14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦用样本估计总体的离散程度参数，涵盖极差、方差、标准差的定义及性质，分层抽样数据的方差计算。通过联系集中趋势参数，结合射击成绩等实例导入，搭建从集中到离散的认知支架，帮助学生理解两者内在联系。 其亮点在于以“数学眼光”观察射击环数、城市房价等现实问题，用“数学思维”推导方差性质及分层抽样公式，借“数学语言”规范计算表达。采用“定义-性质-应用”逻辑，题型含方差计算、分层抽样方差、统计图表综合，题后反思总结步骤，助力学生提升数据分析能力，教师可直接用于教学，提高效率。

第14章　统计 14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解标准差、方差公式的基本性质. 2.通过具体实际问题不断体会集中趋势、离散程度是如何刻画的,以及它们之间的内在联系. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　极差、方差、标准差 1.极差 (1)定义:一组数据的最大值与最小值的差. (2)作用:极差较大,数据点较分散;极差较小,数据点较集中. 2.方差、标准差 (1)方差:一般地,设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为,则称s2=为这个样本的方差,简称样本方差. (2)标准差:方差的算术平方根s=为样本的标准差,简称样本标准差. (3)一般地,若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其方差为 p1(x1-)2+p2(x2-)2+…+pn(xn-)2. (4)标准差(或方差)越小,数据越稳定在平均数附近.当s=0时,每一组样本数据均为. 名师点睛 1.标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.显然,在刻画数据的离散程度上,方差和标准差是一样的.特别地,当方差、标准差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度. 2.方差的性质 ①数据x1,x2,…,xn与数据x1+b,x2+b,…,xn+b的方差相等. ②若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2. ③若x1,x2,…,xn的方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2. 知识点二　分层抽样数据的方差 一般地,如果总体分为k层,第j层抽取的样本为xj1,xj2,…,,第j层的样本量为nj,样本平均数为,样本方差为,j=1,2,…,k.记nj=n,那么,所有数据的样本方差为(xjt-)2=nj[+()2]. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在两组数据中,平均值较大的一组极差较大.(　　) (2)平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据距离平均值的波动大小.(　　) (3)在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高.(　　) × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】方差与标准差的计算及应用 例1 [链接教材例7]甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次,每次命中的环数分别是 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算以上两组数据的平均数. (2)分别求出两组数据的方差. (3)根据计算结果,估计两名战士的射击情况.若要从这两人中选一人参加射击比赛,选谁去合适? 解 (1)(8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7, (6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7. (2)由方差公式s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2],得=3,=1.2. (3),说明甲、乙两战士的平均水平相当. ,说明甲战士射击情况波动比乙大. 因此,乙战士比甲战士射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑,应选择乙参加比赛. 题后反思　1.计算标准差的五个步骤 (1)求出样本数据的平均数. (2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n). (3)求出xi-(i=1,2,…,n)的平方值. (4)求出上一步中n个平方值的平均数,即为样本方差. (5)求出上一步中平均数的算术平方根,即为样本标准差. 2.两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题,先求平均 数,比较一下哪一个更接近标准,若平均数相等,则通过比较两个样本方差的大小作出判断. 跟踪训练1 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表,则这100人成绩的标准差为(　　) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. B. C.3 D. B 解析 ==3, ∴s2=[20×(5-3)2+10×(4-3)2+30×(3-3)2+30×(2-3)2+10×(1-3)2]=, ∴s=,故选B. 【题型二】分层抽样的方差 例 2 [链接教材例8]甲、乙两支田径队的体检结果为甲队体重的平均数为60 kg,方差为200;乙队体重的平均数为70 kg,方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少? 解 由题意可知=60,甲队队员在所有队员中所占权重为, =70,乙队队员在所有队员中所占权重为, 则甲、乙两队全部队员的平均体重60+70=68(kg), 甲、乙两队全部队员的体重的方差 s2=[200+(60-68)2]+[300+(70-68)2]=296. 规律方法　计算分层抽样的方差s2的步骤 (1)确定; (2)确定; (3)应用公式s2=+()2]++()2],计算s2. 跟踪训练2 已知某省二线、三线、四线城市的数量之比为1∶3∶6,今年8月份调查得知该省所有城市房产的均价为1.2万元/平方米,方差为20,二线、三线、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米,1.8万元/平方米,0.8万元/平方米,三线、四线城市房价的方差分别为10,8,则二线城市房价的方差为　　 　　.  118.52 解析 设二线城市的房价的方差为s2,由题意可知20=[s2+(1.2-2.4)2] +[10+(1.2-1.8)2]+[8+(1.2-0.8)2], 解得s2=118.52,即二线城市房价的方差为118.52.故答案为118.52. 【题型三】方差与统计图表的综合问题 例3 甲、乙、丙三名运动员在某次测试中各射击20次,三人测试成绩的频率条形图分别如图1,图2和图3所示,若s甲,s乙,s丙分别表示他们测试成绩的标准差,则(　　) 图1 图2 图3 A.s乙<s甲<s丙 B.s丙<s乙<s甲 C.s乙<s丙<s甲 D.s丙<s甲<s乙 D 解析 甲的平均成绩为(7+8+9+10)×0.25=8.5, 其方差=0.25×[(7-8.5)2+(8-8.5)2+(9-8.5)2+(10-8.5)2]=1.25; 乙的平均成绩为7×0.3+8×0.2+9×0.2+10×0.3=8.5, 其方差=0.3×(7-8.5)2+0.2×(8-8.5)2+0.2×(9-8.5)2+0.3×(10-8.5)2=1.45; 丙的平均成绩为7×0.2+8×0.3+9×0.3+10×0.2=8.5, 其方差=0.2×(7-8.5)2+0.3×(8-8.5)2+0.3×(9-8.5)2+0.2×(10-8.5)2=1.05. 故s丙<s甲<s乙.故选D. 题后反思　先分别求出甲,乙,丙三名运动员射击成绩的平均分,然后根据方差公式求出相应的方差,比较大小可得标准差的大小. 跟踪训练3 (多选题)随着互联网的发展,网上购物几乎成为人们日常生活中不可或缺的一部分,这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站,为了确定驿站规模的大小,他统计了隔壁小区的甲驿站和乙驿站一周的日收件量(单位:件),得到如图所示的折线图, 则下列说法正确的是(　 　) A.甲驿站一周的日收件量的极差小于乙驿站一周的日收件量的极差 B.甲驿站星期三的日收件量小于乙驿站星期六的日收件量 C.甲驿站日收件量的平均值大于乙驿站的日收件量的平均值 D.甲驿站和乙驿站的日收件量的方差分别记为,则 ABC 解析 A选项,甲驿站一周的日收件量的极差为200-130=70,乙驿站一周的日收件量的极差为160-40=120,70<120,故A正确;B选项,甲驿站星期三的日收件量为130,乙驿站星期六的日收件量为160,130<160,故B正确;C选项,甲驿站日收件量的平均值为(160+200+130+150+160+190+180)≈167.14,乙驿站的日收件量的平均值为(50+120+80+40+120+160+120)≈98.57,所以甲驿站日收件量的平均值大于乙驿站的日收件量的平均值,故C正确; D选项,由折线图的波动情况可以看出,甲驿站的数据比较集中,相对平稳,乙驿站的数据比较分散,波动相对较大,所以,故D错误.故选ABC. $