（期末真题汇编）专题02 因数和倍数（优选真题40题）数学人教版五年级下册

**基本信息** 整合近三年期末高频真题40题，覆盖因数和倍数核心知识，通过基础巩固与思维挑战题梯度设计，助力五年级学生期末备考。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|15|因数倍数概念（如9的倍数与54的因数）、2/3/5倍数特征（如四位数整除特征）|结合智能门锁密码（第9题）、神舟十三号细胞分裂（第6题）等真实情境| |填空题|15|因数个数（如【30】的因数个数）、完美数（28是否完美数）|融入唐崖土司城址参观人数（第18题）、传统文化数字词语（第25题）| |解答题|10|实际应用（蛋挞包装盒选择）、规律探究（6的倍数特征）|突出哥德巴赫猜想验证（第30题）、铺地砖方案优化（第36题）等思维迁移|

专题02 因数和倍数（优选真题40题） 同学你好，本套试题专为2026年春学年期末备考精心打造！ 我们系统整合近三年高频考题资源，聚焦期末真题，甄选具有代表性的经典题型与易错难题。题目设计侧重思维深度与方法迁移，难度分层递进，特别适合有志于巩固基础、挑战思维、追求卓越的中等及以上水平同学使用。通过系统性训练，将助你拓宽解题视野，优化策略运用，精准攻克薄弱环节，实现对单元核心概念的透彻理解与灵活应用，为期末冲刺赋能！ 一、选择题 1．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 2．（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．32 3．（24-25五年级下·河南南阳·期末）如果一个长方形的面积是12平方米，那么它的长和宽可能有（    ）种情况。（长和宽取整米数） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是60的因数，又是12的倍数，这个数可能是（    ）。 A．15 B．24 C．30 D．60 5．（24-25五年级下·湖南怀化·期末）我们知道，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数。下面各数中，（    ）是完全数。 A．2 B．7 C．28 D．30 6．（22-23五年级下·福建厦门·期末）在神舟十三号科学实验舱中，宇航员研究了一种细胞，该种细胞每2分钟分裂一次，每个细胞分裂一次变成2个细胞。现在有一个细胞开始分裂，10分钟后，一共分裂成了（    ）个细胞。 A．31 B．32 C．16 D．33 7．（24-25五年级下·四川凉山·期末）★代表一个非零数字，■代表0，下面四位数中，一定能被2、3、5同时整除的数是（    ）。 A．★★★★ B．★★★■ C．★★■■ D．★■■■ 8．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，下面选项的结果一定是奇数的是（    ）。 A．X－Y B．X×Y C．2X＋Y D．4X－3Y 9．（24-25五年级下·福建漳州·期末）智能家居给人们的生活带来便捷。妈妈给家里的智能大门设置六位密码，前四位是3345。后面两位数字忘记了，只记得这六位数既是3的倍数，又含有因数5。为了打开大门，妈妈最多需要试（    ）次。 A．1 B．4 C．5 D．7 10．（24-25五年级下·广西河池·期末）小新和爸爸、妈妈在网上购买电影票，他们此次电影票号码的后四位数字恰好是2、3、5的倍数，下面（    ）可能是他们此次票码的后四位数字。 A．3356 B．1503 C．1350 D．3365 11．（24-25五年级下·河南信阳·期末）数学家哥德巴赫有个著名的猜想：“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”乐乐通过举例来验证这个猜想是否正确，下面举例不正确的是（    ）。 A．8＝5＋3 B．16＝7＋9 C．20＝17＋3 D．26＝7＋19 12．（24-25五年级下·江西南昌·期末）下图是2025年6月份的日历表，用二连方（）去盖，盖住的任意两个数之和一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 13．（24-25五年级下·江苏常州·期中）淇淇妈妈新购置了一把旅行箱密码锁，设置的3位数密码如图（从上到下读数），这个密码是（    ）。 A．129 B．249 C．207 D．247 14．（24-25五年级下·广东东莞·期末）下列说法中，正确的是（    ）。 A．所有的奇数都是质数 B．所有的偶数都是合数 C．一个合数至少有3个因数 D．在自然数（0除外）中，除了质数都是合数 15．（24-25五年级下·北京大兴·期末）张叔叔买了一部新手机，他设置了一个锁屏密码。从左起，第一、二、三位上的数分别是5、6、3，第四位上的数是最小的合数，第五位上的数是小于10的最大质数，第六位上的数是小于10的最大合数。这个锁屏密码是（    ）。 A．563298 B．563279 C．563498 D．563479 二、填空题 16．（24-25五年级下·河南信阳·期末）【A】表示自然数A的因数个数，例如：8有1，2，4，8四个因数，则【8】＝4，那么【30】＝（ ），【45】＝（ ）。 17．（24-25五年级下·重庆梁平·期末）请按从小到大的顺序写出18的因数（ ）。 18．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有（ ）人。 19．（24-25五年级下·北京丰台·期末）五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是（ ）人。 20．（24-25五年级下·北京昌平·期末）你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数（ ）。28是完美数吗？（ ）（括号里填“是”或者“不是”）。 21．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）从0、3、5、7这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是（ ）。 22．（23-24五年级下·江西赣州·期末）一个四位数3□2□能同时被2、3、5整除，这个四位数最大是（ ）。 23．（24-25五年级下·山东济宁·期末）植物园里有58株月季花。园丁叔叔想再种一些花，让总花数既能被3整除，又能被5整除。他至少需要再种（ ）株花。 24．（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）7ab是一个三位数，已知它既是2的倍数，又是5的倍数，那么b是（ ）；如果这个三位数还是3的倍数，那么a最小是（ ）。 25．（24-25五年级下·重庆·期末）有很多含有数字的词语，如：九牛一毛、五光十色、七上八下、百炼成钢，这些词语里能找出（ ）个奇数；在生活中，一家人要投票选择自驾还是乘坐火车出游，参与投票的人数是（ ）数（填“奇”或“偶”）时，更有利于尽快做出决策。 26．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）小强家的电话号码是由7位数字组成的A5B3C3D。其中A的最大因数是3，B是最小的质数，C有因数2和3，D既是奇数也是合数，小强家的电话号码是（ ）。 27．（24-25五年级下·四川凉山·期末）小兵家的电脑密码是一个六位数ABCDEF，A是最小的奇数，B是最小的偶数，C是最小的质数，D是最小的合数，E是最小的一位数，F是最大的一位数，这个密码是（ ）。 28．（24-25五年级下·江西上饶·期末）用一根长36米的绳子围一块长方形草坪，要求长和宽都是整米数，且都是质数，围出的草坪面积最大是（ ）平方米。 29．（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）乐乐妈妈的电脑密码是6位数字，其中，第一个数字是最小的奇数，第二个数字是最小的质数，第三个数字是8的最大因数，第四个数字是最小的偶数，第五个数字既不是质数也不是合数，第六个数字是6的最小倍数。乐乐妈妈的电脑密码是（ ）。 30．（24-25五年级下·四川广元·期末）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请你把偶数“8”写成表示这个猜想的式子：（ ）。 三、解答题 31．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）小锋到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元。售货员阿姨的说法正确吗？说说你的理由。 32．（24-25五年级下·甘肃天水·期末）学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 33．（24-25五年级下·上海杨浦·期末）新华书店周日卖出的文艺书180本，比卖出的科技书多100本，卖出的科技书是卖出的历史书的2倍，卖出的历史书有多少本？ 34．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 35．（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）2024年为了庆祝中华人民共和国成立75周年，人民广场用蝴蝶兰和一串红摆成了庆国庆的图案，已知蝴蝶兰的盆数是一串红的3.4倍。蝴蝶兰比一串红多240盆，蝴蝶兰和一串红各有多少盆？ 36．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）要在一条长是20米，宽1.2米的小路上铺地砖。下面是三种大小不一的地砖，要使所用的地砖尽可能是整块的，请选择你认为最合适的，并算出需要的数量。 37．（23-24五年级下·江西吉安·期末）一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36m，这块长方形菜地的面积最大是多少平方米？ 38．（23-24五年级下·四川广元·期末）荣老师：“我买一些普通跳绳和计数跳绳，付给您100元。”售货员：“我口算了一下，应该找给您14元。”荣老师：“不对，您肯定算错了。”你能解释一下，荣老师为什么这么肯定售货员算错了吗？ 39．（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（    ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（    ）。 40．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 因数和倍数（优选真题40题） 同学你好，本套试题专为2026年春学年期末备考精心打造！ 我们系统整合近三年高频考题资源，聚焦期末真题，甄选具有代表性的经典题型与易错难题。题目设计侧重思维深度与方法迁移，难度分层递进，特别适合有志于巩固基础、挑战思维、追求卓越的中等及以上水平同学使用。通过系统性训练，将助你拓宽解题视野，优化策略运用，精准攻克薄弱环节，实现对单元核心概念的透彻理解与灵活应用，为期末冲刺赋能！ 一、选择题 1．（24-25五年级下·天津和平·期末）一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是（    ）。 A．12 B．27 C．36 D．