第2章 分式 习题课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“分式的概念及基本性质”，通过分式识别、有意义条件等实例导入，衔接整式知识，构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步理解分式核心内容。 其亮点在于题型梯度分明，结合洞庭湖江豚估算等实际情境、伴随分式新定义及分式不等式拓展，培养数学眼光、推理意识和模型意识，助力学生提升应用能力，教师可高效开展分层教学。

第2章 分式 2.4 整数指数幂 2.4.3 整数指数幂的基本性质 1 1. ［衡阳期末］运算结果为 的是( ) B A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 返回 D 3 基础提优题 3 基础提优题 返回 基础提优题 返回 6．[张家界市期中]一个正方体盲盒的棱长为0.4 m，若有一个小立方块的棱长为1×10－3 m，则要将此盲盒装满需要小立方块的个数为________．(用科学记数法表示) 4×107 基础提优题 6 返回 7. 一个数学九宫格中，当处 于同一横行，同一竖列，同一对角线上的3 个数之积都相等时，称这个九宫格为“积的 九宫归位”.在如图的九宫格中，已填写了一 【点拨】由题意得,即 ,即 ,所以,所以 . 些数或式子，为了完成“积的九宫归位”，则 的值为____. 基础提优题 7 8. 已知a＝2－4 444，b＝3－3 333，c＝5－2 222，请用“＜”把a，b，c连接起来：__________． b＜c＜a 综合应用题 8 9. 我们把正整数指数幂的运算扩充到整数指数幂的运算，同样，我们也可把整数指数幂的运算扩充到分数指数幂的运算． 对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s都是有理数)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s都是有理数)； ③(ab)r＝ar·br(a＞0，b＞0，r是有理数)． 综合应用题 9 请运用分数指数幂的性质计算下列各式(式子中的字母均是 正数)： （1） ； 【解】 . 综合应用题 10 （2） . . 返回 综合应用题 11 10.已知,,如果,,试探究 , 之间的关系，并求出当时 的值. 【解】①, , ,得,所以 . ,得,所以 . 因为 , 所以,所以 . 把代入,得,所以 . 返回 综合应用题 12 3.已知5a＝m，2a＝n，则用m，n表示10－2a正确的是(　　) A．mn B．m2n2 C. D. 4．(1)若2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则x－y＝________． (2)若10－2α＝3，10－β＝，则106α＋2β＝________． 5．计算： (1)(m－3n)－2·(2m－2n－3)－2； (2)·(－a2b－1)3÷(a－1b2)－4； 【解】原式＝m6n－2·2－2m4n6＝m6＋4n－2＋6＝m10n4. 【解】原式＝·[－(a2)3(b－1)3]÷[(a－1)－4(b2)－4]＝－4a－4b－8·a6b－3÷a4b－8＝－4a－2b－3＝－. (3). 【解】原式＝x－2y－3·(－2)－2x6y2÷(2－1x2y－3)＝·x－2＋6－2·y－3＋2－(－3)＝x2y2. 【点拨】因为a＝2－4 444＝，b＝3－3 333＝，c＝5－2 222＝，>>，所以＜＜.所以b＜c＜a. $第2章 分式 2.4 整数指数幂 2.4.2 零次幂和负整数指数幂 1 返回 D －1 基础提优题 2 返回 3. 若有意义，则 的取值范围是( ) C A. B. C. 且 D. 或 基础提优题 3 返回 B 125 9 基础提优题 4 返回 【解】原式＝4＋3＋1－1＝7. 基础提优题 5 返回 7．[河南省中考]通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000 074”用科学记数法表示为(　　) A．0.74×10－4 B．7.4×10－4 C．7.4×10－5 D．74×10－6 C 基础提优题 6 A 返回 基础提优题 7 返回 9. 备受瞩目的嫦娥六号上升器携带着宝贵的月球样品，从月球背面成功起飞，并顺利进入预定的环月轨道．这一壮举是世界航天历史上的又一个里程碑，实现了首次从月球背面采样并起飞．返回器在接近大气层时，飞行1 m大约需要8.93×10－5 s．数据8.93×10－5表示的原数为__________． 基础提优题 8 返回 10．“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的质量大约为1 g，用科学记数法表示1粒粟的质量约为____________g. 5×10－3　 基础提优题 9 返回 11．[上海松江区期中]水由氢和氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，一个氢原子的质量约为1.674×10－27 kg，一个氧原子的质量约为2.656×10－26 kg.用科学记数法表示的数2.656×10－26的小数点与左起第一个非零数字之间有________个0. 25 基础提优题 10 B 12．已知a＝1.2×10－2，b＝1.2×10－3，则表示数a，b的点在数轴上的位置大致是(　　) 返回 综合应用题 11 返回 13．我们都知道，先看见闪电后听见雷声，如果光在空气中的传播速度为3×108 m/s，而声音在空气中的传播速度大约只有300 m/s，则声音的传播速度约是光传播速度的(　　) A．10－4 B．10－6　 C．10－8 D．10－10 B 综合应用题 12 返回 3或1或－1 【点拨】因为a>a－3，所以a※(a－3)＝aa－3＝1，则a＝1或a＝－1或a－3＝0，所以a＝1或a＝－1或a＝3. 