江西九江市武宁尚美中学2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 该高一数学月考试卷覆盖三角函数、向量、抛物线等核心知识，解答题融合解三角形面积范围、创新定义“倍值函数”等，注重数学思维与应用能力，适配阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|三角函数周期（题1）、向量运算（题2）|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|三角函数图象与性质（题10）|多维度考查，区分度好| |填空题|3/15|向量数量积（题12）、解三角形（题13）|简洁灵活，聚焦核心| |解答题|5/77|解三角形面积范围（题17）、创新定义“倍值函数”（题19）|综合应用，体现数学思维与创新意识|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C C C A C BD BC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】根据已知可得最小正周期为，逐项求出或利用图像求出函数的周期，即可得出结论. 【详解】周期为，选项A不正确； 周期为，选项B不正确； 做出图像，不是周期函数，选项C不正确； 周期为，正确. 故选:D. 【点睛】本题考查三角函数的周期，要注意带有绝对值函数的图像变化，属于基础题. 2．B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：； B：； C：； D：； 故选：B 3．A 【详解】试题分析：化简，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选. 考点：三角化简、二倍角公式、三角函数的最值. 4．C 【分析】根据数量积的运算求解即可. 【详解】由，得， 因为，所以， 设，的夹角为， 则， 所以， 又， 所以. 故选：C. 5．C 【分析】根据投影数量求出数量积，故可求. 【详解】因为在上的投影的数量为，故，故， 故， 故选：C. 6．C 【分析】设，，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，再由直线方程得，这样由向量的运算得出点坐标，把点坐标代入抛物线方程可求得值，得抛物线的标准方程、焦点坐标． 【详解】设，，，由 得，易知， 所以．， 由可得， 则， 将其代入抛物线的方程得， 因为，解得， 所以抛物线的方程为，焦点坐标为． 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标为，，，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理，结合向量的线性运算，用参数表示出点坐标，代入抛物线方程后可求得参数值，得结论． 7．A 【分析】先画出函数的图象，然后令，讨论的范围，得到与的图象交点的个数，再结合交点的值讨论的解得个数，即可求出方程的根的不可能的个数． 【详解】画出函数的图象如图， 令， 当时，与的图象有三个交点，三个交点的横坐标记为，，且， 当时，该方程有两解，时，该方程也有两解，时，该方程有0个解或1个解或2个解， 当时，方程的根的个数可能为4个，5个，6个； 当时，与的图象有两个交点，两个交点的横坐标记为，且， 当时，该方程有两解，时，该方程也有两解， 当时，方程的根的个数为4个； 综上所述：方程的根的个数可能为4个，5个，6个． 故选：A 【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，以及符号函数的性质，同时考查了作图的能力，分析问题的能力和转化的思想以及分类讨论的思想．属于中档题． 8．C 【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． 9．BD 【分析】选项A：由于，即2和3都为第二象限角，即可判断；选项B：根据正切函数的定义域即可判断；选项C：根据复合函数的单调性的定义，结合对数函数及二次函数的单调性，即可判断；选项D：根据基本不等式即可判断. 【详解】选项A：由于，故，， 故，故A错误； 选项B：由，得，故B正确； 选项C：由，得， 且此时的单调减区间为，又为单调递减函数， 故的单调增区间为，故C错误； 选项D：由，，且， 得， 当且仅当，即，结合，得时， 不等式取等号，故的最小值为，故D正确. 故选：BD 10．BC 【分析】根据函数图象求出函数的解析式逐项判断可得正确答案. 【详解】A.由图象可得，最小正周期，∴， 将点代入得，，∴， ∵，∴，故，选项A错误. B.，由得， 由在上单调递增得，，解得， ∴的取值范围为，选项B正确. C.由得，，即， ∴，故不等式的解集为，选项C正确. D. 将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数图象对称中心的纵坐标为2，选项D错误. 故选：BC. 11．ABD 【分析】对A：由写出切线方程，将代入可得直线方程，整理可得恒过定点；对B：联立直线与抛物线方程得，，求出M，N的横坐标，求的最小值即可；对C：将化为判断正负即可；对D： 将视为关于的函数求最小值； 【详解】 设， 由得，所以处切线斜率 ， 所以切线的方程为：， 将代入得， 整理得切线的方程为：，同理切线的方程为：， 将代入切线，方程得， ， 所以直线，即， 将代入得， 所以直线AB过定点(－1,2)，故A正确； 将直线的方程代入 得， 由直线AB过抛物线内定点(－1,2)知直线一定与抛物线有两个交点， 所以， 在直线的方程中令得的横坐标，故， 同理的横坐标，， 所以， 当时取最小值为，故B正确； ， 当时，为钝角，故C错误； ， 当即时，最小值为－1，故D正确； 故选：ABD 【点睛】结论点睛：定义:已知曲线,则称点和直线是曲线G的一对极点与极线,点P称为直线l关于曲线G的极点;直线l称为点P关于曲线G的极线. 已知点P关于圆锥曲线G的极线是直线l,则三者的位置关系是: ①若点P在曲线G上,则直线l是曲线G在点P处的切线; ②若点P在曲线G外,则直线l是由点P向曲线G引两条切线的切点弦; ③若点P在曲线G内,则直线l是经过点P的曲线G的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: 12． 【分析】根据向量垂直的坐标运算及正切函数求值即可求解. 【详解】由可得，即， 又，所以. 故答案为：. 13． 【分析】先利用余弦定理得到，进一步利用三角恒等变换，根据关系式整理出结果. 【详解】在中, 角的对边为，若， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合应用，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 14． 【分析】先根据向量垂直得，再根据数量积的运算律求解向量的模即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以. 故答案为： 15．（1）；（2）. 【解析】（1）利用诱导公式将所求代数式化为的三角函数值的代数式，结合同角三角函数的平方关系计算即可； （2）利用诱导公式将代数式化为锐角的三角函数值，化简计算即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简计算，考查计算能力，属于基础题. 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意得，再，与的夹角为，利用向量的数量积公式求出结果； （2）由向量与垂直，知，由此利用平面向量的数量积求出结果. 【详解】（1）因为向量满足，与的夹角为， ， 所以＝， （2）因为向量与垂直， 所以(， 所以， 所以， 解得：. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形的内角和与两角和与差的三角函数公式化简可求角. （2）由正弦定理先求，然后结合三角形的面积公式及和差角，二倍角公式进行化简，在根据正弦函数的性质计算可得． 【详解】（1）由， 由正弦定理，可得， 因为为三角形内角，所以，所以， 得， 因为，所以，所以. （2）∵，故， ∴， 所以 ， 因为，所以， ∴，∴， ∴， 故的面积的取值范围为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则和平面向量基本定理，用基底表示出向量即可； （2）根据向量共线时系数的关系，以及基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意可知. （2）由（1）可知， 因为三点共线，所以， 则， 可知，当且仅当时，即时取等号， 所以 19．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）求出在上的值域，再根据“倍值函数”的定义即可列方程求解； （2）易知对称轴为，分、讨论即可； （3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可. 【详解】（1）因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”. 所以，，其值域为. 则，又，解得. （2）函数，对称轴为. 设的 “倍值区间” 为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得： ，，. 所以，所以， 即， 同理可得， 所以方程在上有两个不等的实跟， 所以，解得； 若，在上单调递增， 则， 即有两个不同的大于的根. 令，则， 解得或， 解得，解得，此时无解. 综上，的取值范围是. （3）因为函数是 “倍值函数”， “倍值区间”为开口向下，对称轴为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得: ，，， 代入得， ，，无解. 若，在上单调递增， 则，所以， 当，，则“倍值区间”的端点必须均为负数，此时“倍值区间”唯一，符合题意； 所以，且，则，得且. 又，， 消去得（无解），或者，解得或（舍去）； 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期5月月考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1．在下列函数中，与最小正周期相同的函数为（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3．函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是 A． B． C． D． 4．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，在上的投影的数量为，则（   ） A．6 B． C． D． 6．已知直线与抛物线交于两点，且抛物线上存在点，使得(为坐标原点)，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则方程的根的个数不可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分。 9．下列结论中，正确的是（    ） A． B．函数的定义域为 C．函数的单调增区间是 D．已知，，且，则的最小值为 10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增，则的取值范围为 C．不等式的解集为 D．将的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 11．在平面直角坐标系xOy中，P是直线l：x＋y＋2＝0上一点(除去与x轴的交点)，过P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别为A，B，直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，则（    ） A．直线AB过定点(－1，2) B．MN的最小值为 C．∠MPN为锐角 D．最小值为－1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分, 12．，，若，且，求 _____. 13．已知在中，角的对边为，若，则_____. 14．已知平面向量，，若，，且，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．计算：（1）； （2）. 16．已知向量满足，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与垂直，求实数t的值． 17．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，． (1)求B； (2)若，求的面积S取值范围． 18．如图，在中，，点O在边BC上，且，过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N． (1)设，，试用表示； (2)设，，求的最小值． 19．对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. (1)已知函数是上的“倍值函数”，求的值； (2)若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； (3)设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 第1页，共4页 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $