22.1.2二次函数的图象和性质（作业设计）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学作业设计方案针对九年级《二次函数的图像与性质》，结合学生已有函数基础但抛物线认知困难的特点，采用基础训练、提升、素养三层设计，基础题全员必做，提升和素养题分层选做，兼顾能力差异。 通过多样化练习提升学习效果，如单选题利用数形结合判断函数值大小培养几何直观，填空题新定义相对位置问题发展模型意识，解答题结合函数交点与方程判别式强化运算能力和推理意识，助力学生夯实基础并衔接后续学习。

2026年五原县中小学优秀教学案例大赛 ---九年级上册22.1.2《二次函数的图像与性质》作业设计 （注：标题采用四号宋体，正文采用五号宋体，1.5 倍行距。模板可根据需求稍微调整） 课程基本信息 主备人 关旭茹 课型 专题复习课 学科 数学 年级 九年级 学段 初中 版本章节 人教版 作业设计 课标要求 1. 能用描点法画出二次函数的图像，认识抛物线。 2. 探索并掌握的图像特征、开口方向、对称轴、顶点、增减性与最值。 3.理解系数a对函数图像的影响。 4. 体会数形结合思想，发展几何直观。 教材分析 本节课属于人教版数学教材九年级上册第22章第一节“二次函数”的内容，该内容分三个课时，本节课是第二课时。 本节课要求学生通过列表、描点、连线等手段，能熟练地画出二次函数的图像，并借助函数图像，通过数形结合的方法，观察、分析、归纳出二次函数的性质，再利用这些函数性质，分析并解决一些简单的实际问题。 函数是代数的核心知识，也是学生学习代数的难点。初中阶段所学习的函数主要有一次函数、反比例函数和二次函数，高中阶段还要进一步学习幂函数、对数函数、指数函数和三角函数。 从宏观方面来看，之前学习的函数、正比例函数、一次函数、反比例函数等概念，为二次函数的学习打下了一定的基础。学生可以根据已有的知识和经验，通过联系、类比的方式学习二次函数。学生通过学习二次函数，进一步深化对函数概念的理解和掌握。同时，本节课内容的学习，还可为学生高中阶段学习抛物线方程等相关知识奠定基础。 从微观方面来看，上一节课学生学习了二次函数的概念，本节课对二次函数的图像和性质的研究，将为下一节课学习二次函数的实际应用、顶点式与平移变换奠定基础。因而本节课内容起着承上启下的作用，有着举足轻重的重要地位。 二次函数在生活中应用十分广泛，体现在自然科学、工程技术，甚至是人文社会科学中。应用二次函数的数学模型，可以更好地刻画现实世界中的数量关系，借此可培养学生数学建模的思想和数学应用的意识。 学情分析 （1） 从九年级学生的学习特点来看 1. 知识基础方面：学生之前已经学习过“一次函数、反比例函数”的内容，对研究函数性质的方法已经有了初步的认识，这为研究二次函数图像及其性质奠定了基础。但画二次函数的图像，以及由二次函数的图像归纳反思二次函数的性质，对学生现有的能力和认知水平具有一定的挑战性。 2. 思维水平方面：九年级学生具备了较强的类比学习能力和总结归纳能力，已经具有函数的相关知识，并且对函数变化过程也有一定的认识，但九年级学生初次接触抛物线函数图像，在理解和认知上存在一定的困难。 3. 心理特点方面： 学生年龄偏小，上课积极活跃，有较强的求知欲和表现欲，但注意力往往不够持久，容易出现注意力转移和分散的现象。为此，在教学中要采用动手设计、小组交流、多媒体辅助教学等多样化的教学方式。 4. 学习态度方面：要使学生积极而高效地掌握知识，必须在教学过程中关注学生的兴趣、动机、情感、态度等非智力因素。例如，教师可以通过适时的鼓励和表扬，激发学生乐于探索、勇于探究的精神。 （2） 从我校学生的实际情况来看 通过平时的交流、沟通了解到，学生大多来自条件中等的家庭，基本能力和技能适中，学习态度较端正，但缺乏学习的内驱力，缺乏自主探究问题和解决问题的精神。因此在教学中要创设自主探索、合作交流的环境，通过动手操作设计产生认知冲突：二次函数的图像应该是怎样的？通过启发式教学不断激发学生探求新知的热情，通过动手画图并展示成果增强他们学习函数的自信心。探究性质时利用“几何画板”呈现更多的二次函数图像，把抽象转化为直观，激发学生学习的主观能动性。 作业设计思路 1. 紧扣课时重点：围绕 的图像画法、开口方向、对称轴、顶点、增减性、最值等核心知识点设计作业，确保基础过关； 2. 遵循分层设计：分为基础训练、提升、素养三个层次，基础题全员必做，聚焦规范与记忆；提升题和素养题分层选做，兼顾能力差异，实现“人人都能获得良好的数学教育”； 3. 渗透数学思想：贯穿数形结合、分类讨论、特殊到一般的思想，让学生在完成作业的过程中，不仅巩固知识，更提升数学思维； 4. 衔接课堂与后续学习：作业设计呼应课堂探究环节（作图、性质归纳），同时为后续学习二次函数图像平移、顶点式奠定基础； 5. 注重易错点突破：针对作图不规范、增减性混淆、a的符号判断错误等易错点，设计针对性习题，帮助学生查漏补缺。 单选题共5道，以基础知识点为主，覆盖二次函数最核心、最常考的基础考点，侧重考查学生对二次函数图象性质的直观认知与基础应用，难度由浅入深，适配全体学生基础检测。 填空题共5道，在基础知识点之上进行拓展延伸，融入新定义、几何旋转、规律探究、动态几何等创新题型，侧重考查学生知识迁移能力、逻辑推理能力和综合运用能力，区分基础能力与进阶思维。 解答题共2道，侧重基础运算、概念辨析、综合应用，立足解题规范性和逻辑完整性，考查学生基础运算能力、概念理解深度和综合解题能力，贴合中考解答题基础题型的考查形式。 解答题共2道，侧重基础运算、概念辨析、综合应用，立足解题规范性和逻辑完整性，考查学生基础运算能力、概念理解深度和综合解题能力，贴合中考解答题基础题型的考查形式。 作业设计内容 题目 设计意图 一、单选题 1．若点，，都在二次函数的图象上，则有（    ） A．B． C．D． 聚焦二次函数的增减性与函数值大小比较，考查学生掌握抛物线对称轴、开口方向与函数值变化的关联，引导学生利用数形结合思想，通过点的横坐标位置判断函数值大小，夯实二次函数最基础的性质应用。 2．如图，正方形与抛物线相交于点，则正方形面积为（    ） A．1 B． C． D．3 结合正方形几何图形与抛物线交点问题，实现二次函数与平面几何的基础融合，考查学生利用抛物线解析式求点的坐标、结合正方形性质计算边长与面积的能力，初步渗透函数与几何综合的解题思维。 3．关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随增大而增大 采用多函数对比辨析的形式，考查学生对二次函数开口方向、最值、对称轴、增减性等核心性质的精准掌握，规避学生对相似性质的混淆，培养学生对比分析、归纳总结的能力，夯实知识易错点。 4．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 结合新定义运算与函数图象、方程解的个数问题，属于基础变式题型，考查学生读懂新定义、利用函数图象分析方程解的个数与参数取值范围的能力，渗透数形结合与分类讨论思想，适度提升基础题型的灵活性。 5．已知二次函数，，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 依托二次函数图象，考查函数参数、特殊点函数值的大小比较，要求学生能从抛物线图象中提取开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴交点等隐含条件，培养学生读图、析图、挖掘隐含信息的能力，强化图象性质的综合应用。 二、填空题 6．定义：对于任意两点，，我们称有序实数对为点关于点的相对位置．现有两点A、B，若点在抛物线上运动，点关于点的相对位置为，则点的运动轨迹为________（用含a、m、n的表达式来表示）． 创设平面点的相对位置新定义，结合抛物线轨迹问题，打破传统固定题型，考查学生自主理解新定义、转化数学关系、推导函数轨迹解析式的能力，培养学生数学建模和知识迁移的核心素养。 7．如图，正方形OABC的边长为，OC与y轴的正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＞0）的图象上，则a的值为__． 融合正方形、角度旋转与抛物线解析式，将几何角度、边长计算与二次函数参数求解结合，考查学生几何运算与函数知识的融合应用，突破单纯函数计算的局限，提升学科知识综合应用能力。 8．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为__________________． 属于函数图象规律探究题型，通过平面直角坐标系内点的循环作图，结合抛物线性质寻找坐标变化规律，考查学生观察、归纳、推理的能力，培养学生从特殊到一般的数学思维，适配中考高频规律探究考点。 9．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 结合正方形序列与二次函数图象，是典型的几何与函数动态综合题，通过多个正方形嵌套的结构，考查学生利用抛物线解析式求点坐标、结合正方形性质计算边长与周长的能力，层层递进考查学生的逻辑推导和运算能力。 10．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 以动态线段、正方形存在性为背景，结合抛物线对称性，考查学生动态几何分析、方程思想的应用，要求学生根据图形性质建立等量关系求解线段长度，培养学生动态分析、数形结合、方程求解的综合能力。 三、解答题 11．（1）化简：； （2）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，求的值． 分为两小问，分层考查基础能力。第一问整式化简运算，夯实初中代数基础运算能力，为函数运算筑牢基础；第二问结合二次函数与正比例函数的交点问题，将函数图象交点与一元二次方程根的判别式结合，考查学生函数与方程转化的核心思想，掌握“函数交点问题转化为方程解的问题”的解题方法。 12．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．求的值，并画出它的图象； 聚焦二次函数的定义与性质综合，考查学生对二次函数最高次项系数、次数的定义掌握，结合函数增减性确定参数取值，同时要求绘制函数图象，兼顾概念辨析、性质应用与动手作图能力，全面考查学生对二次函数基础体系的掌握，培养学生严谨的数学思维和规范的解题习惯。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $