精品解析：河南新乡县第一中学等学校2025-2026学年高一下学期素养测评(一) 数学试题

2025—2026学年高一下学期素养测评（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，， 所以. 2. 下列命题错误的是（ ） A. 若向量与向量都是单位向量，则 B. 若向量，则与是平行向量 C. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若与都是单位向量，则，故A正确； 对于B，因为，所以且向量与向量方向相同，即与是平行向量，故B正确； 对于C，若点与重合，则，这与题设向量与不相等矛盾，故C正确； 对于D，向量是既有大小又有方向的量，则两个向量不能比较大小，故D错误.故选D. 3. 已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算以及共线关系即可求解. 【详解】若A，B，C三点共线，则向量与共线. 因为，， 由于与共线，所以，化简得，解得. 4. 如图，分别是的边，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可结合选项逐一求解. 【详解】因为分别是的边，，的中点， 所以，，即，且，所以四边形是平行四边形. 由向量加法的三角形法则，得，； 由向量加法的平行四边形法则，得，，故A，B，D错误，C正确. 5. 已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律以及二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意，在边长为4的正方形中，. 设，，则. 因为， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 6. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由汽车实际行驶方向应与两岸垂直，结合向量加法的平行四边形法则，即可求解. 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 7. 已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得三点共线，即可得到垂直平分，所以，由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】因为，又因为，所以三点共线， 又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分， 又已知，所以， 又因为，所以由余弦定理有， 又，所以， 所以， 即的面积为. 故选：C 8. 已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（ ） A. B. 若与不垂直，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由定义得与共线，与共线，所以，故A错误. 对于B，不妨取，，，则，所以. 因为，所以， 故，故B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，若，则，即. 因为为非零向量，所以，所以或当时，，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在向量上的投影向量的模为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，当时，，解得，故B正确； 对于C，若，向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的模为 ，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误. 10. 若，是平面内两个不共线的非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面内的任一向量，使得的实数，都有无数多对 C. 若向量与共线，存在唯一实数，使得 D. 若实数，使得，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，以及共线向量的表示与判断，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由是平面内的一个基底， 所以对平面内的任一向量，都存在唯一的实数对，，使得， 所以可以表示平面内的所有向量，故A正确. 对于B，平面内的任一向量，使得的实数，有且只有1对，故B错误. 对于C，当且时， 则任意实数，都使得，此时不唯一，故C错误. 对于D，若实数，使得，假设，则， 即，共线，矛盾，所以，同理，故D正确.故选AD. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理，可判断A的正误；根据数量积公式，可得，分析可判断B的正误；根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可判断C的正误；根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】对于A，在中，若，则. 由正弦定理，得，故，故A错误. 对于B，由向量数量积的定义，得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故B错误. 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为， 又，则， 所以，所以. 因为为锐角三角形，所以，所以. 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数_____. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据坐标运算求得，，再根据向量垂直关系求解即可. 【详解】因为，， 所以，. 因为， 所以，解得. 所以 13. 已知的面积为，角，，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 因为，所以， 所以， 即，所以.① 又因为的面积为，角，所以，得. 由余弦定理，得.② 联立①②解，得，所以，即. 14. 设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，由向量的线性运算可得，又因为整理可得，由此得到的最小值为. 【详解】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，满足，且，，. （1）求向量与的夹角. （2）是否存在实数，使与垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）因为，所以可变形得到，两边同时取平方，可求出即可由数量积定义公式求解； （2）先列出，再结合向量数量积的运算律展开，代入已知模长和（1）中求得的数量积，即可求解 【小问1详解】 ∵，∴，∴， ∴，即， ∴. 又∵，所以，即. 又，所以. 【小问2详解】 若，则，即. ∴，∴， ∴存在使得与垂直. 16. 在锐角中，，，分别是角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角转化，再借助切化弦，正弦两角和公式，三角形内角和定理可化简求值； （2）利用内角和定理来消元，再利用辅助角公式，结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 在中，因为，所以， 由已知可得：  ， 再由正弦定理可得：，因此原等式变形为：  ， 因为中，，约去后可得：， 又是锐角三角形内角，故； 【小问2详解】 由可得：，即， 代入得： ， 又因为是锐角三角形，所以，则，即， 因为在上的取值范围是，所以， 即的取值范围为. 17. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． （1）求大学与站的距离； （2）求铁路段的长度． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可； （2）利用正弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，，且，， 由余弦定理得， ． 所以，即大学与站的距离为． 【小问2详解】 因为，且为锐角， 所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 由题意知，所以， 所以，因为， 所以，， 所以， 又， 所以， 在中，， 由正弦定理得，， 即，所以， 即铁路段的长为． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角形内角和定理，将角C用A、B表示，然后通过三角恒等变换化简等式，进而求出角A （2）利用三角形面积公式求出边c的长度，将的面积拆分为和的面积之和，结合三角形面积公式建立关于AE的方程求解 （3）先求出，再用b和c分别表示和，最后将转化为，计算求解即可 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 又因为， 所以. 因为，所以，则， 即. 由，得，解得. 又因为，所以. 【小问2详解】 由，，得. 又因为，所以. 因为角A的平分线交边于点E，所以. 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 在中，由余弦定理，得， 由边上的中线，又因为， 两边平方得， 则，即， 解得， 令边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 得，， ， ， 所以. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年高一下学期素养测评（一） 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题错误的是（ ） A. 若向量与向量都是单位向量，则 B. 若向量，则与是平行向量 C. 若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D. 若，则 3. 已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 如图，分别是的边，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正方形的边长为4，点E在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min） A. B. C. 6 D. 12 7. 已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为的中点，且，则的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 已知平面内的非零向量，，定义运算：.对平面内任意非零向量，，，则（ ） A. B. 若与不垂直，则 C. D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量在向量上的投影向量的模为 D. 若，则 10. 若，是平面内两个不共线的非零向量，则下列命题正确的是（ ） A. 可以表示平面内的所有向量 B. 对于平面内的任一向量，使得的实数，都有无数多对 C. 若向量与共线，存在唯一实数，使得 D. 若实数，使得，则 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则实数_____. 13. 已知的面积为，角，，则_____. 14. 设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，满足，且，，. （1）求向量与的夹角. （2）是否存在实数，使与垂直?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 16. 在锐角中，，，分别是角，，的对边，． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 17. 如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． （1）求大学与站的距离； （2）求铁路段的长度． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $