15.3.1.1等腰三角形的性质（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦等腰三角形性质，涵盖定义、等边对等角、三线合一等核心知识点。通过剪纸、折纸活动导入，引导学生观察重合线段和角，搭建从直观操作到抽象性质的学习支架，衔接轴对称知识脉络。 其亮点在于以探究活动培养几何直观（数学眼光），通过多种方法证明性质发展推理能力（数学思维），结合中考题与生活情境（如跷跷板问题）提升应用意识（数学语言）。如折纸发现性质，多法证明三线合一，分类讨论题强化逻辑。助力学生提升探究与解题能力，为教师提供系统分层教学资源。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 15.3.1.1等腰三角形的性质 第十五章 轴对称 15.3.1.1 等腰三角形的性质 同步精讲练习题 一、核心知识点精讲 1. 等腰三角形定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形两大核心性质（必考） 性质1：等边对等角 定理内容：等腰三角形的两腰相等，则对应的两个底角相等。 几何语言： ∵ 在△ABC中，AB=AC ∴ ∠B=∠C（等边对等角） 作用：由边相等，推出角相等，是角度计算最常用定理。 性质2：三线合一（超级重点、考试高频） 定理内容：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 几何语言（三种写法通用）： 已知：△ABC中，AB=AC ① 若AD平分∠BAC → AD⊥BC，BD=CD ② 若AD是BC中线 → AD⊥BC，AD平分∠BAC ③ 若AD是BC的高 → AD平分∠BAC，BD=CD 口诀：知一得二，出现一个条件，自动拥有另外两个条件。 3. 等腰三角形对称性 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为：顶角平分线（底边上中线、底边上的高）所在直线，仅有1条对称轴。 4. 角度固定结论 ① 内角和180°：顶角+2×底角=180° ② 底角一定是锐角，等腰三角形最多一个钝角（只能是顶角） 5. 高频易错点（扣分重灾区） ① 三线合一只针对底边和顶角，腰上的高、中线、角平分线不重合； ② “等边对等角”必须在同一个三角形中使用； ③ 求角度无图需分类讨论：已知角是顶角还是底角； ④ 等腰三角形两底角平分线相等、两腰中线相等、两腰高相等。 二、基础练习题 （一）选择题 1. 等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（） A. 50° B. 80° C. 100° D. 130° 2. 等腰三角形三线合一不包括（） A. 顶角平分线 B. 底边上的高 C. 底边上的中线 D. 腰上的高 3. 等腰三角形中，AB=AC，∠B=70°，则∠A为（） A. 40° B. 70° C. 110° D. 20° （二）填空题 4. 等腰三角形________、________、________三线合一。 5. 在△ABC中，AB=AC，∠B=35°，则∠C=________，∠A=________。 6. 等腰三角形是________图形，有________条对称轴。 （三）基础解答题 7. 已知：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：AD平分∠BAC。 8. 已知等腰三角形顶角为80°，求两个底角的度数。 三、能力提升题 9. 已知等腰三角形一个内角为100°，求其余两个角的度数。（分类讨论） 10. 如图，AB=AC，AD⊥BC，BD=4，求BC的长度。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1. B 解析：顶角=180°−2×50°=80°。 2. D 解析：三线合一仅限底边相关线段，腰上的高不重合。 3. A 解析：∠A=180°−70°×2=40°。 （二）填空题 4. 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 5. 35°、110° 6. 轴对称、1 （三）基础解答题 7. 证明：∵AB=AC，AD⊥BC ∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。 8. 解：∵三角形为等腰三角形，顶角=80° ∴ 底角=(180°−80°)÷2=50° 答：两个底角均为50°。 （四）能力提升题解析 9. 解：∵100°为钝角，只能是顶角（底角不能为钝角） ∴ 剩余两角为底角，度数=(180°−100°)÷2=40° 答：其余两个角均为40°。 10. 解：∵AB=AC，AD⊥BC ∴BD=CD=4（三线合一） ∴BC=BD+CD=8。 五、本节满分总结（必背） 1. 边等 → 角等（等边对等角）； 2. 等腰底边三线合一，知一推二； 3. 底角必为锐角，钝角只能是顶角； 4. 无图等腰题型，优先分类讨论防漏解。 通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形，培养学生的动手能力. 通过学生自主探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力. 结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用 导入新课 看到下面三角形了吗，它有何特点呢？ 腰 腰 顶角 底角 底角 底边 我们今天来探讨一下等腰三角形的性质. 导入新课 探究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角. A B C D 重合的线段 重合的角 　 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B与∠C ∠BAD与∠CAD ∠ADB与∠ADC 探究 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想. A B C D 我们可以发现等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)； 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 (简写成“三线合一”). 如何证明？ 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C. A B C 证明：如图，作底边BC的中线AD， 则BD=CD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD (SSS). ∴∠B= ∠C. AB=AC ， BD=CD ， AD=AD ， 这样就证明了“等边对等角”. D 通过上述证明，还能得到什么？ ∵△ABD≌△ACD， 由全等三角形的性质易得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA， 从而AD⊥BC. 这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合还可以如何证明？ A B C D A B C D 这就证明了等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边. 证明：（方法二）如图，作∠A的平分线交BC于点D， 则∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD (SAS). ∴BD=CD，∠BDA=∠CDA. ∴AD⊥BC. AB=AC ， ∠BAD=∠CAD， AD=AD， 证明：（方法三）如图，过点A作AD⊥BC于D， 则∠BDA=∠CDA=90°. 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD. AB=AC ， AD=AD， 这就证明了等腰三角形底边上的高平分顶角并且平分底边. 即证明了等腰三角形“三线合一” A B C D 从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. 例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD. 求△ABC各角的度数. 解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD（等边对等角）. 设∠A=x，则∠BDC= ∠A+∠ABD=2x， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x. A B C D 于是在△ABC中， 有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°. 所以，在△ABC中，∠A=36°∠ABC=∠C=72°. 1. ［2025广安期中］已知 是等腰三角形，若 ，则 的顶角度数是( ) C A. B. C. 或 D. 以上都不正确 （第2题） 2. 如图，，在上截取 ，连 接，当 时， 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 13 （第3题） 3. 如图①是 两名同学玩跷跷板的场景，如 图②是跷跷板示意图，支柱 与地面垂直，是 的中 B A. B. C. D. 点，绕着点上下转动.当端落地时， ，则 跷跷板上下可转动的最大角度 是( ) 返回 中考考法 14 4. ［2025长沙天心区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠 晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色， 迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一 亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”. 如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，， 是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线 的是( ) 中考考法 15 （第4题） A. B. C. D. 与 的周长相等 √ 返回 中考考法 16 5.母题教材P79例1 如图，已知等腰三角形， ， ，若以点为圆心，长为半径画弧，交腰 于 点，连接，则____ . 30 （第5题） 返回 中考考法 17 6. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”.若等腰三角形 是 “倍长三角形”，底边的长为3，则腰 的长为___. 6 中考考法 18 【点拨】 等腰三角形是“倍长三角形”， 或 .若，则 的三边长分别是6，6， 3，符合题意， 腰的长为6；若 ，则 ，则的三边长分别是， ，3， ， 此时不能构成三角形，这种情况不存在. 综上所述，腰 的长是6. 返回 中考考法 19 7.母题教材P86习题 小琳想要证明命题：等 腰三角形两腰上的中线相等.请你将该命题的已 知与求证补充完整，并完成证明过程. 已知：如图，在 中，_________________ ____，，分别为边与 边上的中线， ； 求证： _____________________________________________ ____________________________________________________ 【解】证明：， . 是边上的中线，是 边上的中线， 中考考法 20 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________. ，.又 , . 又 ， . 返回 中考考法 8. ［2025天津和平区期中］如图，已知 是 四边形内一点， , ,则 的大 小是( ) D A. B. C. D. 中考考法 22 【点拨】, , , . . , , .故选 D. 返回 中考考法 23 9. 已知,,分别是等腰三角形 三边的长，且满足 ,若,,均为整数，则这样的等腰三角形 有 ( ) B A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 中考考法 24 10. 如图，在中， ， ，为边 边上的中线， 于点，交于点，过点作 的垂线交于点 .有下列结论： ；； 为 C A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ③④⑤ 的中点；为的中点； .其中正确的 结论为 ( ) 中考考法 25 等腰三角形的性质 三线合一 等腰三角形的两个底角相等. 等边对等角 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合. 等腰三角形是轴对称图形. 对称性 课堂小结 $