重难点03 多面体中的截面与交线问题（5类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦多面体截面与交线问题，以“形状判断-度量计算-动态最值-交线分析”为逻辑主线，通过多样化题型培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断截面形状|5题|选择/多选题，涉及正方体、球内接正方体截面|从定性判断到复杂截面图形识别，强化空间想象| |求截面面积|8题|选择/填空，含正方体、正三棱柱等几何体|结合几何性质与面积公式，从规则到不规则截面计算| |求截面周长|6题|选择/填空，以正方体动态截面为主|需确定截面边界，综合距离公式与轨迹分析| |截面的最值问题|6题|选择/填空，涉及球截面、圆锥母线截面|结合动态变化与几何约束，培养优化思维| |交线问题|5题|选择/填空，含直四棱柱、三棱锥交线|平面相交性质应用，强化空间逻辑推理|

重难点03 多面体中的截面与交线问题 考点01判断截面形状 考点05交线问题 考点02求截面面积 考点03求截面周长 考点04截面的最值问题 考点01判断截面形状 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 2．（多选题）（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 3．（多选题）（25-26高一下·河南许昌·期中）已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（   ） A．直线与是异面直线 B．截面图形是一个五边形 C．若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为 D．截面图形的周长为 4．（多选题）（25-26高一下·浙江·期中）如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与EF的交点，为BD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．过E，F，D的平面截长方体所得截面是四边形 B．直线上存在点使O，N，M三点共线 C．三条直线有公共点 D．直线与直线OE异面 5．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 考点02求截面面积 1．（25-26高一下·山东济宁·期中）若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（   ） A．2 B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·福建莆田·期末）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 3．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 4．（多选）（24-25高一下·安徽芜湖·期末）如图，在直三棱柱中，，点是线段上一点，则下列说法正确的是（    ） A．当为的中点时，平面 B．的最小值为 C．当为三等分点（靠近）时，平面截该几何体的截面面积为 D．四面体的外接球表面积最大值为 5．（25-26高一下·安徽六安·期中）四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱柱底面边长是，高是，过底面一边，作与底面成角的截面，则其面积是______． 7．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 8．（25-26高一下·广东惠州·期中）已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 考点03求截面周长 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 4．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 5．（多选）（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（     ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 6．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为______．    考点04截面的最值问题 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 5．（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 6．（2025高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是______. 考点05交线问题 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3.在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（   ） A． B． C． D． 4.已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 5.如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点03 多面体中的截面与交线问题 考点01判断截面形状 考点05交线问题 考点02求截面面积 考点03求截面周长 考点04截面的最值问题 考点01判断截面形状 1．（25-26高一下·河北邢台·期中）一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 【答案】B 【分析】根据正方体的几何特征，可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项． 【详解】如图，其截面可能为梯形、邻边不垂直的菱形、等边三角形，不可能为直角三角形．        2．（多选题）（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形 B．三棱锥的体积为4 C．若P在线段上，则跟面所成角的正弦值最大为 D．一质点从A点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为 【答案】AD 【详解】选项A，由图可知，将线条延伸即可得到梯形. 选项B，三棱锥如下图所示，，. 选项C，因为 平面，所以与面所成角的正弦值即为的正弦值.不难得出正弦值最大时点处于点的位置，. 选项D，将平面与平面沿展开得到下图，可以看到最短的距离便是两点之间的连线，. 3．（多选题）（25-26高一下·河南许昌·期中）已知正方体的棱长为2，点E，F分别是线段CD，BC的中点，平面过点，E，F且与正方体形成一个截面图形，下面说法正确的是（   ） A．直线与是异面直线 B．截面图形是一个五边形 C．若点I在正方形内（含边界位置），且平面，则点I的轨迹长度为 D．截面图形的周长为 【答案】AB 【分析】由异面直线的定义判断A，应用平面的基本性质画出截面图，再根据已知及各项描述依次判断正误即可. 【详解】A，在正方体中，与既不平行也不相交， 平面，平面，，平面， 所以直线与是异面直线，正确； B，延长，与AD的延长线交于点P，与AB的延长线交于点Q， 连接交于点G，连接交于点H， 再连接GE，HF，可得五边形为所求截面，正确； C，由题意知，线段EG为点I的轨迹， 因为，所以G为的三等分点，同理，H为的三等分点， 则，即点I的轨迹长度为，错误； D，，，且， 则五边形的周长为，错误． 4．（多选题）（25-26高一下·浙江·期中）如图，在长方体中，为的中点，为靠近的三等分点，为与EF的交点，为BD的中点，则下列说法正确的是（    ） A．过E，F，D的平面截长方体所得截面是四边形 B．直线上存在点使O，N，M三点共线 C．三条直线有公共点 D．直线与直线OE异面 【答案】ABD 【分析】对于A：作出相应辅助线，根据平行关系可证，即可得截面图形；对于B：可知与相交，即可判断；对于C：设，，计算可得、不为同一点；对于D：根据异面直线的判定定理分析判断.. 【详解】对A：取上靠近的三等分点，上靠近的三等分点， 连接、、、，由为靠近的三等分点， 则为中点，故， 由为靠近的三等分点，故， 又，故四边形是平行四边形，故， 则，故四边形即为过E，F，D的平面截长方体所得截面，故A正确； 对B：因为均在平面内，连接，则与相交， 所以直线上存在点使，，三点共线，故B正确； 对C：设，由为的中点，， 则为的中位线，故； 设，由为靠近的三等分点，， 则与的相似比为，故； 故、不为同一点，即三条直线，没有公共点，故C错误； 对D：因为平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 5．（多选题）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正方体及外接球的特征判断即可. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得C， 当截面过正方体的体对角线时得B， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A， 但无论如何都不能截出D． 考点02求截面面积 1．（25-26高一下·山东济宁·期中）若圆锥的母线与轴的夹角为，则其侧面积与过轴的截面面积之比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，高为， 则圆锥的侧面积为， 由题意可得，得， 所以过轴的截面面积为， 所以侧面积与过轴的截面面积之比为. 2．（多选）（24-25高一下·福建莆田·期末）在棱长为4的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内（含边界）运动，则（    ） A．当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B．当时，点到平面的距离为 C．当，且平面时，点的轨迹长度为5 D．当，且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A，取中点，连接，可得平面截该正方体所得的截面即为梯形并求出该梯形面积即可判断；对于B，设点到平面的距离为d，则由即可求解判断；对于C，分别取四等分点，且，可得平面平面即可得点的轨迹，进而得解；对于D，在平面内过E作交于点，过此时的点F作分别交于，求证平面即可得动点F的轨迹并求出轨迹长度. 【详解】对于A，当时，由题可知此时点在棱中点上， 取中点，连接，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以由可唯一确定一个平面， 所以平面截该正方体所得的截面即为梯形， 因为， 所以平面截该正方体所得的截面梯形的面积为，故A正确； 对于B，当时，由题可知此时点在棱中点上，设点到平面的距离为d， 则由即，故B错误； 对于C，当即，分别取四等分点， 且，连接，则，且， 由A可知，所以，则由可唯一确定一个平面， 又在平面外，平面，所以平面， 由正方体性质可知且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 所以，因为在平面外，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点F的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，由正方体结构性质可知平面， 因为平面，所以， 在平面内过E作交于点， 则此时，所以与相似， 所以，过此时的点F作分别交于， 则且即， 因为，平面，所以平面， 因为，所以动点F的轨迹为线段，所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD 3．（多选）（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，    因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，    连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 4．（多选）（24-25高一下·安徽芜湖·期末）如图，在直三棱柱中，，点是线段上一点，则下列说法正确的是（    ） A．当为的中点时，平面 B．的最小值为 C．当为三等分点（靠近）时，平面截该几何体的截面面积为 D．四面体的外接球表面积最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由线面垂直的判定定理可得A正确；对于B，将翻折到与矩形共面再结合余弦定理可得B错误；对于C，说明平面截该几何体的截面为梯形，故验算梯形面积即可判断C正确；对于D， 取得最大值，结合球的表面积公式即可判断. 【详解】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，所以， 因为，为中点，所以， 又平面， 所以，即平面，故A正确； 对于B，将翻折到与矩形共面，如图所示，    连接与相交于点，此时取得最小值， 在中，，， 由余弦定理可得，故B错误； 对于C，如图所示，过点作，交于点， 因为，所以，所以四点共面， 故平面截该几何体的截面为梯形， 因为平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面， 所以， 因为，为三等分点（靠近）， 所以， 所以梯形的面积为，故C正确； 对于D，如图所示，取的中点， 因为三角形是直角三角形所以点为三角形的外心， 三角形的外接圆半径为， 而，所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，所以平面， 四面体的外接球球心在直线上，不妨设为点， 记四面体的外接球半径为，， 显然首先有， 其次由可得，， 所以， 所以当时，取得最大值， 即点与点或重合时，取得最大值， 所以四面体的外接球表面积最大值为，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高一下·安徽六安·期中）四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 【答案】 【分析】对棱长为3的正四面体，由分点比例得各分段边长，延长连线确定截面顶点、、、；作平行线构造等边三角形与全等、相似三角形，推导线段长度与比例，求出边长，再用面积比例作差，求得截面面积. 【详解】因为四面体ABCD的所有棱长都是3，，，. 所以. 延长交于，交于点，连接QM过作交于. 因为为边长为的等边三角形，为的中点， 所以≌，所以. 所以，过作交于点. 所以为边长为1的等边三角形. 所以，，因为，所以. 由余弦定理有 ，则 . ，即 ，即 所以. 所以 设三角形三边：    所以. 所以截面的面积. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱柱底面边长是，高是，过底面一边，作与底面成角的截面，则其面积是______． 【答案】 【分析】取中点，在线段延长线上取一点，使得，根据二面角平面角定义可证得平面与平面成角为，由此可确定截面；根据长度比例关系可求得结果. 【详解】取中点，连接，在线段延长线上取一点，连接，使得， 为等边三角形，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面，，即为二面角的平面角， 平面与平面成角为， 设平面平面，，， 平面平面，，四边形即为所求截面， ，，， ，， ，，， . 故答案为：. 7．（24-25高一下·贵州黔南·期末）在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，三棱柱为一“堑堵”，P是的中点，，则该“堑堵”的外接球的表面积为______；在过点P且与直线平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积为______ 【答案】 【分析】①如图1，把原三棱柱补成正方体，则正方体对角线为外接球的一条直径，根据求出半径，再根据面积公式求解. ②如图2，取中点E，F，G构造面，由与线线平行推出与面平行，根据边长关系进一步推出四边形即为唯一的等腰梯形，求其面积即可. 【详解】如图1，将三棱柱补成正方体， 则外接球的半径，则外接球的表面积为． 如图2，分别取的中点为E，F，G，连接FG，EP，EF，PG． 因为F，G分别为的中点，所以且． 在直三棱柱中，且． 因为E，P分别为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以且，所以，且，所以P，E，F，G四点共面． 因为E，F分别为的中点，所以． 又,，所以． 因为且F，G分别为的中点，所以， 则，所以四边形即为符合要求的等腰梯形． 当E不是的中点时，不平行平面，则四边形不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个． 在等腰梯形中，,． 过点G作的垂线，交于点H， 所以． 故答案为：； 8．（25-26高一下·广东惠州·期中）已知正八面体的中心为点，各棱长均为，已知，，过点作该正八面体的截面，所得截面面积为________. 【答案】/ 【分析】作出平面截正八面体上面正四棱锥所得截面，再借助共线向量定理的推论及余弦定理、三角形面积公式求解. 【详解】直线交于点，交的延长线于，，连接， 则四边形是过点的平面截正八面体上面正四棱锥所得截面， 由是正方形的中心，得，，而， 于是分别为的中点，， 而，则，，， 在中，，令，则， 由点共线，得，则是的中点，， 令，于是，由点共线，得， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， ， 而， 因此，由正八面体的对称性得所求截面面积为. 考点03求截面周长 1．（24-25高一下·江苏连云港·期中）如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 2．（2025·青海海东·二模）如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接，    由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 【答案】C 【分析】判断周长和面积是否为定值，先判断截面各边之间的数量关系和位置关系，将立体问题平面化求解即可. 【详解】如图所示， 连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 同理连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 又平面平面，平面平面 从而可得，同理可得，又，所以， 同理可得，， 将截面各边展开如图： 由平行关系知，的周长等于为定值； 由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为， 设，则，则的面积， 从而可知是关于的二次函数，不为定值. 4．（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，四边形是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】先根据面面平行得到，，然后确定当，，三点共线时，最小，进而得出结果. 【详解】由题意，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形展开， 当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为10. 5．（多选）（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（     ） A．若，则点的轨迹长度为 B．若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C．若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 因为，则， 则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，如下图所示： 延长分别交直线、于点、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 所以五边形为所求截面， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 又因为，故，所以， 因为，所以，所以， 由勾股定理可得， ，， 同理可得，，， 故截面周长为，故B正确； 对于C选项，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 所以外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，因为平面，所以与的夹角为， 故，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，， 则，故， 如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确． 6．如图，已知正方体的棱长为2，若K为棱的中点，过A，C，K三点作正方体的截面，则截面的周长为______．    【答案】/ 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点截面， 因为正方体的棱长为2， 所以，， ， 则其周长为.    故答案为：. 考点04截面的最值问题 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】令正四面体的棱长为，由正四面体外接球的相关几何关系列方程求得，再由截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，求该截面圆的半径最小值. 【详解】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 2．（24-25高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【分析】易知当时，截面为正六边形，可判断A错误，当与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误，比较时五边形截面的面积与正六边形截面面积大小可判断C错误，作出图形可判断D正确. 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知圆锥的高为2，底面半径为，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】先根据余弦定理计算圆锥的轴截面三角形顶角的余弦值，判断得出其为钝角，再根据三角形的面积公式可知，当截面顶角为直角时截面面积最大. 【详解】如图，为母线，为底面圆心，其中为轴截面三角形， 则，，则， 则在中利用余弦定理可得，， 则为钝角， 设过圆锥任意两条母线所作的截面三角形的顶角，则， 则截面三角形的面积为， 则当，即时，截面三角形的面积最大，最大值为. 故选：B 4．（2026高一·全国·专题练习）在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】取的中点，得到为外接球的球心，且，设，求得三棱锥的体积为，得到取得最大值，在中，利用余弦定理，求得的值，结合球的截面圆的性质，得到截面圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 5．（24-25高一下·广西河池·期末）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【详解】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为： 6．（2025高一·全国·专题练习）四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是______. 【答案】 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故答案为：. 考点05交线问题 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）在直四棱柱中，底面为菱形，．若该直四棱柱的体积为，则以为球心，表面积为的球面与侧面的交线长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出球的半径，再根据直四棱柱的性质，求出圆心到侧面的距离，进而求出截面半径，最后根据弧长公式求解． 【详解】球的表面积， ， 设，底面为菱形， 是等边三角形，则菱形面积， 直四棱柱的体积，解得， 取的中点，连接，是等边三角形， ， 直四棱柱中底面，， 侧面， 侧面，则，即为点到侧面的距离， 球面与平面的交线为圆，设截面半径为，由球的截面的性质可得， 截面圆的圆心为，半径为4，如下图所示， ， 为等边三角形，故， 交线长度，故D正确． 故选：D． 2．（24-25高一下·上海·期末）如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（   ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 3.在侧棱长为2的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面垂直的判定定理与性质定理可得、、两两垂直，即以为球心，为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线分别为三段半径为，圆心角为的弧，借助弧长公式计算即可得. 【详解】取中点，连接、，则有，， 又，、平面，故平面， 又平面，故，又， ，、平面，故平面， 又、平面，故，， 由正三棱锥的性质可得、、两两垂直， 故，即以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为： ，即与该三棱锥三个侧面交线长的和为. 故选：C.    4.已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】A 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C，D项错误； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：A. 5.如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $