黑龙江大庆市大庆中学2026届高三考前模拟考试数学试题

《高三考前模拟考试数学学科》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B B B A C ACD ABD 题号 11 答案 AD 12．-160 13．或 14．2 15．（1） （2） 【分析】（1）利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公式； （2）利用裂项相消法来求和即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则由等差数列求和公式得：， 又因为，所以可得， 即数列的通项公式为； （2）由， 所以． 16．（1）；（2）． 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可． （2）求出点到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积． 【详解】（1）依题意，双曲线的半焦距，由离心率，解得，， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知双曲线的左顶点，点到直线：的距离， 由消去得，解得，， 则，所以的面积． 17．（1）证明过程见解析 （2） 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，，故平面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，根据线面角的正弦值得到方程，求出，求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案． 【详解】（1）因为四边形为菱形，所以， 因为平面平面，为交线，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，为交线，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， ，则，，，， 设，，则，， 设平面的一个法向量为， ， 令得，，故， 直线与平面所成角的正弦值为， 即， 化简得，负值舍去，则， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角余弦值为． 18．（1）分布列见解析， （2）（ⅰ） （ⅱ） 【分析】（1）根据条件求得的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可； （2）（ⅰ）根据全概率公式进行计算即可；（ⅱ）根据条件概率公式进行计算即可． 【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 35 110 故． （2）记事件“小张回答类题”， “小张回答类题”，“小张回答论述题”． （ⅰ）由（1）知，， 由题意知，， 所以 ． （ⅱ）， 所以． 19．（1）若，在内单调递减，在内单调递增； 若，在，内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增； 若，在，内单调递增，在内单调递减． （2）①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式．以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏． （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数．求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围． ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式．采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式．构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论． 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 且 若，则， 当，则；当，则； 可知在内单调递减，在内单调递增； 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或； 令，解得；可知在，内单调递增，在内单调递减； 当，即时，则， 可知在内单调递增； 当，即时，令，解得或； 令，解得； 可知在，内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递减，在内单调递增； 若，在，内单调递增，在内单调递减； 若，在内单调递增； 若，在，内单调递增，在内单调递减． （2）①有两个不同的零点，， 即有两个不同实根，， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令（），， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：． 先解，即，解得或． 再解，移项通分得， 等价于，即． 因为，故不等式等价于， 解得， 结合或，取交集得． 所以实数的取值范围为． ②当时，有两个不同的零点，． 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得， 不妨设，要证：，只需证：， 即证， 设，令， 则， 可知函数在上单调递增，且． 可得，即，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $高三考前模拟考试数学学科》参考答案 题号 1 2 4 6 8 9 10 答案 ⊙ B B B A ACD ABD 题号 11 答案 AD 1.B 【分析】根据补集、并集定义直接计算即可， 【详解】由题意CRA={xx<2},BU CRA={xx<4, 故选：B 2.B 【详解】比赛的得分升序排列为：85,86,87,88,89,90,91,91,92,93,93,94,95,97,99,100， 由16×0.25=4，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即+89=88.5. 2 3.B 【分析】由m1n,m/a,分析出n与a的所有位置关系即可判断A,由mⅡ，n1,分析 出m,n的所有位置关系，即可判断B,由mⅡn,m‖a心，分析出n与a的所有位置关系即可判 断C:由mⅡ&，nⅡ心，分析出m,n的所有位置关系，即可判断D 【详解】由m1n,m/a,得n与a相交或n‖a或nca,故A错误； 由mI,n1a,得m1n,故B正确： 由mIn,mI,得nIa或nca,故C错误； 由m‖a,nla,得m‖n或m,n相交或m,n异面，故D错误. 故选：B 4.B 【分析】设经过t天后，剩余质量变为初始质量的品化简可得t=81g10,利用换底公式 得到最终结果. 【详解】由题意，T=8, 设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的品 则有mo (佾=m,六所以号=1og品=1og210, 1 t=810g210-8lg10≈8≈26.7（天）， 1g2 0.3 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的品 答案第1页，共10页 5.B 【详解】由z1=1可知z1在复平面内所对应的点Z1在以原点0(0,0)为圆心，1为半径的圆 上 22在复平面内所对应的点为Z2(3,4),又|0Z2引=V32+4=5>1,所以点Z2在圆0外， 所以z1-z21的最小值为0Z2l-1=5-1=4 6.B 【分析】根据余弦函数的性质，结合周期公式，分析求解，即可得答案 2 【详解】设f)的最小正周期为T,由题意得=受即名=受解得ω=号 7.A 【分析】首先根据f()=e-+≥0，利用参变分离转化为a+1≤xe恒成立，转化为求 函数的最值问题， 【详解】由f)=e-a+≥0，得a+1≤xe*在区间(1,4)上恒成立， 设g(x)=xe*,g'(x)=(x+1)ex>0在区间(1,4)上恒成立，所以g(x)在区间(1,4)上单调递 增， 所以g(x)>g1)=e,则a+1≤e,即a≤e-1,则a的取值范围是(-∞，e-1], 8.c 【分析】设F,Q!=m,根据题意结合椭圆的定义可得相应长度，结合勾股定理运算求解即 可 【详解】设C的半焦距为c(c>0),IF2Ql=m, PF21 2m,IPFl 2a-2m,IPQI 3m,IF1QI 2a-m, 由题意可知：PF11PF2, 在Rt△PF1Q中，lPF12+lPQ2=|F1QI2,即(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2,解得m= 则PF=,IPF=。 答案第2页，共10页 在Rt△PF,F,中，IPFP+PF,P=FF,尺，即()+()'=(2o,可得5a2=9c, 所以椭圆C的离心率e-:-号 9.ACD 【分析】先由八个内角相等和为360°，得到∠A0B=45°，以0A,A0为基底分别表示0B,0E 可计算出OB+OE的结果，正八边形ABCDEFGH判断HD,AC共线，再找到它们的模长关系， 利用向量共线定理得到它们的倍数关系：将A正=AB+BE,则利用向量数量积运算得到AB· AE=1. 【详解】由题可知∠A0B=360=45°，选项A正确； 8 在正八边形ABCDEFGH中，OB=OA+AB,OE=AO; 所以OB+OE=OA+AB+AO=AB,所以选项B错误； 由题可知在正八边形ABCDEFGH中有HD/AC,且AC=、IOA2+IOC=V2IOA,HD= 20A,所以HD=V2AC,所以HD=√2AC,选项C正确： 连接EB,则EB1AB,AB·AE=AB·(AB+B)=AB2=1,选项D正确 故选：ACD F B 10.ABD 【分析】利用条件概率公式先求出P(AB),再结合概率加法公式、对立事件概率公式逐一计 算各选项的概率，判断正误 【详解】对于A:根据条件概率公式P(B1A)=恩，得PAB)=P(BA)·P(A)=×= P(A) A正确； 对于B:根据概率加法公式P(A+B)=P(A+P(⑧)-PAB),得：P(A+B)=+片 12 2B正确： 6+4-37 答案第3页，共10页 对于C:P(a)-0--≠行C债误： P(B) 对于D: 根据对立事件概率P(回=1-P(®)-号P(@)=1-P4+)=1--吾 5 因此P(A⑧)= ==D正确， P(B) 3 11.AD 【分析】三级漏壶均为正四棱台，上下底宽、深度依次递减1寸，故上下底宽差值为定值、高 成等差数列；取正四棱台上下底边中点与底面中心连线，构造出侧面与底面所成锐二面角6， 推导出tan6、sin6、cos0关于上底宽a、下底宽b、高h的表达式，结合a一b定值与高成等差 的条件，证得正切值满足等差关系，正弦、余弦值不满足等差关系 【详解】因为三级漏壶的壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约 3.3厘米) 下底宽和深度也依次递减1寸，所以h1+h3=2h2.故A正确： 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，F是边AB的中点， 连接OF,过边A1B1的中点E作EG1OF,垂足为点G, B D E A 则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成的锐二面角的一个平面角，记为8. 设漏壶上底宽为a,下底宽为b,高为h, 在Rt△EFG中，GF=空，tan9-2么 a-b'sing= 2h a-b a-b)2+4h2, cos0 V(a-b)2+4h2 因为自上而下三个漏壶的上底宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等， 所以a一b为定值，又因为三个漏壶的高成等差数列， 所以tan01+tan03=2tan62,sin01+sin03≠2sin62,cos01+cos03≠2cos02. 故BC错误，D正确. 12.-160 【分析】根据展开式通项得Ik+1=C哈26-k(-1)*x6-2k,再令6-2k=0即可解出. 【详解】设展开式的通项为7k+1=C哈(2x)6-*(-)=C哈26-(-1)x6-2水，k=01,2,6, 答案第4页，共10页 令6-2k=0,解得k=3,T4=C×23×(-1)3=-160,为所求常数项. 13.(1,1)或(-1，-1) 【详解】f)=-京f,)=-京=-1，故，=±1， 所以点P的坐标为(1,1)或(-1，-1) 14.2 【分析】先根据三角形面积公式求出AAC,再将AP=AC+AB两边平方，然后利用 基本不等式求解出最小值即可 【详解】SaAc=A·ACsin-BAC-=91AB·AG=2V3,÷a·Ad=8, 丽-(G丽+c到-+C+丽c -号A+A+acleos-BAc≥25AHac+若Aac =A8·AG=4, 当且仅当A=AC到时，即当|AB=引AC时，等号成立. ·AP列的最小值为2. 15.(1)am=n+1 (2)Tn=20m+2 n 【分析】(1)利用等差数列的求和公式来列方程即可求得公差，从而可得等差数列的通项公 式： (2)利用裂项相消法来求和即可. 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d, 则由等差数列求和公式得：S10=10a1+10x9.d=65, 又因为a1=2,所以可得10×2+45d=65→d=1, 即数列{an}的通项公式为an=2+(m-1)×1=n+1; （2》由d=at+ 1 16.0x2-￥=1： 答案第5页，共10页 (2跨 【分析】(1)根据给定条件，求出a,b,c即可 (2)求出点A到直线的距离，再联立直线与双曲线方程求出弦长即可求出三角形面积. 【详解】(1)依题意，双曲线C的半焦距c=V5,由离心率e==V5,解得a=1,b2=c2 a2=4, 所以双曲线C的方程为2-苦-1 (2)由(1)知双曲线C的左顶点A(-1,0),点A到直线：3x-y-3=0的距离d=品 6 3-3苦得5-1+130，解得1，。号 则IPQ1=V1+3x1-x=8西，所以△APQ的面积SAPg=引PQ·d=告 17.(1)证明过程见解析 号 【分析】(1)由面面垂直得到线面垂直，进而得到AC⊥PO,BD⊥PO,故P0I平面ABCD: (2)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设P(0,0,),t>0,根据线面角的正弦值得到 方程，求出t=求出两个平面的法向量，根据面面角夹角余弦公式求出答案。 【详解】(I)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD, 因为平面PBDI平面ABCD,BD为交线，ACC平面ABCD, 所以AC⊥平面PBD, 因为P0c平面PBD,所以AC⊥PO, 因为平面PACI平面ABCD,AC为交线，BDC平面ABCD, 所以BD⊥平面PAC, 因为P0C平面PAC,所以BD⊥PO, 因为AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD, 所以PO⊥平面ABCD: (2)由(1)知，AC,P0,BD两两垂直， 以0为坐标原点，OA,0B,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 0A=20D=2,则D(0,-1,0),C(-2,0,0),B(0,1,0),DC=(-2,1,0), 设P(0,0,t),t>0,则PB=(0,1,-t),CB=(2,1,0): 答案第6页，共10页 设平面PBC的一个法向量为元=(x,y,z), m.PB=(x,y,z)·(0,1,-t)=y-tz=0 m·CB=(x,y,z)·(2,1,0)=2x+y=0 令z=2得y=2t,x=-t,故m=(-t,2t,2), 7 A Bù 直线DC与平面PBC所成角的正弦值为5， 15 即， 化简得t=1,负值舍去，则m=(-1,2,2), 平面PAC的一个法向量为元=(0,1,0)， 设平面PAC与平面PBC夹角为0， 所以平面PAC与平面PBC夹角余弦值为号 18.()分布列见解析，E(X)=号 ②0：() 【分析】(1)根据条件求得X的所有可能取值及相应的概率，列出分布列，根据期望公式求 解即可； (2)()根据全概率公式进行计算即可；(ii)根据条件概率公式进行计算即可. 【详解】(1)X的所有可能取值为1,2,3， PK=1)=C3C3 C1 PK=2)-c3C3 C51 P0x-3)-昌-品 所以X的分布列为 X 3 答案第7页，共10页 3 1 10 5 10 故8(W=1×品+2×号+3×品=号 19 （2)记事件A=“小张回答A类题”， B=“小张回答B类题”，C=小张回答论述题 (D由(1)知P(A)-+6=6P(B)=品 由题意知P(CA=言P(CIB)= 所以P(C)=P(CIA)P(A)+P(CIB)P(B) =x品+×品=品 (iPMq-P(CMPW-音x品-若 所以P(410-号-号 19.(1)若a≤0，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，+o)内单调递增； 若0<a<2,f(x)在(0，，(1，+∞)内单调递增，在(，1)内单调递减； 若a=2,f(x)在(0，+o)内单调递增； 若a>2,f)在(0,1)，(，+∞)内单调递增，在(1，)内单调递减. (20ae(。,-2):②证明见解析 【分析】(1)先确定函数定义域为x>0,对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式 乘积形式.以参数a为分类依据，先讨论a≤0时导函数符号，再讨论a>0时比较导函数两 个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准 清晰、不重不漏。 (2)①先化简g(x)解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形 为构造新函数G()-求导研究G)的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利 用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出α的取值范围 ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式采用极值点偏移 常规证法，换元设t=>1,把待证不等式转化为关于t的函数不等式构造辅助函数F(), Y 求导判断单调性，由端点值F(1)=0推出F(t)>0,逆向还原即可证得结论. 答案第8页，共10页 【详解】(1)由题意可知：f(x)的定义域为(0，+o),且f(x)=2x-(a+2)+= 2x2-(a+2)x+a=2x-ax-1」 若a≤0，则2x-a>0, 当0<x<1,则f(x)<0;当x>1,则f(x)>0; 可知f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，+o)内单调递增； 若a>0,令f(x)=0,解得x=1或x= 当>1，即a>2时，令f()>0,解得0<x<1或x>号令f()<0,解得1<x<号 可知f()在(0,1)，(（，+∞)内单调递增，在(1，)内单调递减 当号=1，即a=2时，则f()=2-)2≥0， 可知f(x)在(0，+o)内单调递增； 当<1，即0<a<2时，令f()>0,解得0<x<或x>1令f()<0,解得<x<1 可知fx)在(0，)，(1，+)内单调递增，在(（，1)内单调递减： 综上所述：若a≤0，f(x)在(0,1)内单调递减，在(1，+∞)内单调递增： 若0<a<2,f()在(0，)，(1，+∞)内单调递增，在(，1)内单调递减 若a=2,f(x)在(0，+o)内单调递增； 若a>2,f(y在(0,1)，(，+∞）内单调递增，在(1，)内单调递减 (2)①g(x)=f(x)-x2有两个不同的零点x1,x2, 即-(a+2)x+alnx=0有两个不同实根x1,x2, 若a=0,则-2x=0,只有一个实数根，不符合题意， 故a≠0，得a+2=血 a x 令c()=(x>0.c)= 令G'(x)=0,得x=e, 当x∈(0，e)时，G(x)>0,可知G(x)在(0，e)上单调递增， 当x∈(e,+oo)时，G'(x)<0,可知G(x)在(e,+o)上单调递减， 当x=e时，G(x)取得最大值，且x→0+时G(x)→-oo,G(1)=0, 答案第9页，共10页 当x>1时G)>0,可得安∈(0，) 可得不等式：0<华< a 先解0<a,即a(a+2)>0,解得a>0或a<-2 再解2<台移项通分得at2<0, ae 等价于e-a+2e<0,即a[(e-1)a+2el<0. a 因为e-1>0,故不等式等价于a(a+)<0, 解得2e<a<0, 1-e 结合a>0或a<-2,取交集得a∈(，-2) 所以实数a的取值范围为a∈（径。，-2） ②当a∈(。-2)时，9)有两个不同的零点x,x2: 两根满足x1=牛x,ln2=牛x2, a a 两式相加得n(xx）-牛1+x)。两式相减得n兰=牛2x2-x), a 上述两式相除得血(x2=+2 X2-X1 不妨设x1<x2,要证x1·x2>e2,只需证l血(x1x2)=t21n>2, X2-X1 X1 即证n号>2=0_2修 X1 x2+X1 +1 设t=要>1，令r0=lnt-2=t+÷-2, X1 t+1 测0=高=等>0… 可知函数F(t)在(1，+o)上单调递增，且F(1)=0 可得F(0>0,即nt>2,所以x1x2>e2 t+1 答案第10页，共10页 高三考前模拟考试数学学科 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 一、单选题 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．某校高二年级16个班参加朗诵比赛的得分如下： 85，86，87，88，89，90，91，91，92，93，93，94，95，97，99，100 则这组数据的下四分位数为（ ） A．88 B．88.5 C．89 D．90.5 3．若，为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）．已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（ ）天后，剩余质量变为初始质量的． 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 5．已知，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知函数（），直线与曲线交于，两点，若的最小值为，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与在第一象限交于点，直线交于另一点，且，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦。如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形，其中，为正八边形的中心，则（ ） A． B． C． D． 10．已知随机事件，，且，，，则（ ） A． B． C． D． 11．中国古代科学家发明了一种三级漏壶用来记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸．设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，深度依次为，，，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的常数项系数为________． 13．曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为________ 14．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为． 16．已知双曲线：（，）的焦距为，离心率为． （1）求的方程； （2）若是的左顶点，直线：与交于，两点，求的面积． 17．底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面． （1）证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18．小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为类题和类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的5个球，3个标有字母，另外2个标有字母，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题． （1）设小张抽到球的个数为，求的分布列及． （2）已知类题里有4道论述题和1道计算题，类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答． （i）求小张回答论述题的概率； （ii）若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是类题的概率． 19．已知函数，其中． （1）讨论的单调性． （2）若函数有两个不同的零点，． ①求实数的取值范围； ②证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $