6.2等差数列课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦等差数列专题，依据高考评价体系梳理了定义、通项公式、前n项和公式及性质等核心考点，通过真题与模拟题分析明确基本量运算占45%、判定证明占25%、前n项和最值占30%的考查权重，归纳三大常考题型。 课件亮点在于“真题典例+变式训练+方法总结”的备考策略，以2022全国甲卷前n项和最值题为例，详解函数法与通项公式法，培养学生运算能力与模型意识。特设易错点分析与答题模板，助力学生掌握解题技巧，教师可据此高效指导复习。

6.2 等差数列 返回目录 知识清单 知识点1　等差数列的定义及有关概念 定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等 于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数 叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,符号表示为an-an -1=d(n≥2,n∈N*,d为常数)或an+1-an=d(n∈N*,d为常数) 等差 中项 若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,即 A=  通项 公式 an=a1+(n-1)d; 推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*) 前n项 和公式 Sn= 或Sn=na1+ d 返回目录 知识点2　等差数列的性质 项的有 关性质 (1)若{an}是等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.特别地,若k+l=2m,则ak+al=2am. (2)若{an}是公差为d的等差数列,则数列ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)也是等差数列,公差为md. (3)若{an}是公差为d的等差数列,则{c+an},{c·an},{akn},{an+an+k}(c为常数,k∈N*)也是等差数列. (4)若数列{an},{bn}是项数相同的等差数列,则{pan+qbn}(p,q为常数)也是等差数列 前n项 和的有 关性质 若等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等差数列{bn}的前n项和为Tn,则: (1)数列 是公差为 的等差数列. (2)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是等差数列,公差为n2d. (3) =  返回目录 奇偶项 的有关 性质 若非零等差数列{an}的奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则: (1)当n为偶数2m(m∈N*)时,S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md, = . (2)当n为奇数2m-1(m∈N*)时,S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶= (m-1)am,S奇-S偶=am, =  函数 特性 (1)若d>0,则等差数列{an}是递增数列,若d<0,则等差数列{an}是递减数列,若d=0,则等差数列{an}是常数列. (2)数列{an}的通项公式为an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}是等差数列. (3)数列{an}的前n项和公式为Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔数列{an}是等差数列 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列. ( ) (2)若{an}是等差数列,则对任意n∈N*都有2an+1=an+an+2. ( ) (3)已知数列{an}的通项公式为an=3n+5,则数列{an}的公差与直线y=3x+5的斜率相等. ( ) (4)等差数列的前n项和一定是项数n的二次函数. ( )     ✕     √         √         ✕     返回目录 2.{an}是首项a1=4,公差d=2的等差数列,如果an=2 020,那么n= ( ) A.1 009　　    B.1 012　　    C.1 008　　    D.1 010     A     返回目录 3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=_________.     5     返回目录 4.在等差数列{an}中,若a3+a7=10,a6=7,则数列{an}的通项公式为an=_________,前n项和为 Sn=_____________.     n2-4n         2n-5     返回目录 5.(易错题)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时,Sn取得最大 值,则d的取值范围为_________. 返回目录 考点清单 考点1　等差数列及其前n项和 角度1　等差数列基本量的运算 典例1    (2025届湖南长沙六校大联考,3)等差数列{an}(n∈N*)中,a2=10,a7-a4=2a1,则a7=  ( ) A.40　　    B.30　　    C.20　　    D.10     B     解析　设等差数列{an}(n∈N*)的公差为d,由a7-a4=2a1,得3d=2a1, 由a2=10,得a1+d=a1+ a1=10,解得a1=6,d=4, 所以a7=a1+6d=6+24=30.故选B. 返回目录 方法总结　等差数列基本量运算的常见类型 1.求公差d或项数n.在求解时,一般要运用方程思想. 2.求通项.a1和d是等差数列的两个基本元素. 3.求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解. 4.求前n项和.利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解. 返回目录 变式训练 1.(设问条件变式)(2025届广东七校联考,3)在等差数列{an}中,已知a1=-9,a3+a5=-9,a2n-1 =9,则n= ( ) A.7　　    B.8　　    C.9　　    D.10     A     解析　设等差数列{an}的公差为d,由a1=-9,a3+a5=2a1+6d=-9,得d= ,所以a2n-1=-9+(2n-2)×  =9,故n=7. 返回目录 角度2　等差数列的判定与证明 典例2    (2021全国甲文,18,12分)记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列 { }是等差数列.证明:{an}是等差数列. 返回目录 证明　设等差数列{ }的公差为d, 由题意得 = , = = =2 ,则d= - =2 - = , 所以 = +(n-1) =n , 所以Sn=n2a1①, 当n≥2时,有Sn-1=(n-1)2a1②. 由①-②,得an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1③, 经检验,当n=1时也满足③. 所以an=(2n-1)a1,n∈N*, 当n≥2时,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)·a1=2a1,所以数列{an}是首项为a1,公差为2a1的等差数列. 返回目录 方法总结　等差数列判定与证明的方法 定义法 对于任意自然数n(n≥2),an-an-1为同一常数⇔{an}是等差 数列 等差中项法 2an-1=an+an-2(n≥3,且n∈N*)成立⇔{an}是等差数列 通项公式法 an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等 差数列 前n项和公式法 Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是 等差数列 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1, =an+1- n2-n- ,n∈N*. (1)求a2,a3的值; (2)求证: 为等差数列. 返回目录 解析    (1)数列{an}中, =an+1- n2-n- ,n∈N*, 当n=1时,2a1=2S1=a2- -1- =a2-2,而a1=1,则a2=4,当n=2时,S2=a3-4,所以a3=S2+4=a1+a2+4=9. (2)证明:由 =an+1- n2-n- ,得2Sn=nan+1- n3-n2- n=nan+1- ,当n≥2时,2Sn-1=(n- 1)an- ,两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),即nan+1=(n+1)an+n(n+1),整理得  - =1,而 - =1,故数列 是首项为 =1,公差为1的等差数列. 返回目录 角度3　等差数列的前n项和最值 典例3    (2022全国甲,理17,文18,12分)记Sn为数列{an}的前n项和.已知 +n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列; (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. 解析    (1)证明:由已知条件 +n=2an+1可得,2Sn=2nan+n-n2①, 当n≥2时,由①可得2Sn-1=2(n-1)·an-1+(n-1)-(n-1)2②,由an=Sn-Sn-1及①-②可得,(2n-2)an-(2n- 2)an-1=2n-2,n≥2,且n∈N*,即an-an-1=1,因此{an}是等差数列,公差为1. (2)∵a4,a7,a9成等比数列,且{an}是以1为公差的等差数列, ∴(a1+3×1)(a1+8×1)=(a1+6×1)2, 返回目录 即(a1+3)(a1+8)=(a1+6)2,解得a1=-12. 解法一　数列{an}是首项为-12,公差为1的等差数列, ∴Sn=n×(-12)+ ×1= ,∴当n=12或n=13时,Sn取最小值,为 =-78. 解法二    an=-12+(n-1)×1=n-13, 当n≤12且n∈N*时,an<0;当n=13时,an=0;当n≥14且n∈N*时,an>0. ∴当n=12或n=13时,Sn取最小值,为-12×12+ ×1=-78. 返回目录 方法总结　求等差数列前n项和Sn最值的2种方法 1.函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次 函数最值的方法求解. 2.通项公式法:(1)若a1>0,d<0,则满足 的项数m使得Sn取得最大值Sm; (2)若a1<0,d>0,则满足 的项数m使得Sn取得最小值Sm. 返回目录 变式训练 3.(函数法)(2025届广西南宁三模,6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a5=2,a3+a8=12- a7,则Sn的最小值为 ( ) A.-14　　    B.- 　　    C.-12　　    D.-10     C     解析　设等差数列{an}的公差为d,由a3+a8=12-a7得a3+a7=12-a8,则2a5=12-(a5+3d)=12-a5-3 d, 所以3d=12-3a5=12-6=6,所以d=2,故an=a5+(n-5)d=2n-8, 则Sn= = =n(n-7)= - , 则(Sn)min=S3=S4=-12.故选C. 返回目录 4.(通项公式法)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a3+a10>0,S11<0,则数列 {Sn}中最小的项是 ( ) A.S4　　    B.S5　　    C.S6　　    D.S7     C     解析　因为S11= =11a6<0,所以a6<0, 因为a6+a7=a3+a10>0,所以a7>0, 所以公差d=a7-a6>0, 故当n≤6时,an<0,当n≥7时,an>0, 所以当n=6时,Sn取得最小值,即{Sn}中最小的项是S6.故选C. 返回目录 考点2　等差数列的性质 角度1　项的性质 典例4　已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),且a3+a8+a13=2π,则cos(a7+a9)= ( ) A.- 　　    B.- 　　    C. 　　    D.      B     解析　由2an+1=an+an+2(n∈N*)知数列{an}是等差数列,所以a3+a8+a13=3a8=2π,所以a8= , 所以cos(a7+a9)=cos(2a8)=cos =- . 返回目录 变式训练 5.(设问条件变式)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25= ( ) A. 　　    B.145　　    C. 　　    D.175     D     解析　∵2a11=a9+a13=a9+7,∴a13=7, ∴S25= =25a13=175.故选D. 返回目录 角度2　和的性质 典例5　已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 = ,则 =( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　     D.      D     解析     = = =  = ,故选D. × 返回目录 典例6    (2025届浙江省强基联盟联考,5)已知等差数列{an}的前n项和为Sn, - =2,a1= 1,则a4= ( ) A.4　　    B.5　　     C.6　　    D.7     D     解析　设等差数列{an}的公差为d,则 是公差为 的等差数列.又 - =d=2,a1=1, ∴an=2n-1,∴a4=7,故选D. 返回目录 变式训练 6.(关键元素变式)已知等差数列{an}满足am-1+am+1- =0(m>1),且前2m-1项和S2m-1=38, 则m=__________.     10     解析　因为am-1+am+1- =0(m>1),所以2am- =0,解得am=0或2, 又S2m-1=38= =(2m-1)am,所以am不能等于0,只能等于2, 所以2m-1=19,解得m=10. 返回目录 7.(情境模型变式)(2024届湖北武汉外国语学校校考,14)设等差数列{an},{bn}的前n 项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*,都有 = ,则 + =_________. 解析     + = + = = = ,  = = = = = .故 + = . 返回目录 $