2026年河南平顶山市宝丰县第四教研区二模数学试题

**基本信息** 以文化传承（如“堑堵”“苔花花粉直径”）、科技实验（滑动变阻器电流关系）、生活实践（护眼竞赛统计、花木购买）为情境，通过基础题（绝对值、科学记数法）、能力题（菱形几何计算、抛物线综合）、创新题（“豫点”“和谐线”新定义）的梯度设计，考查数学眼光（空间观念、创新意识）、思维（推理能力）及语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|立体图形主视图（空间观念）、一元二次方程根的判别（推理能力）|结合《九章算术注》“堑堵”考几何直观| |填空题|5/15|加权平均数比较（数据意识）、“豫点”新定义（创新意识）|以假命题举例考抽象能力| |解答题|8/75|摩天轮几何应用（模型意识）、“和谐线”探究（推理能力）|跨物理学科考函数关系，贴近中考新定义趋势|

2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间 100分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上. 一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的) 的绝对值是 ( ) A. B. C. D. 2.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.”意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑堵”.如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为 ( ) 3.清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.000 0084米，则数据0.000 0084用科学记数法表示为 ( ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 5.如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图.已知调整前、后的灯杆AB∥CD，调整前臂杆之间的夹角∠OAB=60°，调整后臂杆之间的夹角∠OCD=85°，则调整前后同一臂杆变化的角度∠AOC= ( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 6.已知一元二次方程 则该方程根的情况是( ) A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 7.在平行四边形 ABCD 中，分别以A，D为圆心，任意长为半径画弧,交AB,AD,CD于F,G,I,H,分别以F,G为圆心,大于 的长为半径画弧交于点J，分别以I，H为圆心，大于 的长为半径画弧交于点K，连接AJ，DK 并延长相交于点E，点E 恰好在BC上,若AD=8,则 AB 的长为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.河南地处中原，省内17处国家5A级旅游景区皆是华夏文明的璀璨坐标.正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林寺”和“云台山”的概率是 ( ) A. B. C. D. 9.如图，在边长为5 的菱形ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点O,BD=8,点E在线段OA 上,AE=1,点 F 在线段OC 上,OF=1,连接DE,点 P 为DE 的中点,连接FP,则 FP 的长为( ) A. B. C. D. 10.在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL是定值)亮度的实验(如图1).已知串联电路中，电流与电阻R，RL之间关系为 图2是I关于R 的函数图象，则下列说法中错误的是 ( ) A.灯丝的阻值RL为2Ω B.用含 R 的代数式表示Ⅰ为 C.当滑动变阻器的电阻为2Ω时，串联电路电流为3 A D.要使通过灯泡的电流不低于2 A，则调节滑动变阻器电阻的范围为R<4Ω 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.请你取一个a 的值,说明命题“|a-1|=a-1”是假命题,那么a= . 12.某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4：3：2：1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表： 项目员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A B.(填“＞”“=”或“<”) 13.化简 14.如图所示的扇形OAB中,∠AOB=120°,过点O作OC⊥OB,OC交AB 于点P，若OP=2，则阴影部分的面积为 . 15.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“豫点”.如图△ABC中,AE⊥BC于点 E,AE=3,BC=7,∠C=45°,若点 D 是BC 边上的“豫点”,则线段 CD 的长为 . 三、解答题(本大题共8个小题，共75分) 16.(10分)(1)计算: (2)化简; 17.(9分)2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛.以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程. 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本. 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 51≤x<61 a 5% 第2组 61≤x<71 10 m 第3组 71≤x<81 15 15% 第4组 81≤x<91 40 40% 第5组 91≤x<101 b n 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图. 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： ；请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数. 18.(9分)如图,四边形ABCD 中,连接BD. (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：作 BD 的垂直平分线EF,分别交AD,BC于点E,F; (2)连接BE,若 求 的度数. 19.(9分)如图，正比例函数 的图象与反比例函数 0,x＞0)的图象相交于点 A(a,4),点 P 为射线OA 上位于点A右侧的一点,且OA=2AP,过点 P 作PQ⊥x轴,垂足为Q,交反比例函数的图象于点 M. (1)求反比例函数 的解析式； (2)求AP,PM 的长. 20.(9分)为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A，B两种花木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元. (1)求 A，B两种花木的单价各是多少元? (2)如果购进的这批花木共6 000 棵，A种花木至多购进4 000棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B种花木各多少棵?并求出最低费用. 21.(9分)图1是某摩天轮的实景图.摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度 BC 为10米,地面 l 上的观察点 D 到点C 的距离DC 为80米，平面示意图如图2所示. (1)当视线 DA 与⊙O 相切时，求点 A 处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳.点A 处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长. (以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据： 22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 (1)若 求证：抛物线与x轴一定有两个交点； (2)若 点 在抛物线上，其中 ①若y₁的最小值是-2，求函数的表达式； ②若对于x₁,x₂,都有 求m 的取值范围. 23.(10分)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”.如图1，在菱形ABCD 中，P是CD 的中点,连接AP,BP,则折线 APB 叫作菱形ABCD 的“和谐线”，折线APB 的长叫作“和谐线”的长.已知在菱形ABCD中，AB=a,P 是 CD 的中点,连接AP,BP. (1)如图1,若 ,求“和谐线” APB 的长; (2)如图2,若 ，请探究“和谐线”APB 的长与菱形的边长a 之间满足的等量关系式，并说明理由； (3)若a=6,,且“和谐线”APB 中的AP 或BP 与菱形ABCD 的一条对角线相等，求“和谐线”APB 的长. l 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考学科第二次调研考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟： 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填 写在答题卡上。 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只 有一个是正确的) 1一音的绝对值是 () A号 B.、9 5 c号 D号 2.中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵.” 意思是：把一长方体沿对角面一分为二，相同的这两块叫做“堑 堵”.如图是“堑堵”的立体图形，它的主视图为 () 正面 B. D. 3.清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来.苔花 如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则 数据0.0000084用科学记数法表示为 （) A.8.4×10-5 B.8.4X10-6 C.8.4×10-7D.8.4X106 4.下列计算正确的是 () -2 A.m6÷m2=m3 B. m n2 n C.22-√2=2 D.√(1-√2)=1-2 5.如图1是一台可折叠的床头伸缩壁灯，图2是其示意图.已知调整 前、后的灯杆ABCD,调整前臂杆之间的夹角∠OAB=60°，调整 后臂杆之间的夹角∠OCD=85°，则调整前后同一臂杆变化的角度 ∠AOC= 图1 图2 A.10° B.15° C.20° D.25 6.已知一元二次方程x2+5x十2=0，则该方程根的情况是（) A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 7.在平行四边形ABCD中，分别以A,D为圆心，任意长为半径画 弧，交AB,AD,CD于F,G,1,H,分别以F,G为圆心，大于FG 的长为半径画弧交于点J,分别以1，H为圆心，大于之H的长为 半径画弧交于点K,连接AJ,DK并延长相交于点E,点E恰好在 BC上，若AD=8,则AB的长为 A.3 D B.4 CH 5 D.6 8.河南地处中原，省内17处国家5A级旅游景区皆是华夏文明的璀 璨坐标正面分别印有“少林寺”“龙门石窟”“云台山”“殷墟”图片 的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面 朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片上正面恰好是“少林 寺”和“云台山”的概率是 ( 少林寺 龙门石窟 云台山 殷墟 A安 R专 Dt 9.如图，在边长为5的菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点 O,BD=8,点E在线段OA上，AE=1,点F在线段OC上，OF= 1,连接DE,点P为DE的中点，连接FP,则FP的长为() A√11 B.√/10 C.23 D.2√2 10.在一次物理实验中，小明同学用一固定电压为12V的蓄电池，通 过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻 值R,是定值)亮度的实验（如图1）.已知串联电路中，电流与电 U 阻R,R,之间关系为I=R十R,R≥0)，图2是I关于R的函数 图象，则下列说法中错误的是 ) A 5 R 3 1LLL1 012345670 图1 图2 A.灯丝的阻值RL为22 B.用含R的代数式表示I为I 12 R+2R≥0) C.当滑动变阻器的电阻为22时，串联电路电流为3A D.要使通过灯泡的电流不低于2A,则调节滑动变阻器电阻的范 围为R<4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.请你取一个a的值，说明命题“|a一1|=a一1”是假命题，那么 a= 12.某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、 说、读、写各项成绩（百分制）按4：3：2：1的比例计算最终成 绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最 终成绩如表： 项目员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息，可以判断A,B的大小关系是A B.(填“>” “=”或“<”) 13.化简1+，m) 4m2-1 14.如图所示的扇形OAB中，∠AOB=120°，过点O作OC⊥OB,OC 交AB于点P,若OP=2,则阴影部分的面积为 0 B E 第14题图 第15题图 15.定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积 等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边 的“豫点”.如图△ABC中，AE⊥BC于点E,AE=3,BC=7,∠C= 45°，若点D是BC边上的“豫点”，则线段CD的长为 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(10分)(1)计算：-2十√5-sin30°； (2)化简：(1-1 +)(m十1). 17.（9分)2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”，为了增强学生的 护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛.以下是本次护眼 知识竞赛成绩抽样与数据分析过程， 【收集数据随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本， 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分 100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的 统计表： 组别 分数 频数 百分比 第1组 51≤x<61 a 5% 第2组 61≤x<71 10 m 第3组 71≤x<81 15 15% 第4组 81≤x<91 40 40% 第5组 91≤x<101 b n 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布 直方图. 频数 (学生人数)个 40 0 3 0 15 15 10 10 5 051617181 91101分数分 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1)m= ,n= ;请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数 段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请 估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数. 18.(9分)如图，四边形ABCD中，连接BD. (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作BD的垂直平分线 EF,分别交AD,BC于点E,F; (2)连接BE,若∠DBE=25°，求∠AEB的度数 19.(9分)如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=飞(k≠ 0,x>0)的图象相交于点A(a,4),点P为射线OA上位于点A 右侧的一点，且OA=2AP,过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q,交反 比例函数的图象于点M (1)求反比例函数y=的解析式， (2)求AP,PM的长 20.(9分)为打造花园式居住环境，某物业公司计划购进A,B两种花 木对小区进行美化，已知B种花木比A种花木每棵贵20元，且购 买2棵A种花木与3棵B种花木共需要210元， (1)求A,B两种花木的单价各是多少元？ (2)如果购进的这批花木共6000棵，A种花木至多购进4000 棵，为了使购进的这批花木的费用最低，应购进A种花木和B 种花木各多少棵？并求出最低费用. 21.(9分)图1是某摩天轮的实景图.摩天轮可视作半径为50米的 ⊙O,其上的某个座舱可视作⊙O上的点A,座舱距离地面的最低 高度BC为10米，地面L上的观察点D到点C的距离DC为 80米，平面示意图如图2所示， (1)当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低 于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳.点A处的座舱随 摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风 景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长， (以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.87°≈ 4,sin66.87°≈0.92，c0s66.87°≈0.39,5≈1.73，x≈3,14) B 图1 图2 备用图 22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2一2x十n. (1)若2=m2一1，求证：抛物线与x轴一定有两个交点； (2)若n=m2十m,点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中 m-2<x1<m+1,x2=1-2m. ①若y1的最小值是一2，求函数的表达式： ②若对于x1,x2,都有y1<y2,求m的取值范围. 23.（10分)定义：菱形一边的中点与它所在边的对边的两个端点连线 所形成的折线，叫作菱形的“和谐线”.如图1，在菱形ABCD中，P 是CD的中点，连接AP,BP,则折线APB叫作菱形ABCD的 “和谐线”，折线APB的长叫作“和谐线”的长.已知在菱形ABCD 中，AB=a,P是CD的中点，连接AP,BP (1)如图1，若a=6,∠C=60°，求“和谐线”APB的长； (2)如图2，若∠APB=∠C,请探究“和谐线”APB的长与菱形的 边长a之间满足的等量关系式，并说明理由； (3)若a=6,且“和谐线”APB中的AP或BP与菱形ABCD的一 条对角线相等，求“和谐线”APB的长」 图2 数学 1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D 故B选项正确，不符合题意； 9.D【解析】在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 当R=2时，I= 12 交于点O,BD=8,AB=BC=5, 2+2 OB=OD=壳BD=4,AC1BD,由白版定理可 即当滑动变阻器的电阻为2时，串联电路屯流 为3A,故C选项正确，不符合题意； 得OA=OC=3, 通过灯泡的电流不低于2A, ,AE=1,.OE=OA-AE=3-1=2,如图，取 OE中点Q,连接PQ, 录平2≥2解得RC, 即要使通过灯泡的电流不低于2A,则调节滑动 变阻器电阻的范围为R≤42，故D选项错误，符 合题意.故选D 11.一1（答案不唯一） 1 0Q=号05=1，：点P为DE的中点，成Q为 12.>13.2m 14.3x-25 OE的中点， ∴PQ/oD,PQ=20D=2∴∠PQE=∠D0A 1点昌或2 【解析】如图，在△ABC中，AE⊥BC于 点E,AE=3,BC=7,∠C=45°， =90°， .∠CAE=90°-∠C=45°， ,OF=1,∴.QF=OQ+OF=2, ∠CAE=∠C, 在Rt△PQF中，PF2=PQ2+QF,.PF= ∴.CE=AE=3, √2+2=2√2.故选D. 设CD=x(0<x<7), 10.D【解析】观察图象得当R=0时，I=6, .BD=BC-CD=7-x,BE=BC-CE=4, 60 0+R,解得R=2, ①如图1，当点D在BE上时，则3<x<7, 即灯丝的阻值RL为22，故A逃项正确，不符合 题意； 12 “用合R的代数式表示I为I=R牛2 R≥0)， D E 图1 .DE=CD-CE=x-3, 频数 (学生人数个 在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2=AE2+ 40 40 30 DE2=32+(x-3)2=18-6.x+x2, 30 25 点D是BC边的“豫点”， 20 15 5 …“10 ∴AD2=BD·CD=x(7-x)=7x-x2, 105丁T .7x-x2=18-6x+x2, 05161718191101分数分 解得x=号或x=2<3(不合题高，合去》， (2)4 (3)3000×30%=900(人). 此时C0=号 答：估计全校3000名学生中获得“护眼知识达 人”的人数为900人. ②如图2，当点D与点E重合时，则x=3, 18.解：(1)如图1，EF即为所作. (D)E 图2 ∴.AD2=AE2=9,BD·CD=BE·CE=12, 图1 (2)如图2，连接BE, AD≠BD·CD,这与，点D是BC边的“豫点” 矛盾，则x=3的情形不存在； ③如图3，当，点D在CE上时，则0之x<3, 图2 ED EF垂直平分BD, 图3 ∴.EB=ED, ∴.DE=CE-CD=3-x, ∠DBE=∠BDE=25°. 在Rt△ADE中，由勾股定理得AD2=AE2十 ∠AEB是△BED的外角， DE2=32+(3-x)2=18-6.x十x2, .∠AEB=∠DBE十∠BDE=25°+25°=50°. 点D是BC边的“豫点”， ∴.AD2=BD·CD=x(7-x)=7x-x2, 19.解：(1)”点A(a,4)在正比例函数y=2x的图 ∴.7x-x2=18-6x+x2, 1 象上2Q=4,解得a=8,A(8,4), 解得x=2成=昌>3（不合题意，合去） :点A(8,4)在反比例函数y=冬的图象上， 工 ∴.此时CD=2. k=8×4=32,反比例函数的解析式为 妹上所述，战段CD的长为号我2 故容案为：号我2， (2)如图，作AN⊥x轴，y1 垂足为N,AN∥PQ,∴. 16解：1)原式=-2+8-名=宁： △AON∽△POQ, (2)原式=m+1-1=m 17.解：(1)10%30% 2AP,0-8骀-号， ,在Rt△OAD中，OA=50米， ,AN=4, :sin∠0DA=品=乞， OA 1 PQ=6, ∴∠ODA=30°， 将y=6代人正比例函数y=x,得x=12,将x 六AD=0D·c0s30°=10x 2 =505(米)， =12代入反比例函数y= 得y号， ∠ADE=∠ODA+∠ODC=30°+36.87°= 66.87°， ∴P(12,6),M(12,号）， .在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE= ∴PM=6--9AP=a2-8+6- 50√3Xsin66.87°≈505×0.92≈79.6（米）. 答：点A处的座舱到地面的距离约为79.6米。 =25. (2)如图2，过点A作AFCD,交⊙O于点F,延 20.解：(1)设A种花木每棵x元，B种花木每棵 长CO,交AF于点H,连接OF, )-x=20, 不妨设CH=85米， y元，依据题意可得 2x+3y=210, 'OC⊥CD, 解得 x=30, ∴.OH⊥AF, y=50. ∴.OH=CH-OB-BC= 答：A,B两种花木的单价分别是30元和50元. 85-50-10=25(米)， 图2 (2)设购进A种花木t棵，这批花木的费用为 .OA=50米， w元， 则w=30t+50(6000-t)=一20t+300000. iw乙AoH=8器=克， ,k=一20<0，w随着！的增大而诚小，t≤ ∴∠AOH=60°， 4000, ,OH⊥AF, .当t=4000时，w最小.此时，B种花木有 ∴.∠AOF=120°， 6000一4000=2000（棵），(8分) 最佳观衡风是的时间为器×30=10C分钟)。 w=一20×4000+300000=220000. 答：购进A种花木4000棵，B种花木2000棵， A的长=120X50≈104.7（米）， 180 能使得购进这批花木的费用最低，为220000元. 座舱经过的AF的长约为104.7米. 21.解：(1)如图1，连接OA, 答：该座舱中乘客最佳观赏风毋的时长为10分 OD,作AE⊥CD,垂足 0 钟，这段时间内该座舱经过的圆弧的长约为 为E, 104.7米. 根据题意可知，OC=OB+ 22.（1)证明：n=m2-1, BC=50+10=60(米)， 图1 y=x2-2mx+m2-1, .在△ODC中，DC=80 令y=0,x2-2mx+m3-1=0, 米，OC⊥DC,即∠OCD=90°， △=(-2m)2一4(m2-1)=4>0, ∴.OD=√DC2+0C=√80+60=100（米）， 抛物线与x轴一定有两个交点. '在Rt△ODC中，tan∠ODC= %-8- (2)解：①若n=m2+m,则y=x2-2mx十m2+m, .∠ODC≈36.87°. 该抛物线的对称轴为直线x=m, DA与⊙O相切， m-2<x1<m十1，y1的最小值是-2、 .OA⊥AD, 当x1=m时，y1=m=一2， ∴.∠OAD=90°， ∴函数的表达式为y=x2+4x+2. ②对于x1,x2,都有y1<y2,抛物线开口向上， 在Rt△BPF中，BP=√BF2+PF7= (m一2，y)关于对称轴的对称点为(m十2，y), ∴.1-2m≤m一2或1-2m≥m+2, 2+(》'=E. ∴m≤-子或m≥1 AE=AB+BE=岁，PE=BF= 2， 23.解：(1)如图1，连接DB,在菱形ABCD中，AB= 在Rt△APE中，AP=√AE+PE= BC=CD=6,∠C=60°， .△DBC为等边三角形，，点P为DC的中点， (}+(2=6w, .PD=PC=3,PB⊥DC, 在R△PBC中，PB=√BC-PC=3V3, ∴AP+BP=62+32=92; .DC∥AB, ②当AP=BD时，同理可证AP=3√6，BP=6, .∠PBA=∠BPC=90°， AP+BP=6+3/6; ∴.在R△ABP中，AP=√AB2+PB=3√7， ∴.“和谐线”APB的长为3V3+十3√7. 图3 图4 ③当AP=AC时，同理可得AP=3√2，BP=6 图 图2 √2，AP+BP=9V2; (2)“和谐线”APB的长等于3yE。 2a. ④当BP=AC时，如图4，过点C作CE∥BP,交 AB的延长线于点E, 理由如下：如图2，在菱形ABCD中，DC∥AB, ∴.四边形BPCE是平行四边形.∴.CE=BP=AC, ∴.∠CPB=∠PBA, ∴.∠CAE=∠E, 又∠APB=∠C, ∠E=∠ABP,∴∠CAE=∠ABP,'AB=BC, △AP△BCP,能-器-0BP- ∴.∠CAE=∠ACB, CP,AB=安a·a=,B驴=号. 六AAB0△ACB,2-8即AC·A0= AB2=36, E .:AP CD∥BE,∴.△AOBC∽△COP, a AP=Ea,AP+BP=3 2Q, 2a 品器 “和谐线”APB的长为3。 2Q. A0=号AC,AC,号AC=6,得AC=36, (3)“和谐线”APB的长为9√2或6+36. :AB=AB,∠CAE=∠ABP,AC=BP, 由已知得“和谐线”APB中的AP或BP只能与 ∴.△ABP≌△BAC(SAS), 菱形ABCD中较短的对角线相等， ∴.∠BAP=∠ABC, ①当BP=BD时，如图3，过点P作PE⊥AB,交 AB=BC,∠ABC=∠D, AB的延长线于点E,过点B作BF⊥CD于点F, .∠BAP=∠ABC=∠D,NCD∥AB, ∴.∠APD=∠BAP, ∴DF=PF=是=BE,C=, .∠APD=∠D,.AP=AD=6, 在Rt△BCF中，BF=·√BC-CF ∴.AP+BP=AP+AC=6+36. 6-(T-, 综上，“和谐线”APB的长为9√2或6十3√6. 2