6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 温州科技高级中学 张明 在平面直角坐标系中向量的坐标和点的坐标的区别 1、如果一个向量坐标确定则这向量的大小和方向就能确定，但它在平面直角坐标系中的位置不能确定，它可以在平面直角坐标系中任意的平移，因为平移不改变向量的大小和方向。 如果点的坐标确定，那这个点在平面直角坐标系中的位置就可以确定。 2、如果向量的起点是原点即平移到原点，那向量的位置就能确定，且向量的终点坐标就是向量的坐标。 3、如果向量的起点不是原点，那向量的坐标和向量的起点坐标、终点坐标的关系是：一个向量的坐标等于此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标。 总结：一个向量在坐标系中有三个关键词：大小、方向、位置。 复习引入 1. 平面向量的数量积(内积)的定义： 规定: 复习引入 其实这不应当被看做规定而应当被看做推论。 讲课人：邢启强 同学们学到这里可能有疑惑，因为这些结论都是循环推论，从原点出发又回到原点，所以产生不了有价值的新东西。其实只要同学们学了以后几节就会见识到向量的威力。同学们可能对结论(4)不太理解，我用具体简单的例子来套一下，见右图。 由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要 性质！ 设，是非零向量，它们的夹角是，是与方向相 同的单位向量，则 (l)==llcosθ (2)=0 (3）当与同向时，·=：当与反向时， . 特别地，=或= 此外，由|cos|≤1还可以得到 (4）|l≤ 思考 如果 或=? 注意 注： 向量数量积的运算律： ×。 对于向量实数有 (1) (2) (3) 其中， 是任意三个向量， 复习引入 1、平面向量数量积的坐标表示如图, 是x轴上的单位向量, 是y轴上的单位向量,由于 所以 x y o B(x2,y2) A(x1,y1) . . . 1 1 0 学习新知 下面研究怎样用 讲课人：邢启强 学习新知 因为+，, 所以 又 =1, 所以 故两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即 x o B(x2,y2) A(x1,y1) y 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量积的运算可转化为向量的坐标运算。 学习新知 2、 学习新知 上式即为两点间距离公式。 或 若 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为（）,（,），那么 =（，） |a|= （1）垂直 3、两向量垂直和平行的坐标表示 （2）平行 学习新知 它的变形易记。 设则 设 4、两向量夹角公式的坐标运算 学习新知 设与的夹角为 cos 设与夹角为 （则cos 其中 例10 若点A（1，2），B（2，3），C（-2，5），则△ABC是什么形状？证明你的猜想. 解：如图6.3-19，在平面直角坐标系中画出点A，B，C，我 们发现ABC是直角三角形.证明如下 因为（2-1，3-2)=（1，1）， (-2-1， 5-2)=(-3，3), 所以=1（-3）+13=0 于是 因此，ABC是直角三角形 例11 设=（5，-7），=（-6，-4），求·及，的夹角（精确到1°） 解： =-30+28 =-2 因为,,所以用计算器计算可得 cos0.03 利用计算器中“”键，得 探究:当α、β为任意角时，cos(α-β)与α、β的正弦、余弦值的关系 恒成立吗？如果不成立，请说明理由；如果成立，请尝试证明。 答：cos(60°-30°)≠cos60°-cos30° 心得：世界不会是你想象的这么简单，但世界也不是你想象的这么复杂。把世界想象的太简单，你会狂妄自大。把世界想象的太复杂，你会忧郁。 准备知识： 已知任意角，但两者可写成 2 ( ( 所以终边与终边相同，与终边相同。 因为在直角坐标系中只要角不止一圈，则角很难标注，看起来复杂，做起来繁琐。为了美观，有了以上结论我们可以简化，直接假定 设任意角，且终边不重合。单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),单位圆相交于 由三角函数定义知： （为什么？） 平面上任意两点的距离公式. 因为：设2 由上述预备知识： = 化简得 当重合，由准备知识，干脆令=cos0=1, = 例12 用向量方法证明两角差的余弦公式 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ 证明：如图6.3-20，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则 由向量数量积的坐标表示，有 . =cos αcos β+sin αsin β 设OA与OB的夹角为，则 . =|||cos θ=cos θ 所以 cos θ=cos αcosβ-sin αsinβ 另一方面，由图6.3-20（1）可知，α=2kπ十B十θ：由图6.3-20（2）可知，α=2kπ+β-.于是α一β=2kπ±，k∈Z.所以 cos(α—β)=cosθ. 于是 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 运用向量工具进行探索， 过程多么简洁啊！ 反思：如何理解与推导 答：由6.3-20（1）旋转，终边就与。而终边相同的两角相差。 由6.3-20（2）旋转，终边就与。而终边相同的两角相差。 逆时针旋转角度增加，顺时针旋转角度减少。的夹角。 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 小结 （1）设a =（x，y），则 或|a |= . 若设 、 则 （2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐 标表示式. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即 $