重难点06 解三角形中的中线、平分线、高线问题（6类核心考点）（高效培优期末专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形中中线、角平分线、高线的求值与最值范围问题，按线段类型分考点系统编排，通过多样化题型培养逻辑推理与数学运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中线求值|7题（选择/填空/解答）|结合向量、余弦定理求中线长|从基础公式应用到综合条件转化| |中线最值范围|6题（选择/多选）|利用不等式、几何性质求范围|从静态求值到动态变量分析| |角平分线求值|7题（多选/解答）|应用角平分线定理、面积公式|关联三角形内角与边长关系| |角平分线最值范围|6题（填空/解答）|结合外接圆、欧拉线等综合求最值|整合平面几何与代数方法| |高线求值|7题（选择/多选）|通过面积公式、三角函数求高|建立边长、角度与高的关系| |高线最值范围|8题（选择/解答）|利用函数、不等式求高的范围|从单一高线到三角形整体性质|

重难点06 解三角形中中线、角平分线、高线问题 考点01三角形的中线求值问题 考点04角平分线有关的最值范围问题 考点02中线有关的最值范围问题 考点05三角形的高线求值问题 考点03三角形的角平分线求值问题 考点06高线有关的最值范围问题 考点01三角形的中线求值问题 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________． 5．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 6．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 7．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 考点02中线有关的最值范围问题 1．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 2．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（   ） A．若，则有两解 B．周长的取值范围为 C．若为锐角三角形，则的取值范围是 D．若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是 考点03三角形的角平分线求值问题 1．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）中，，，则（   ） A． B．的角平分线交AB于D，则 C． D．在上的投影向量是 2．（多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 3．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为角的角平分线时， C．当点为边上点，时， D．若点为内任一点，的最小值为 4．（多选）（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 5．（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积； (3)若BD是的角平分线，，，求b的长． 6．（25-26高一下·江西景德镇·期中）已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． (1)求的高的长度； (2)若的角平分线交于，求，的值 (3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值． 考点04角平分线有关的最值范围问题 1．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 2．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 4．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 5．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，，是角平分线，交于. (1)求的长. (2)延长至点，使得，求. (3)若是角平分线所在直线上一点，且满足（，），若，求取值范围. 考点05三角形的高线求值问题 1．（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 7．（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 考点06高线有关的最值范围问题 1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）在中，内角、、的对边分别为、、.若边上的高为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 4．（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A． B．的最大值为 C．的值可取 D．内切圆半径的值可取 5．（多选）（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的面积有最大值 C．的周长有最大值12 D．若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 6．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 7．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 8．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点06 解三角形中中线、角平分线、高线问题 考点01三角形的中线求值问题 考点04角平分线有关的最值范围问题 考点02中线有关的最值范围问题 考点05三角形的高线求值问题 考点03三角形的角平分线求值问题 考点06高线有关的最值范围问题 考点01三角形的中线求值问题 1．（25-26高一下·江苏常州·期中）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 2．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 3．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去）， 因为是边上的中点即， 所以， 所以. 故选：D 4．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知的内角的对边分别是边上的中线，则___________． 【答案】4 【详解】由余弦定理得， 故，解得，结合得， 中线满足向量关系：， 则， ， ，化简得①， ， 代入①可得，解得或（舍去）， ． 5．（25-26高一下·重庆綦江·期中）在中，内角的对边分别为，且 (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助平面向量线性运算及模长与数量积关系计算可得，利用余弦定理计算可得，即可得、，从而可计算出，即可得其周长. 【详解】（1）由正弦定理将角化为边可得， 即，即， 由余弦定理可得，即， 故，即，又，故； （2），则 ，即， 由余弦定理可得， 故，， 则， 故的周长为. 6．（25-26高一下·四川宜宾·期中）在中，角的对边分别为，向量，且 (1)求角的值； (2)若是边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量模长公式得到，代入数量积的坐标公式，然后边化角得到角的三角函数式，求出角； （2）利用向量中线公式得出边的长，根据面积公式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，且，则， 可得，因为， 所以. （2）由题意得， 则， 即有，且， 解得， 所以， 故的面积为． 7．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示中线对应的向量，结合向量模长公式、数量积运算规则求解 的长度； （2）通过两种不同的线性运算方式表示，利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程. 【详解】（1）由题意得，， ∵ 是边上的中线， ∴ 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入已知数值得 ， ∴ ，即中线 的长为. （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ②， ∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等， ∴ ， 解得 ， ∴ . 考点02中线有关的最值范围问题 1．（24-25高一下·广西南宁·期末）在，点是中线上一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ）． A．8 B．16 C．18 D．25 【答案】D 【分析】利用共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是25. 故选：D 2．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图所示的四边形ABCD中，是等边三角形，B是AC边的中线延长线上一点，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，即BC⊥CD，因为图形对称，所以只考虑E在边BC，CD上的运动情况即可，在两种情况下，利用向量共线表示出，利用数量积即可得到范围. 【详解】由题知，AC⊥BD，且，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可， 又， 所以，即BC⊥CD，则， ①当点E在边BC上运动时，设，则， 所以； ②当点E在边CD上运动时，设，则， 所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：. 3．（25-26高一下·福建泉州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将转化成，再结合平方差公式和已知条件即可求解. 【详解】由题， 所以由点P在斜边BC的中线AD上得， 故 ， 故选：A. 4．（25-26高一下·福建厦门·期中）在中，，是中点，中线，则面积的最大值是（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】解法1，设，利用余弦定理可得，令，可得，利用三角变换和三角函数性质求得，得解； 解法2，作，则是的重心，设，可得，，根据运算，结合三角函数性质得解； 解法3，作，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，设，，可得，由三角形面积公式结合基本不等式求解. 【详解】解法1：令，在内由余弦定理，可知 ，化简得：，故， 所以的面积，令，所以， 又， 所以，所以，所以，当且仅当时，取等号. 解法2：如图，作，垂足为，交于，则是的重心，， 设，所以，，故的面积等于， 所以的面积，当且仅当时取等号. 解法3：如图，作，垂足为，以为原点，为轴建立平面直角坐标系. 设，，则，， 所以的面积，当且仅当时取等号. 5．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法运算及数量积模的运算，推导出，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式，将表示为角的三角函数表达式，结合正弦函数的性质算出的取值范围． 【详解】由是边上的中线，得， 则， 由正弦定理得，得，， 则， 而， ， 于是 ， 由为锐角三角形，，得，即， 则，，因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C 6．（多选）（25-26高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（   ） A．若，则有两解 B．周长的取值范围为 C．若为锐角三角形，则的取值范围是 D．若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理边角互化后，由余弦定理求出，即可判断A，由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦型三角函数值域的求法判断B，由正弦定理，结合的范围求解即可判断C，利用向量及数量积的运算、余弦定理求出中线长的范围判断D. 【详解】由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以， 当时，由知，不存在满足条件的，故A错误； 由正弦定理可知， 所以， 因为，所以，所以， 周长，故B正确； 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，又，所以，故C正确； 当为锐角三角形时，，所以， 所以，令，则， 由余弦定理，， 所以，设上的中线为，如图， 又，所以，即，所以，即上的中线长的取值范围是，故D正确. 考点03三角形的角平分线求值问题 1．（多选）（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）中，，，则（   ） A． B．的角平分线交AB于D，则 C． D．在上的投影向量是 【答案】ACD 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 2．（多选）（25-26高一下·浙江嘉兴·阶段检测）我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且，则（    ） A．三个内角A，B，C满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与AC交于D，则的长为 D．若E为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】对A，利用正弦定理得出三边关系，结合余弦定理可判定；对B，由三角形面积公式计算可得三边长，从而判定；对C，利用三角形面积公式结合已知条件求解；对D，设，利用正弦定理表示出，由数量积定义求出，利用正弦函数性质求解最值. 【详解】对于A，由，得， 设， 由余弦定理，，又，所以， 则，故A正确； 对于B，由，解得， 所以，则其周长为，故B正确； 对于C，由， 所以，解得，故C错误； 对于D，当E在优弧AC上时，设，，则， 在中，， 由正弦定理，， ， 因为，所以， 当，即时，，即取得最大值； 又当点与点重合时，； 当点与点重合时，； 当E在劣弧AC上时，若相同时，此时小于E在优弧AC上； 综上，的最大值为，故D正确. 3．（多选）（24-25高一下·河南郑州·期中）在中，，，，点为边上一动点，则（   ） A． B．当为角的角平分线时， C．当点为边上点，时， D．若点为内任一点，的最小值为 【答案】ABC 【分析】应用余弦定理求边长判断A；应用等面积法及三角形面积公式列方程求判断B；由，应用向量数量积的运算律求线段长度判断C；构建合适的直角坐标系，应用坐标法求数量积，进而确定最小值判断D. 【详解】A：，对； B：由题意， 所以，可得，对； C：由，则， 所以，对； D：构建如下图的直角坐标系，则，若， 所以， 则 ， 当时，在三角形内满足题设，此时的最小值为，错. 故选：ABC 4．（多选）（25-26高一下·辽宁鞍山·期中）在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 【答案】BC 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 5．（25-26高一下·黑龙江绥化·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求B； (2)若D是边AC上靠近A的三等分点，，，求的面积； (3)若BD是的角平分线，，，求b的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式计算，最后应用特殊值的余弦计算求解； （2）应用向量的数量关系列式平方结合数量积的定义及运算律计算得出，最后应用面积公式计算求解； （3）应用面积公式计算得出，最后结合余弦定理求解. 【详解】（1）由正弦定理得，， 又，所以， 则 ， 化简得，， 在中，，所以， 又因为，所以． （2）因为是边上靠近的三等分点， 所以， 所以， 又因为，，， 所以，化简得， 即，解得或（舍去）， 所以； （3）已知平分，且，故， 由得； 将，代入得， 解得． ，． 6．（25-26高一下·江西景德镇·期中）已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． (1)求的高的长度； (2)若的角平分线交于，求，的值 (3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 首先利用余弦定理求出，进一步求出，再利用正弦定理和三角形面积相等求出长； （2）根据角平分线定理，得到，再根据向量的几何运算求解即可. （3）由（2）同理可得，利用重心的性质和欧拉线定理求得，再利用外心的性质和数量积的定义求得的值. 【详解】（1）， 由三角形的面积相等得，，则. （2）因为内心是三角形三条角平分线的交点，故连接延长交于点，如图所示： 由角平分线定理， . （3）平分，由角平分线定理， ， 由重心的性质可知 由欧拉线定理，， ， ， ． 考点04角平分线有关的最值范围问题 1．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解． 【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径， ，即， 解得， ， 为的角平分线， ， ， ，即； 设， 则， ， ， ， ， ，， 故当，即时，取得最小值． 故答案为：；． 2．（25-26高一下·广西南宁·阶段检测）在以为圆心，半径为的中，有一个内接锐角三角形，其中，的角平分线交于点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】先利用正弦定理求得，再根据外心性质和角平分线、数量积的运算律得到，最后根据面积的范围可求前者的范围. 【详解】，设，，，则，则， 再由角平分线定理，，则由定比分点性质，， 又为三角形的外心，所以：； 则三角形的面积，其中为三角形的边上的高， 由题意，当在的垂直平分线上时，此时取得最大值， 为圆心到的距离加上半径即， 且三角形为锐角三角形，不能使或为直角或钝角， 时，为直径，此时取得下确界，为圆心到的距离的二倍，即下确界为， 故的取值范围为，则. 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解. （2）利用向量数量积的运算律及定义求解. （3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 4．（24-25高一下·安徽宿州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，从而求出； （2）先计算出，两边平方求出，又，联立两式解得，由余弦定理求出； （3）若AD为角平分线，则，在中，由正弦定理得到，，故，根据基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由已知， 由正弦定理，可得， 又因为，代入上式， 化简得：， 因为中，，所以，从而， 故，因为，所以． （2）因为， 所以， 由（1）知，， 所以 ， 由已知，所以，即， 又，联立两式解得，， 由余弦定理，可得，即． （3）若AD为角平分线，则， 在中，由正弦定理，得， 即， 所以，， 所以 即， 又因为，所以，， 从而， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 5．（24-25高一下·山西吕梁·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积； (3)若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. （2）解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. （3）因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 6．（24-25高一下·浙江·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，，是角平分线，交于. (1)求的长. (2)延长至点，使得，求. (3)若是角平分线所在直线上一点，且满足（，），若，求取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式得到，得到，再由，结合三角形面积公式，解得. （2）在、中，由余弦定理求得，，根据角平分线定理求得,再在中，利用余弦定理求得； （3）设，结合，得，则，由得，结合，得. 【详解】（1）由， 根据正弦定理（为外接圆半径）， 可得. 因为，，所以， 所以， 所以 因为，所以, 因为是角平分线，所以. 由， 根据三角形面积公式，可得 . 即， 解得. （2）在中，，，， 由余弦定理,得， 所以， 在中，，， 由余弦定理， 则. 由是角平分线，得，所以. 在中，，，， 由余弦定理； （3）设，则 ∴，则 . ∵，∴ ∵，∴，解得. ∵，∴ 考点05三角形的高线求值问题 1．（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出BC，再利用等面积法求得BC边上高线 【详解】在中，， 由余弦定理，得， 则． 设边上的高为，由等面积法，得，则． 2．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过添加辅助线，结合角平分线定理，即可求出的高，从而可求得面积. 【详解】 过作于点， 是边上的高，平分， ，即， 故选：B 3．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】由已知，，得. 又由余弦定理可知，则. 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 5．（24-25高二下·浙江·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角形面积相等得到，再由正弦定理及和差角的正弦公式将化简得到，从而解出的值，进而求出的值，再利用余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以. 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得. 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）. 所以的周长为， 故选：D 6．（多选）（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 【答案】BD 【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 7．（多选）（24-25高一下·四川成都·期中）中，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（   ） A．若CD是中线，则 B．若CD是高，则 C．若CD是角平分线，则 D．若D是线段AB的三等分点，则 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中若， 可得若是线段的三等分点，则或 但,均不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 考点06高线有关的最值范围问题 1．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）在中，内角、、的对边分别为、、.若边上的高为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式可得出，再结合余弦定理可得出，变形得出，利用辅助角公式以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】由三角形面积公式得，即. 由余弦定理得，所以， 整理可得. 其中为锐角，且， 因为，故，故当时，即当时，取最大值， 此时， 故的最大值为. 故选：A. 2．在中，内角所对的边分别是，若，边上的高为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式得到，然后由余弦定理结合基本不等式得到，最后由正弦公式结合正弦函数的单调性求出即可； 速解中先由射影定理得到，下同上述解法. 【详解】，由余弦定理可得， 整理可得． 又边上的高为， 即， 当且仅当时取等号，，即， 即， 则，故的最大值为． 故选：B． 速解 由射影定理得，下同上述解法． 故选：B． 3．（多选）（25-26高一下·山东滨州·期中）在中，角的对边分别为，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若为边上的高，且，则的最大值为 C．若，则有一解 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由正弦定理和三角形的内角的性质，化简得到，求得，可判定A正确；利用三角形的面积公式，求得，结合余弦定理和基本不等式，可判定B正确；根据题意，得到，可判定C错误；由余弦定理得到，再列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】对于A，在中，因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即， 因为，所以，所以， 两边平方得， 由，得，解得，即，故A正确； 对于B，由，因为，所以， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故B正确； 对于C，当且时，可得， 满足，所以有两解，故C错误； 对于D，由余弦定理得，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，由余弦定理得，解得或， 所以，故D正确． 4．（多选）（25-26高一下·浙江杭州·期中）在中，角所对的边长分别为，分别为边上的高．若，，则下列说法正确的是（） A． B．的最大值为 C．的值可取 D．内切圆半径的值可取 【答案】ABD 【分析】选项A：利用正弦定理将边化为角,结合进行三角恒等变换,消去后用辅助角公式化简,求得. 选项B：由三角形面积公式得与的关系,结合余弦定理和基本不等式求出的最大值,代入可得最大值为. 选项C：由面积公式得出、表达式,代入化简后换元构造函数,转换成二次函数单调性问题,算出式子最小值大于. 选项D：根据内切圆半径公式整理出与的关系,结合正弦定理、余弦定理确定取值范围,验证时满足条件,三角形存在. 【详解】在中，已知，.由正弦定理， 得. 因为，所以， 代入化简得.由， 得，即，. 因为，所以，，故选项A正确. 设的面积为，则， 代入，，得. 由余弦定理，得. 由，得，当且仅当时取等号， 所以，即的最大值为，故选项B正确. 由，得，， 则.又，， 代入得. 令，，则， 令,由,得, 函数化为二次函数: 令开口向上,对称轴. 在区间上单调递增. 因此当(即)时,取得最小值 代入得最小值， 所以，故选项C错误. 设内切圆半径为，则，即，. 由余弦定理，得， 代入的表达式约分得：， 由正弦定理，，，故，得， 因此， 若​，代入得：， 此时，满足， 且方程的判别式，存在两个正根，即这样的三角形存在， 因此可取，选项D正确. 5．（多选）（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的面积有最大值 C．的周长有最大值12 D．若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得，，再依次由、、结合三角恒等变换公式以及三角函数值的范围即可研究面积、高和周长的取值范围. 【详解】对于A，由正弦定理得， 所以，则有两解，故A正确． 对于B，由正弦定理，得，， 所以 ． 又，所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积有最大值，故B正确． 对于C， 由选项B得的周长为 又，所以，所以， 故的周长有最大值，故C错误． 对于D，因为，，所以对于边上的高，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角为钝角． 因为， 所以由选项B有， 由是钝角三角形，，得， 所以，， 所以，所以若是钝角三角形． 则边上的高的取值范围为，故D正确． 6．（25-26高一下·天津西青·期中）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 7．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】(1)利用补角余弦值互为相反数求解； (2)作高拆分底边的几何思路，利用正切定义求出未知数表示出高与底边两段的长度，再代入面积公式列方程求解； (3)利用等腰三角形性质与中线公式得到三边边长，再用余弦定理表示目标角余弦值，通过换元法转化为单变量函数，最后利用配凑分式求最值. 【详解】（1）由得，，化简得， ． （2）作于， 设，则，． ， 解得，． （3）设，则，， 由（1）得，， ， 令，， ， 当时，．此时． 8．（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 学科网（北京）股份有限公司 $