出水面的部分CD 返回 ＝n(n＜a)，则水池的深度OD(OD＝b)可以通过公式b＝计算得到.请说明刘徽解法的正确性. 模型3 风吹树折 【解】因为OD＝b，CD＝n，AB＝2a，O为AB的中点， 所以OC＝OE＝b＋n，DE＝OA＝a. 在Rt△ODE中，由勾股定理得DE2＋OD2＝OE2， 即a2＋b2＝(b＋n)2，解得b＝. 返回 模型3 风吹树折 $ 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗 知识点1 直角三角形的判定 1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　) A.a∶b∶c＝5∶12∶13 B.∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 C.a＝9k，b＝40k，c＝41k(k＞0) D.a＝2，b＝3，c＝4 返回 D 基础提优题 2.如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　) A.点A　　 B.点B　　 C.点C　　 D.点D 返回 (第2题) D 基础提优题 3. 已知△ABC中，AB＝k，AC＝k＋1，BC＝3，当k＝　　　　时，∠B＝90°. 返回 4 基础提优题 4.如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 　　　　. 返回 (第4题) 基础提优题 知识点2 勾股数 5.下列各组数中，是勾股数的是(　　) A.4，5，6　　 B.1，2，3 C.1.5，2，2.5　　 D.9，40，41 返回 D 基础提优题 6.［2025扬州］清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　　　　　　. 返回 11，60，61 综合应用题 【点拨】通过观察得：第①组勾股数为2×1＋1＝3，2×12＋2×1＝4，2×12＋2×1＋1＝5，第②组勾股数为2×2＋1＝5，2×22＋2×2＝12，2×22＋2×2＋1＝13，第③组勾股数为2×3＋1＝7，2×32＋2×3＝24，2×32＋2×3＋1＝25，第④组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41，所以第⑤组勾股数为2×5＋1＝11，2×52＋2×5＝60，2×52＋2×5＋1＝61. 返回 综合应用题 知识点3 直角三角形判定的应用 7.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于A，B处，且相距20海里，已知甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船的航行方向是(　　) A.北偏东50° B.北偏东45° C.南偏东50° D.南偏东60° 返回 A 基础提优题 8.［2026徐州期中］如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3米，AD＝4米，BC＝12米，AB＝13米，其中∠ACB＝90°. (1)判断△ACD的形状，并说明理由； 返回 基础提优题 【解】△ACD是直角三角形. 理由：因为∠ACB＝90°，BC＝12米，AB＝13米， 所以由勾股定理得AC＝5米.又因为CD＝3米，AD＝4米，所以AD2＋CD2＝25＝AC2，所以△ACD是直角三角形，∠ADC＝90°. 返回 基础提优题 (2)求图中阴影部分土地的面积. 返回 【解】图中阴影部分土地的面积＝AC×BC－AD×CD＝×5×12－×4×3＝24(平方米). 基础提优题 求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等. 返回 基础提优题 9.［华师一附中自主招生］已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，则△ABC是(　　) A.等腰三角形　　 B.等腰直角三角形 C.直角三角形　　 D.等腰三角形或直角三角形 返回 B 综合应用题 【点拨】因为2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，等式两边同时乘以2，可得4a4＋4b4＋2c4＝4a2c2＋4b2c2，整理得4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0，所以(2a2－c2)2＋(2b2－c2)2＝0，所以2a2－c2＝0，2b2－c2＝0，所以易得a＝b，且a2＋b2＝c2，所以△ABC为等腰直角三角形. 返回 综合应用题 10. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为(　　) A.30　　 B.24　　 C.20　　 D.48 返回 (第10题) B 综合应用题 【点拨】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE.因为AD为BC边上的中线，所以DC＝BD.又因为∠ADB＝∠EDC，所以△ADB≌△EDC，所以CE＝AB＝6，S△ADB＝S△EDC，所以S△ABC＝S△ACE.又因为AE＝2AD＝8，AC＝10，所以AC2＝AE2＋CE2，所以△ACE为直角三角形，∠E＝90°，所以S△ABC＝S△ACE＝CE•AE＝×6×8＝24. 返回 (第10题) 综合应用题 11. 如图所示的是3×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.线段AB，CD的端点均在格点上，且交于点O，则∠BOD的度数为(　　) A.30°　　 B.45°　　 C.50°　　 D.60° 返回 (第11题) B 综合应用题 【点拨】设小正方形的边长为1.如图，取格点E，连接AE，BE，易知AE∥CD，所以∠BAE＝∠BOD.由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，EB2＝12＋22＝5，AE2＝12＋32＝10，所以AB2＋BE2＝AE2，AB＝BE.所以△ABE是等腰直角三角形.所以∠BAE＝45°.所以∠BOD＝45°. 返回 综合应用题 解决此类网格中线段的夹角问题，关键在于作辅助线构造格点三角形，将待求的“线段夹角”转化为“三角形的内角”，借助网格特征，利用勾股定理求出三角形的三边，确定三角形的形状，从而求出三角形内角的度数，最终完成夹角的求解. 返回 综合应用题 12. 勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五.”观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；….这类勾股数的特点是勾为奇数，弦与股相差1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)，则其弦是　　　　.(结果用含m的式子表示) 返回 m2＋1 综合应用题 【点拨】因为m为正整数，所以2m为偶数，设其股是a，则弦为a＋2.根据勾股定理得(2m)2＋a2＝(a＋2)2，解得a＝m2－1，所以弦是a＋2＝m2－1＋2＝m2＋1. 返回 综合应用题 返回 13. 如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36 cm，点P从点A开始沿AB边向B点以 1 cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果同时出发，则3 s时，△BPQ的面积为　　 cm2. 18 综合应用题 【点拨】根据题意设AB＝3x cm(x＞0)，BC＝4x cm，AC＝5x cm.因为周长为36 cm，所以AB＋BC＋AC＝ 36 cm，即3x＋4x＋5x＝36，解得x＝3，所以AB 返回 ＝9 cm，BC＝12 cm，AC＝15 cm.所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.3 s时，BP＝9－3×1＝ 6 (cm)，BQ＝2×3＝6 (cm)，所以S△PBQ＝BP•BQ＝×6×6＝18(cm2). 综合应用题 14. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点. (1)若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由. 返回 综合应用题 【解】点M，N是线段AB的勾股分割点. 理由如下：因为AM2＋BN2＝2.52＋62＝42.25，MN2＝6.52＝42.25， 所以AM2＋NB2＝MN2，所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形， 所以点M，N是线段AB的勾股分割点. 返回 综合应用题 (2)已知AM为直角边，若AB＝30，AM＝5，求BN的长. 返回 【解】设BN＝x，则MN＝30－AM－BN＝25－x. ①当MN为斜边时，有MN2＝AM2＋NB2， 即(25－x)2＝25＋x2，解得x＝12； ②当BN为斜边时，有BN2＝AM2＋MN2， 即x2＝25＋(25－x)2，解得x＝13. 综上所述，BN的长为12或13. 综合应用题 15. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设AB为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，通过比较代数式a2＋b2和c2的大小，探究△ABC的形状(按角分类). (1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为　　　三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为　　　三角形. 返回 锐角 钝角 创新拓展题 【点拨】当一个直角三角形的两直角边长为6，8时，斜边长为10.因为9＜10，所以当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；因为11＞10，所以当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形. 返回 创新拓展题 (2)猜想：当a2＋b2　　　　c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2　　　　c2时，△ABC为钝角三角形. 返回 ＞ ＜ 创新拓展题 (3)当a＝2，b＝4时，探究△ABC的形状，并求出对应的c2的取值范围. 返回 【解】因为c为最长边的长，2＋4＝6，所以4≤c＜6. ①当a2＋b2＞c2，即c2＜20时，△ABC是锐角三角形，此时16≤c2＜20； ②当a2＋b2＝c2，即c2＝20时，△ABC是直角三角形； ③当a2＋b2＜c2，即c2＞20时，△ABC是钝角三角形，此时20＜c2＜36. 创新拓展题 (3)根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长边的长c的取值范围，然后分情况讨论即可得解. 返回 创新拓展题 $ 第一章 勾股定理 问题解决策略：反思 1. 某校元宵节猜灯谜的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A′缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50 cm，底面边长为40 cm，则这圈彩带的长度至少为(　　) A.50 cm　　 B.120 cm C.130 cm　　 D.150 cm 返回 (第1题) C 基础提优题 2. 如图是某滑雪场U型池的示意图，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘AB＝CD＝16，点E在CD上，CE＝4.一名滑雪爱好者从A点滑到E点时，他滑行的最短路程约为　　　(π取3). 返回 (第2题) 15 基础提优题 3.［2026郑州金水区期末］如图，正方体的棱长为2 cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点.一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径的平方是 　　　　cm2. 返回 (第3题) 10 基础提优题 4.如图，四边形ABCD是一块长方形地面， AB＝20 dm，AD＝10 dm，中间有一堵墙，高MN＝2 dm，蚂蚁从点A爬到点C， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬　　　dm. 返回 (第4题) 26 基础提优题 5.［2026青岛期中］如图，由20个棱长为1的小正方体搭成一个组合体，蚂蚁从左下角点A爬到右上角点B的最短路线长的平方是　　　　. 返回 41 综合应用题 6.如图，圆柱的底面半径为2 cm，高为9π cm，A，B两点分别在圆柱两个底面的圆周上，且在同一母线上，用一根棉线从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B，棉线最短需要　　　cm(结果保留π). 返回 (第6题) 15π 综合应用题 【点拨】圆柱体的展开图如图所示，用一根棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB.在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短. 返回 因为圆柱底面半径为2 cm，所以长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×2＝4π(cm).因为圆柱高为9π cm，所以小长方形的一条边长是9π÷3＝3π(cm).根据勾股定理求得，AC＝CD＝DB＝5π(cm)，所以AC＋CD＋DB＝15π(cm). 综合应用题 7. 如图，一个圆柱形容器的高为8 dm，底面半径为 dm，在容器内壁中点B处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁的底部与蚊子相对的点A处，壁虎捕捉蚊子的最短距离为 　　　　 dm.(容器厚度忽略不计) 返回 (第7题) 15 综合应用题 【点拨】如图，将圆柱形容器侧面展开，作点B关于直线EF的对称点D，连接AD，易知AD为壁虎捕捉蚊子的最短距离.由题意易得，AC＝2π××＝9(dm)，CD＝8＋×8＝12(dm).在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AC2＋DC2＝92＋122＝152，所以AD＝15 dm，即壁虎捕捉蚊子的最短距离为15 dm. 返回 综合应用题 8. 如图，一圆柱高20 cm，底面周长是 12 cm，一只螳螂在AB的中点E处，一只昆虫在CD的某处，螳螂以最快的速度、最短的爬行距离捕捉到了昆虫，螳螂共爬行了10 cm，那么此时昆虫离点C的距离为多少厘米？ 返回 综合应用题 【解】沿AB把圆柱的侧面展开，如图所示. ①设昆虫在CD边上的F处，过F作AB的垂线， 垂足为M，连接EF，则EF为最短爬行距离， 根据题意知，AC＝AA′＝×12＝6 (cm)，AE＝AB＝×20＝10 (cm).易得MF＝AC＝6 cm，EF＝10 cm，所以由勾股定理得ME＝8 cm. 所以易得FC＝MA＝EA－EM＝10－8＝2(cm)； 返回 综合应用题 ②设昆虫在CD边上的F′处，过F′作AB的垂线，垂足为N，连接EF′，则EF′为最短爬行距离， 同理可得，EN＝8 cm，所以易得F′C＝NA＝NE＋EA＝8＋10＝18(cm).综上所述，昆虫离点C的距离为2 cm或18 cm. 返回 综合应用题 $