精品解析：黑龙江大庆市大庆中学2026届高三考前模拟考试数学试题

高三考前模拟考试数学学科 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、并集定义直接计算即可. 【详解】由题意，=. 故选：B 2. 某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 3. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由，分析出与的所有位置关系即可判断A，由，分析出的所有位置关系，即可判断B，由，分析出与的所有位置关系即可判断C；由，分析出的所有位置关系，即可判断D. 【详解】由，得与相交或或，故A错误； 由，得，故B正确； 由，得或，故C错误； 由，得或相交或异面，故D错误. 故选：B 4. 某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A. 25 B. 27 C. 29 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】设经过天后，剩余质量变为初始质量的，化简可得，利用换底公式得到最终结果. 【详解】由题意，， 设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的， 则有，所以， （天）， 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的. 5. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】 由可知在复平面内所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 在复平面内所对应的点为 ，又，所以点在圆外， 所以的最小值为. 6. 已知函数（），直线与曲线交于P，Q两点，若的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，结合周期公式，分析求解，即可得答案. 【详解】设的最小正周期为，由题意得，即，解得. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据 ，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由 ，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即可. 【详解】设的半焦距为，， 则，，，， 由题意可知：， 在中，，即，解得， 则，， 在中，，即，可得， 所以椭圆C的离心率. 二、多选题 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由八个内角相等和为，得到，以为基底分别表示可计算出的结果，正八边形判断共线，再找到它们的模长关系，利用向量共线定理得到它们的倍数关系；将，则利用向量数量积运算得到. 【详解】由题可知，选项A正确； 在正八边形中，，； 所以，所以选项B错误； 由题可知在正八边形中有，且，，所以，所以，选项C正确； 连接，则 ，,选项D正确. 故选：ACD 10. 已知随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用条件概率公式先求出，再结合概率加法公式、对立事件概率公式逐一计算各选项的概率，判断正误. 【详解】对于A ：根据条件概率公式 ，得​，A正确； 对于B：根据概率加法公式 ，得：​，B正确； 对于C：​，C错误； 对于D： 根据对立事件概率，​， 因此 ​，D正确. 11. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶用来记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸(约3.3厘米)，下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，深度依次为，则（） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】三级漏壶均为正四棱台,上下底宽、深度依次递减1寸,故上下底宽差值为定值、高成等差数列；取正四棱台上下底边中点与底面中心连线，构造出侧面与底面所成锐二面角，推导出、、关于上底宽、下底宽、高的表达式，结合定值与高成等差的条件，证得正切值满足等差关系，正弦、余弦值不满足等差关系. 【详解】因为三级漏壶的壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸(约3.3厘米)， 下底宽和深度也依次递减1寸，所以.故A正确； 如图，在正四棱台中，为正方形的中心，是边的中点， 连接，过边的中点E作，垂足为点， 则就是漏壶的侧面与底面所成的锐二面角的一个平面角，记为. 设漏壶上底宽为，下底宽为，高为， 在中，，，，， 因为自上而下三个漏壶的上底宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等， 所以为定值，又因为三个漏壶的高成等差数列， 所以，，. 故BC错误，D正确. 三、填空题 12. 的常数项系数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式通项得，再令即可解出. 【详解】设展开式的通项为， 令，解得，，为所求常数项． 13. 曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为__________ 【答案】或 【解析】 【详解】，，故， 所以点的坐标为或 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出，再将两边平方，然后利用基本不等式求解出最小值即可. 【详解】，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 的最小值为. 四、解答题 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； 【小问2详解】 由， 所以. 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【小问1详解】 依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知双曲线的左顶点，点到直线的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积. 17. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，⊥，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 因为四边形为菱形，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为平面平面，为交线，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为. 18. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. （1）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （2）（i）根据全概率公式进行计算即可；（ii）根据条件概率公式进行计算即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为， , 所以的分布列为 1 2 3 故. 【小问2详解】 记事件“小张回答类题”， “小张回答类题”，“小张回答论述题”. （i）由（1）知， 由题意知， 所以 . （ii）， 所以. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【小问1详解】 由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 ①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三考前模拟考试数学学科 一、单选题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A. 25 B. 27 C. 29 D. 31 5. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知函数（），直线与曲线交于P，Q两点，若的最小值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C在第一象限交于点P，直线交C于另一点Q，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶用来记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸(约3.3厘米)，下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，深度依次为，则（） A. B. C. D. 三、填空题 12. 的常数项系数为__________． 13. 曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为__________ 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 四、解答题 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求C的方程； （2）若A是C的左顶点，直线与C交于P，Q两点，求的面积． 17. 底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地､大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的A球比B球多，则答A类题，否则答B类题. （1）设小张抽到A球的个数为X，求X的分布列及. （2）已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答. （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是A类题的概率. 19. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $