期末复习资料（八）·综合实践活动专项（专项训练）-2025-2026学年人教版五年级数学下册

**基本信息** 以公式化方法体系为核心，系统整合图形涂色与打电话问题，通过30题分层训练实现知识迁移与模型应用，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |探索图形|15题（含正方体/长方体）|正方体：三面8个，两面(n-2)×12，一面(n-2)²×6，无(n-2)³；长方体：三面8个，两面4×[(a-2)+(b-2)+(c-2)]等公式|从正方体到长方体，由特殊到一般，通过棱长份数(n)与长宽高(a,b,c)建立数量关系，实现公式推导与逆向应用| |怎样通知最快|15题|n分钟最多通知(2ⁿ-1)人，第n分钟新通知2ⁿ⁻¹人|基于倍增模型，构建时间与人数的指数关系，通过正逆运算强化模型意识|

人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 人教版五年级数学下册期末复习 综合实践活动专项 适用学期：2025-2026学年第二学期 适用年级：五年级 教材版本：人教版 资料类型：专项训练/综合实践活动题 建议使用时间：考前5天 总题量：30题（探索图形15题 + 怎样通知最快15题） 第一部分：解题核心方法 【探索图形——正方体表面涂色问题】 用n表示大正方体每条棱被平均分成的份数（即每条棱上有n个小正方体） 三面涂色的小正方体：在顶点处，有8个 两面涂色的小正方体：在棱上（不含顶点），有(n-2)×12个 一面涂色的小正方体：在面上（不含棱），有(n-2)²×6个 没有涂色的小正方体：在内部，有(n-2)³个 【探索图形——长方体表面涂色问题】 三面涂色：在顶点处，有8个 两面涂色：在棱上（不含顶点），有4×[(a-2)+(b-2)+(c-2)]个 一面涂色：在面上（不含棱），有2×[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)]个 没有涂色：在内部，有(a-2)×(b-2)×(c-2)个 【怎样通知最快——打电话问题】 规律：n分钟最多可以通知(2ⁿ - 1)人 第n分钟新接到通知的人数是2n-1人 技巧：每分钟接到通知的人数是上一分钟的2倍 第二部分：探索图形——正方体表面涂色（15题） 【例题】一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一共切成了27个小正方体。三面涂色的小正方体有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有（ ）个。 【答案】8，12，6，1 【解析】27个小正方体对应n=3（3×3×3）。三面涂色：8个顶点=8个；两面涂色：(3-2)×12=1×12=12个；一面涂色：(3-2)²×6=1×6=6个；没有涂色：(3-2)³=1个。 探索图形题目（1-15题） 第1题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一共切成了8个小正方体。三面涂色的小正方体有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有（ ）个。 第2题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一共切成了64个小正方体。三面涂色的小正方体有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有（ ）个。 第3题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面涂色的小正方体有24个。这个大正方体是由（ ）个小正方体组成的。 第4题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一面涂色的小正方体有24个。这个大正方体是由（ ）个小正方体组成的。 第5题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，没有涂色的小正方体有8个。这个大正方体每条棱上有（ ）个小正方体。 第6题：一个棱长4cm的正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体。三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有（ ）个。 第7题：一个棱长6cm的正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体。两面涂色的小正方体有（ ）个。 第8题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，没有涂色的小正方体有27个。三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个。 第9题：一个长方体长5cm、宽4cm、高3cm，表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体。三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有（ ）个。 第10题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面涂色的有36个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第11题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一面涂色的有96个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第12题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，没有涂色的有64个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第13题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，涂色的小正方体共有152个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第14题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面涂色的小正方体比一面涂色的少18个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第15题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面涂色的有24个。这个大正方体的棱长是多少厘米？ 探索图形参考答案与解析 第1题：8，0，0，0 【解析】8个小正方体对应n=2，只有顶点有涂色，8个三面涂色，其余为0。 第2题：8，24，24，8 【解析】64个小正方体对应n=4。三面：8个；两面：(4-2)×12=2×12=24；一面：(4-2)²×6=4×6=24；无：(4-2)³=8。 第3题：64 【解析】两面涂色=(n-2)×12=24，n-2=2，n=4，总数为4³=64。 第4题：64 【解析】一面涂色=(n-2)²×6=24，(n-2)²=4，n-2=2，n=4，总数为4³=64。 第5题：4 【解析】没有涂色=(n-2)³=8，n-2=2，n=4。 第6题：8，24，24，8 【解析】棱长4对应n=4，结果与第2题相同。 第7题：48 【解析】棱长6对应n=6，两面涂色=(6-2)×12=4×12=48。 第8题：8，36，54 【解析】无涂色=(n-2)³=27，n-2=3，n=5。三面涂色：8个；两面涂色：(5-2)×12=3×12=36个；一面涂色：(5-2)²×6=9×6=54个。 第9题：8，24，22，6 【解析】三面涂色：8个；两面涂色：4×[(5-2)+(4-2)+(3-2)]=4×(3+2+1)=4×6=24个；一面涂色：2×[(5-2)×(4-2)+(5-2)×(3-2)+(4-2)×(3-2)]=2×(3×2+3×1+2×1)=2×(6+3+2)=2×11=22个；无涂色：(5-2)×(4-2)×(3-2)=3×2×1=6个。检验：8+24+22+6=60，总数为5×4×3=60。 第10题：5cm 【解析】两面涂色=(n-2)×12=36，n-2=3，n=5，棱长5cm。 第11题：6cm 【解析】一面涂色=(n-2)²×6=96，(n-2)²=16，n-2=4，n=6。 第12题：6cm 【解析】无涂色=(n-2)³=64，n-2=4，n=6。 第13题：6cm 【解析】涂色总数=总数-无涂色=n³-(n-2)³=152。n=6时，216-64=152，所以n=6。 第14题：5cm 【解析】设x=n-2，一面-两面=6x²-12x=18，除以6得x²-2x-3=0，解得x=3或x=-1(舍)，n=5。 第15题：4cm 【解析】两面涂色=(n-2)×12=24，n-2=2，n=4，棱长4cm。 第三部分：怎样通知最快——打电话问题（15题） 【例题】一个合唱队有7人，老师需要尽快通知到每一个队员，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。最少需要（ ）分钟。 【答案】3 【解析】第1分钟：老师通知1人，共1人知道；第2分钟：2人通知2人，共3人知道；第3分钟：4人通知4人，共7人知道。所以需要3分钟。 打电话题目（1-15题） 第1题：一个合唱队有15人，老师需要尽快通知到每一个队员，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。最少需要（ ）分钟。 第2题：一个合唱队有1人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少需要（ ）分钟。（起始状态：老师自己知道） 第3题：一个合唱队有3人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少需要（ ）分钟。 第4题：一个合唱队有8人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少需要（ ）分钟。 第5题：一个合唱队有31人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少需要（ ）分钟。 第6题：一个合唱队有50人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少需要（ ）分钟。 第7题：老师打电话通知学生，3分钟最多可以通知（ ）人。 第8题：老师打电话通知学生，4分钟最多可以通知（ ）人。 第9题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。5分钟最多可以通知（ ）人。 第10题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。通知100人最少需要（ ）分钟。 第11题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。通知到第4分钟结束时，已经通知了（ ）人。 第12题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。通知到第5分钟时，新接到通知的人数是（ ）人。 第13题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。一个合唱队有60人，最少需要（ ）分钟。 第14题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。通知到第6分钟结束时，新接到通知的人数是（ ）人。 第15题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。一个合唱队有100人，最少需要（ ）分钟。 打电话参考答案与解析 第1题：4 【解析】第1分钟：1人；第2分钟：3人；第3分钟：7人；第4分钟：15人。需要4分钟。 第2题：0 【解析】只有老师自己，不需要通知。 第3题：2 【解析】第1分钟：1人；第2分钟：3人。需要2分钟。 第4题：4 【解析】第1分钟：1人；第2分钟：3人；第3分钟：7人；第4分钟：15人≥8人。需要4分钟。 第5题：5 第6题：6 第7题：7 第8题：15 第9题：31 第10题：7 第11题：15 第12题：16 第13题：6 第14题：32 第15题：7 第四部分：题型分类总结表 题型 特征 核心公式 示例 正方体表面涂色（三面） 顶点处 8个 8个顶点 正方体表面涂色（两面） 棱上（不含顶点） (n-2)×12 (3-2)×12=12 正方体表面涂色（一面） 面上（不含棱） (n-2)²×6 (3-2)²×6=6 正方体表面涂色（无） 内部 (n-2)³ (3-2)³=1 长方体表面涂色 长a、宽b、高c 三面8，两面4×[(a-2)+(b-2)+(c-2)]， 一面2×[(a-2)(b-2)+(a-2)(c-2)+(b-2)(c-2)]，无(a-2)(b-2)(c-2) 5×4×3→8,24,22,6 打电话（总人数） 最多通知人数 2ⁿ-1 3分钟最多7人 打电话（最少时间） 已知人数求时间 2ⁿ⁻¹<人数≤2ⁿ-1 15人需要4分钟 第五部分：使用建议 难度分级建议： 基础题（探索图形1-8题、打电话1-8题）：全体学生必做，目标全对 深度题（探索图形9-15题、打电话9-15题）：目标95分以上学生选做 建议每日安排： 探索图形和打电话各用1天完成，共2天完成本专项训练。 —　2　— 学科网（北京）股份有限公司 $人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 人教版五年级数学下册期末复习 综合实践活动专项 适用学期：2025-2026学年第二学期 适用年级：五年级 教材版本：人教版 资料类型：专项训练/综合实践活动题 建议使用时间：考前5天 总题量：30题（探索图形15题+怎样通知最快15题） 1 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 第一部分：解题核心方法 【探索图形一一正方体表面涂色问题】 用n表示大正方体每条棱被平均分成的份数（即每条棱上有n个小正 方体) 三面涂色的小正方体：在顶点处，有8个 两面涂色的小正方体：在棱上（不含顶点），有(n-2)×12个 一面涂色的小正方体：在面上（不含棱），有(n-2)2×6个 没有涂色的小正方体：在内部，有(n-2)3个 【探索图形一一长方体表面涂色问题】 三面涂色：在顶点处，有8个 两面涂色：在棱上（不含顶点），有4×[(a-2)+(-2)+(c-2)]个 一面涂色：在面上（不含棱），有2×[(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2) ×(c-2)]个 没有涂色：在内部，有(a-2)×(b-2)×(c-2)个 【怎样通知最快一一打电话问题】 规律：n分钟最多可以通知(2n-1)人 第n分钟新接到通知的人数是21人 技巧：每分钟接到通知的人数是上一分钟的2倍 2 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 第二部分：探索图形—正方体表面涂色（15题) 【例题】一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一共 切成了27个小正方体。三面涂色的小正方体有()个，两面涂色的有 )个，一面涂色的有()个，没有涂色的有()个。 【答案】8,12,6,1 【解析】27个小正方体对应n=3(3×3×3)。三面涂色：8个顶点=8 个；两面涂色：(3-2)×12=1×12=12个；一面涂色：(3-2)2×6=1×6=6个； 没有涂色：(3-2)3=1个。 探索图形题目(1-15题) 第1题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一共 切成了8个小正方体。三面涂色的小正方体有()个，两面涂色的有 (）个，一面涂色的有()个，没有涂色的有()个。 第2题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一共 切成了64个小正方体。三面涂色的小正方体有()个，两面涂色的有 )个，一面涂色的有()个，没有涂色的有()个。 第3题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面 涂色的小正方体有24个。这个大正方体是由()个小正方体组成的。 第4题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一面 涂色的小正方体有24个。这个大正方体是由()个小正方体组成的。 第5题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，没有 3 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 涂色的小正方体有8个。这个大正方体每条棱上有()个小正方体。 第6题：一个棱长4cm的正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正 方体。三面涂色的有()个，两面涂色的有()个，一面涂色的 有()个，没有涂色的有()个。 第7题：一个棱长6cm的正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正 方体。两面涂色的小正方体有()个。 第8题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，没有 涂色的小正方体有27个。三面涂色的有()个，两面涂色的有（) 个，一面涂色的有()个。 第9题：一个长方体长5cm、宽4cm、高3cm,表面涂色后，切成棱长 为1cm的小正方体。三面涂色的有()个，两面涂色的有()个， 一面涂色的有()个，没有涂色的有()个。 第10题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面 涂色的有36个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第11题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，一面 涂色的有96个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第12题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，没有 涂色的有64个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 第13题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，涂色 的小正方体共有152个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第14题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面 涂色的小正方体比一面涂色的少18个。这个正方体的棱长是多少厘米？ 第15题：一个正方体表面涂色后，切成棱长为1cm的小正方体，两面 涂色的有24个。这个大正方体的棱长是多少厘米？ 一 5— 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 探索图形参考答案与解析 第1题：8,0,0,0 【解析】8个小正方体对应=2，只有顶点有涂色，8个三面涂色，其 余为0。 第2题：8,24,24,8 【解析】64个小正方体对应n=4。三面：8个；两面：(4-2)×12=2× 12=24:一面：(4-2)2×6=4×6=24：无：(4-2)3=8。 第3题：64 【解析】两面涂色=(n-2)×12=24,n-2=2,n=4,总数为43=64。 第4题：64 【解析】一面涂色=(n-2)2×6=24,(n-2)2=4,n-2=2,n=4,总数为43=64。 第5题：4 【解析】没有涂色=(n-2)3=8,n-2=2,n=4。 第6题：8,24,24,8 【解析】棱长4对应n=4,结果与第2题相同。 第7题：48 【解析】棱长6对应n=6,两面涂色=(6-2)×12=4×12=48。 第8题：8,36,54 【解析】无涂色=(n-2)3=27,n-2=3,n=5。三面涂色：8个；两面涂色： (5-2)×12=3×12=36个；一面涂色：(5-2)2×6=9×6=54个。 第9题：8,24,22,6 【解析】三面涂色：8个；两面涂色：4×[(5-2)+(4-2)+(3-2)]=4× (3+2+1)=4×6=24个；一面涂色：2×[(5-2)×(4-2)+(5-2)×(3-2)+(4-2) 6— 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 ×(3-2)]=2×(3×2+3×1+2×1)=2×(6+3+2)=2×11=22个；无涂色：(5-2) ×(4-2)×(3-2)=3×2×1=6个。检验：8+24+22+6=60，总数为5×4×3=60。 第10题：5cm 【解析】两面涂色=(n-2)×12=36,n-2=3,n=5,棱长5cm。 第11题：6cm 【解析】一面涂色=(n-2)2×6=96,(n-2)2=16,n-2=4,n=6。 第12题：6cm 【解析】无涂色=(n-2)3=64,n-2=4,n=6。 第13题：6cm 【解析】涂色总数=总数-无涂色=n3-(n-2)3=152。n=6时，216-64=152， 所以n=6。 第14题：5cm 【解析】设x=n-2,一面-两面=6x2-12x=18,除以6得x2-2x-3=0,解 得x=3或x=-1(舍)，n=5。 第15题：4cm 【解析】两面涂色=(n-2)×12=24,n-2=2,n=4,棱长4cm。 一7 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 第三部分：怎样通知最快一打电话问题(15题)】 【例题】一个合唱队有7人，老师需要尽快通知到每一个队员，每分 钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。最少需要()分钟。 【答案】3 【解析】第1分钟：老师通知1人，共1人知道；第2分钟：2人通知 2人，共3人知道；第3分钟：4人通知4人，共7人知道。所以需要3分 钟。 打电话题目(1-15题) 第1题：一个合唱队有15人，老师需要尽快通知到每一个队员，每分 钟通知1人，每接到通知的人马上通知下一个人。最少需要()分钟。 第2题：一个合唱队有1人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少 需要()分钟。（起始状态：老师自己知道） 第3题：一个合唱队有3人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少 需要（)分钟。 第4题：一个合唱队有8人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少 需要（)分钟。 第5题：一个合唱队有31人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少 需要()分钟。 第6题：一个合唱队有50人，老师需要尽快通知到每一个队员，最少 -8 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 需要()分钟。 第7题：老师打电话通知学生，3分钟最多可以通知()人。 第8题：老师打电话通知学生，4分钟最多可以通知()人。 第9题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。5分钟最多可以通知()人。 第10题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。通知100人最少需要()分钟。 第11题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。通知到第4分钟结束时，已经通知了()人。 第12题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。通知到第5分钟时，新接到通知的人数是()人。 第13题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。一个合唱队有60人，最少需要（)分钟。 第14题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。通知到第6分钟结束时，新接到通知的人数是() 人。 第15题：老师打电话通知学生，每分钟通知1人，每接到通知的人马 上通知下一个人。一个合唱队有100人，最少需要（)分钟。 -9 人教版五年级数学下册期未复习资料（八）·综合实践活动专项 打电话参考答案与解析 第1题：4 【解析】第1分钟：1人；第2分钟：3人；第3分钟：7人；第4分 钟：15人。需要4分钟。 第2题：0 【解析】只有老师自己，不需要通知。 第3题：2 【解析】第1分钟：1人；第2分钟：3人。需要2分钟。 第4题：4 【解析】第1分钟：1人；第2分钟：3人；第3分钟：7人；第4分 钟：15人≥8人。需要4分钟。 第5题：5 第6题：6 第7题：7 第8题：15 第9题：31 第10题：7 第11题：15 第12题：16 第13题：6 第14题：32 第15题：7 —10— 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 第四部分：题型分类总结表 题型 特征 核心公式 示例 正方体表面涂色 项点处 8个 8个顶点 （三面) 正方体表面涂色 棱上（不 (n-2)×12 (3-2)×12=12 (两面) 含顶点) 正方体表面涂色 面上（不 (n-2)2×6 (3-2)2×6=6 (一面) 含棱) 正方体表面涂色 内部 (n-2)3 (3-2)3=1 (无) 三面8，两面4× 长a、宽 [(a-2)+(b-2)+(c-2)], 长方体表面涂色 一 面2X [(a-2)(b-2)+(a-2)(c-2 5×4×3→8,24,22,6 b、高c )+(b-2)(c-2)], 无 (a-2)(b-2)(c-2) 最多通知 打电话（总人数） 2n-1 3分钟最多7人 人数 已知人数 打电话（最少时间） 2n1<人数≤2n-1 15人需要4分钟 求时间 -11 人教版五年级数学下册期末复习资料（八）·综合实践活动专项 第五部分：使用建议 难度分级建议： 基础题（探索图形1-8题、打电话1-8题）：全体学生必做，目标全对 深度题（探索图形9-15题、打电话9-15题）：目标95分以上学生选 做 建议每日安排： 探索图形和打电话各用1天完成，共2天完成本专项训练。 12—