山东潍坊市2026届高三下学期5月高考模拟考试数学试题

试卷类型：A 潍坊市高考模拟考试 数 学 2026.5 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知复数(a+i)(1-i)为纯虚数，i为虚数单位，则实数a= A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合.若P(√5，-1)为α终边上一 点，则m(a+受)= A-号 B c号 D. 2 3.设集合A=|xlx2+2x+a=0},则“A=⑦”的一个必要不充分条件是 A.a<0 B.a<1 C.a>0 D.a>1 4.已知甲、乙两班在某次数学测验中的成绩近似服从正态分布，其中甲班成绩X~(山1，)， 乙班成绩Y~N(h,),其密度曲线如图所示，则 A.w1<W2且1<02 Y的密度曲线 B山1>h且01>02 C.P(X≤)>P(Y≥) X的密度曲线 D.P(X≥2)<P(Y≥4，) 5.已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1(a>0,b>0)上有两点关于直线x+2y-2=0对称，则 +片的最小值为 e A.22 B.3 C.4 D.8 高三数学试题第1页（共4页） 6.上海大剧院的建筑顶部采用两边反翘的白色弧形设计，寓意“天圆地方”，其可抽象为 一个上、下底面均为扇环形的柱体.现有一扇环形柱体如图，AA,⊥底面ABCD,AA,=2, 底面扇环所对的圆，心角为，D的长度是BC长度的2倍，CD=1, 则直线A,D1与BC,所成角的余弦值为 A.27 B.② 7 7 c D. 7 [e*-x,x>0, 7.已知函数)={-父，x≤0， 则f(x)-f(2x-1)≥0的解集为 A(←0,2打 B.(-∞，1] C[2,+) D.[1,+o) &已知双由线c号-苦-1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为，品，输线E:2=4y的 焦点为F,若C的右支与E交于A,B两点，△BF,F2的面积是△AF,F2面积的3倍， BF3 △ABR,与△ABF,的周长之差为d,则 A.1 c D号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9已知随机事件A,B满足P(A)=子，P(B)=子，P(AB)=弓，则 A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互独立 CP(BIA)=号 D.P(A+B)=名 10.已知函数f(x)=esincosx,则 A.f(x)的最小正周期为2π Bx+受)为奇函数 Cx)在(-号，号)上单调递增 D.f(x)在[0,2π]上恰有2个极值点 高三数学试题第2页（共4页） 1L.在四棱锥E-ABCD中，EC⊥底面ABCD,动点E满足D=AC死，0≤A≤1，底面ABCD 为矩形，G为AB的中点，CG⊥DG,CD=CE=2,则 A.GC⊥GF B.二面角G-PC-D正切值的最小值为号 .GF与平面D2交点的轨迹长度为23 D,当A=号时，四棱锥E-ABCD与三棱锥P-CDG的公共部分的体积为8 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分。 12.若(1+x)”展开式的各项系数和为32，则x2项的系数为 一·（用数字作答) 13.已知△ABC为直角三角形，LB=牙，AB=BC=1,应=E元，D为线段BC上的动点，设 B2在A心上的投影向量为A品，则入的最小值为 l4.对于正整数n(n≥3)，若存在k∈N',使得C-',C,C"成等差数列，则称n为理想 数.已知7为理想数，当n=7时，k= ；不超过2026的理想数的个数为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 高尔顿在研究人类身高遗传问题时，首次引人“回归”一词现随机调查了5对父子的 身高，统计数据如下表所示 编 号 A B C D E 父亲身高(xcm) 174 170 172 168 176 儿子成年后身高(ycm） 176 172 174 170 173 (1)已知变量x与y线性相关，求出y关于x的回归直线方程； (2)现从这5名儿子中随机抽取2名对其身高进行分析，求抽到的2个数据的残差之 和恰好为0的概率 参考公式：回归直线-i+8,6.盛5到0- ,a=y-bx 高三数学试题第3页（共4页） 16.(15分) 已知数列{an}中，a1=1,向量p=(-1,an1-),9=(n+1,1),且p1 (1)求{an1的通项公式； (2)设向量c,=(分0)，d=(1,品)，求数列1cd的前n项和5 17.(15分) 记锐角△ABC的内角4，B,C的对边分别为a,6c,已知562sinA+7b=a(+1), B=号 (1)求b; (2)设∠ABC的角平分线BD与边AC交于点D. （i)证明：BD=3ac. a+c (ⅱ)求BD的取值范围. 18.(17分) 已知函数fx)=血(x+12 (1)当入=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若x)>-乏+A对xe(0,+o)恒成立，求入的取值范围； (3)证明：】 径-)c2n(m+1),neN. 19.(17分) 若从四面体的各顶点向对面所作的四条高线交于一点，则称该四面体为垂心四面体. (1)在长方体A,B,C,D,-A2B2C2D2中，找出一个垂心四面体（垂心四面体的顶点与 该长方体的顶点重合)，无需证明； (2)证明：四面体ABCD是垂心四面体的充要条件是三组对棱互相垂直，即AB上CD, AC⊥BD,AD⊥BC; (3)已知椭圆E:等+Y=1,直线y=c-2与E交于M,N两点，E所在平面外一点P 到x轴和y轴的距离相等，O为坐标原点，且四面体PMNO是垂心四面体，求k的值， 高三数学试题第4页（共4页） 高三数学参考答案及评分标准 2026.5 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1-4 ADCD 5-8 CBBC 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9.BCD 10.ABD 11.ACD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.10 1-方 14.2或5 43 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15.解：(1)由题意知， 三(174+170+172+168+176)三172， 1分 方=写（176+172+174+170+173)=173，…. 2分 列表得， 174 170 172 168 176 y 176 172 174 170 173 x-x 2 -2 0 -4 4 y-y 3 -1 -3 0 (x-x)(y-y) 6 2 0 12 0 (x-)2 4 4 0 16 16 所以∑(x:-x)(y:-习)=6+2+0+12+0=20， i=l 、2(-2=4+4+0+16+16=40, 5分 所以6-盈女~动，7 20-1 402 6分 (-习 à=y-dm=173-3×172=87, 7分 所以y关于x的回归直线方程为y=2x+87. 8分 (2)由(1)知， 174 170 172 168 176 y 176 172 174 170 173 …10分 y 174 172 173 171 175 残差y- 2 0 -2 设事件A:抽到的2个数据的残差之和恰好为0， 则P(A)= 所以抽到的2个数据的残差之和恰好为0的概率为了 …13分 16.解：(1)因为p⊥9，所以p·9=0,… 2分 即-(n+1)+an+1-an=0, 所以an+1-an=n+1,… 4分 an-an-l=n,…,a2-a1=2, 将这n-1个式子两边分别相加得，an-a,=2+3+…+n,… 6分 因为a,=1,所以a,=1+2+…+n=nn,+1(n≥2)， 2 因为a1=1,符合上式，所以a,=n+1 7分 2 (2)根据题意得， 6=(d=12, 9分 令bn=cn·dn, n2+(a+)=2(分-n)+(a+1),…11分 2 所以bn=cn·dn=。 所以8.=6+b++6,=2-方+分-方+…+分+2+3+…+(a+10》, nn+l …l3分 所以S。=2n+n(n+3) n+1 2 15分 17.解：(1)因为56sinM+2b=a(6+1), inBsinatbsin=sin(+D. 3分 所以2b=b2+1, 所以b=1. 5分 设g(x)=ln(Ax+1)+)2一Ax,即证g(x)>0恒成立，… 5分 所以g()=文+-A=-E 6分 λx+1 由题意知，入≥0， 当入=0时，g(x)=之2，显然成立，… 7分 当A>1时，令g()=0则名=0,4，=>0， 入 则g()在(0，)上单调递减，在(2，+0)上单调递增， 所以g(人)<g0)=0,不符合题意.… 8分 当0<入≤1时，g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0,…9分 综上，0≤入≤1.…10分 (3)取A=1,由(2)知，ln(1+x)>x-x 2x(x>0）▣ 11分 取x=日，i=1,2,…m, 则1ln(1+八>月-722i=l,2,…,n,ao。1 13分 将上述n个式子相加得， n(n+1)>含（宁-2壶） 15分 所以宫（径-京）<2n(n+). 17分 19.解：(1)四面体A2A,B,D1.（答案不唯一）… …3分 (2)先证明必要性：若该四面体为垂心四面体，即四条 高线交于点H. 因为AH⊥平面BCD,所以AH⊥CD, 因为BH⊥平面ACD,所以BH⊥CD, 所以CD⊥平面ABH,故CD⊥AB,…4分 同理可证AD⊥BC,AC⊥BD.…5分 再证充分性：对棱互相垂直的四面体是垂心四面体. 作AH1⊥平面BCD,垂足为H,则CD⊥AH1,已知CD⊥AB,故CD⊥平面ABH1, …6分 延长BH,交CD于E,在平面ABE内作BH2⊥AE,垂足为H2, 设AH1∩BH2=H, 已知CD⊥平面ABH,,BH2C平面ABH, 所以BH2⊥CD,故BH2⊥平面ACD,… 7分 此时两条高线AH,和BH,已交于点H, 连接CH,因为BD⊥AH1,BD⊥AC, 所以BD⊥平面ACH,因为CHC平面ACH1,所以CH⊥BD, 因为AD⊥BH2,AD⊥BC,所以AD⊥平面BCH2, 因为CHC平面BCH2,所以CH LAD,所以CH⊥平面ABD,…8分 同理DH⊥平面ABC, 综上可知，四条高线交于点H,所以该四面体为垂心四面体.…9分 (3)设M(x1,y1),N(x2,y2), 联立直线与椭圆方程 3+y=1, 整理得(1+3k2)x2-6√2kx+3=0, y=kx-√2， 62k x1+x2= 3 +3=1+3, 11分 由题意可知4>0，解得k> 3, ……………………………………。 12分 过椭圆中心0作垂直于椭圆所在平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系0-xy2, 则M(x1,y1,0),N(x2y2,0),设P(,0,), 由(2)知四面体为垂心四面体等价于三组对棱互相垂直， PM.NO=0, xox2+yoY2=x1x2+y1y2, 即P示.Md=0,整理得xx,+yoy1=x1x2+y12, …13分 PO.MN=0. LXox2 +yoY2 =xox1+yoy1, 因为xx2+yy2= +3派，令4=5-3张 5-3k2 1+3k2, kt 解得x0= 15分 因为P到x轴和y轴的距离相等，所以Ixo1=y。1,所以1k!=1或t=0, 即=士1或=±，经检验符合题意， 所以k=±1或k=±⑤ 0.000.00000000.00000000000.00000.0000。 17分 3 (2)(i)证明：因为S△Bc=S△Bn+S△BCn, 所以acsin牙生2 BDsin石+aBDsin君 7分 所以√5ac=(a+c)BD, 所以BD=3ac 8分 a+c (i)在△ABC中，由余弦定理可得1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,…9分 所以ac=a+c)2-1 3 所以m=-得(a+o)-+2. 10分 a+c- 由正弦定理可得a=25 2专4c=2n(4+. 所以a+e2m4+如(4+号】-2s如(A+g）,…11分 因为△ABC为锐角三角形， 所以君<A<受号<A+君<n(4+君》e(停1， 所以a+c∈(5,2]，… 13分 令1=a+e1e(5.2],则BD-9-), 因为函数y=1-在(，5,2]上单调递增， 所以0e(导身。 。……………0 15分 18解：(1f'()=1-(x+1) 1分 所以f'(1)=分-l21)=2, 2分 所以切线方程为y-lh2=(分-lh2)(x-1), 即y=(分-l2)x-7+22 … 3分 (2)证明：因为x)>-之+A对x∈(0，+∞)恒成立， 所以对x>0,n(八x+1)>-2+x,… 4分