综合应用题 13 15.（1）观察下列各式： ; ; ; . 由此可猜想： ____________； ____________. （2）上面各式表明：在中，， 除了可以 表示正整数外，还可以表示____________. 零和负整数 综合应用题 14 返回 . . 综合应用题 15 综合应用题 16 返回 综合应用题 17.已知是大于1的实数，且有, 成立. （1）若,求 的值； 【解】因为，, , 所以,所以 . 所以 . 创新拓展题 18 （2）当,且是整数时，比较 与 的大小. 因为,且是整数 ， 所以,即 . 易知, , 创新拓展题 19 所以,所以 ,所以 ,即 , 所以,所以 ,所以 .所以当 时，;当时，; 当 时， . 返回 创新拓展题 20 1．[邵阳市期中]下列运算正确的是(　　) A．(2m－1)0＝1 B．00＝0 C．a0＝1 D．(a2＋1)0＝1 2．计算：|－2|＋(π－1)0－＝________． 4．我们知道21＝2，22＝4，…，210＝1 024，那么2－30接近于(　　) A．10－10 B．10－9 C．10－8 D．10－7 5．(1)若102a＝25，3b＝，则(10－a)b＝________． (2)若a－p＝，且a，p为整数，则满足条件的所有a值的和为________ . 6．计算： (1)()2＋|－3|＋(π－3.14)0＋(－1)2 027； (2)÷－＋3－1. 【解】原式＝÷－1＋＝1－1＋＝. 8．已知1纳米＝10－9米，将纳米用科学记数法表示为a×10n米的形式，则a，n的值分别为(　　) A．2.5，－10 B．2.5，－9 C．2.5，－8 D．4，－10 14.已知实数a，b，定义运算：a※b＝，若a※(a－3)＝1，则a的值为_____________． (3)利用上面的结论计算： ① 33÷3－7＝________； ②÷＝________． 16.已知a(a≠0)为有理数，试比较，，的大小． 【解】＝a，＝1，＝. 分以下几种情况讨论：①当a<－1时，－1<<0，所以<<.②当a＝－1时，＝－1，所以＝<.③当－1<a<0时，<－1，所以<<. ④当0<a<1时，>1，所以<<. ⑤当a＝1时，＝1，所以＝＝. ⑥当a>1时，<1，所以<<. $第2章 分式 2.4 整数指数幂 2.4.1 同底数幂的除法 1 1．[长沙市开福区模拟]下列计算错误的有( ) ； ； ； . C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 2.若,则 ___. 2 基础提优题 2 3. 掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关系为E＝k×101.5n(其中k为大于0的常数)，那么震级为6级的地震所释放的能量是震级为4级的地震所释放能量的________倍． 103 返回 基础提优题 3 4. 计算： （1） ; 【解】 . （2） ; 基础提优题 4 返回 (3)(p－q)4÷[(p－q)3]2·(q－p)5. 【解】(p－q)4÷[(p－q)3]2·(q－p)5＝－(p－q)4÷(p－q)6·(p－q)5＝－(p－q)4－6＋5＝－(p－q)3. 基础提优题 5 A 基础提优题 6 返回 6．[衡阳市期末]已知，，则 的值是___. 基础提优题 7 7. 计算 的值为( ) C A. B. C. D. 8.如果,那么 ____. 16 返回 综合应用题 8 9.如图，在甲、乙、丙三个袋中分别装有球 29个、29个、5个，先从甲袋中取出 个球 放入乙袋，再从乙袋中取出 个球放 入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放入甲袋， 此时三个袋中球的个数相同，则 的值等 于___. 2 综合应用题 9 【点拨】最后甲、乙、丙三个袋中球的个数 分别为 , , .因为一共有 （个）球，且最后三个袋 中球的个数相同，所以最后三个袋中的球都是21个，所以 ,,所以, ,所以 . 返回 综合应用题 10 10. 如果，那么称为 的“拉格数”， 记为，由定义可知：.例如，因为 ， 所以.若, ，则 ___. 4 返回 综合应用题 11 11. 老师给学生留了一道课后拓展题：已知 ,求, 的值. 子研同学对此题进行了如下解答： 解：因为等式左边 ,等式右边 , 所以,,解得, . 请你阅读上述解题过程，解决下列这道题： 已知,求, 的值. 创新拓展题 12 【解】因为等式左边 ,等式右边 ,所以,,解得 , . 返回 创新拓展题 13 【解】＝－(xy)8－3＝－(xy)5＝－x5y5. 5．已知3x－2＝m(x＞2)，则用含m的代数式表示3x正确的是(　　) A．9m B．6m C．m＋2 D. $第2章 分式 2.2 分式的加法和减法 第1课时 同分母分式的加法和减法 1 1. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一 部分，则被盖住的是( ) D A. B. C. 2 D. 1 返回 2. 已知， ，其中 ，则， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. 不能确定 基础提优题 2 3. 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础提优题 3 返回 1 基础提优题 4 5.计算. （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 基础提优题 返回 6. 若是非负整数，则表示 的 值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是( ) B A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段①或段②上 综合应用题 6 7.已知实数，满足，则 ___. 1 返回 综合应用题 7 8.如果，，是正数，且满足 ， 的值为_______. 3 综合应用题 8 返回 综合应用题 综合应用题 10 综合应用题 11 返回 综合应用题 12 4．若x＝2＋y，则＋＝________． 【点拨】因为ab＝1，所以原式＝＋＝＋＝＝1. 【点拨】因为a＋b＋c＝1，所以a＝1－b－c，b＝1－a－c，c＝1－a－b.因为＋＋＝6， 所以＋＋＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋－3＝6－3＝3. 9.观察下列式子，并探索它们的规律： ＝＝＋＝1＋； ＝＝＋＝2＋. (1)根据以上规律填空： ＝3＋________.＝a＋________． (2)求分式(x≥0)的最小值． 【解】＝＝2－，求原式的最小值，就是求的最大值．因为x≥0，所以当x＝0时，取最大值6，所以2－的最小值为2－6＝－4.所以(x≥0)的最小值为－4. (3)已知x为整数，直接写出能使分式的值为整数的所有x值的和． 【解】能使分式的值为整数的所有x值的和为－4. $第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1 1. 下列关于的式子：； ； ；； .是分式方程的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 解分式方程 的步骤：①方 程两边同时乘最简公分母 ;②得整式方程 ; ③解得x＝1；④故x＝1是原方程的解． 其中有误的一步为(　　) B A. ① B. ② C. ③ D. ④ 返回 基础提优题 2 返回 3. 如图，点, 在数轴上，它们所表示的数 分别是,,且点到原点的距离是点 到原点的距离的2倍， 则 ____. 基础提优题 3 4.已知分式 ，为常数满足下表中的信息，则 的值为___. 的取值 4 16 分式的值 不存在 0 0.1 基础提优题 【点拨】因为当时，分式 无意义，所以 ，所以.因为当 时，分式 ，所以，所以.所以 ， ，解得，经检验， 是分式方程 的解.所以 . 返回 基础提优题 5 （2） ; 原方程化为 ，方程两边同乘 ，得 ，解得 .检验:当时，，所以 不是 原分式方程的解.所以原分式方程无解. 5. 解下列方程： 基础提优题 6 返回 【解】方程两边同乘x(x－1)，得5x－3(x－1)＝x＋5，解得x＝2.检验：把x＝2代入x(x－1)＝2≠0，即x＝2是原分式方程的解． 基础提优题 7 返回 A 基础提优题 8 D 返回 基础提优题 9 返回 8.若关于的分式方程 的解比分式方程 的解大2，则 的值为__. 基础提优题 10 返回 －6 1.5或－6 －1或－6或1.5 基础提优题 11 返回 B 综合应用题 12 返回 0 综合应用题 13 综合应用题 14 综合应用题 15 综合应用题 16 综合应用题 17 综合应用题 18 返回 综合应用题 19 13.[北京市西城区模拟]新定义：如果两个实数, 使得 关于的分式方程的解是 成立，那么我们就 把实数,组成的数对称为关于的分式方程 的 一个“关联数对”. 例如：,使得关于的分式方程 的解是 成立，所以数对就是关于 的分式方 程 的一个“关联数对”. 创新拓展题 20 （1）判断下列数对是否为关于的分式方程 的“关 联数对”,若是，请在括号内打“√”,若不是，打“×”. ( ); ( ). × √ （2）若数对是关于的分式方程 的“关联 数对”,则 的值为___. 4 【点拨】由题知, ， 所以,解得 . 创新拓展题 21 （3）若数对,且,是关于 的分 式方程的“关联数对”,且关于 的方程 有整数解，求整数 的值. 由题知, , 所以,解得 . 创新拓展题 22 将代入 ,得 , 解得 . 因为关于的方程有整数解， 为整数, 所以或,解得或或1或 . 因为,且,,所以或 . 返回 创新拓展题 23 (2)－＝. 6.小明在解关于x的分式方程＝－2时，发现墨水把一个数污染了，翻看答案上说此方程无解，则被污染的数为(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 7．若关于x的方程－2＝的解为正数，则m的取值范围是(　　) A．m＝－ B．m< C．m>－且m≠0 D．m<且m≠ 9．已知关于x的方程＋＝. (1)若方程的增根为x＝1，则m的值为________； (2)若方程有增根，则m的值为____________； (3)若方程无解，则m的值为___________________． 10.[眉山市中考]若关于x的不等式组 至少有两个正整数解，且关于x的分式方程＝2－的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为(　　) A．8 B．14 C．18 D．38 11.当a≠b时，定义一种新运算：F(a，b)＝例：F(3，1)＝＝1，F(－1，4)＝＝.若F(m，2)－F(2，m)＝1，则m的值为________． 12.[邵阳市竞赛]关于x的方程x＋＝c＋的解是x＝c或x＝；x＋＝c＋的解是x＝c或x＝；x＋＝c＋的解是x＝c或x＝；…. (1)请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x＋＝m＋(m≠0，n≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么(直接写出答案)，并利用“方程的解”的概念进行验证． 【解】关于x的方程x＋＝m＋(m≠0，n≠0)的解是x＝m或x＝. 验证：当x＝m时，左边＝m＋，右边＝m＋，左边＝右边，所以x＝m是方程的解． 当x＝时，左边＝＋＝＋m，右边＝m＋，左边＝右边， 所以x＝是方程的解． 所以关于x的方程x＋＝m＋(m≠0，n≠0)的解是x＝m或x＝. (2)请利用(1)中结论解方程： ①y3＋＝； 【解】因为y3＋＝＝8＋，所以y3＝8或y3＝，所以y＝2或y＝.经检验，y＝2或y＝是原分式方程的解． ②x－＝a－(a≠3)； 【解】x－＝a－(a≠3)，(x－3)＋＝(a－3)＋，所以x－3＝a－3或x－3＝，解得x＝a或x＝.经检验，x＝a或x＝是原分式方程的解． ③x＋＝(a≠0)． 【解】因为x＋＝，所以3x＋＝，所以3x＋＝a＋2＋，所以(3x－2)＋＝a＋，解得x＝或x＝.经检验，x＝或x＝是原分式方程的解． $第2章 分式 2.2 分式的加法和减法 第2课时 异分母分式的加法和减法 1 返回 C 基础提优题 2 返回 基础提优题 3 基础提优题 4 返回 基础提优题 5 A 基础提优题 返回 基础提优题 返回 5. 已知，则 的值为 ( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 C 基础提优题 8 返回 6. 为节约用水，提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b t，现在这些水可多用4天，则现在每天比原来少用水________t. 基础提优题 9 7. 小刚在化简时，把整式 抄错了，得到的化简 结果是，他在核对时发现所抄写的比原来的大 ，则 原式的化简结果是___________. 返回 基础提优题 10 12 返回 基础提优题 11 基础提优题 12 基础提优题 13 返回 基础提优题 14 10. 已知实数，， 满足 ，且，则 的 值为( ) A A. 12 B. 14 C. D. 9 综合应用题 15 【点拨】因为 ，所以 ，即 .所以 .又 因为，所以 .所以 ． 返回 综合应用题 16 综合应用题 17 12. 对于两个正数和 有三种平均数，算术 平均数、几何平均数、调和平均数,其中 , .调和平均数 中的“调和”二字来自于音乐.毕达哥拉 斯学派通过研究发现，如果三根琴弦的长度,, 满足 ，再把它们绷得一样紧，并用同样的力弹拨琴 弦，它们将会分别发出很调和的乐声.我们称,, 为一组调 和数，把称为和的调和平均数.若,,则 的值为 _ _. 综合应用题 18 返回 综合应用题 ＝ 返回 综合应用题 20 综合应用题 21 综合应用题 22 综合应用题 综合应用题 24 综合应用题 创新拓展题 26 1 3 综合应用题 27 综合应用题 28 综合应用题 返回 综合应用题 1．下列各选项中说法错误的是(　　) A.与的最简公分母是6x B.与的最简公分母是3a2b3c C.与的最简公分母是ab(x－y)·(y－x) D.与的最简公分母是m2－n2 2.已知分式与－(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为10xy3，则＝_________. ±或± 3．[张家界市期末]写出最简公分母并通分： (1)x＋y，；　 【解】最简公分母为x－y，则x＋y＝＝，＝. (2)，，. 【解】最简公分母是2(a＋2)(a－2)，则＝，＝＝－，＝＝. 4．若x>y>0，a是正数，则－的值是(　　) A．正数 B．负数 C．0 D．无法判断 【点拨】－＝＝＝. 因为x>y>0，a是正数，所以分子a(x－y)>0，分母x(x＋a)>0，所以>0，即－的值是正数． 8．若＋＋为整数，则所有符合条件的整数x的值的和为________． 9．计算： (1)＋－； 【解】原式＝＋－＝. (2)－＋； 【解】原式＝＋＋ ＝＝＝. (3)＋. 【解】原式＝＋＝＋＝＝＝. 11.计算：＋＋＋＝ ______________． 【点拨】因为A＝＝3，所以p＋q＝6.因为G＝＝2，所以pq＝4.因为－＝－，所以＋＝，即＝.所以＝.所以H＝. 13. [上海四校自主招生]已知三个非零实数a，b，c，满足＋＋＝，比较大小：＋＋________(填“＞”“＜”或“＝”)． 14.观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： ＝1－，＝－，＝－，＝－…… (1)猜想(n＞1，且n为正整数)＝___________； － (2)计算：＋＋＋…＋； ＋＋＋…＋ ＝＋－＋－＋…＋－＝＋－－－…－－＝. (3)若|ab－3|＋|b－1|＝0，求＋＋＋＋…＋的值． 因为|ab－3|＋|b－1|＝0，所以ab－3＝0，b－1＝0，解得a＝3，b＝1.＋＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝＋×＋×＋×＋…＋×＝＋×(－＋－＋－＋…＋－)＝＋×＝. 15.[衡阳市模拟]我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：＝＝＋＝＋. (1)将分式分解的结果为_________________________________； (2)若可以分式分解为＋(其中m，p，q是常数)，则p＝______，q＝______； ＋ (3)当x>1时，判断与的大小关系． 【解】－＝＋－ ＝＋－ ＝＋－＝＋－－ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝＋ ＝－. 因为x>1，所以(x＋1)(x－1)>0，x2>1， 所以＋>0， 所以－<0， 所以－<0，所以<. $第2章 分式 2.1 分式的概念及基本性质 第1课时 认识分式 1 1．[长沙市雨花区期末]下列各式：,,,, , 中，属于分式的有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 B 基础提优题 2 返回 D 基础提优题 3 返回 4.对于分式,当时分式的值不存在，则 的 值为________. 基础提优题 4 5. 取何值时，下列分式的值存在？ （1） ; 【解】要使的值存在，则,解得 . （2） ; 要使的值存在，则,解得 . 基础提优题 5 返回 基础提优题 6 返回 6. 下列关于分式的判断，正确的是( ) D A. 当时， 的值为0 B. 当时， 的值一定存在 C. 无论为何值， 的值不可能是整数 D. 无论为何值， 的值总为正数 基础提优题 7 返回 C 基础提优题 8 2 返回 基础提优题 9 返回 9.洞庭湖湿地是以长江江豚为代表的许多珍稀野生动植物的栖息地．为了估算洞庭湖区域江豚的数量，科研人员先捕捉了m只江豚，给它们做上标记后放回湖中．待标记江豚完全融入群体后，再次捕捉到n只江豚，发现其中有k只带有标记．则估计这个地区长江江豚的总数约为________只． 综合应用题 10 10．一个圆柱形容器的容积为6立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度到达容器高度的一半后，改用一根口径为小水管口径2倍的大水管注水直至注满容器，设小水管每小时注水v立方米，则上述过程中，小水管注水所用时间为________小时，大水管注水所用时间为________小时． 返回 综合应用题 11. 绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水 吨，现改用喷 灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水 的吨数是( ) A A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 返回 综合应用题 12 12. 若三角形三边长分别为,, ,且分式 的值为0,则此三角形一定是( ) B A. 不等边三角形 B. 腰与底边不等的等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 综合应用题 13 【点拨】依题意得且 ,整 理得且,解得或且 ,故 该三角形是腰与底边不等的等腰三角形. 返回 综合应用题 14 13. 对于分式，我们把分式 叫 作的伴随分式.若分式，分式是 的伴随分式， 分式是的伴随分式，分式是 的伴随分式，以此类推， 则分式 等于( ) A A. B. C. D. 综合应用题 15 返回 综合应用题 16 14. 已知无论取何实数，分式 的 值都存在，求 的取值范围. 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开. 解： =… 综合应用题 17 （1）请将小明对此题的解题过程补充完整； 【解】 . 因为，无论取何实数，分式 的值都存 在，所以只要 ，即可满足题意， 所以 . 综合应用题 18 （2）利用小明的思路，解决下列问题：无论 取何实数，分 式的值都存在，求 的取值范围. 由（1）可知 . 因为，无论取何实数，分式 的值都存 在，所以只要，即可满足题意，所以 . 返回 综合应用题 19 创新拓展题 20 创新拓展题 21 返回 创新拓展题 2．若是分式，则□可能是(　　) A．π B．y C. D．0.125 3．使分式有意义的x应满足的条件是(　　) A．x≠0 B．x≠(a≠0) C．x≠0或x≠(a≠0) D．x≠0且x≠(a≠0) 　(3). 要使的值存在，则x2＋1≠0. 因为x2＋1≥1，所以x为任意数，的值都存在． 7.下表给出了分式的部分信息，其中x1＜x2＜0＜x3，y2＜0，则下列说法正确的是(　　) x的值 … x1 x2 0 x3 … 的值 … y1 无意义 y2 y3 … A.0＜n＜m B．n＜m＜0 C．n＜0＜m D．m＜0＜n 8.若a，b为实数，且＝0，则3a－b的值为________． 【点拨】因为P1＝，所以P2＝＝.所以P3＝＝.所以P4＝＝.所以P5＝＝.所以P6＝＝，….由此可发现P5＝P1，P6＝P2，….所以每4个分式为一个循环．因为2 026÷4＝506……2，所以P2 026＝P2＝. 15.阅读下面材料，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：>0；<0等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为： (a)若a>0，b>0，则>0，若a<0，b<0，则>0； (b)若a>0，b<0，则<0，若a<0，b>0，则<0. 问题： (1)①若>0，则或________； ②若<0，则________或________； (2)根据上述规律，求分式不等式<0的解集． 【解】原不等式可转化为或 解第一个不等式组，得该不等式组无解， 解第二个不等式组，得－2<x<1. 所以原不等式的解集是－2<x<1. $第2章 分式 2.5 可化为一元一次方程的分式方程 第2课时 分式方程的应用 1 返回 B 2 2.神舟二十二号飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲、乙两组被分配了4 800个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的1.5倍，整个生产任务共用32天完成，则乙组每天能生产________个专用控制元件． 135 3 返回 5 返回 如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需________小时． 6 7 返回 5. 国庆期间，小明和小李两家打算自驾去 某地游玩.制定行走路线时，发现有两种方案供选择，详见下表. 日常情况 方案一：走国道 方案二：走高速公路 路程 全程63千米 全程108千米 优缺点分 析 距离短，路上货车较 多，影响速度，比方案 二晚到10分钟 距离长，速度快，平均 速度是方案一平均速度 的2倍 9 （1）求日常情况下方案一需要的时间. 【解】设日常情况下方案一需要的时间为 小时，则日常情 况下方案二需要的时间为 小时， 根据题意，得，解得 . 经检验， 是所列方程的解，且符合题意. 答：日常情况下方案一需要的时间为 小时. 10 （2）国庆期间规定货车白天不能走国道，小明家预判没有 货车的影响走国道会更快，于是决定走国道；小李家仍选择 走高速.同时出发20分钟后，他们发现小李家比小明家多走了 14千米，小明家在不违章的情况下，平均车速达到每小时60 千米以上.请问以此速度，在不考虑其他因素影响的情况下， 哪家能先到达目的地？请说明理由. 11 小明家先到达目的地.理由如下： 设小明家的平均车速为 千米/时，则小李家的平均车速为 千米/时，所以小明家需要的时间为 小时， 小李家需要的时间为 小时. . 由题知 ，所以 . 12 又因为，所以 . 所以.所以 . 所以小明家先到达目的地. 返回 6. [“希望杯”邀请赛]在一条平直公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以恒定的速度沿着公路向山壁驶去． (1)若汽车的行驶速度是30米/秒，在距离山壁925米处汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？ 【解】设经过t秒后司机听到回声，则30t＋340t＝2×925，解得t＝5. 答：经过5秒后司机听到回声． 14 (2)某一时刻，汽车第一次鸣笛，经过4.5秒再次鸣笛．若司机听到两次鸣笛的回声的时间间隔是4秒，求汽车的行驶速度．(已知声音在空气中的传播速度是340米/秒) 【解】设汽车行驶的速度为v米/秒，两次鸣笛后分别经过t1，t2秒后听到回声，在第一次鸣笛的时刻与山壁的距离为s米， 15 返回 7. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6 210文能买多少株椽？设6 210文购买椽的数量为x株，则可列方程为(　　) 17 A. B. C. D. √ 返回 18 【点拨】设乙组单独完成此项工程需要 天，依题意，得 ,解得,经检验， 是原分式方程的解， 且符合题意，所以乙组单独完成此项工程需要的天数比甲组 少 （天）.故选B. 返回 8. 【问题背景】为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高20%； 20 素材二：用18 000元购买种书架的数量比用9 000元购买 种书架的数量多6个； 素材三：种书架的数量不少于种书架数量的 ． 【问题解决】 （1）求出, 两种书架的单价； 【解】设种书架的单价为元，则 种书架的单价为 , 则，解得 ， 经检验， 是所列方程的根，且符合题意， 所以 ． 所以,两种书架的单价分别为1 200元， 元． 22 （2）设购买个种书架，购买总费用为元，求 （用含 的代数式表示），并求出费用最少时的购买方案； 购买个 种书架时，购买总费用为 ， 由题意得，，解得 ． 易知当时，的值最小，此时购买种书架 （个）.所以费用最少时购买种书架8个， 种书架12个． 23 （3）实际购买时，商家调整了书架的价格， 种书 架每个降价元，种书架每个涨价 元，按问题二的购买 方案需花费21 120元，求 的值． 由题意得 ， 解得 ． 返回 24 1.《北京市中小学人工智能教育地方课程纲要(试行)(2025年版)》指出，从2025年秋季学期开始，全市中小学校开展人工智能通识教育，每学年不少于8课时，实现中小学生全面普及．为了响应号召，刘老师决定利用AI研发的两个模型R1和R2设计一节通识课．已知R2单独设计的时间比R1少3小时，若两模型合作设计，仅需2小时即可完成．设R2单独设计需要x小时，则下列方程正确的是(　　) A.＋＝2 B.＋＝C.＋＝2 D.＋＝ 【点拨】设甲组每天能生产x个专用控制元件，则乙组每天能生产1.5x个专用控制元件，根据题意可列方程为＋＝32，解得x＝90，经检验，x＝90是所列分式方程的解，且符合题意，所以乙组每天能生产1.5×90＝135(个)专用控制元件． 3.[郴州市期中]甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任务．已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下： 甲说：我的工作效率＝乙的工作效率－； 乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等： 丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的；丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率．我知道工程问题中三者关系是工作效率×工作时间＝工作总量． 4.长株潭城际铁路是湖南省境内一条连接长沙、株洲、湘潭的城际铁路．铁路建成后，从长沙到株洲的铁路运行里程由原来的70 km缩短至60 km，城际铁路设计的平均时速要比原来的平均时速快110 km，运行时间是原来时间的.则该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为 ________h. 【点拨】设该城际铁路建成前在长沙和株洲两地运行的时间为x h．根据题意，得－＝110，解得x＝，经检验，x＝是原分式方程的解，且符合题意，所以x＝×＝，所以该城际铁路建成后在长沙和株洲两地之间的运行时间为h. 则解得因为两次鸣笛的回声的时间间隔是4秒，所以(t2＋4.5)－t1＝4，所以－＝4，解得v＝20. 经检验，v＝20是原方程的解，且符合题意． 答：汽车的行驶速度是20米/秒． $第2章 分式 2.3 分式的乘法和除法 第2课时 分式的乘方 1 返回 B 基础提优题 2 2. 计算与 的结果可知，它们( ) C A. 相等 B. 互为倒数 C. 互为相反数 D. 以上都不对 基础提优题 返回 4. 若，则 为( ) B A. B. C. D. 3. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 基础提优题 4 返回 5.若式子的值为负数，则 的取值范 围是____________. 【点拨】原式 .因为原式的 值为负数，所以或解得 .当 时原式有意义，故的取值范围是 . 基础提优题 5 6.计算. （1） ； 【解】原式 . （2） ； 基础提优题 6 （3） . 原式 . 返回 基础提优题 7 7.已知 ,求 的值为______. 返回 基础提优题 8 8.观察下列各式 ; ; ; …… （1）根据你发现的规律填空： _______; 基础提优题 9 （2）设 ,利用数学的整体思想，分解因式： m7＋m6＋m5＋m4＋m3＋m2＋m＋1＝__________________； (m＋1)(m2＋1)(m4＋1) 【点拨】由（1）可得 .因为 , 创新拓展题 10 所以 . 创新拓展题 11 （3）已知 , ,,,都是正整数，且 ,先化简，再求值： . 由（2）知 , 当 时，有 创新拓展题 12 . 因为 , 所以 . 又因为,,,都是正整数，且 , 所以,,, . .当 , ,, 时， 原式 . 返回 创新拓展题 1．下列计算中，错误的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝(n为正整数) 【解】原式＝··＝＝. $第2章 分式 2.1 分式的概念及基本性质 第2课时 分式的基本性质 1 1. 下列各式从左到右的变形正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 基础提优题 2 B 基础提优题 返回 3.如果成立，则 的取值范围是______. 基础提优题 4 4.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号： （1） ______; （2） ____; （3） ____; （4） ____. 返回 基础提优题 5 返回 基础提优题 6 返回 C 基础提优题 7 返回 D 基础提优题 8 返回 8. 当，时，求分式 的值. 【解】原式 ， 当，时，原式 . 基础提优题 9 返回 D 综合应用题 10 返回 C 综合应用题 11 返回 11. 若把分式的， 同时扩大到原来的5倍，则分式的值 也扩大到原来的5倍，则“ ”可以是( ) B A. 5 B. C. D. 综合应用题 12 返回 12. 若，且，， 满足方程组 则 的值为( ) D A. B. C. D. 1 综合应用题 13 返回 13.如图所示，图①是一个边长为 的正方形剪去一个边长为1 的小正方形，图②是一个边长为 的正方形，若图①， 图②中阴影部分的面积分别为,，则 可化简为____. 综合应用题 14 返回 14.关于的不等式组 恰有两个整数解， 且的值为正整数，则整数 的值为___. 5 综合应用题 15 ② 综合应用题 16 综合应用题 综合应用题 4 返回 综合应用题 19 综合应用题 返回 综合应用题 0 综合应用题 22 返回 综合应用题 综合应用题 24 返回 综合应用题 18. 阅读材料： 例：已知，求代数式 的值. 解：因为，所以 ， 即.所以 . （1）请继续完成上面问题的求值过程； 【解】把两边分别平方，得 ,即 ,所以 . 创新拓展题 26 （2）请依照上述方法解决问题：已知，求 的值. 因为,所以,即 . 整理得，两边分别平方，得 ， 即，所以 . 所以原式 . 返回 创新拓展题 27 2．[长沙市开福区模拟]如果把分式中的x，y都扩大为原来的10倍，那么分式的值(　　) A．缩小为原来的 B．缩小为原来的 C．不变 D．扩大为原来的10倍 5.不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为____________________． 6．[衡阳市期中]若分式可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是(　　) A．1 B．x C．－x D．4 7．[徐州市期末]下列分式约分正确的是(　　) A.＝a＋b B.＝3 C.＝ D.＝－1 9．下列各式中最简分式是(　　) A.　 B. C.　 D. 10.若是一个最简分式，则△可以是(　　) A．x2 B．2x C．x D．2 15.[岳阳市期末]如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中是“和谐分式”的是________(填序号)； 【点拨】(1)①的分子和分母都不能分解因式，不是“和谐分式”；②＝，分母可以分解因式，分子不可以分解因式，且不能约分，是“和谐分式”； ③＝＝，分母可以分解因式，分子不可以分解因式，能约分，不是“和谐分式”；④＝＝,分母不可以分解因式,分子可以分解因式,能约分,不是“和谐分式”．综上，只有②是“和谐分式”． (2)若a为正整数，且为“和谐分式”，则a的值为________； (3)从m2－n2，m2＋2mn＋n2，m－n三个整式中，任意选择两个整式构造分式，分别作为分子、分母，要求构造的分式是“和谐分式”，直接写出所有的结果： _________________________________________． ， 【点拨】(2)因为为“和谐分式”且a为正整数，所以x2＋ax＋4可以分解因式，且分解的因式中不能含有x＋1.当a＝4时，x2＋ax＋4＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2，符合题意；当a＝5时，x2＋ax＋4＝x2＋5x＋4＝(x＋1)(x＋4)，不符合题意．综上所述，a的值为4. (3)因为m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m2＋2mn＋n2＝(m＋n)2，所以多项式m2－n2与多项式m2＋2mn＋n2和m－n都有公因式，所以多项式m2－n2不能作为分母或者分子，所以组成的“和谐分式”有，. 16. [西安交大附中少年班自主招生]已知a＋b＋c＋d＝0，abcd＞0，则＋＋＋＝_____． 【点拨】因为a＋b＋c＋d＝0，所以b＋c＋d＝－a，a＋c＋d＝－b，a＋b＋d＝－c，a＋b＋c＝－d，所以＋＋＋＝＋＋＋＝－. 因为abcd＞0，所以a，b，c，d要么都是正数，要么都是负数，要么两负两正．又因为a＋b＋c＋d＝0，所以a，b，c，d两正两负，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，d＜0，所以－(＋＋＋)＝－(1＋1－1－1)＝0. 17.已知＝2(xy≠0)，求分式的值． 【解】方法1：因为＝2，所以y－x＝2xy， 所以x－y＝－2xy，所以原式＝＝＝＝－. 方法2：因为xy≠0，所以将分式的分子、分母同时除以xy得，原式＝＝.　 因为＝2，所以－＝2，所以－＝－2，所以原式＝＝－. $第2章 分式 2.3 分式的乘法和除法 第1课时 分式的乘法和除法 1 1. 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 返回 2. 若分式“”可以进行约分化简，则“ ”不可以是 ( ) B A. 1 B. 2 C. 4 D. 基础提优题 2 4 基础提优题 返回 【解】选取， 两个式子相乘， .当 时，原式 .（答案不唯一） 基础提优题 4 5. 代数式的值为，当为整数时，整数 的值 有( ) B A. 0个 B. 7个 C. 8个 D. 无数个 【点拨】 .因 为为整数，且为整数，所以或或或 ， 所以或1或4或0或6或或10或.又因为 且 ，所以且.所以 或1或4或0或6或 或10，共有7个. 返回 基础提优题 5 返回 6. 在计算时，把运算符号“ ”看 成了“-”，得到的计算结果是，则 的结果为 ____. 基础提优题 6 7. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业时，发现有一道填空 题破了一个洞（如图所示）， 表示破损的部分,则破损部 分的式子可能是( ) A A. B. C. D. 基础提优题 1 基础提优题 8 返回 基础提优题 基础提优题 10 基础提优题 11 返回 基础提优题 12 B 综合应用题 13 基础提优题 返回 基础提优题 14 综合应用题 16 返回 基础提优题 返回 综合应用题 18 13.如图，A玉米试验田是半径为 的圆去掉 宽为 的环形出水沟后剩下的部分，B玉米 试验田是半径为的圆中间去掉半径为 （1）哪块试验田的单位面积产量高? 的圆后剩下的部分，两块试验田的玉米都收了 . 综合应用题 19 【解】A玉米试验田的面积是 , 单位面积产量是 ;B玉米试验田 的面积是 ,单位面积产量是 .因为 ,所以 ,所以 .所 以A玉米试验田的单位面积产量高. 综合应用题 20 （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍? 因为 , 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍. 返回 综合应用题 21 14. 在学习了分式的乘除之后，老师出了这 样一道题，计算： ,同学们都感到无 从下手，小明将变形为 ,然后用平方差公式很 轻松地得出了结论.你知道他是怎么做的吗？ 综合应用题 22 【解】原式 . 返回 综合应用题 23 15.（1）计算： _______， _________； （2）上面的计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式， 请用含, 的字母表示：______________________________； 创新拓展题 24 （3）能用你发现的乘法公式计算的是( ) A A. B. C. D. 创新拓展题 25 （4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简式子 . 【解】 . 返回 创新拓展题 26 3.已知m－n＝2，则代数式·的值是________． 4.请从①，②，③中选取两个式子相乘并化简，再从－1，1，2中选择合适的数代入求值． 8.若a，b互为倒数，则代数式÷的值为________． 【点拨】方法1：÷＝÷＝·＝ab.因为a，b互为倒数，所以ab＝1.所以原式＝1. 方法2：因为a，b互为倒数，所以＝b，＝a，所以÷＝÷(b＋a)＝·＝1. 9．计算： (1)＋÷； 【解】原式＝－·＝－·＝－＝. (2)÷·； 【解】原式＝÷· ＝·· ＝. (3)÷. 【解】原式＝÷＝[－]÷＝·＝·＝＝. 10.任何两个物体之间都存在互相吸引的力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力为F＝(G为常数)．人站在地球表面所受到的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R.地球的半径约为木星半径的，地球的质量约为木星质量的，则站在地球表面的人所受到的重力约是他站在木星表面所受到的重力的(　　) A. B. C．25倍 D．4倍 【点拨】设木星的质量为M，这个人的质量为m，则地球的质量约为M.因为地球的半径约为木星半径的，所以木星的半径约为11R，所以这个人站在地球表面所受到的重力为F地＝＝，站在木星表面所受到的重力为F木＝＝， 所以站在地球表面的人所受到的重力约是他站在木星表面所受到的重力的＝·＝≈. 11.如图，将长、宽分别为a，b的四个长方形硬纸片拼成一个带“孔”的正方形，已知拼成的大正方形的面积为49，中间小正方形的面积为1，则(a4－b4)÷÷(6a－6b)的值为________． 【点拨】由题意得，(a＋b)2＝49，(a－b)2＝1，a＞b＞0，所以(a＋b)2－(a－b)2＝48，a＋b＝7.所以a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2＝48.所以ab＝12.所以原式＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)··＝＝＝14. 12.已知代数式·，若b＝a＋2，且b≥2，则代数式的最小值为________． － $