第22讲 利用导数研究函数的极值、最值 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用的系统性训练，通过基础到综合题型构建“概念辨析-性质应用-实际建模”的完整逻辑链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础保分练|8题（含1多选）|聚焦极值点判断、极值存在性、导函数图像应用等基础概念，强调运算能力与推理意识|从极值点/极值概念（题1-3）到最值计算（题4）、参数关系（题5-6），形成“概念生成-性质应用”的递进逻辑| |能力提升练|3题（含1解答题）|涵盖实际问题建模（题9）、函数性质综合（题10）、导数综合应用（题11），注重数学语言表达与创新意识|通过实际情境（漏斗容积）、函数奇偶性与极值综合、含参单调性讨论，实现“知识拓展-综合应用”的深化逻辑|

[A组　基础保分练] 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是 (　　) A.1　　　　　　　　　 B.(1,-) C.-3 D.(-3,8) 2.已知函数f(x)=ln x-x2,则函数f(x) (　　) A.既有极大值,也有极小值 B.有极大值,无极小值 C.有极小值,无极大值 D.既无极大值,也无极小值 3.已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),导函数y=f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有 (　　) A.1个　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 4.函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为(　　) A.4 B.3 C. D.5 5.已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e,则a=(　　) A.1 B.2 C.e D.3 6.已知函数f(x)=x++3ln x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是 (　　) A.(,1) B.[0,) C.(,1) D.[0,) 7.(多选)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 8.(2026·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0=　　　　.  [B组　能力提升练] 9.某同学准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积最小值为 (　　) A.4π B.6π C.8π D.9π 10.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 11.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2. (1)当a=4时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是 (　　) A.1　　　　　　　　　 B.(1,-) C.-3 D.(-3,8) 答案:A 解析:f'(x)=x2+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1, 所以函数f(x)在(-∞,-3)上单调递增,在(-3,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故f(x)在x=1处有极小值,极小值点为1. 2.已知函数f(x)=ln x-x2,则函数f(x) (　　) A.既有极大值,也有极小值 B.有极大值,无极小值 C.有极小值,无极大值 D.既无极大值,也无极小值 答案:B 解析:函数f(x)=ln x-x2的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2x==,当0<x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减,所以f(x)在x=处取得极大值,无极小值. 3.已知函数y=f(x)的定义域为(a,b),导函数y=f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数y=f(x)在(a,b)内的极小值有 (　　) A.1个　　　　　　　　　 B.2个 C.3个 D.4个 答案:A 解析:因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增,对应导函数值是先负后正,由题图可知,在区间(a,b) 内,导函数值先负后正的点只有1个,所以函数y=f(x)在区间(a,b) 内的极小值的个数是1. 4.函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为(　　) A.4 B.3 C. D.5 答案:B 解析:由题意f'(x)=3cos 3x+6cos x=3cos(x+2x)+6cos x =3(cos xcos 2x-sin xsin 2x)+6cos x =3[cos x(2cos2x-1)-2cos x(1-cos2x)]+6cos x =3(4cos3x-3cos x)+6cos x=12cos3x-3cos x =3cos x(4cos2x-1) =3cos x(2cos x-1)(2cos x+1),x∈[0,], 所以当0<x<时,f'(x)>0,当<x<时,f'(x)<0, 所以f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减, 所以函数f(x)=sin 3x+6sin x,x∈[0,]的最大值为f()=sin π+6sin=3. 5.已知函数f(x)=xln x-ax有极值-e,则a=(　　) A.1 B.2 C.e D.3 答案:B 解析:由题可得,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+1-a. 令f'(x)>0,得x>ea-1; 令f'(x)<0,得0<x<ea-1, 所以函数f(x)在区间(0,ea-1)上单调递减,在区间(ea-1,+∞)上单调递增. 则函数f(x)的极小值点是ea-1,无极大值点, 故f(ea-1)=ea-1ln ea-1-aea-1=-e, 解得a=2. 6.已知函数f(x)=x++3ln x在(a,2-3a)内有最小值,则实数a的取值范围是 (　　) A.(,1) B.[0,) C.(,1) D.[0,) 答案:B 解析:函数f(x)=x++3ln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-+==, 令f'(x)=0可得x=1或x=-4(舍去),当0<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,即最小值.又因为函数f(x)在(a,2-3a)内有最小值,故0≤a<1<2-3a,解得0≤a<,所以实数a的取值范围是[0,). 7.(多选)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则 (　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 答案:BCD 解析:函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞), 则f'(x)=--=. 因为函数f(x)既有极大值也有极小值, 则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点, 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不相等的正实数根x1,x2, 于是 即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0, 显然a2bc<0,即bc<0,故A错误,B,C,D正确. 8.(2026·陕西宝鸡模拟)若函数f(x)=4sin x+3cos x的极大值点为x0,则sin x0=　　　　.  答案: 解析:由函数f(x)=4sin x+3cos x, 求导可得f'(x)=4cos x-3sin x=5(cos x-sin x), 令sin φ=,cos φ=,则f'(x)=5cos(x+φ), 由题意可得f'(x0)=5cos(x0+φ)=0, 由函数y=cos x可知当x∈(-+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x>0, 当x∈(+2kπ,+2kπ)(k∈Z)时,cos x<0,又x0为函数f(x)的极大值点, 则x0+φ=+2kπ(k∈Z),解得x0=-φ+2kπ(k∈Z), 所以sin x0=sin(-φ+2kπ)=cos φ=. [B组　能力提升练] 9.某同学准备从一个半径为R的圆形铁片上剪出一个扇形(圆心和半径与圆形铁片一致)作为圆锥的侧面,制作成一个圆锥形无盖漏斗(接缝处忽略不计).若该漏斗的容积为2π,则圆形铁片的面积最小值为 (　　) A.4π B.6π C.8π D.9π 答案:D 解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,则母线长为R. 当圆形铁片的面积最小时,R2最小.因为该漏斗的容积V=πr2h=2π, 解得r2=,则R2=h2+r2=h2+(h>0). 设y=x2+,x>0,则y'=2x-, 令2x-=0,可得x=, 当0<x<时,y'<0,函数单调递减,当x>时,y'>0,函数单调递增. 故当x=时,y取得最小值9,所以圆形铁片的面积的最小值为9π. 10.(多选)(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　) A.f(0)=0 B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2 C.f(x)≥2当且仅当x≥ D.x=-1是f(x)的极大值点 答案:ABD 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,故A正确; 当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-[(x2-3)e-x+2]=-(x2-3)e-x-2,故B正确; f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误; 当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2, 则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x, 令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去), 当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增, 当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减, 则x=-1是f(x)的极大值点,故D正确. 11.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)=ln(x+1)-ax-a2. (1)当a=4时,求曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程; (2)讨论函数f(x)的单调性; (3)若f(x)存在极大值,且极大值不大于-3-ln 2,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=4时,f(x)=ln(x+1)-4x-16,f'(x)=-4, 则f(0)=ln 1-16=-16,f'(0)=-4=-3,所以切线方程为y+16=-3(x-0),化简得3x+y+16=0. (2)由f(x)=ln(x+1)-ax-a2可得f'(x)=-a,x∈(-1,+∞), 当a≤0时,f'(x)=-a>0恒成立,所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增. 当a>0时,令f'(x)>0,即-a>0,得-1<x<-1+,令f'(x)<0,得x>-1+, 所以f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减. 综上所述, 当a≤0时, f(x)在(-1,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(-1,-1+)上单调递增,在(-1+,+∞)上单调递减. (3)由(2)可知当a≤0时f(x)无极值点,当a>0时f(x)在x=-1+处有极大值, 可得f(-1+)≤-3-ln 2,代入得ln+a-1-a2≤-3-ln 2,化简得a2-a+ln a-2-ln 2≥0. 令g(a)=a2-a+ln a-2-ln 2(a>0),则g'(a)=2a-1+=. 因为2a2-a+1=2(a-)2+>0,所以g'(a)>0,g(a)在(0,+∞)上单调递增. 因为g(2)=22-2+ln 2-2-ln 2=0,所以g(a)≥g(2),解得a≥2, 所以实数a的取值范围是[2,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $