重庆市九校2025-2026学年高一下学期5月期中联考数学试题

高一数学参考答案 1.B 【详解】因为a仍，所以1×4-2x=0,解得x=2,则b=(2,1),故|b1=√22+1=√5. 2.A 【详解名号 (2+i)(1-i)2-2i+i-i23-i 1-2 21 3.B 【详解】对于A,由线面垂直的性质可知，一直线同时垂直于两个平面，则这两平面平行，故A 是真命题； 对于B,直线m可能在平面a内，故B是假命题； 对于C,由面面垂直的判定定理，若一平面包含另一平面的垂线，则两平面垂直，故C是真 命题； 对于D,由线面垂直的性质可知，两直线同时垂直于一个平面，则这两直线平行，故D是真 命题 4.D 【详解】因为圆柱的上底面面积为4π，圆柱的侧面面积为2×2π×5=20π，圆台的下底面面积 为25π，圆台的母线长为√4+(5-2)7=5，所以圆台的侧面面积为π×(2+5)×5=35π，则 该组合体的表面积为4π+20π+25π十35π=84πcm2. 5.C 【详解】由a-2b|=|2a-b1=2,得a2-4a·b+4b2=4,4a2-4a·b+b2=4, 两式相酸得a=b1=1,所以1-a·b十4=4，则ab=子 6.C "sin A sinB,可得a= 【详解】由正弦定理，=b 25 sin B 因为5<B<,且B≠5，所以2月<a<4. 7.A 【详解】在正方体ABCD-A,B,C1D,中，A,D平面CBB,C1, 则平面A,DE与平面CBB,C,的唯一交线与A,D平行. D 取BC的中点F,连接EF,DF, 则四边形ADFE即为经过A1,D,E三点的正方体的截面 在梯形A1DFE中，A,D∥EF,A1D=2√2，EF=2,A1E=DF= √5，所以梯形A,DFE的周长为3√2+2√5. 8.B 【高一数学·参考答案第1页（共5页）】 ·A1· 【详解】取AB的中点M,连接OM,MC.因为平面OAB⊥平面ABC,所 以OM⊥平面ABC, 则MA=MB=MC-1.所以ac=子又Vc=专(SAr+SA +S△oac+S△o),所以r(2+√3)=1，则r=2-√5. 9.ABD 【详解】对于A,根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确： 对于B,棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，其上、下底面平行且相似，侧面均为 四边形，且有一组对边平行，另一组对边不平行，因此侧面都是梯形，故B正确： 对于C,四棱锥是五面体，但五面体不一定是四棱锥，比如三棱柱也是五面体，故C错误； 对于D,当一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和为60°·n<360°，即n<6,故 D正确. 10.AB 【详解时于A,由a>+2,得0sA-+a<0,因为A∈(0，)，所以AE(受， 2bc π)，则△ABC为钝角三角形，故A正确； 对于B,△ABC的内角只能为锐角、直角或钝角，由cos Acos Bcos C>0,可知cosA, cosB,cosC在符号上只能是三正或者两负一正，而三角形中最多只有一个钝角，则三者只 能是三正，即角A,B,C都是锐角，故B正确； 对于C,因为sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B-受，则该三 角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D,y=cosx在(0，π)上单调递减，故D错误. 11.AD 【详解】对于A,连接PQ,A,C1.当Q是D1A,的中点时，因为PQ∥A,C1,AC1MN,所以 PQMN.因为PQ在平面D,MN,MNC平面D,MN,所以PQ/平面D,MN,故A正确. 对于B,连接A,B,CD.因为N,P分别是CC1,CD1的中点，所以 D CD1PN.又因为CD1∥AB,所以A,B∥PN,所以A1,B,N,PA 四点共面，即当Q与点A,重合时，B,N,P,Q四点共面，故B 错误 对于C,连接D,M,D,N,D,B.因为D1M∥BN,所以VpMN Vw=Vn,mN=VnPW=号×号×1X1X2=号，故C错误. 对于D,分别取BB1,DD1的中点E,F,构造长方体MADF-EBCN, 则经过C,M,B,N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球 设所求外接球的直径为2R,则长方体MADF-EBCN的体对角线即为所求的球的直径， 即(2R)2=AB2+BC2+CN2=4+4+1=9,所以经过C,M,B,N四点的球的表面积为 4πR2=9π，故D正确！ 【高一数学·参考答案第2页（共5页）】 ·A1 12.13 【详解】x|=/52+(-12)7=13. 13.(1,1)或(1，-1) 【详解】因为向量a在向量b上的投影向量为6b=aosa,b)合-b。 所以c0sa,6-号，a,b=子，由投影间量的几何卷义得a-(1,D或，-D 14.2 【详解】.(b+c)·(b-c)=b2-c2=0,.∴.|b|=c|,∴.13b-4c|=|3c-4b|,∴.|2a-3c +|3b-4c|=|2a-3c|+|3c-4b1≥|2a-3c+3c-4b|=|2a-4b|=2|a-2b1=2,当且 仅当2a一3c与3c-4b同向时，等号成立. 15.证明：(1)连接BD.在△SBD中，因为E,F分别是SB,SD的中点，所以EF是△SBD的 中位线，则EF∥BD.…2分 同理可得GHBD,… …4分 所以GH∥EF.…5分 (2)设BD∩AC=O,连接SO. 在△SAC中，SA=SC,O是AC的中点，所以SO⊥AC.… …7分 在△SBD中，SB=SD,O是BD的中点，所以SO⊥BD.… H ……9分A G 又AC∩BD=O,且ACC平面ABCD,BDC平面ABCD,所以SO⊥平面ABCD.… …11分 因为SOC平面SAC,所以平面SAC⊥平面ABCD.…13分 16.解：1（方法-油正致定理A的BC-6,可得&一nA-smB. asin B=bsin sin Asin B-sin Bsin B+C 2，…4分 B+C '.sin A-sin2, 2广或A+B+C ..A=B+ 2 =不，…6分 A=或Λ=元（舍去）…7分 (方达二油正孩定理入后C=:可得a=ksinA,6=snB b ∴.asin B=bsin n5士C即mA=nB-snA-s分 2 2 …4分 A ∴.2sin2cos2=cos1 2，…6分 【高一数学·参考答案第3页（共5页）】 ·A1· …7分 (2).a=2,.由余弦定理a2=b2十c2-2 bc cos A,可得b2十c2-bc=4,…9分 ∴.4=b2十c2-bc≥bc,… 11分 当且仅当b=c=2时，等号成立，… …13分 这二bcsin A二灰≤，即△ABC面积的最大值为3，m 4 17.(1)证明：连接BD,PF(图略) ,底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴.△ABD是等边三角形.…2分 又，F是AD的中点，AD⊥PF,AD⊥BF.…4分 又PF∩BF=F,AD⊥平面BPF,…5分 AD⊥PB.…6分 1 (2)E为PC的中点，.VEAn= …………4…4…… 8分 又F是AD的中点Sm-Saw.V- VP-ABCD· 10分 由(1)可知PF⊥AD,.平面PAD⊥平面ABCD, .PF⊥平面ABCD,… 12分 ∴.VE RCE= 4 -SatunXPF-x号X2 S.wXPF--×号9-号 4 3 31 …15分 18.解：(1)由题设OP=2,∠AOP=0,得OM=2cos0,PM=2sin0, S1=OM·PM=2cos0…2sin0=2sin20,…3分 S2=2(2X2sin0+2X2cos0-2X2)=2(sin0+cos0)-2.…6分 (2)(方法一)f(0)=S1+2S2=2sin20+4(sin0+cos0)-4 =42sin(0+F)-2cos(20+5)-4 =4sim(0+牙）+42sin(0+不)-6 -2[2sm(0+)+1]°-8.0<0<受 …11分 :9+晋（晋，3）sm(o+)∈(9]， …14分 则f0)∈(0,4V巨-2]，f(0)=4V巨-2，对应0=不，此时景观点P为弧AB的中点.… …17分 (方法二)f(0)=2sin20+4(sin0+cos0)-4. 令t=sin0+cos0=/2sin(0+开)，则t∈(1，W2], …13分 【高一数学·参考答案第4页（共5页）】 ·A1· ∴.sin20=t2-1,则y=2(t2-1)+4t-4=2t2+4t-6,t∈(1，W2],…15分 ∴当1=巨时，f(0)x=4反-2，对应0=于，此时景观点P为弧AB的中点. …17分 18.解：由题得e-1=as行+im于子+停a=s+血货-一 1√5 .2-=22--1+5,=-1+5 2 w113 2 210 一2+2i…5分(1个1分) 2+21 (2)证明：(1)当≥1时，”= =e=w1即02=三…一w”w1…8分 ωk-1e" ω1ω2 01-2 ∴ωe=w,ω0十w1十w2十…十w-1=1十w1十w}+…十w}-1， 而w1为方程x”-1十x-2+…十x十1=0的根，.1十w1十w十…十w11=0,得证.… ……10分 n (1)当n为偶数时，受为整数.则cos元=c0s登-0，则原式为0 …11分 当n为奇数时，由题可知w1,w,w3,…,w1是方程x”-1十x”-2十…十x十1=0的根， ∴x”-1+x"-2十…十x十1=(x-w1)(x-w)…(x-w1), 令x=-1,x”-1+x”-2+…十x十1=1，.1=(1+w1)(1+w)…(1十w1-1), 两边同时取模，1=|1十w1|·1十w引·…·1十w11.…13分 1+a-2os|1-2ms牙o9…oa 11 n 21-1 …15分 而o)-cas(x）-s, n 即与首末等距离的两项余弦值互为相反数，乘积为负， -[7mgs1]- n n n2r.…·cos n一1)x。1 =1) n ”2-(-1)7 2,得证.…17分 ▣透角回 【高一数学·参考答案第5页（共5页）】 ·A1高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 报 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章。 欧 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知向量a=(4,2),b=(x,1),且a仍，则|b1= A√2 B.√5 C.√5 D.2 毁 2+i 2 A号 B安 封 n号 3.已知m,n为两条不同的直线，a,3为两个不同的平面，下列命题为假命题的是 蠻 A.若m⊥a,m⊥B,则aB B.若m⊥n,n⊥a,则m/a C.若m⊥a,mCB,则a⊥F D.若m⊥a,n⊥a,则m∥n 4.如图，这是某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和 一圆柱组成的，其中O为圆台下底面的圆心，O2,O1分别为圆柱上、下底 面的圆心，经实验测量得到圆柱底面圆的伴径为2cm,O,O2=5cm,OO1 线 =4cm,圆台下底面圆的半径为5cm,则该组合体的表面积为 A.36πcm2 家 B.42 cm2 C.64πcm2 D.84πcm2 5.已知向量a,b满足|a一2b|=|2a一b|=2,且|b|=1,则a·b= A号 c D, 【高一数学第1页（共4页）】 ·A1· 6,在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c若A=号，b=4,满足条件的△ABC有两獬， 则边长a的可能取值为 A.3 B.2√3 C.√/15 D.4 7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1,D,E三点的正 方体的截面周长为 A.3√2+2√5 B.32+√5 C.22+2√5 D.√2+√5 8.在三棱锥O-ABC中，△OAC,△OBC均是边长为√2的等边三角形，当平面OAB⊥平面 ABC时，三棱锥O-ABC内切球的半径为 A.√3-1 B.2-√3 C.√2-1 D.2-√2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的有 A.三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B.棱台的侧面都是梯形 C.因为四棱锥是五面体，所以五面体就是四棱锥 D.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列结论正确的是 A.若a2>b2十c2,则△ABC为钝角三角形 B.若cos Acos Bcos C.>0,则△ABC为锐角三角形 C,若sin2A=sin2B,则△ABC一定是等腰三角形 D.若A<B,则cosA<cosB 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,P分别是AA1,CC1,C1D1的中 点，Q是线段DA1上的动点，则下列说法正确的是 A.存在点Q,使得PQ平面DMN B.不存在点Q,使得B,N,P,Q四点共面 C三棱锥P:MBN的体积为号 D.三棱锥M-BCN外接球的表面积为9π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设i是虚数单位，之=5一12i,则|之|=▲ 13.已知向量a,b满足|a|=√2，b=(1,0),向量a在向量b上的投影向量的坐标为(1,0)， 则a=▲ 14.若向量a,b,c满足|a一2b|=1,(b+c)·(b一c)=0,则|2a一3c|+|3b一4c|的最小值为 【高一数学第2页（共4页）】 ·A1· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 如图，在四棱锥S-ABCD中，E,F,G,H分别是棱SB,SD,AB,AD的中点，且SA=SC, SB=SD. (1)证明：GHEF. (2)证明：平面SAC⊥平面ABCD. 16.(15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B-=bsin2, B+C (1)求A; (2)若a=2,求△ABC面积的最大值./ 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2,PA=PD=√5，且 平面PAD⊥平面ABCD,E,F分别是PC,AD的中点. (1)证明：AD⊥PB. (2)求三棱锥E-BCF的体积. 【高一数学第3页（共4页）】 ·A1· 18.(17分) 重庆市渝东北某规划部门计划在一个半径为2k的扇形滨江公园中打造特色景观，该扇 形的圆心角为直角，OA,OB分别为公园的两条垂直边界道路.现要在弧AB上选取一个景 观节点P,使得∠AOP=0,其中9∈(0，).为提升广场实用性，规划方案如下： 1.过点P向OA,OB分别作垂直步道PM,PN,围出一个矩形OMPN,用于打造亲子游乐 区，记该矩形区域的面积为S1; 2.连接PA,PB,AB,在△PAB区域内打造城市花境景观带，记该三角形区域的面积为S2. 请你尝试帮助规划部门解决以下问题： (1)分别用9表示亲子游乐区面积S:与花境景观带面积S2; (2)若综合考虑游乐区实用性与景观带观赏性，定义综合效益函数f(0)=S1+2S2,求f(8) 的最大值及对应此时景观点P的位置， 欧 19.(17分) 由代数基本定理，给定n(n∈N"),方程x”一1=(x一1)(x-1十xn-2十…十x十1)=0有 n个复数根wk(k=0,1,2,…,n一1)，且w%=cos 2ktisin n n2k红，将0称为n次单位根. 封 (1)求三次单位根，并计算2与的值. 山1 o (2)欧拉公式e=cos0十isin0给出了复数的指数形式，借助欧拉公式进行复数的乘除、求 模运算，可衡化运算过程例如：_。 4吾=e=w1,1+w=2cos7 （1)证明：w0十aw1十w2十…十wn-1=0(k≥1). 0,n为偶数， （1)证明：cos牙·cos经cos红-1Dx )岁 其中n≥2. n 2m-1一，n为奇数， 线 【高一数学第4页（共4页）】 ·A1