45 【答案】B 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出54的所有因数；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54以内9的倍数，最后找出符合条件的数即可。 【解答】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 所以，一个数既是9的倍数，又是54的因数，这个数可能是9，18，27，54。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】找一个数的因数的方法：找配对。48＝1×48、2×24、3×16、4×12、6×8，那么，48的因数就有：1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的。据此解答。 【解答】48的因数有1、48、2、24、3、16、4、12、6、8。 16的倍数有16，32，48… 一个数既是48的因数，又是16的倍数，这个数可能是16、48。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·河南南阳·期末）如果一个长方形的面积是12平方米，那么它的长和宽可能有（    ）种情况。（长和宽取整米数） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】长方形面积＝长×宽，当长和宽都取整米数时，长和宽是面积的因数。据此找出12的几组因数，有几组不同的因数，长和宽就有几种不同的可能。 【解答】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1、2、3、4、6、12。 情况一：当长是12米，宽是1米时，面积是12平方米； 情况二：当长是6米，宽是2米时，面积是12平方米； 情况三：当长是4米，宽是3米时，面积是12平方米。 所以，这个长方形的长和宽可能有3种情况。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·广东东莞·期末）一个数既是60的因数，又是12的倍数，这个数可能是（    ）。 A．15 B．24 C．30 D．60 【答案】D 【分析】如果a÷b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），那么b和c是a的因数，a是b和c的倍数，据此逐一验证选项。 【解答】A．60÷15＝4，15是60的因数，15÷12＝1.25，15不是12的倍数，此选项错误； B．60÷24＝2.5，24不是60的因数，此选项错误； C．60÷30＝2，30是60的因数，30÷12＝2.5，30不是12的倍数，此选项错误； D．60÷60＝1，60是60的因数，60÷12＝5，60是12的倍数，此选项正确。 故答案为：D 5．（24-25五年级下·湖南怀化·期末）我们知道，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1＋2＋3＝6。像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数。下面各数中，（    ）是完全数。 A．2 B．7 C．28 D．30 【答案】C 【分析】由题可知，一个数等于除了它本身以外的全部因数之和的数叫作完全数，所以先分别找出每个选项中的数除了自身以外的因数，再计算这些因数的和，看是否等于该数的本身，从而判断哪个数是完全数，据此解答。 【解答】A．2的因数有1、2，1≠2，所以2不是完全数； B．7的因数有1、7，1≠7，所以7不是完全数； C．28的因数有：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完全数； D．30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，1＋2＋3＋5＋6＋10＋15＝42，所以30不是完全数。 所以28是完全数。 故答案为：C 6．（22-23五年级下·福建厦门·期末）在神舟十三号科学实验舱中，宇航员研究了一种细胞，该种细胞每2分钟分裂一次，每个细胞分裂一次变成2个细胞。现在有一个细胞开始分裂，10分钟后，一共分裂成了（    ）个细胞。 A．31 B．32 C．16 D．33 【答案】B 【分析】先求出10分钟内分裂多少次，用10除以2得到分裂的次数为5次，那么： 第一次分裂：1×2＝2（个） 第二次分裂：2×2＝4（个） 第三次分裂：4×2＝8（个） 第四次分裂：8×2＝16（个） 第五次分裂：16×2＝32（个） 据此解答即可。 【解答】10÷2＝5（次） 1×2×2×2×2×2＝32（个） 所以，一共分裂成32个细胞。 故答案为：B 7．（24-25五年级下·四川凉山·期末）★代表一个非零数字，■代表0，下面四位数中，一定能被2、3、5同时整除的数是（    ）。 A．★★★★ B．★★★■ C．★★■■ D．★■■■ 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【解答】A．★★★★的个位不是0，所以★★★★不是2和5的倍数，不符合题意； B．★★★■的个位是0，是2和5的倍数；★＋★＋★＋0＝3×★，是3的倍数，符合题意； C．★★■■的个位是0，是2和5的倍数；★＋★＋0＋0＝2×★，不一定是3的倍数，不符合题意； D．★■■■的个位是0，是2和5的倍数；★＋0＋0＋0＝★，不一定是3的倍数，不符合题意。 8．（24-25五年级下·湖北十堰·期末）若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，下面选项的结果一定是奇数的是（    ）。 A．X－Y B．X×Y C．2X＋Y D．4X－3Y 【答案】A 【分析】奇数：不能被2整除的数，偶数：能被2整除的数；据此可以举例逐项判断。 【解答】若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，假设X是5，Y是2； A．X－Y＝5－2＝3，3是奇数；     B．X×Y＝5×2＝10，10是偶数；     C．2X＋Y＝2×5＋2＝10＋2＝12，12是偶数； D．4X－3Y＝4×5－3×2＝20－6＝14，14是偶数； 若X是奇数，Y是偶数，且X＞Y＞0，结果一定是奇数的是X－Y。 故答案为：A 9．（24-25五年级下·福建漳州·期末）智能家居给人们的生活带来便捷。妈妈给家里的智能大门设置六位密码，前四位是3345。后面两位数字忘记了，只记得这六位数既是3的倍数，又含有因数5。为了打开大门，妈妈最多需要试（    ）次。 A．1 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数；3的倍数特征：一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 已知这个六位数前四位是3345，设后两位为a和b（a是十位数字，b是个位数字），这个数各位数之和为3＋3＋4＋5＋a＋b＝15＋a＋b。因为这个数含有因数5，所以b＝0或b＝5。 当b＝0时，15＋a＋0＝15＋a，要是3的倍数，则a可以是0、3、6、9； 当b＝5时，15＋a＋5＝20＋a，要是3的倍数，则a可以是1、4、7。据此解答。 【解答】设后两位为a和b（a是十位数字，b是个位数字）。 3＋3＋4＋5＋a＋b＝15＋a＋b 当b＝0时，15＋a＋0＝15＋a，要是3的倍数，则a可以是0、3、6、9，共4种； 当b＝5时，15＋a＋5＝20＋a，要是3的倍数，则a可以是1、4、7，共3种。 4＋3＝7（种） 因此，为了打开大门，妈妈最多需要试7次。 故答案为：D 10．（24-25五年级下·广西河池·期末）小新和爸爸、妈妈在网上购买电影票，他们此次电影票号码的后四位数字恰好是2、3、5的倍数，下面（    ）可能是他们此次票码的后四位数字。 A．3356 B．1503 C．1350 D．3365 【答案】C 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此判断各选项中号码的后四位是2，3，5的倍数即可。 【解答】A．3＋3＋5＋6＝17，3356是2的倍数，不是3和5的倍数，排除； B．1＋5＋0＋3＝9，1503是3的倍数，不是2和5的倍数，排除； C．1＋3＋5＋0＝9，1350是2、3、5的倍数，符合； D．3＋3＋6＋5＝17，不是3的倍数，排除。 综上可知：1350可能是他们此次票码的后四位数字。 故答案为：C 11．（24-25五年级下·河南信阳·期末）数学家哥德巴赫有个著名的猜想：“任意一个大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和。”乐乐通过举例来验证这个猜想是否正确，下面举例不正确的是（    ）。 A．8＝5＋3 B．16＝7＋9 C．20＝17＋3 D．26＝7＋19 【答案】B 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。据此解答。 【解答】A．8是偶数，5和3是质数，符合哥德巴赫猜想； B．16是偶数，7是质数，但9不是质数，不符合哥德巴赫猜想； C．20是偶数，17和3是质数，符合哥德巴赫猜想； D．26是偶数，7和19是质数，符合哥德巴赫猜想； 12．（24-25五年级下·江西南昌·期末）下图是2025年6月份的日历表，用二连方（）去盖，盖住的任意两个数之和一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【解答】A．二连方盖住的两个数都是连续的自然数，即一个是奇数，一个是偶数，根据奇数＋偶数＝奇数，所以用二连方盖住的任意两个数之和一定是奇数。 B．由A选项可知，用二连方盖住的任意两个数之和一定是奇数，不是偶数。 C．如：盖住的两个数是7和8，7＋8＝15，15是合数，不是质数，所以用二连方盖住的任意两个数之和不一定是质数。 D．如：盖住的两个数是2和3，2＋3＝5，5是质数，不是合数，所以用二连方盖住的任意两个数之和不一定是合数。 故答案为：A 13．（24-25五年级下·江苏常州·期中）淇淇妈妈新购置了一把旅行箱密码锁，设置的3位数密码如图（从上到下读数），这个密码是（    ）。 A．129 B．249 C．207 D．247 【答案】D 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此分别确定三个位置的数，从而确定这个密码。 【解答】最小的质数是2，最小的合数是4，一位数里最大的质数是7，这个密码是247。 故答案为：D 14．（24-25五年级下·广东东莞·期末）下列说法中，正确的是（    ）。 A．所有的奇数都是质数 B．所有的偶数都是合数 C．一个合数至少有3个因数 D．在自然数（0除外）中，除了质数都是合数 【答案】C 【分析】A．奇数：不能被2整除的数；质数：只有1和它本身两个因数的数；据此举例判断； B．偶数：能被2整除的数；合数：除了1和它本身还有别的因数的数，据此举例判断； C．合数：除了1和它本身还有别的因数的数，据此解答； D．质数：除了1和它本身没有别的因数的数，合数：除了1和它本身还有别的因数的数；据此举例判断。 【解答】A．1是奇数，但1不是质数，所以不是所有的奇数都是质数；原说法错误；     B．2是偶数，但2不是合数，所以不是所有的偶数都是合数；原说法错误； C．合数的因数有：1，它本身，其他的因数，所以一个合数至少有3个因数；原说法正确； D．1是非0自然数，但是它既不是质数也不是合数；原说法错误。 故答案为：C 15．（24-25五年级下·北京大兴·期末）张叔叔买了一部新手机，他设置了一个锁屏密码。从左起，第一、二、三位上的数分别是5、6、3，第四位上的数是最小的合数，第五位上的数是小于10的最大质数，第六位上的数是小于10的最大合数。这个锁屏密码是（    ）。 A．563298 B．563279 C．563498 D．563479 【答案】D 【分析】从左起，第一、二、三位上的数分别是5、6、3，第四位上的数是最小的合数，是4；第五位上的数是小于10的最大质数，是7；第六位上的数是小于10的最大合数，是9；由此解答即可。 【解答】最小的合数是4； 小于10的最大质数是7； 小于10的最大合数是9， 所以这个锁屏密码是：563479。 故答案为：D 二、填空题 16．（24-25五年级下·河南信阳·期末）【A】表示自然数A的因数个数，例如：8有1，2，4，8四个因数，则【8】＝4，那么【30】＝（ ），【45】＝（ ）。 【答案】 8 6 【分析】根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，一共有8个。【30】＝8 45＝1×45＝3×15＝5×9 45的因数有1，3，5，9，15，45，一共有6个。【45】＝6 17．（24-25五年级下·重庆梁平·期末）请按从小到大的顺序写出18的因数（ ）。 【答案】1，2，3，6，9，18 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【解答】18＝1×18＝2×9＝3×6 18的因数：1，2，3，6，9，18。 18．（24-25五年级下·湖北恩施·期末）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有（ ）人。 【答案】42 【分析】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 19．（24-25五年级下·北京丰台·期末）五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是（ ）人。 【答案】4 【分析】将36名同学排成每列人数相等的队列，那么每列的人数一定是36的因数，所以我们需要找出36的所有因数，据此解答。（答案不唯一） 【解答】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以每列可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36人。 20．（24-25五年级下·北京昌平·期末）你知道“完美数”吗？6是一个完美数，它的因数有1、2、3、6，满足1＋2＋3的和正好是6。12不是完美数，因为12的因数有1、2、3、4、6、12，但1＋2＋3＋4＋6不等于12。请写出28的全部因数（ ）。28是完美数吗？（ ）（括号里填“是”或者“不是”）。 【答案】 1、2、4、7、14、28 是 【分析】先列举出28的全部因数，再把除了28以外的所有因数相加，如果和等于28，那么28就是完美数，反之，就不是完美数。 找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 “完美数”的定义：一个数除了它本身以外的所有因数之和等于它本身。 【解答】28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数：1、2、4、7、14、28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 所以，28是完美数。 填空如下： 请写出28的全部因数（1、2、4、7、14、28）。28是完美数吗？（是）。 21．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）从0、3、5、7这四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是2的倍数，又是3和5的倍数，这个三位数最大是（ ）。 【答案】750 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】个位上的数字只能是0，将最大的数放在百位，第二大的数放在十位，验证是否是3的倍数，7＋5＋0＝12，750是2、3、5的倍数，这个三位数最大是750。 22．（23-24五年级下·江西赣州·期末）一个四位数3□2□能同时被2、3、5整除，这个四位数最大是（ ）。 【答案】3720 【分析】能同时被2、3、5整除的数的个位数字一定是0，且各个数位上数字之和是3的倍数。3＋2＝5，所以百位数字可以填1、4、7，由此确定最大的数即可。 【解答】3＋2＝5，所以百位数字可以填1、4、7。 一个四位数3□2□能同时被2、3、5整除，这个四位数最大是3720。 23．（24-25五年级下·山东济宁·期末）植物园里有58株月季花。园丁叔叔想再种一些花，让总花数既能被3整除，又能被5整除。他至少需要再种（ ）株花。 【答案】2 【分析】总花数既能被3整除，又能被5整除，说明总花数同时是3和5的倍数，同时是3和5倍数的特征：个位数字是0或5，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【解答】再种1株花时，58＋1＝59，59不能同时被3和5整除，不符合题意； 再种2株花时，58＋2＝60，60同时是3和5的倍数，能同时被3和5整除，符合题意。 他至少需要再种2株花。 24．（24-25五年级下·黑龙江绥化·期末）7ab是一个三位数，已知它既是2的倍数，又是5的倍数，那么b是（ ）；如果这个三位数还是3的倍数，那么a最小是（ ）。 【答案】 0 2 【分析】2的倍数的特征是个位上是 0、2、4、6、8；5的倍数的特征是个位上是0或5；因此既是2的倍数又是5的倍数的数，个位上一定是0。 一个数的各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【解答】7ab是一个三位数，它既是2的倍数，又是5的倍数，个位上是0，所以b＝0； 这个三位数是7a0，各位数字之和为7＋a＋0＝7＋a，要使7＋a是3的倍数，且a最小，则7＋2＝9，9是3的倍数，所以a最小是2。 综上，7ab是一个三位数，已知它既是2的倍数，又是5的倍数，那么b是0；如果这个三位数还是3的倍数，那么a最小是2。 25．（24-25五年级下·重庆·期末）有很多含有数字的词语，如：九牛一毛、五光十色、七上八下、百炼成钢，这些词语里能找出（ ）个奇数；在生活中，一家人要投票选择自驾还是乘坐火车出游，参与投票的人数是（ ）数（填“奇”或“偶”）时，更有利于尽快做出决策。 【答案】 4 奇 【分析】奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数。 词语“九牛一毛”中的数字是“九（9）”“一（1）”；“五光十色”中的数字是“五（5）”“十（10）”；“七上八下”中的数字是“七（7）”“八（8）”；“百炼成钢”中的数字是“百（100）”。其中奇数为9、1、5、7。 分析投票人数的奇偶性：投票决策通常需要多数票通过，当人数为奇数时，不易出现平局；而人数为偶数时，可能出现双方票数相等的情况，不利于尽快决策。 【解答】“九（9）”“一（1）”；“五（5）”“十（10）”；“七（7）”“八（8）”；“百（100）”。奇数为9、1、5、7。共4个。 当参与投票的人数是奇数时，因为奇数除以2不会是整数，必然有一方票数更多，能更快得出结论。 九牛一毛、五光十色、七上八下、百炼成钢，这些词语里能找出4个奇数；在生活中，一家人要投票选择自驾还是乘坐火车出游，参与投票的人数是奇数时，更有利于尽快做出决策。 26．（24-25五年级下·湖南娄底·期末）小强家的电话号码是由7位数字组成的A5B3C3D。其中A的最大因数是3，B是最小的质数，C有因数2和3，D既是奇数也是合数，小强家的电话号码是（ ）。 【答案】3523639 【分析】一个数的最大因数是它本身。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外没有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】A的最大因数是3，A是3；最小的质数是2，B是2；10以内有因数2和3的是6，C是6；10以内既是奇数也是合数的是9，D是9。因此小强家的电话号码是3523639。 27．（24-25五年级下·四川凉山·期末）小兵家的电脑密码是一个六位数ABCDEF，A是最小的奇数，B是最小的偶数，C是最小的质数，D是最小的合数，E是最小的一位数，F是最大的一位数，这个密码是（ ）。 【答案】102409 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【解答】小兵家的电脑密码是一个六位数ABCDEF： A是最小的奇数，即1； B是最小的偶数，即0； C是最小的质数，即2； D是最小的合数，即4； E是最小的一位数，即0 F是最大的一位数，即9； 这个密码是102409。 28．（24-25五年级下·江西上饶·期末）用一根长36米的绳子围一块长方形草坪，要求长和宽都是整米数，且都是质数，围出的草坪面积最大是（ ）平方米。 【答案】 77 【分析】根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”可知，长与宽的和为周长的一半，即36÷2＝18米； 只有1和它本身两个因数的数是质数，然后寻找两个质数相加等于18的组合，根据“长方形面积＝长×宽”计算它们的面积并比较大小。据此解答。 【解答】36÷2＝18（米） 5＋13＝18 13×5＝65（平方米） 7＋11＝18 11×7＝77（平方米） 65＜77 因此，围出的草坪最大面积是77平方米。 29．（24-25五年级下·河南省直辖县级单位·期末）乐乐妈妈的电脑密码是6位数字，其中，第一个数字是最小的奇数，第二个数字是最小的质数，第三个数字是8的最大因数，第四个数字是最小的偶数，第五个数字既不是质数也不是合数，第六个数字是6的最小倍数。乐乐妈妈的电脑密码是（ ）。 【答案】128016 【分析】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫作奇数，最小的奇数是1，最小的偶数是0；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，最小的质数是2，1既不是质数也不是合数；一个数因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是这个数本身；一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是这个数本身，没有最大的倍数，据此解答。 【解答】分析可知，第一个数字是1，第二个数字是2，第三个数字是8，第四个数字是0，第五个数字是1，第六个数字是6，乐乐妈妈的电脑密码是128016。 30．（24-25五年级下·四川广元·期末）哥德巴赫猜想被誉为“数学皇冠上的明珠”，猜想认为：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请你把偶数“8”写成表示这个猜想的式子：（ ）。 【答案】8＝3＋5 【分析】先把8分解成两个整数相加的形式，再根据哥德巴赫猜想：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。结合质数的意义分析两个相加的整数是否都是质数，据此把偶数8写成两个质数相加的形式即可。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4 1＋7中，1不是质数，不符合题意； 2＋6中，6是合数，不是质数，不符合题意； 3＋5中，3和5都是质数，符合题意； 4＋4中，4是合数，不是质数，不符合题意。 填空如下： 把偶数“8”写成表示这个猜想的式子：（8＝3＋5）。 三、解答题 31．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）小锋到文具店买日记本，日记本的单价已看不清楚，他买了3本日记本，售货员阿姨说应付134元。售货员阿姨的说法正确吗？说说你的理由。 【答案】不正确；理由见详解3本日记本，付款数应该是3的倍数，而134不是3的倍数。所以售货员阿姨的说法不正确。 【分析】根据数量关系“总价＝单价×数量”，购买3本日记本，总价应该是3的倍数。利用3的倍数的特征（各位上数的和是3的倍数）来验证134是否符合条件。 【解答】134各位上数的和是：1＋3＋4＝8 8不是3的倍数，所以134不是3的倍数。 答：不正确，因为小锋买了3本日记本，所以应付的总钱数应该是3的倍数，134不是3的倍数。 32．（24-25五年级下·甘肃天水·期末）学校组织“童心向党，快乐成长”活动，五年级参加的学生人数是偶数，且在40～50之间。每3人分一组，全部分完，没有剩余。五年级参加的学生可能有多少人？ 【答案】 42人或48人 【分析】整数中，能被2整除的数是偶数；每3人一组，全部分完，说明能被3整除，总数是3的倍数，3的倍数：各位数字之和是否能被3整除；列出40~50之间所有的偶数：40、42、44、46、48、50，再从中筛选出能被3整除的数。 【解答】40~50之间的偶数：40、42、44、46、48、50 再判断能否被3整除： （4＋0）÷3＝4÷3＝1……1 （4＋2）÷3＝6÷3＝2 （4＋4）÷3＝8÷3＝2……2 （4＋6）÷3＝10÷3＝3……1 （4＋8）÷3＝12÷3＝4 （5＋0）÷3＝5÷3＝1……2 符合条件的数是42和48。 答案：五年级参加的学生可能是42人或48人。 33．（24-25五年级下·上海杨浦·期末）新华书店周日卖出的文艺书180本，比卖出的科技书多100本，卖出的科技书是卖出的历史书的2倍，卖出的历史书有多少本？ 【答案】 40本 【分析】根据题意，文艺书比科技书多100本，因此科技书数量为180本减去100本。科技书是历史书的2倍，所以历史书数量为科技书数量除以2。据此解答即可。 【解答】180－100＝80（本） 80÷2＝40（本） 答：卖出的历史书有40本。 34．（24-25五年级下·重庆渝中·期末）张阿姨做了57个蛋挞，准备送给亲朋好友品尝，用哪种包装盒能正好装完？为什么？ 【答案】3个装；因为3是57的因数 【分析】根据题意可知，如果包装盒正好能装完蛋挞，则盒子的数量×每个盒子蛋挞的个数＝57个，根据因数的定义，5、3、2哪个是57的因数，对应的包装盒正好能装完。 【解答】57÷5＝11……2 57÷3＝19 57÷2＝28……1 答：用3个装的包装盒能正好装完，因为3是57的因数。 35．（24-25五年级下·湖南邵阳·期末）2024年为了庆祝中华人民共和国成立75周年，人民广场用蝴蝶兰和一串红摆成了庆国庆的图案，已知蝴蝶兰的盆数是一串红的3.4倍。蝴蝶兰比一串红多240盆，蝴蝶兰和一串红各有多少盆？ 【答案】蝴蝶兰340盆；一串红100盆 【分析】把一串红的盆数看作1份，蝴蝶兰的盆数是3.4份，那么蝴蝶兰比一串红多的份数为3.4－1＝2.4份，而实际蝴蝶兰比一串红多240盆，这240盆就对应着多出来的2.4份。所以用多出来的盆数240除以多出来的份数，就得到1份的数量，也就是一串红的盆数，蝴蝶兰比一串红多240盆，从而再求出蝴蝶兰的盆数。 【解答】一串红：240÷（3.4－1） ＝240÷2.4 ＝100（盆） 蝴蝶兰：100＋240＝340（盆） 答：蝴蝶兰有340盆，一串红有100盆。 36．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）要在一条长是20米，宽1.2米的小路上铺地砖。下面是三种大小不一的地砖，要使所用的地砖尽可能是整块的，请选择你认为最合适的，并算出需要的数量。 【答案】边长为40厘米的地砖；150块 【分析】要使所用的地砖尽可能是整块的，就需要找到长方形小路的长和宽分别是地砖边长的整数倍，所以要计算小路的长和宽分别是三种地砖边长的倍数关系，然后选择倍数关系都是整数的地砖，最后用长包含的地砖数乘宽所包含的地砖数，求出需要的地砖数量。 【解答】20米＝2000厘米、1.2米＝120厘米 ①地砖边长为40厘米 2000÷40＝50（块） 120÷40＝3（块） 长和宽都是地砖边长的整数倍。 ②地砖边长为50厘米 2000÷50＝40（块） 120÷50＝2.4（块） 宽不是地砖边长的整数倍。 ③地砖边长为60厘米 2000÷60≈33.33（块） 120÷60＝2（块） 长不是地砖边长的整数倍。 最合适的地砖是边长为40厘米的地砖。 50×3＝150（块） 答：最合适的地砖是边长为40厘米的地砖，需要的数量是150块。 37．（23-24五年级下·江西吉安·期末）一块长方形菜地的长和宽都是以米为单位的质数，周长是36m，这块长方形菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】 77平方米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可得，长＋宽＝周长÷2，即36÷2得18米，再结合长和宽都是以米为单位的质数，则可以将18拆成两个质数之和，再从中找出乘积最大的即可。 【解答】36÷2＝18（米） 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 77＞65 答：这块长方形菜地的面积最大是77平方米。 38．（23-24五年级下·四川广元·期末）荣老师：“我买一些普通跳绳和计数跳绳，付给您100元。”售货员：“我口算了一下，应该找给您14元。”荣老师：“不对，您肯定算错了。”你能解释一下，荣老师为什么这么肯定售货员算错了吗？ 【答案】见详解 【分析】根据5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数；因为跳绳的单价是5元，计数跳绳的单价是10元；10是5的倍数，所以无论买多少根跳绳和计数跳绳，那么花的钱数和找回的钱数一定是5的倍数，据此解答。 【解答】100－14＝86（元） 根据两种跳绳单价可知，荣老师花的钱数应是5的倍数，找回的钱数也是5的倍数，但是花的钱数86不是5的倍数，找回的钱数14也不是5的倍数，所以荣老师这么肯定售货员算错了。 39．（23-24五年级下·重庆九龙坡·期末）按照得出2、3、5倍数特征的学习经验，探索6的倍数特征。 类别 2的倍数 5的倍数 3的倍数 特征 个位上是0，2，4，6，8的数 个位上是0或5的数 一个数各位上的数的和是3的倍数 举例 4、10、22、34、68 10、35、80、95、115 9、18、54、87、141 （1）我的猜想：6的倍数特征是（    ）。 （2）我的验证：用自己喜欢的方式验证你的猜想。 （3）我的结论（    ）。 【答案】见详解 【分析】（1）6＝2×3，6的倍数特征应该与2和3的倍数的特征有关，2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。将2和3的倍数的特征整合后是6的倍数的特征； （2）举例进行验证即可； （3）根据验证情况，猜想如果成立，猜想即可以作为结论。 【解答】（1）猜想：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 （2）验证：6、12、18、24、30、36…都是6的倍数。 1＋2＝3、1＋8＝9、2＋4＝6、3＋6＝9 个位数分别是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字的和是3的倍数，猜想成立。 （3）结论：6的倍数特征是个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。。 40．（23-24五年级下·福建莆田·期末）1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想，其中的“任何不小于7的奇数，都可以表示为三个质数之和”称为“弱哥德巴赫猜想”，并已经得到了成功的证明。根据“弱哥德巴赫猜想”，任意一个不小于7的奇数m，都可以进行这样的拆分（备注：“≥”表示大于或等于）； m＝a＋b＋c（a、b、c均为质数，且a≥b≥c），在m的所有这种拆分中，如果a、c两数之差a－c最小，我们就称a＋b＋c是m的最优拆分。并规定：P（m）＝a－c。例如9可以分解成2＋2＋5，3＋3＋3，因为5－2＞3－3，所以3＋3＋3是9的最优拆分，且P（9）＝0. （1）由上述条件，可得：P（11）＝__________；若P（n）＝1，则n＝__________；若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：__________。 （2）t是一个两位正整数，且t的十位数字、个位数字分别为x、y（1≤x≤y≤9，x、y为整数）。若t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，则我们称这个数t为“期盼数”，求所有“期盼数”中P（t）的最大值。 【答案】（1）2；7；a＝b＝c          （2）6 【分析】（1）把11分解成三个质数相加，11＝2＋2＋7，11＝3＋3＋5，因为7－2＞5－3，则3＋3＋5是11的最优拆分。P（m）＝a－c，则P（11）＝5－3＝2。 若P（n）＝1，即a－c＝1，a和c是连续的质数，符合条件的只有2和3。如b是2，2＋2＋3＝7，7是质数；如b是3，2＋3＋3＝8，8不是质数，不符合题意。所以n＝7。 若P（n）＝0，即a－c＝0，说明a、b、c是相同的质数。 （2）t的十位数字、个位数字和的8倍加上t所得的和为99，据此可得：8（x＋y）＋10x＋y＝99，则18x＋9y＝99。99是奇数，18x一定是偶数，偶数＋奇数＝奇数，则9y一定是奇数，那么y也一定是奇数。因为1≤x≤y≤9，据此分别把y＝1、3、5、7或9代入方程，求出x的值，再从中找出符合的两位数，可以求出这个两位数是35、27或19。35的最优拆分是11＋11＋13，27的最优拆分是7＋7＋13，19的最优拆分是5＋7＋7，13－11＝2，13－7＝6，7－5＝2，6＞2，则P（t）的最大值是6。 【解答】（1）通过分析可得：11的最优拆分是3＋3＋5，5－3＝2，则P（11）＝2； 若P（n）＝1，即a－c＝1，则n＝2＋2＋3＝7； 若P（n）＝0，则a、b、c间的大小关系是：a＝b＝c。 （2）根据题意可得： 8（x＋y）＋10x＋y＝99 解：8x＋8y＋10x＋y＝99 18x＋9y＝99 因为1≤x≤y≤9，符合题意的两位数是35、27或19。 35＝11＋11＋13 27＝7＋7＋13 19＝5＋7＋7 13－11＝2 13－7＝6 7－5＝2 6＞2，则P（t）的最大值是6。 【点睛】第二小题中，根据数量关系列出方程，确定y是奇数，从而确定t的值是解题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $