精品解析：江苏连云港市2025-2026学年八年级下学期5月阶段检测数学试题

八年级数学练习 考试时间：100分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二． 【详解】解：A．，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意； B．，根据一定大于0，则一定是二次根式，故此选项符合题意； C．无意义，故此选项不合题意； D．，的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键． 2. 某班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在之间（含70分和90分）的频数是（ ） A. 0.45 B. 16人 C. 18人 D. 20人 【答案】C 【解析】 【分析】利用所有分组的频率和为1，先求出成绩在分之间的频率，再根据频数总人数频率计算结果即可． 【详解】解：∵全班总人数为40，所有分组的频率和为1， ∴成绩在之间的频率为， ∴成绩在之间的频数为（人）． 3. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边的中点，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，对角线，交于点， ∴，， ∵点是边的中点， ∴． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误． 选项B：，而非，故错误． 选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误． 选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确． 故选：D． 5. 新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该车间有名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该车间有名工人，依题意得： ， 故选：C． 6. 已知，则下列判断正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当时，的值为正数 D. 若是整数，则或 【答案】A 【解析】 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 7. 能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式化简与整数解的问题．首先对分式进行因式分解并化简，得到一个更简单的表达式，然后根据整数条件分析分母可能的取值情况，从而确定满足条件的整数的个数．需要注意原分式在时无定义，需排除该情况． 【详解】解：整理得： （）. 设 （ 为整数）， 则 ， ∵ 为整数，∴ 为整数，故 为整数， ∴ 为 2 的约数，即 . 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，; 当 时，，. 所有 均满足 ， ∴ 整数 的值有 4 个. 8. 若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整式的混合运算． 根据整式的值与无关求出，然后得出，，对多项式进行整理得出结果为，根据平方的非负性即可得出最小值． 【详解】解： ∵多项式的值与无关， ∴， 整理得， ∴，则两式相减得， ∵ 当时，取最小值，最小值为3， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 从数学的观点看，成语“竹篮打水”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 【答案】不可能 【解析】 【详解】解：从数学的观点看，成语“竹篮打水”描述的事件一定不会发生，符合不可能事件的定义，因此是不可能事件. 10. 计算的结果是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，直接根据平方差公式计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：13． 11. 若，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 代入和， 得 ． 故答案为：． 12. 若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 13. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14. 式子有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再根据分式有意义的条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得：且. 故答案为：且. 15. 如图，中，若点E是中点，点F在边上，连接，，且．若，，，则 的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点G，连接，在中，，，则，根据，得出，证明，则，证明，在中，求出，在中，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：延长交的延长线于点G，连接， 在中，，， ， ∵， ∴， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ． 16. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察杨辉三角形中每行第3个位置的数，发现是从开始的个连续整数之和，从而得出，进而得到，利用裂项相消法求和即可. 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴    . 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简运算，用到分式基本性质和因式分解的知识点． (1)先将原式化为同分母分式，再合并分子后约分得到结果； (2)按照分式混合运算顺序，先算除法，将除法转化为乘法，因式分解后约分，再计算减法得到最终结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，方程两边再同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； 【小问2详解】 解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验:当时，，即不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 19. 先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 【答案】 ， 【解析】 【分析】按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式， ，，， ，1，2， 将代入得，原式． 20. 某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是__________； （2）在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是__________； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）用喜欢作品的人数除以所占百分比可得答案； （2）求出喜欢作品的百分比，再乘以即可； （3）用总人数分别减去喜欢其它个作品的人数求出喜欢作品的人数，补全统计图即可； （4）先求出喜欢作品的所占的百分比，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：此次问卷调查的学生总人数：（人）． 【小问2详解】 解：“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数为： ． 【小问3详解】 解：喜欢作品的人数为：（人）． 条形统计图如下： 【小问4详解】 解： （人）． 答：估计七年级学生中选择“作品”的人数为． 21. 如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）先证明，再结合即可得证． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， ∴，， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形． 22. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程有增根，求的值； （3）若方程无解，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． 【小问3详解】 解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 23. “彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． （1）求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； （2）超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 【答案】（1）品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元 （2）购进品牌粽子盒时，获得最大利润元 【解析】 【分析】（1）利用“数量相等”的等量关系列分式方程求解进价； （2）建立利润关于品牌数量的一次函数，结合函数增减性和约束条件，求最大利润． 【小问1详解】 解：设品牌粽子每盒进价为元，则品牌粽子每盒进价为元， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解，则， 故品牌粽子每盒进价元，品牌粽子每盒进价元． 【小问2详解】 解：设购进品牌粽子盒，则购进品牌粽子盒，其中， 总利润， 随的增大而减小，则当取最小值时，最大， 故最大利润为：（元）． 24. 因式分解： ． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： （1）因式分解： __________； （2）因式分解： ； （3）求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2） （3） 证明： ， 令 ， 则原式， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方. 【解析】 【小问1详解】 解： 令， 则原式变为， ∴； 【小问2详解】 解：令 ， 则， 故. 【小问3详解】 略 25. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． （1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答； （2）仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； （3）仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【小问1详解】 解：∵，可知， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，可知， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，，可知， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 26. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【小问1详解】 解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习 考试时间：100分钟 试卷满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 某班40名同学参加了4月21日至5月10日期间，国家保密局和司法部举办的网络保密知识竞答活动，其中成绩不足70分出现的频率是0.25，成绩高于90分出现的频率是0.3，则成绩在之间（含70分和90分）的频数是（ ） A. 0.45 B. 16人 C. 18人 D. 20人 3. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点是边的中点，连接．下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列判断正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当时，的值为正数 D. 若是整数，则或 7. 能使分式的值为整数的整数的值有_____个（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 若关于的多项式的值与无关，且，则式子的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 从数学的观点看，成语“竹篮打水”中描述的事件是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件． 10. 计算的结果是_____． 11. 若，，则的值为_________． 12. 若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 13. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 14. 式子有意义，则实数的取值范围是__________． 15. 如图，中，若点E是中点，点F在边上，连接，，且．若，，，则 的长为_______． 16. 杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，，，…，，由图可知，，，，……，则__________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值． 20. 某校举办了校服设计大赛，并从七年级学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，要求每名学生从个获奖作品中选择一个自己最喜欢的作品，根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题： （1）参加此次问卷调查的学生人数是__________； （2）在扇形统计图中，选择“作品”的学生所对应扇形的圆心角的度数是__________； （3）将条形统计图补充完整； （4）若该校七年级学生共有名，请估计七年级学生中选择“作品”的人数． 21. 如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． （1）求证：． （2）判断四边形的形状，并说明理由． 22. 已知关于的分式方程． （1）若方程的增根为，求的值； （2）若方程有增根，求的值； （3）若方程无解，求的值． 23. “彩线轻缠红玉臂，小符斜挂绿云鬓”一年一度的端午节来临前夕，某超市欲购进，两种品牌的粽子，已知购进每盒品牌的粽子比每盒品牌的粽子少元，用元购进品牌粽子和用元购进品牌粽子的数量相同． （1）求，两种品牌粽子每盒进价分别为多少元； （2）超市准备购进两种粽子共盒，且至少购进品牌粽子盒，并将品牌粽子每盒加价元销售，品牌粽子每盒加价元销售，通过计算说明购进品牌粽子多少盒能获得最大利润，并求最大利润． 24. 因式分解： ． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： （1）因式分解： __________； （2）因式分解： ； （3）求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 25. 阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为． 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，求的值； （3）拓展：已知，求的值． 26. 类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； （2）若满足，求的值； （3）受此启发，解方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $